EinStellenwertsystem,Positionssystem oderpolyadisches Zahlensystem ist einZahlensystem, dessenZahlzeichen ausZiffern besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreitetenZehnersystem bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert1· 100 zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert2· 10 sowie für die Ziffer „7“ der Wert7· 1. Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihrenZiffernwert, tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.
Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit dem Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl. Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern derStelle oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihrenStellenwert; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor . Damit ergibt sich der Wert einer dreistelligennatürlichen Zahl aus ihren drei Ziffernwerten, und zu
Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellenlogarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zuAdditionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer)linear ist.
Zahlensysteme sind schon vor Jahrtausenden entstanden. Entwicklungen in verschiedenen Kulturkreisen hatten dasselbe Ziel,Zahlen durch eineZahlschrift festhalten zu können. Ein frühes Stellenwertsystem ist ausBabylon bekannt. Diese hatte den Nachteil, dass eine Uneindeutigkeit entstehen konnte, wenn in einem Zahlzeichen eine Stelle leer blieb. Sehr viel später wurde zu deren Kennzeichnung ein Lückenfüller oder Platzhalter in das Zahlzeichen eingefügt, der aber nicht als numerischer Bestandteil galt. Durch die sich in Indien bis ins 7. Jahrhundert n. Chr. hinziehende „Entdeckung“ der Zahl null und durch die Einführung eines Schriftzeichens für diese als vollwertige Ziffer, mit dem auch gerechnet werden konnte, kam die indische Mathematik in die Lage, ein Stellenwertsystem in Form des Dezimalsystems zu schaffen, wie es inzwischen weltweit übernommenen worden ist.[1][2] „Zweifellos ist die Null eine der genialsten Erfindungen der Menschheit.“[3]
Erst mit der Einführung der Null ist das Stellensystem so leistungsfähig geworden, wie es heute als selbstverständlich erachtet wird, mit dem nicht nur Zahlen dargestellt werden können, sondern auch einfach gerechnet werden kann. Über Arabien kam diese Kenntnis im 13. Jahrhundert durchFibonacci nach Europa und erst im 16. Jahrhundert verbreiteteAdam Ries mit seinen Rechenbüchern das Stellenwertsystem und das schriftliche Rechnen im deutschsprachigen Raum.[4] Die Erfindung desDezimalbruchs durchGiovanni Bianchini[5] gegen Mitte des 15. Jahrhunderts und sein Wiederaufgreifen durchSimon Stevin undChristophorus Clavius gegen Ende des 16. Jahrhunderts hat das numerische Rechnen weiter perfektioniert.
Zahlen werden durch Wörter oder mittels einerZahlschrift durchZahlzeichen dargestellt. Diese sind ausZiffern und gegebenenfallsVorzeichen oderTrennzeichen zusammengesetzt. Das Besondere an einem Stellenwertsystem liegt in seinem Aufbau auf Stellen, wobei jede Stelle eine Ziffer enthält, und zu jeder Stelle gehört ein eigener Stellenwert. Der Zahlenwert ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.
DieBasis oderGrundzahl des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis derPotenzen von, die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis nennt man auch-adisches Zahlensystem (nicht zu verwechseln mit-adischen Zahlen). Jede ganze Zahl eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.[6] (Bei hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertsystems widerspräche.[7]) Die gängigsten Basen sind:[8]
Weitere in der Praxis verwendete-adische Zahlensysteme finden sich im AbschnittGebräuchliche Basen.
Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert.[9][10] Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.
In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen einZiffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):
Ist die Basis noch größer, kann es zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem kommen. So werden im babylonischenSexagesimalsystem mit statt 60 verschiedener Ziffern die Dezimalzahlen von 1 bis 59 wie Ziffern benutzt. (Die Ziffer0 war zur Blütezeit des Sexagesimalsystems noch nicht erfunden; für ein „Nichts“ wurde nichts geschrieben.) –IP-Adressen im IPv4-Format umfassen 4 Stellen zur Basis; statt Ziffern werden ihrem Wert entsprechende Dezimalzahlen von 0 bis 255 geschrieben und durch einen Punkt getrennt, beispielsweise 192.0.2.42. – Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der CodierungBase64 gewählt.
Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in derElektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit0 und1 beschrieben, sondern es werden stattdessenH undL (für „High“- und „Low“-Logikpegel) verwendet (seltenO undL für „On“ und „Low“ – „Ein“ und „Aus“).
Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eineStelle.[9] Jeder Stelle wird einStellenwert zugewiesen, der einerPotenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.[11] Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:
Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die-te Stelle gerade den Stellenwert. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.
Natürliche Zahlen werden in der-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form
dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert
zugeordnet, wobei der der Ziffer zugewiesene Ziffernwert ist.
Der Wert der Ziffernfolge gehört zumLaufindex der höchstwertigen Stelle, auf der ist.
Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogareineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.
Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge694 im Dezimalsystem (). Sie steht für:
Die Ziffernfolge2B6 im Hexadezimalsystem () steht für. Bei einer Zuordnung der Werte der Hexadezimalziffern auf Werte von Dezimalzahlen =6 = 6; =B = 11; =2 = 2 und bei weiterer Rechnung im Dezimalsystem entspricht die Folge2B6 dem Wert der Dezimalzahl
Entsprechend entspricht die Ziffernfolge1010110110 im Dualsystem () dem Wert der Dezimalzahl
In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird einMinuszeichen (–) beigefügt, das den Zahlzeichen ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 alsvorzeichenbehaftete Null in der Form +0, −0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl alsInkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung einPluszeichen (+) vorangestellt.
Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.
Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür dasKomma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit multipliziert, wobei die Position hinter dem Komma angibt.Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge1,011 dargestellt. In der Tat ist
Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich vielerationale Zahlen-adisch darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aberperiodisch ist. Gewöhnlich wird diesePeriode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.
Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:
Dagegen bedeutet die Ziffernfolge0,1 im3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3−1 = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge0,333… =0,3dez entspricht.
Unter der Voraussetzung, dass0 eine Ziffer ist und dass es zu jeder ganzen Zahl eine Ziffer gibt, deren Wert zu ihrkongruent ist[10] (was bei Standardziffersystemen stets der Fall ist), gilt allgemein, dass einBruch genau dann eine endliche-adische Darstellung hat, wenn nach demKürzen allePrimfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von (bei und) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss dergekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch einDezimalbruch im engeren Sinne oder wird durchErweitern zu einem solchen.)
Die endlichen Darstellungenbilden denRing
wobei für die Menge der Primfaktoren von steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nennernur Primteiler. Für jedes nichtleere liegt der Unterring von (wie selbst)dicht sowohl in wie in, d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus approximieren.[12]
Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen1,1,0,1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen01,0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken.Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung1,000… =1,0 und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung0,999… =0,9 (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel0,999….[13]
Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, sodass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei derZ-Kurve gefordert, dieinjektiv abbildet und bei der zwei-Ziffernfolgen alternierend in eine gepresst werden. DieUnstetigkeitsstellen der Funktion sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche-adische Darstellung haben.[14]
Die-adische Darstellung eines gekürzten Bruchs mit undteilerfremd zur Basis hat für die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist ein Element derprimen Restklasse, sodass ist (mit als dereulerschen φ-Funktion). Die-adische Periodenlänge des gekürzten Bruchs ist dann der kleinste Exponent, für den ein Teiler von ist.(S. a. den AbschnittAlgorithmus für rationale Zahlen und den ArtikelRationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung.)
Die Darstellungreeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durchb-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.
Dieb-adische Entwicklung einerirrationalen Zahl (wieπ oder) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.
Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und geschehen ist.
Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlenüberabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nurabzählbar ist.[15]
Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei derb-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher)b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.
Die niederwertigste (letzte) Ziffer der-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ist derRest von bei Division durch. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck
gegeben; dabei bezeichnet dieGaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten Ziffern von gebildete Zahl der Rest von bei Division durch. Die Ziffer an der-ten Stelle ergibt sich zu
Nimmt man negative Werte von hinzu, mit denen sich Nachkommastellen ergeben, dann gilt für positivreelle Zahlen die vorstehende Gleichung auch hierfür.
Für rationales (und eine Basis) lässt sich die obige Formel in den folgendenAlgorithmus einbetten:
functionb_adic(b,p,q)// b ≥ 2; 0 < p < qstaticZiffernvorrat="0123...";// bis zum Zeichen mit dem Wert b–1begins="";// die zu bildende Zeichenkettepos=0;// hier sind alle Stellen rechts vom Kommawhilenotdefined(occurs[p])dooccurs[p]=pos;// die Nummer der Stelle mit dem Rest pbp=b*p;z=floor(bp/q);// Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1p=bp−z*q;// p ganzzahlig: 0 ≤ p < qifp=0thenpl=0;return(s);endifs=s.substring(Ziffernvorrat,z,1);// Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.// substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Kommapos+=1;endwhilepl=pos-occurs[p];// die Periodenlänge (0 < pl < q)// Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:forifromoccurs[p]topos-1dosubstring(s,i,1)=overline(substring(s,i,1));endforreturn(s);endfunction
Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.
Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest der Divisionmodulo des Nenners.Die Gaußklammerfloor bewirkt, dass
Daraus folgt und zusammengenommenDa somit alle Reste ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als sind, es also nur viele verschiedene von ihnen gibt,müssen sie sich in derwhile-Schleife wiederholen.Die Wiederkehr eines Restes wird über die Existenz desassoziativen Datenfeldesoccurs[p] festgestellt.
Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlängesiehe oben.)
Die Anzahl der Ziffern der-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ist
| Basis | System | Beschreibung |
|---|---|---|
| 10 | Dezimalsystem | Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist dasDezimalsystem (Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern0 bis9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische MathematikerMuhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohneNull. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Zur Speicherung von Dezimalziffern im Computer dient derBCD-Code. |
| 2 | Dualsystem Binärsystem | Im 17. Jahrhundert führte der MathematikerGottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik dasDualsystem (binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern0 und1. Dieses wird vor allem in derInformationstechnik verwendet, da derenLogik allein aufBits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist. |
| 16 | Hexadezimalsystem Sedezimalsystem | Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft dasHexadezimal- oder Sedezimalsystem verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern0,1, …,9,A,B, …,F) arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da eine Stelle einer hexadezimalen Zahl genau vier Stellen (= einNibble) einer binären Zahl entspricht. |
| 8 | Oktalsystem | DasOktalsystem zur Basis 8 (Ziffern0 bis7) fasst drei Binärstellen zusammen und kommt vorteilhaft ohne zusätzliche Ziffernzeichen aus. Das System findet u. a. Anwendung bei der Notation und Vergabe vonUnix-Dateirechten. |
| 64 | Base64 | Ebenfalls Verwendung findet die Basis 64 beiBase64 (mit ungewohnter Symbolreihenfolge); die Basis 62 mit den Ziffern0 bis9,A bisZ unda bisz; sowie gelegentlich die Basis 32 beiBase32 mit den Ziffern0 bis9 unda bisv. |
| 1 | Unärsystem | Ab ca. 1100 v. Chr. wurden im indo-chinesischen RaumRechentafeln benutzt, denen einUnärsystem zugrunde liegt. Zur besseren Überschaubarkeit wird gerne zu Fünfer-Blöcken gebündelt. Davon unabhängig liegt hier allerdings einAdditionssystem und kein Stellenwertsystem vor. |
| 20 | Vigesimalsystem | DasVigesimalsystem verwendet 20 als Basis. Es dürfte entstanden sein, weil zum Zählen neben den Fingern auch die Zehen benutzt wurden, und war u. a. in fast allen mesoamerikanischen Kulturen gebräuchlich. Das am weitesten entwickelte System dieser Art wurde von denMaya in der Klassischen Periode für astronomische Berechnungen sowie zur Darstellung von Kalenderdaten verwendet. Es handelte sich um ein Stellenwertsystem »mit einem Sprung«, weil an der zweiten Stelle nur die Ziffern von1 bis18 auftreten, um so als dritten Stellenwert 360 (annähernde Länge des Sonnenjahres) zu erreichen. Die Maya kannten dieNull und benutzten sie auch in ihrenKalendern.[16] |
| 4 | Quaternärsystem | MündlicheZahlwortsysteme mit der Basiszahl 4 sind äußerst selten. Bekannt ist eine Papua-Sprache. Sprachliche Spuren eines solchen Systems gibt es auch in anderen Sprachen. |
| 12 | Duodezimalsystem | DasDuodezimalsystem hat als Basis die 12. Sein Vorteil liegt in der großen Anzahl von Teilern. Die Einteilung und die Gruppierung in 12 ist zwar kulturell sehr weit verbreitet und zeigt sich etwa in den 12 Monaten pro Jahr, 12Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie und der Einteilung alterMaßeinheiten (z. B. beiZoll und Fuß). Trotzdem gibt nur wenige Kulturen, von denen ein Gebrauch des Duodezimalsystems bekannt ist. |
| 60 | Sexagesimalsystem | DieBabylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auchGeschichte von Maßen und Gewichten). |
| 5 | Quinärsystem | Bündelungen mit der Zahl 5 sind in der Umgangskultur weit verbreitet. MündlicheZahlwortsysteme mit der Basiszahl 5 sind selten. Bekannte Vertreter sind Sprachen aus Südamerika und Ozeanien.[17] Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya ente, 15 = tozumba-ente, 20 = caesea ente.[18] |
| 6 | Senärsystem | MündlicheZahlwortsysteme mit der Basiszahl 6 sind äußerst selten. Bekannt sind eine westafrikanische und eine Papua-Sprache. Sprachliche Spuren eines solchen Systems gibt es auch in anderen Sprachen. Vermutlich liegen dem das Zählen mit Fingern und Hand zu Grunde. |
Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.
Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix der Basis des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix10 standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auchdez oderdec. Die Suffixe2 oderb kennzeichnen binär und16 oderh hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.
Es gibt zwei wesentliche Varianten
Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.
Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung imZwölfersystem.
Dazu dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Ziffernwerte zur Basis 12. Dabei liefert der erste Rest den Ziffernwert zum niedrigsten Stellenwert der gesuchten neuen Darstellung (in diesem Fall zum Stellenwert 120), der zweite Rest liefert den Ziffernwert zum zweitniedrigsten Stellenwert (hier 121) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:
Alternativ wird mit der Ziffer zum höchsten vorhandenen Stellenwert begonnen:
| * | 4711 | geteilt durch 123=1728 | ergibt 2 Rest 1255 (die 2 ist die Ziffer zum höchsten Stellenwert des Ergebnisses) |
| * | 1255 | geteilt durch 122=144 | ergibt 8 Rest 103 |
| * | 103 | geteilt durch 121=12 | ergibt 8 Rest 7 |
| * | 7 | geteilt durch 120=1 | ergibt 7 Rest 0 (die 7 ist die Ziffer zum niedrigsten Stellenwert des Ergebnisses) |
Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich 288712. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.
Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.
Dazu multipliziert man die Ziffern der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:
Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich.
Alternativ wird schrittweise mit der Basis 16 multipliziert und die jeweils nächste Ziffer hinzugenommen:
| * | A | ergibt | 10 |
| * | 10·16+F | ergibt | 175 |
| * | 175·16+F | ergibt | 2815 |
| * | 2815·16+E | ergibt | 45 054 |
Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.
Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.
Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.
Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:
Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…
Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge. Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z. B. imbalancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern1,0, und1 dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.
Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:
Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.
Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu die größte Ziffer und die kleinste, dann ist bspw.
Bei positiver Basis hängt dieOrdnungsrelation der reellen Zahlen eng zusammen mit derlexikographischen Ordnung der diese Zahlen darstellenden-adischenZeichenketten.[19] Genauer:
| Herleitung |
Sei dazu und einstreng totalgeordnetesAlphabet mit dessen Ordnungsrelation mit bezeichnet sei. Ferner seien zwei Zeichen mit, dann ist lexikographisch für alleZeichenketten mit als der Menge der beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten über (einschließlich derkleeneschen Hülle von). Die Zeichenketten können auch als-adische Darstellung aufgefasst werden, und zwar seien dazu die Werte der Ziffern lückenlos aufeinanderfolgend festgelegt, also
sodass ein minimaler Ziffernvorrat für ein-adisches System und ist. Wir beschränken uns auf Ziffernwerte, derenBetrag nicht größer ist als die Basis, also (womit die wichtigsten in der Praxis vorkommenden Fälle abgedeckt sind).Die Ziffern lassen sich so wählen, dass ist. Dies verträgt sich mit, und die obige lexikographische Ungleichung bleibt gültig, auch wenn die Ketten und ins Unendliche fortgesetzte Perioden haben. Für die Auswertung der Zeichenketten entsprechend dem-adischen System braucht man eineFortsetzung der Wertefunktion mit für und mit
In Bezug auf dieMetrik des gewöhnlichenarchimedischen Absolutbetrags konvergieren dieReihen und
und es ist
Damit gilt zwar lexikographisch (und die Zeichenketten sind offensichtlich verschieden in), sie werden aber auf dieselbe reelle Zahl abgebildet. Somit ist nicht injektiv. Schließt man bei den Ordnungsrelationen die Gleichheit mit ein, dann gilt und ist einOrdnungshomomorphismus, der aber nichtbijektiv und also kein Ordnungsisomomorphismus ist. Im AbschnittDarstellung rationaler Zahlen wurde als die Menge der reellen Zahlen mitendlicher Darstellung herausgearbeitet. Die Menge der reellen Zahlen mitmehrfacher Darstellung ist dann
also bei dieselbe wie die der endlichen Darstellungen; so bei vielen gebräuchlichen-adischen Systemen. |
Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:
In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.[23]
Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung
angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.[24] Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.
Die Basis muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.
Stellenwertsysteme mit negativen Basen mit kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen und wird oft alsRadix bezeichnet.Sie werden häufig mit der Vorsilbenega- gekennzeichnet, bspw. dasnegadezimale,negabinäre,negaternäre usw. Stellenwertsystem.
Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine, in manchen Fällen sogar zwei Stellen mehr, als im entsprechenden System mit positiver Basis, wie das Beispiel zeigt. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.
Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw., dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei denpositiven Basen gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu
und die größte Ziffer,dann ist sowohl
als auch
Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis die Minimalgröße des Ziffernsystems (Betragsstriche undGaußklammern) sein.Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.
Wird zum Beispiel derGoldene Schnitt als Basis und als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form mit rationalen dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.
Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist dieZeckendorf-Darstellung, bei der allerdings nicht die Potenzen von, sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.
Das erste Zahlsystem, das einekomplexe Zahlnicht als zwei separate Ziffernfolgen – je eine für Real- und eine für Imaginärteil – darstellt, sondern eine komplexe Zahl alseine einzige Ziffernfolge, war das vonD. Knuth 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System.[25] Es hat als Basis und0,1,2,3 als Ziffern. Dort ist bspw. und.
Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet.[26] Es hat als Basis und0,1 als Ziffern. Bspw. ist und.
Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf derKonvergenz in Bezug auf dieMetrik des gewöhnlichenarchimedischen Absolutbetrags. Dieunendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für dierationalen Zahlen auch Metriken, die aufnichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten), konvergieren – sindp-adische Zahlen.
Zwar stimmenendliche-adische Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher)-adischer Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:
Der ArtikelTeilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. DieCantorsche Normalform verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem aufOrdinalzahlen.
Ein Beispiel zur Anwendung zeigt dieBerlin-Uhr.
