Unter einerGleichung versteht man in derMathematik eineAussage über dieGleichheit zweierTerme, die mit Hilfe desGleichheitszeichens („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt

${\displaystyle T_1=T_2}$,

wobei der Term${\displaystyle T_1}$ dielinke Seite und der Term${\displaystyle T_2}$ dierechte Seite der Gleichung genannt wird. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise${\displaystyle 1=1}$) oder falsch (beispielsweise${\displaystyle 1=2}$). Wenn zumindest einer der Terme${\displaystyle T_1,T_2}$ vonVariablen abhängig ist, liegt nur eineAussageform vor; ob die Gleichungwahr oder falsch ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißenLösungen der Gleichung. Liegen zwei oder mehr Gleichungen vor, spricht man auch von einemGleichungssystem. Eine Lösung eines Gleichungssystems muss alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Gleichungen werden in vielen Zusammenhängen verwendet; dementsprechend gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einzuteilen. Die jeweiligen Einteilungen sind zu einem großen Teil unabhängig voneinander, eine Gleichung kann in mehrere dieser Gruppen fallen. So ist es etwa sinnvoll, von einem System linearer partieller Differentialgleichungen zu sprechen.

Gleichungen könnenallgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenenGrundmenge oder zumindest aus einer vorher definiertenTeilmenge davon wahr sein. Solche Gleichungen werden alsIdentitätsgleichungen oderIdentitäten bezeichnet. Die Allgemeingültigkeit kann entweder aus anderenAxiomen gefolgert werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind:

• DerSatz des Pythagoras:${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$ ist wahr fürrechtwinklige Dreiecke, falls${\displaystyle c}$ die demrechten Winkel gegenüberliegende Seite (Hypotenuse) und${\displaystyle a,b}$ dieKatheten bezeichnen.
• DasAssoziativgesetz:${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ist wahr für allenatürlichen Zahlen${\displaystyle a,b,c}$ und allgemein für beliebige Elemente${\displaystyle a,b,c}$ einerGruppe (als Axiom).
• Dieerste binomische Formel:${\displaystyle (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2}$ ist wahr für allereellen Zahlen${\displaystyle a,b}$.
• Dieeulersche Identität:${\displaystyle e^{i\phi }=\cos \left(\phi \right)+i\sin \left(\phi \right)}$ ist wahr für alle reellen${\displaystyle \phi }$.

In diesem Zusammenhang spricht man auch von einemmathematischen Satz oder Gesetz. Zur Unterscheidung von nicht allgemeingültigen Gleichungen wird bei Identitäten statt des Gleichheitszeichens auch das Kongruenzzeichen („≡“) verwendet.

Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Variablenbelegungen zu bestimmen, für die die Gleichung wahr wird. Diesen Vorgang bezeichnet man alsLösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitätsgleichungen werden solche Gleichungen alsBestimmungsgleichungen bezeichnet.^[2] Die Menge der Variablenbelegungen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man alsLösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um dieleere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung alsunlösbar oderunerfüllbar.

Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, kann von der betrachteten Grundmenge abhängen, zum Beispiel gilt:

• Die Gleichung${\displaystyle x^2=2}$ ist unlösbar als Gleichung über den natürlichen oder denrationalen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge${\displaystyle \{\sqrt{2},-\sqrt{2}\}}$ als Gleichung über den reellen Zahlen.
• Die Gleichung${\displaystyle x^2=-2}$ ist unlösbar als Gleichung über den reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge${\displaystyle \{\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i\}}$ als Gleichung über denkomplexen Zahlen.

Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden alsParameter bezeichnet. Beispielsweise lautet die Lösungsformel für diequadratische Gleichung

${\displaystyle x^2+px+q=0}$

bei gesuchter Unbekannte${\displaystyle x}$ und gegebenen Parametern${\displaystyle p}$ und${\displaystyle q}$

${\displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}}$.

Setzt man eine der beiden Lösungen${\displaystyle x_1,x_2}$ in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für eine beliebige Wahl von${\displaystyle p}$ und${\displaystyle q}$ zur wahren Aussage. Für${\displaystyle 4q\le p^2}$ sind hier die Lösungen reell, ansonsten komplex.

Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch das Definitionszeichen („:=“) ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.

Zum Beispiel wird dieAbleitung einerFunktion${\displaystyle f}$ an einer Stelle${\displaystyle x_0}$ durch

${\displaystyle f^{\prime }(x_0):=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

definiert. Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=0}$

heißthomogene Gleichung. Ist${\displaystyle T}$ eineFunktion, nennt man die Lösung${\displaystyle x}$ auchNullstelle der Funktion. Homogene Gleichungen spielen bei der Lösungsstrukturlinearer Gleichungssysteme undlinearer Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Ist die rechte Seite einer Gleichung ungleich Null, heißt die Gleichung inhomogen.

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=x}$

heißt Fixpunktgleichung und deren Lösung${\displaystyle x}$ nennt man Fixpunkt der Gleichung. Genaueres über die Lösungen solcher Gleichungen sagenFixpunktsätze aus.

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=\lambda x}$

heißt Eigenwertproblem, wobei die Konstante${\displaystyle \lambda }$ (der Eigenwert) und die Unbekannte${\displaystyle x\ne 0}$ (der Eigenvektor) gemeinsam gesucht werden. Eigenwertprobleme besitzen vielfältige Einsatzbereiche in der linearen Algebra, beispielsweise bei der Analyse und Zerlegung vonMatrizen, und in Anwendungsgebieten, beispielsweise derStrukturmechanik und derQuantenmechanik.

Eine Gleichung heißtlinear, wenn sie in die Form

${\displaystyle T\left(x\right)=a}$

gebracht werden kann, wobei der Term${\displaystyle a}$ unabhängig von${\displaystyle x}$ ist und der Term${\displaystyle T(x)}$ linear in${\displaystyle x}$ ist, also

${\displaystyle T\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda T\left(x\right)+\mu T\left(y\right)}$

für Koeffizienten${\displaystyle \lambda ,\mu }$ gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass${\displaystyle T(x)}$ und${\displaystyle a}$ aus einemVektorraum${\displaystyle V}$ sind, und die Lösung${\displaystyle x}$ aus dem gleichen oder einem anderen Vektorraum${\displaystyle W}$ gesucht wird.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen dasSuperpositionsprinzip: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe einer Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

Wegen der Linearität ist zumindest${\displaystyle x=0}$ eine Lösung einer homogenen Gleichung. Hat eine homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch eine entsprechende inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in derFunktionalanalysis ist dieFredholmsche Alternative.

Nichtlineare Gleichungen werden oft nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Insbesondere in derSchulmathematik werden die nachfolgenden Grundtypen von nichtlinearen Gleichungen behandelt.^[3]

Handelt es sich bei dem Gleichungsterm um einPolynom, spricht man von einer algebraischen Gleichung. Ist dabei das Polynom mindestens vomGrad zwei, so bezeichnet man die Gleichung als nichtlinear. Beispiele sind allgemeinequadratische Gleichungen der Form

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$

oderkubische Gleichungen der Form

${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$.

Für Polynomgleichungen bis zumGrad vier gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Enthält eine Gleichung einenBruchterm, bei dem die Unbekannte zumindest imNenner vorkommt, spricht man von einer Bruchgleichung, zum Beispiel

${\displaystyle \frac{x+2}{x^2+3}=\frac{2}{x+1}}$.

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner, im Beispiel${\displaystyle (x^2+3)(x+1)}$, lassen sich Bruchgleichungen auf algebraische Gleichungen zurückführen. Eine solche Multiplikation ist im Regelfall keineÄquivalenzumformung und es muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, im Beispiel ist${\displaystyle x=-1}$ nicht imDefinitionsbereich der Bruchgleichung enthalten.

Bei Wurzelgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal unter einerWurzel, beispielsweise

${\displaystyle \sqrt{x}=1-x}$

Wurzelgleichungen sind speziellePotenzgleichungen mit Exponent${\displaystyle \frac{1}{n}}$. Wurzelgleichungen lassen sich lösen, indem eine Wurzel isoliert wird und dann die Gleichung mit dem Wurzelexponenten${\displaystyle n}$ (im Beispiel ist${\displaystyle n=2}$)potenziert wird. Dieses Vorgehen wird wiederholt, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Potenzieren mit geradzahligem Exponenten stellt keine Äquivalenzumformung dar und daher ist in diesen Fällen bei der Ermittlung der Lösung eine entsprechende Fallunterscheidung vorzunehmen. Im Beispiel führt Quadrieren zu der quadratischen Gleichung${\displaystyle x=(1-x{)}^2}$, deren negative Lösung nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung liegt.

BeiExponentialgleichungen steht die Unbekannte mindestens einmal imExponenten, zum Beispiel:

${\displaystyle 2^{3x+2}=4^{x+1}}$

Exponentialgleichungen lassen sich durchLogarithmieren lösen. Umgekehrt sindLogarithmusgleichungen - also Gleichungen, bei denen die Unbekannte alsNumerus (Argument einer Logarithmusfunktion) auftritt - durchExponenzieren lösbar.

Treten die Unbekannten als Argument mindestens einerWinkelfunktion auf, so spricht man von einer trigonometrischen Gleichung, beispielsweise

${\displaystyle \sin (x)=\cos (x)}$

Die Lösungen trigonometrischer Gleichungen wiederholen sich im Allgemeinenperiodisch, sofern die Lösungsmenge nicht auf ein bestimmtesIntervall, etwa${\displaystyle [0,2\pi )}$, beschränkt wird. Alternativ können die Lösungen durch eine ganzzahlige Variable${\displaystyle k}$ parametrisiert werden. Beispielsweise sind die Lösungen obiger Gleichung gegeben als

${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi k}$   mit  ${\displaystyle k\in \mathbb{Z}}$.

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl oder ein reeller Vektor gesucht wird, von Gleichungen, bei denen beispielsweise eine Funktion gesucht ist, zu unterscheiden, wird manchmal auch die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht aufPolynome eingeschränkt ist. Diese Sprechweise ist jedoch umstritten.

Sucht man ganzzahlige Lösungen einer skalaren Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung. Ein Beispiel einer kubischen Diophantischen Gleichung ist

${\displaystyle 2x^3-x^2-8x=-4}$,

von der ganzzahlige${\displaystyle x\in \mathbb{Z}}$ gesucht werden, die die Gleichung erfüllen, hier die Zahlen${\displaystyle x=\pm 2}$.

Ist die Unbekannte eineFolge, so spricht man von einer Differenzengleichung. Ein bekanntes Beispiel einerlinearen Differenzengleichung zweiter Ordnung ist

${\displaystyle x_n-x_{n-1}-x_{n-2}=0}$,

deren Lösung für Startwerte${\displaystyle x_0=0}$ und${\displaystyle x_1=1}$ dieFibonacci-Folge${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\dots }$ ist.

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Funktionalgleichung. Ein Beispiel für eine Funktionalgleichung ist

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$,

deren Lösungen gerade dieExponentialfunktionen${\displaystyle f(x)=a^x}$ sind.

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt. Man unterscheidet:

• gewöhnliche Differentialgleichungen, bei denen nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auftreten, zum Beispiel dielineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

${\displaystyle f^{\prime }(x)+xf(x)=0}$

• partielle Differentialgleichungen, bei denen partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare Transportgleichung erster Ordnung

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f(x,t)}{\mathrm{\partial }t}+\frac{\mathrm{\partial }f(x,t)}{\mathrm{\partial }x}=0}$

• differential-algebraische Gleichungen, bei denen sowohl algebraische Gleichungen als auch Differentialgleichungen gemeinsam auftreten, beispielsweise dieEuler-Lagrange-Gleichungen für einmathematisches Pendel

• stochastische Differentialgleichungen, bei denen neben deterministischen auch stochastische Ableitungsterme vorkommen, beispielsweise dieBlack-Scholes-Gleichung derFinanzmathematik zur Modellierung vonWertpapierkursen

${\displaystyle \mathrm{d}{S}_t=r{S}_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}{W}_t}$

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung. Ein Beispiel einer linearenIntegralgleichung 1. Art ist

${\displaystyle {\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t=x^3}$.

Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einerGleichungskette. In einer Gleichungskette sollen alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich sein. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke separat zu betrachten. Beispielsweise ist die Gleichungskette

${\displaystyle 17+3=20/2=10+7=17}$

falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt. Wahr ist dagegen zum Beispiel

${\displaystyle 17+3=40/2=10+10=20}$.

Gleichungsketten sind insbesondere wegen derTransitivität der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar. Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mitUngleichungen inAbschätzungen auf, so gilt beispielsweise für${\displaystyle n\ge 3}$

${\displaystyle 2n^2=n^2+n^2\ge n^2+3n>n^2+2n+1=(n+1{)}^2}$.

Oft werden mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet und dabei mehrere Unbekannte gleichzeitig gesucht.

Ein Gleichungssystem – also eine Menge von Gleichungen – heißtlineares Gleichungssystem, wenn alle Gleichungenlinear sind. Beispielsweise ist

ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten${\displaystyle x,y}$ und${\displaystyle z}$. Fasst man die Koeffizienten zu einer Matrix${\displaystyle A}$ („Koeffizientenmatrix“), die Unbekannten zu einem Vektor${\displaystyle \overrightarrow{x}}$ und die Zahlen der rechten Seiten zu einem Vektor${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ („rechte Seite“) zusammen, so lässt sich ein Gleichungssystem auch als eine einzelne Vektorgleichung

${\displaystyle A\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}}$

auffassen, wobei${\displaystyle (\cdot )}$ dasMatrix-Vektor-Produkt ist. In obigem Beispiel sind

,  ${\displaystyle \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)}$   und  ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 13\end{array}\right)}$.

Dielineare Algebra stellt effiziente Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bereit.

Gleichungssysteme, deren Gleichungen nicht alle linear sind, werdennichtlineare Gleichungssysteme genannt. Beispielsweise ist

ein nichtlineares Gleichungssystem mit den Unbekannten${\displaystyle x}$ und${\displaystyle y}$. Für solche Gleichungssysteme gibt es keine allgemeingültigen Lösungsstrategien. Oftmals hat man nur die Möglichkeit, näherungsweise Lösungen mit Hilfenumerischer Verfahren zu bestimmen. Ein mächtiges Näherungsverfahren ist beispielsweise dasNewton-Verfahren.

Eine Faustregel besagt, dass gleich viele Gleichungen wie Unbekannte benötigt werden, damit ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist aber tatsächlich nur eine Faustregel, bis zu einem gewissen Grad gilt sie wegen desHauptsatzes über implizite Funktionen für reelle Gleichungen mit reellen Unbekannten.

Unter einer analytischen Lösung versteht man eine allgemeine Umformung einer Gleichung, sodass die gesuchte Variable alleine auf einer Gleichungsseite steht und dieLösung exakt ermittelt werden kann.^[4] Wichtigstes Hilfsmittel dabei sindÄquivalenzumformungen, durch die eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also dieselbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird.^[5] Eine analytische Lösung ist nur bei speziellen Gleichungen möglich.^[4]

Viele Gleichungen, insbesondere aus naturwissenschaftlichen Anwendungen, können nicht analytisch gelöst werden. In diesem Fall versucht man, am Computer eine näherungsweise numerische Lösung zu berechnen. Solche Verfahren werden in dernumerischen Mathematik behandelt. Viele nichtlineare Gleichungen lassen sich approximativ lösen, indem die in der Gleichung auftretenden Nichtlinearitäten linear angenähert werden, und dann die entstehenden linearen Probleme gelöst werden (beispielsweise imNewton-Verfahren). Für andere Problemklassen, etwa bei der Lösung von Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen, wird die Lösung in geeignet gewählten endlich-dimensionalen Unterräumen gesucht (beispielsweise in derGalerkin-Methode).

Auch wenn eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, ist es dennoch oft möglich, mathematische Aussagen über die Lösung zu treffen. Insbesondere interessieren Fragestellungen, ob eine Lösung überhaupt existiert, ob sie eindeutig ist, und ob sie stetig von den Parametern der Gleichung abhängt. Ist dies der Fall spricht man von einemkorrekt gestellten Problem. Eine qualitative Analyse ist auch bzw. gerade bei der numerischen Lösung einer Gleichung wichtig, damit sichergestellt ist, dass die numerische Lösung tatsächlich eine Näherungslösung der Gleichung liefert.

• Reaktionsgleichung
• Gleichungsarten ökonomischer Modelle
• Zugeschnittene Größengleichung

Wiktionary: Gleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Equations – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• The World of mathematical equations. (Memento vom 7. Juni 2004 imInternet Archive) Umfangreiche englische Seite.
• Equation. In:Michiel Hazewinkel (Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag undEMS Press, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7 (englisch,encyclopediaofmath.org). 
• J. Pahikkala: Equation. In:PlanetMath. (englisch)
• Eric W. Weisstein:Equation. In:MathWorld (englisch).
• The 12 most beautiful equations bbc.com, Archivlink abgerufen am 28. Februar 2022

1. ↑Robert Recorde:The Whetstone of Witte. London 1557, S. 238.
2. ↑Wolfgang Brauch:Mathematik für Ingenieure / Wolfgang Brauch; Hans-Joachim Dreyer; Wolfhart Haacke. Unter Mitarb. von Wolfgang Gentzsch. Teubner, Wiesbaden 2006,ISBN 3-8351-0073-4,S. 40. 
3. ↑Hauptseite Gleichungen. Landesbildungsserver Baden-Württemberg, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 22. Mai 2015; abgerufen am 8. März 2011. 
4. ↑^abMichaela Gruber: Ingenieurmathematik I. Hochschule Landshut, 10. Januar 2017, abgerufen am 1. Februar 2023. 
5. ↑Gleichungen. In: Mathematik.net. Abgerufen am 1. Februar 2023. 

• Mathematischer Grundbegriff