Einegeometrische Folge ist in derMathematik eineZahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets im selbenVerhältnis zueinander stehen. DieSummierung der Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt einegeometrische Reihe.

Eine Zahlenfolge${\displaystyle \left(a_n\right)}$ heißtgeometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d. h. stets ein und derselben Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit${\displaystyle q}$ („Quotient“) bezeichnet, so gilt also für jeden Folgenindex${\displaystyle n}$:^[1]

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q}$.

Hierbei muss${\displaystyle q\ne 0}$ vorausgesetzt werden, da ansonsten gar nicht für alle Nachbarglieder das Verhältnis${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$ existieren würde.^{[A 1]}

Aus der obigen Gleichung erhält man durch Multiplikation mit${\displaystyle a_n}$ den Zusammenhang

${\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q}$.

Alternativ wird eine geometrische Folge auch durch diese Gleichung definiert.^[2][3] Dabei muss der Fall${\displaystyle q=0}$ nicht mehr ausgeschlossen werden.

Die Glieder${\displaystyle a_1,a_2,\dots }$ einer geometrischen Folge${\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots }$ lassen sich aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen durch dieRekursionsformel

${\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q}$.

Alternativ lässt sich jedes Folgenglied auch direkt berechnen. Zur Herleitung einer entsprechenden Formel benutzt man wiederholt die Rekursionsformel und setzt die Zwischenergebnisse ein:

Allgemein erhält man für das Glied${\displaystyle a_n}$ einer geometrischen Folge${\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots }$ die explizite Formel

${\displaystyle a_n=a_0\cdot q^n}$.

Manchmal wird das Anfangsglied auch mit${\displaystyle a_1}$ bezeichnet. Dann lautet die Formel für das Glied${\displaystyle a_n}$ entsprechend

${\displaystyle a_n=a_1\cdot q^{n-1}}$.

Mithilfe der geschlossenen Formel lässt sich eine geometrische Folge mit Anfangsglied${\displaystyle a_0}$ und Quotienten${\displaystyle q}$ schreiben als${\displaystyle (a_0{q}^n)}$.

• Die geometrischen Folge mit dem Anfangsglied${\displaystyle a_0=5}$ und dem Quotienten${\displaystyle q=3}$ lautet${\displaystyle 5,15,45,135,405,1215,3645,10935,32805,\dots }$ Allgemein ist${\displaystyle a_n=5\cdot 3^n}$.

• Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied${\displaystyle a_0=1}$ und dem Quotienten${\displaystyle q=-\frac{1}{2}}$ lautet$+1,-\frac{1}{2},+\frac{1}{4},-\frac{1}{8},+\frac{1}{16},-\frac{1}{32},+\frac{1}{64},-\frac{1}{128},+\frac{1}{256},\dots$ Allgemein ist$a_n=1\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=(-1{)}^n/2^n$.
• Die konstante Folge${\displaystyle 2,2,2,\dots }$ ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied${\displaystyle a_0=2}$ und dem Quotienten${\displaystyle q=1}$.

Die geometrische Folge beschreibtWachstums- oder Schrumpfungsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt${\displaystyle n+1}$ aus der Messgröße zum Zeitpunkt${\displaystyle n}$ durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor${\displaystyle q}$ ergibt. Beispiele:

Bei einem Zinssatz von fünfProzent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Das Kapital entwickelt sich also von Jahr zu Jahr wie die Glieder einer geometrischen Folge mit dem Verhältnis${\displaystyle q=1,05}$. Die Zahl${\displaystyle q}$ heißt in diesem ZusammenhangZinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

• nach einem Jahr ein Kapital von

${\displaystyle 1000\text{Euro}\cdot 1,05=1050\text{Euro},}$

• nach zwei Jahren ein Kapital von

${\displaystyle 1000\text{Euro}\cdot 1,{05}^2=1102,50\text{Euro},}$

• nach drei Jahren ein Kapital

${\displaystyle 1000\text{Euro}\cdot 1,{05}^3=1157,63\text{Euro}}$

und so weiter.

Ein Ball wird von einer Anfangshöhe${\displaystyle h_0}$ auf den Boden fallen gelassen. Nach jedem Aufprall mit dem Boden springt er wieder nach oben, verliert jedoch aufgrund von Reibung einen festen Prozentsatz${\displaystyle p\mathrm{\%}}$ seiner Sprunghöhe. Dann bilden die Sprunghöhen${\displaystyle h_n}$ des Balls nach dem${\displaystyle n}$-ten Aufprall eine geometrische Folge mit Anfangsglied${\displaystyle h_0}$ und Verhältnis${\displaystyle q=1-p\mathrm{\%}}$.

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist diegleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

${\displaystyle f(n)=a_0\cdot {\left(\sqrt[12]{2}\right)}^n}$,

wobei${\displaystyle a_0}$ beispielsweise die Frequenz desKammertons und${\displaystyle i}$ die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist.${\displaystyle f(i)}$ ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand${\displaystyle i}$ zum „Ursprungston“${\displaystyle a_0}$.

Der Wachstumsfaktor ist also${\displaystyle q=\sqrt[12]{2}}$.

Bei der Untersuchung desKonvergenzverhaltens einer unendlichen geometrischen Folge${\displaystyle (a_0{q}^n)}$ müssen verschiedene Fälle unterschieden werden: Für${\displaystyle a_0=0}$ liegt die konstante Folge${\displaystyle 0,0,\dots }$ vor, die gegen den Wert null konvergiert. Für${\displaystyle a_0\ne 0}$ hängt das Konvergenzverhalten von${\displaystyle q}$ ab:

Fall 1: Für${\displaystyle q=-1}$ springen die Folgenglieder immer zwischen${\displaystyle a_0}$ und${\displaystyle -a_0}$ hin und her, also divergiert die Reihe.

Fall 2: Für${\displaystyle q=1}$ handelt es sich um die konstante Folge${\displaystyle a_0,a_0,\dots }$, und diese konvergiert gegen${\displaystyle a_0}$.

Fall 3: Ist${\displaystyle |q|>1}$, so geht wegen${\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q}$ jedes Folgenglied${\displaystyle a_{n+1}}$ durch eine Vergrößerung aus seinem Vorgänger hervor, d. h. die Folgenglieder werden immer größer. Da die Vergrößerung prozentual ist, werden aber auch die Zuwächse immer größer, also muss die Folge divergieren.

Fall 4: Für ist$1/|q|>1$, also$1/|q|=1+\delta$ für ein${\displaystyle \delta >0}$(1). Wenn nun${\displaystyle \epsilon >0}$ gegeben ist, so gibt es nach demArchimedischen Axiom ein${\displaystyle N\in \mathbb{N}}$, so dass$n\delta >1/\epsilon$ für alle${\displaystyle n>N}$(2). Aus(1) und(2) folgt zusammen mit derBernoullischen Ungleichung:

${\displaystyle {\left(1/|q|\right)}^n=(1+\delta {)}^n\ge 1+n\delta \ge n\delta >1/\epsilon }$ für alle${\displaystyle n>N}$,

also

für alle${\displaystyle n>N}$.

Das bedeutet, dass${\displaystyle (q^n)}$ eine Nullfolge ist. Dann konvergiert aber auch${\displaystyle (a_0{q}^n)}$ gegen Null.

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus demgeometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer (positiven) geometrischen Folge (außer dem Anfangsglied) ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:

${\displaystyle a_{i+1}\cdot a_{i-1}=a_0{q}^{i-1}\cdot a_0{q}^{i+1}=a_0^2{q}^{2i}=(a_0{q}^i{)}^2=a_i^2}$.

Folglich ist

${\displaystyle a_n=\sqrt{a_{i+1}\cdot a_{i-1}}.}$

• Arithmetische Folge
• Wachstumsfaktor (Mathematik)
• exponentieller Vorgang
• E-Reihe
• Renard-Serie

1. ↑Wäre${\displaystyle q=0}$ das konstante Verhältnis einer Folge${\displaystyle a_0,a_1,a_2,\dots }$, so wäre insbesondere${\displaystyle \frac{a_1}{a_0}=0}$, woraus${\displaystyle a_1=0}$ folgen würde. Damit wäre aber schon das Verhältnis${\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}$ wegen desVerbots der Division durch 0 überhaupt nicht definiert.

1. ↑Jochen Schwarze:Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005,ISBN 3-482-51562-X,S. 166. 
2. ↑Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (englisch). 
3. ↑Walter Purkert, Alexander Herzog:Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022,ISBN 978-3-658-36741-1,S. 106. 

• Folgen und Reihen