DieGaloistheorie ist ein Teilgebiet derAlgebra. In klassischer Sicht beschäftigt sich die Galoistheorie mit den Symmetrien derNullstellen vonPolynomen. Diese Symmetrien können grundsätzlich durchGruppen vonPermutationen, also Untergruppen dersymmetrischen Gruppe, beschrieben werden.Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werdenKörpererweiterungen mit Hilfe ihrerGaloisgruppe untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa „Welcheregelmäßigen Polygone lassen sich mitZirkel und Lineal konstruieren?“, „Warum kann ein Winkel nichtdreigeteilt werden?“ (wieder nur mit Zirkel und Lineal), „Warum kann zu einem Würfel nicht die Seite einesWürfels mit doppeltem Volumen konstruiert werden?“ und „Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung derNullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vierGrundrechenarten undWurzelziehen auskommt?“ (DerSatz von Abel-Ruffini).

Eine „Symmetrie der Nullstellen von Polynomen“ ist einePermutation derNullstellen, so dass jedealgebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eineGruppe. Abhängig von denKoeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Permutationen. Durch Untersuchen dieser algebraischen Gleichungen und Permutationen lässt sich die Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog.Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien diesereinen Gleichung besteht.

Die Galoisgruppe des Polynoms${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$  soll über demKörper derrationalen Zahlen bestimmt werden. Durch zweifaches Wurzelziehen ergeben sich, zusammen mit der Beziehung${\displaystyle 5\pm 2\sqrt{6}=(\sqrt{2}\pm \sqrt{3}{)}^2}$, die Nullstellen:

${\displaystyle x_1=+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_2=+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ .

Es gibt${\displaystyle 4!=24}$ Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen):

${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto ...}$

Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation
01	${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}$	07	${\displaystyle \left(x_2,x_1,x_3,x_4\right)}$	13	${\displaystyle \left(x_3,x_1,x_2,x_4\right)}$	19	${\displaystyle \left(x_4,x_1,x_2,x_3\right)}$
02	${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_4,x_3\right)}$	08	${\displaystyle \left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)}$	14	${\displaystyle \left(x_3,x_1,x_4,x_2\right)}$	20	${\displaystyle \left(x_4,x_1,x_3,x_2\right)}$
03	${\displaystyle \left(x_1,x_3,x_2,x_4\right)}$	09	${\displaystyle \left(x_2,x_3,x_1,x_4\right)}$	15	${\displaystyle \left(x_3,x_2,x_1,x_4\right)}$	21	${\displaystyle \left(x_4,x_2,x_1,x_3\right)}$
04	${\displaystyle \left(x_1,x_3,x_4,x_2\right)}$	10	${\displaystyle \left(x_2,x_3,x_4,x_1\right)}$	16	${\displaystyle \left(x_3,x_2,x_4,x_1\right)}$	22	${\displaystyle \left(x_4,x_2,x_3,x_1\right)}$
05	${\displaystyle \left(x_1,x_4,x_2,x_3\right)}$	11	${\displaystyle \left(x_2,x_4,x_1,x_3\right)}$	17	${\displaystyle \left(x_3,x_4,x_1,x_2\right)}$	23	${\displaystyle \left(x_4,x_3,x_1,x_2\right)}$
06	${\displaystyle \left(x_1,x_4,x_3,x_2\right)}$	12	${\displaystyle \left(x_2,x_4,x_3,x_1\right)}$	18	${\displaystyle \left(x_3,x_4,x_2,x_1\right)}$	24	${\displaystyle \left(x_4,x_3,x_2,x_1\right)}$

Aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe. Dies liegt daran, dass alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen${\displaystyle x_1}$,${\displaystyle x_2}$,${\displaystyle x_3}$ und${\displaystyle x_4}$ enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren müssen. Betrachtet man beispielsweise

${\displaystyle x_1+x_4=0}$,

so ist diese Gleichung nicht für alle Vertauschungen der Nullstellen erfüllt. Unter der Permutation, die${\displaystyle x_1}$ und${\displaystyle x_2}$ gleich lässt und${\displaystyle x_3}$ und${\displaystyle x_4}$ vertauscht, entsteht bei der Gleichung eine falsche Aussage, denn${\displaystyle x_1+x_3}$ ist ungleich${\displaystyle 0}$. Deshalb gehört diese Permutation (Nr. 2) nicht zur Galois-Gruppe. Entsprechendes gilt für die Permutationen Nr. 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23 in der Tabelle, denn als Summe von zwei der vier Nullstellen sind lediglich die Gleichungen${\displaystyle x_2+x_3=x_3+x_2=0}$ und${\displaystyle x_4+x_1=0}$ richtig.

Eine weitere algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, die die Nullstellen erfüllen, ist

${\displaystyle (x_1+x_2{)}^2-8=0}$.

Deshalb können zusätzlich die Permutationen Nr. 3, 11, 14 und 22 ausgeschlossen werden, denn es ist${\displaystyle (x_1+x_3{)}^2-8\ne 0}$,${\displaystyle (x_2+x_4{)}^2-8\ne 0}$,${\displaystyle (x_3+x_1{)}^2-8\ne 0}$ und${\displaystyle (x_4+x_2{)}^2-8\ne 0}$.

Übrig bleiben vier Permutationen: Nr. 1, 8, 17 und 24. Da es sich bei dem Polynom${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$ um ein über${\displaystyle \mathbb{Q}}$irreduzibles Polynom 4. Grades handelt, besteht die Galoisgruppe aus mindestens vier Elementen. Also bilden diese vier Permutationen die Galoisgruppe des Polynoms${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$:

${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}$

${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)}$

${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_3,x_4,x_1,x_2\right)}$

${\displaystyle \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_4,x_3,x_2,x_1\right)}$

oder inZyklenschreibweise:

${\displaystyle \mathrm{id}}$ (Identität),${\displaystyle (x_1{x}_2)(x_3{x}_4)}$,${\displaystyle (x_1{x}_3)(x_2{x}_4)}$ und${\displaystyle (x_1{x}_4)(x_2{x}_3)}$.

Diese Gruppe istisomorph zurKleinschen Vierergruppe.

Alternativ kann die Galoisgruppe auch mit Hilfe einesprimitiven Elementes bestimmt werden. Hier liegt ein Spezialfall vor, denn die Nullstelle${\displaystyle x_1}$ ist – ebenso wie die Nullstelle${\displaystyle x_2,x_3}$ oder${\displaystyle x_4}$ – bereits solch ein primitives Element. Mit

${\displaystyle x_1^2=5+2\sqrt{6}}$,${\displaystyle x_1^3=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}}$ und${\displaystyle x_1^4=49+20\sqrt{6}}$

erhält man die Gleichungen:

${\displaystyle x_1^3-9x_1=2\sqrt{2}}$ und${\displaystyle x_1^3-11x_1=-2\sqrt{3}}$.

Damit lassen sich${\displaystyle \sqrt{2}}$ und${\displaystyle \sqrt{3}}$ als Polynom mit der Variablen${\displaystyle x_1}$ ersetzen:

${\displaystyle \sqrt{2}=\frac{1}{2}(x_1^3-9x_1)}$ und${\displaystyle \sqrt{3}=-\frac{1}{2}(x_1^3-11x_1)}$.

Somit ergeben sich auch die vier Nullstellen als Polynome${\displaystyle p_1,p_2,p_3,p_4}$ mit der Variablen${\displaystyle x_1}$:

${\displaystyle x_1=p_1(x_1)=+x_1}$,

${\displaystyle x_2=p_2(x_1)=+x_1^3-10x_1}$,

${\displaystyle x_3=p_3(x_1)=-x_1^3+10x_1}$,

${\displaystyle x_4=p_4(x_1)=-x_1}$.

Im allgemeinen Fall müssen zu dem primitiven Element das zugehörigeMinimalpolynom sowie dessen weitere Nullstellen bestimmt werden. Bei diesem Beispiel ist jedoch das Minimalpolynom von${\displaystyle x_1}$ das Ausgangspolynom mit den bereits bekannten weiteren Nullstellen${\displaystyle x_2,x_3}$ und${\displaystyle x_4}$. (Zum allgemeinen Vorgehen: sieheBeispiel zum Satz vom primitiven Element.)Ersetzt man nun in den Polynomen${\displaystyle p_1,\cdots ,p_4}$ die Variable${\displaystyle x_1}$ durch${\displaystyle x_2,x_3}$ oder${\displaystyle x_4}$, so ergeben sich wiederum die Nullstellen${\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4}$ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen bilden die Galoisgruppe.^[1]Einsetzen von${\displaystyle x_1}$ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

${\displaystyle p_1(x_1)=x_1,p_2(x_1)=x_2,p_3(x_1)=x_3,p_4(x_1)=x_4⟹{\sigma }_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}$,

${\displaystyle p_1(x_2)=x_2,p_2(x_2)=x_1,p_3(x_2)=x_4,p_4(x_2)=x_3⟹{\sigma }_2:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)}$,

${\displaystyle p_1(x_3)=x_3,p_2(x_3)=x_4,p_3(x_3)=x_1,p_4(x_3)=x_2⟹{\sigma }_3:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_3,x_4,x_1,x_2\right)}$,

${\displaystyle p_1(x_4)=x_4,p_2(x_4)=x_3,p_3(x_4)=x_2,p_4(x_4)=x_1⟹{\sigma }_4:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_4,x_3,x_2,x_1\right)}$.

{${\displaystyle {\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4}$} ist damit die Galoisgruppe des Polynoms${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$.

Die Galoisgruppe eines Polynoms ist in der Regel nicht leicht zu bestimmen. Insbesondere im Standardfall eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten können allerdings genügend genaue numerische Näherungen der Nullstellen dazu verwendet werden, die Galoisgruppe zu berechnen.

Der moderne Ansatz, der aufRichard Dedekind zurückgeht, formuliert die Galoistheorie in der Sprache deralgebraischen Strukturen: Ausgehend von einerKörpererweiterung${\displaystyle L/K}$ definiert man dieGaloisgruppe${\displaystyle \mathrm{Gal}(L/K)}$ als die Gruppe allerKörperautomorphismen von${\displaystyle L}$, welche die Elemente von${\displaystyle K}$ einzeln festhalten.

Dabei ist${\displaystyle L}$ einZerfällungskörper des gegebenen Polynoms, also ein kleinster Erweiterungskörper von${\displaystyle K}$, in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Er heißtnormaler oderGaloisscher Erweiterungskörper von${\displaystyle K}$. DieGaloisgruppe, bestehend aus denjenigen Automorphismen von${\displaystyle L}$, die den Unterkörper${\displaystyle K}$ elementweise fest lassen, lässt damit notwendig auch jeden Term fest, dessen Wert ein Element aus${\displaystyle K}$ ist.

Der Bezug zum klassischen Vorgehen von Galois ergibt sich, wenn man einen Automorphismus${\displaystyle \sigma }$ der Galoisgruppe auf eine Nullstelle${\displaystyle \alpha }$ des entsprechenden Polynoms${\displaystyle p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0}$ anwendet:

${\displaystyle p(\alpha )={\alpha }^n+a_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_0=0}$.

${\displaystyle p(\sigma (\alpha ))=(\sigma (\alpha ){)}^n+a_{n-1}(\sigma (\alpha ){)}^{n-1}+\cdots +a_0}$.

Weil${\displaystyle \sigma }$ einKörperhomomorphismus ist und außerdem die Koeffizienten des Polynoms als Elemente des Körpers${\displaystyle K}$ fest lässt, ergibt sich:

${\displaystyle p(\sigma (\alpha ))=\sigma ({\alpha }^n+a_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_0)=\sigma (p(\alpha ))=\sigma (0)=0}$.

Also ist${\displaystyle \sigma (\alpha )}$ ebenfalls eine Nullstelle des Polynoms${\displaystyle p}$. Dies bedeutet, dass der Automorphismus${\displaystyle \sigma }$ die Nullstellen vertauscht. Die Galoisgruppeoperiert somit auf der Menge der Nullstellen des Polynoms und wirkt dort als Permutationsgruppe.

Die Kenntnisse überauflösbare Gruppen in derGruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durchRadikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung${\displaystyle L/K}$ gehört zu einerFaktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihezyklisch von der Ordnung${\displaystyle n}$ ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von${\displaystyle L}$ können als die${\displaystyle n}$-ten Wurzeln eines Elements aus${\displaystyle K}$ aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise${\displaystyle \mathbb{Q}}$) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes${\displaystyle n>4}$ ein Polynom mit Grad${\displaystyle n}$ existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für${\displaystyle n>4}$ diesymmetrische Gruppe${\displaystyle S_n}$ einen einfachen nichtzyklischenNormalteiler enthält.

Wenn${\displaystyle L}$ eine endliche Galoiserweiterung des Körpers${\displaystyle K}$ ist, und${\displaystyle \mathrm{Gal}(L/K)}$ die zugehörige Galoisgruppe, dann ist${\displaystyle L}$galoissch über jedem Zwischenkörper${\displaystyle Z}$, und es existiert eine inklusionsumkehrende Bijektion

Ihre Umkehrabbildung ist gegeben durch${\displaystyle H\mapsto L^H}$, wobei${\displaystyle L^H}$ denFixkörper von${\displaystyle L}$ unter${\displaystyle H}$ bezeichnet.

Normale Körpererweiterungen${\displaystyle M/K}$ entsprechen unter dieser Bijektion Normalteilern von${\displaystyle \mathrm{Gal}(L/K)}$.

Außerdem gilt:

• ${\displaystyle [Z:K]=\frac{|\mathrm{Gal}(L/K)|}{|\mathrm{Gal}(L/Z)|}}$
• ${\displaystyle Z\subset Z^{\prime }\Rightarrow \mathrm{Gal}(L/Z^{\prime })\subset \mathrm{Gal}(L/Z)}$

Eine etwas allgemeinere Formulierung wird im ArtikelGaloisgruppe erläutert.

Für das oben angegebene Beispiel sollen die Elemente der Galoisgruppe nun als Körperautomorphismen bestimmt werden. Die Nullstellen des Polynoms${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$ sind

${\displaystyle x_1=+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_2=+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ,

${\displaystyle x_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ .

DerZerfällungskörper ist somit${\displaystyle \mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3,x_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$. EineBasis für${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ alsVektorraum über${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ist${\displaystyle \{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}}$, d. h. jedes Element aus${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ ist von der Form${\displaystyle a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}}$ mit${\displaystyle a,b,c,d}$ aus${\displaystyle \mathbb{Q}}$. Es handelt sich somit bei${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$ um einealgebraische Körpererweiterung vom Grad 4 über${\displaystyle \mathbb{Q}}$. Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein, ihre Elemente permutieren – wie oben gezeigt – die Nullstellen des Polynoms folgendermaßen:

${\displaystyle {\sigma }_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}$

${\displaystyle {\sigma }_2:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)}$

${\displaystyle {\sigma }_3:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_3,x_4,x_1,x_2\right)}$

${\displaystyle {\sigma }_4:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto \left(x_4,x_3,x_2,x_1\right)}$

${\displaystyle {\sigma }_1}$ (als Permutation) bleibt die Identität, wird nun allerdings zu einem Körperautomorphismus${\displaystyle {\sigma }_1^{\prime }}$ von${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$:

${\displaystyle {\sigma }_1^{\prime }:a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mapsto a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}}$.

Man sieht, dass unter${\displaystyle {\sigma }_2}$ bei der Permutation der vier Nullstellen stets${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle -\sqrt{3}}$ vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus${\displaystyle {\sigma }_2^{\prime }}$ lautet somit:

${\displaystyle {\sigma }_2^{\prime }:a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mapsto a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}}$.

Dabei bleibt der Körper${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ elementweise fest. Entsprechendes gilt bei${\displaystyle {\sigma }_3}$ für${\displaystyle \sqrt{2}}$ und${\displaystyle -\sqrt{2}}$. Unter${\displaystyle {\sigma }_4}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind:

${\displaystyle {\sigma }_3^{\prime }:a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mapsto a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6}}$  mit dem Fixkörper ${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ und

${\displaystyle {\sigma }_4^{\prime }:a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mapsto a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}}$  mit dem Fixkörper ${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{6})}$.

${\displaystyle {\sigma }_2^{\prime }}$,${\displaystyle {\sigma }_3^{\prime }}$ und${\displaystyle {\sigma }_4^{\prime }}$ sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von${\displaystyle {\sigma }_2^{\prime }}$ und${\displaystyle {\sigma }_3^{\prime }}$ ergibt${\displaystyle {\sigma }_4^{\prime }}$, damit ist die Galoisgruppe isomorph zurKleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$,${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ und${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{6})}$ die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})}$. Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über${\displaystyle \mathbb{Q}}$.

Im Falle eines Polynoms, das zu einem normalen oder Galoisschen Körper gehört, ist die Bestimmung der Galoisgruppe auch mit Hilfe derMatrizenrechnung möglich.

Ist ein Polynom${\displaystyle f(x)}$ vom Grade${\displaystyle n}$ irreduzibel über${\displaystyle \mathbb{Q}}$ und die Gleichung${\displaystyle f(x)=0}$ normal^[2] über${\displaystyle \mathbb{Q}}$, so gilt für jede Nullstelle${\displaystyle x_i}$${\displaystyle \left(i=1,\dots ,n\right)}$: Die Elemente${\displaystyle 1,x_i,x_i^2,\dots ,x_i^{n-1}}$ bilden einelinear unabhängige Basis des Erweiterungskörpers, der aus${\displaystyle \mathbb{Q}}$ durch Adjunktion dieser Nullstelle entsteht^[3]. Sind die Nullstellen${\displaystyle x_i}$ bekannt, so kann man auch ihre Potenzen${\displaystyle x_i^2,\dots ,x_i^{n-1}}$ ermitteln. Stellt man diese in Matrixform bezüglich einer gemeinsamen Basis dar, so lässt sich damit die Automorphismengruppe direkt berechnen.

Für das oben angegebene, über${\displaystyle \mathbb{Q}}$ irreduzible und normale Polynom${\displaystyle {\left(x^2-5\right)}^2-24}$ mit den Nullstellen${\displaystyle x_1,\dots ,x_4}$ erhält man

${\displaystyle x_1^2=5+2\sqrt{6}}$,${\displaystyle x_1^3=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}}$

${\displaystyle x_2^2=5-2\sqrt{6}}$,${\displaystyle x_2^3=11\sqrt{2}-9\sqrt{3}}$

${\displaystyle x_3^2=x_2^2=5-2\sqrt{6}}$,${\displaystyle x_3^3=-x_2^3=-11\sqrt{2}+9\sqrt{3}}$

${\displaystyle x_4^2=x_1^2=5+2\sqrt{6}}$,${\displaystyle x_4^3=-x_1^3=-11\sqrt{2}-9\sqrt{3}}$

Alle Potenzen sindLinearkombinationen von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$. Diese sind linear unabhängig, daher wählt man${\displaystyle \{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}}$ als gemeinsame Basis. Mit ihrer Hilfe erzeugt man nun Matrizen${\displaystyle M_{x_i}\left(i=1,\dots ,4\right)}$, deren Zeilenvektoren der Reihe nach die Elemente${\displaystyle 1,x_i,x_i^2,x_i^3}$ jeweils in Abhängigkeit von den Elementen der gemeinsamen Basis darstellen.

  (die Zeilen stellen${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x_1}$,${\displaystyle x_1^2}$ und${\displaystyle x_1^3}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

  (die Zeilen stellen${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x_2}$,${\displaystyle x_2^2}$ und${\displaystyle x_2^3}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

  (die Zeilen stellen${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x_3}$,${\displaystyle x_3^2}$ und${\displaystyle x_3^3}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

  (die Zeilen stellen${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x_4}$,${\displaystyle x_4^2}$ und${\displaystyle x_4^3}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

Die Matrizen${\displaystyle M_{x_i}}$ haben wegen der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen vollenRang und sind daher invertierbar. Jede Transformation${\displaystyle A_{x_i,x_j}}$ einer Matrix${\displaystyle M_{x_i}}$ in eine andere Matrix${\displaystyle M_{x_j}}$ stellt einen Automorphismus des Erweiterungskörpers dar. Die${\displaystyle A_{x_i,x_j}}$ sind Lösungen der Gleichungen${\displaystyle M_{x_i}\cdot A_{x_i,x_j}=M_{x_j}}$, wegen der Invertierbarkeit der${\displaystyle M_{x_i}}$ gilt${\displaystyle A_{x_i,x_j}=M_{x_i}^{-1}\cdot M_{x_j}}$. Um die Automorphismengruppe zu ermitteln, genügt es, eine der Matrizen${\displaystyle M_{x_i}}$ zu invertieren und dieseInverse mit den anderen Matrizen zu multiplizieren. Denn für ein festes${\displaystyle M_{x_i}^{-1}}$ sind dieseMatrizenprodukte alle verschieden und ihre Anzahl stimmt mit der Anzahl der Automorphismen des Erweiterungskörpers überein.

Wegen${\displaystyle \sqrt{2}=-\frac{9}{2}{x}_1+\frac{1}{2}{x}_1^3}$ ,${\displaystyle \sqrt{3}=\frac{11}{2}{x}_1-\frac{1}{2}{x}_1^3}$ und${\displaystyle \sqrt{6}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{2}{x}_1^2}$ ist

  (die Zeilen stellen${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x_1}$,${\displaystyle x_1^2}$ und${\displaystyle x_1^3}$ dar).

Damit ergeben sich:

${\displaystyle A_{x_1,x_1}=M_{x_1}^{-1}\cdot M_{x_1}=I}$   (Einheitsmatrix, entspricht der identischen Abbildung)

  (die Zeilen stellen jeweils das Bild von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

Durch diesen Automorphismus geht${\displaystyle \sqrt{3}}$ in${\displaystyle -\sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in${\displaystyle -\sqrt{6}}$ über. Invariant bleibt${\displaystyle \sqrt{2}}$, somit ist${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$ der zugehörige Fixkörper. Wegen${\displaystyle A_{x_1,x_2}^2=I}$ gehört zu ihm die Untergruppe${\displaystyle \{I,A_{x_1,x_2}\}}$.

  (die Zeilen stellen jeweils das Bild von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

Durch diesen Automorphismus geht${\displaystyle \sqrt{2}}$ in${\displaystyle -\sqrt{2}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in${\displaystyle -\sqrt{6}}$ über. Invariant bleibt${\displaystyle \sqrt{3}}$, somit ist${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{3})}$ der zugehörige Fixkörper. Wegen${\displaystyle A_{x_1,x_3}^2=I}$ gehört zu ihm die Untergruppe${\displaystyle \{I,A_{x_1,x_3}\}}$.

  (die Zeilen stellen jeweils das Bild von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ in Abhängigkeit von${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \sqrt{2}}$,${\displaystyle \sqrt{3}}$ und${\displaystyle \sqrt{6}}$ dar)

Durch diesen Automorphismus geht${\displaystyle \sqrt{2}}$ in${\displaystyle -\sqrt{2}}$ und${\displaystyle \sqrt{3}}$ in${\displaystyle -\sqrt{3}}$ über. Invariant bleibt${\displaystyle \sqrt{6}}$, somit ist${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{6})}$ der zugehörige Fixkörper. Wegen${\displaystyle A_{x_1,x_4}^2=I}$ gehört zu ihm die Untergruppe${\displaystyle \{I,A_{x_1,x_4}\}}$.

Wegen${\displaystyle A_{x_1,x_2}^2=A_{x_1,x_3}^2=A_{x_1,x_4}^2=I}$ ist auch die Isomorphie der Automorphismengruppe zur Kleinschen Vierergruppe unmittelbar ersichtlich. Ansonsten kann man die Gruppenstruktur anhand derVerknüpfungstafel oder anhand derOrdnungen der Gruppenelemente ermitteln.

Das dargestellte Verfahren zeigt sehr konkret, wie die Nullstellen des Polynoms und die Vektorraumeigenschaften des zugehörigen Erweiterungskörpers zusammenhängen. Die erforderlichen Berechnungen von Potenzen und Matrizen können mit Hilfe von Computerprogrammen durchgeführt werden. Zudem sind, wie man am obigen Beispiel sieht, Invarianten der Automorphismen und damit Fixkörper einfach zu bestimmen.

DerKroneckersche Satz zu Galoiserweiterungen desKörpers derrationalen Zahlen${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ist einer der klassischen Sätze des MathematikersLeopold Kronecker und gilt als einer derschönsten Sätze deralgebraischen Zahlentheorie. Der Satz besagt:^[4][5]

Jede Galoiserweiterung${\displaystyle L/\mathbb{Q}}$ mitabelscherGaloisgruppe${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/\mathbb{Q})}$ ist in einem derKreisteilungskörper${\displaystyle \mathbb{Q}({\zeta }_n)(n\in \mathbb{N})}$ enthalten.

Im Fall einer unendlichen Erweiterung${\displaystyle L/K}$ kann man die Automorphismengruppe${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(L/K)}$ mit der so genanntenKrulltopologie (nachW. Krull) versehen. Ist${\displaystyle L/K}$separabel und normal (also eine Galoiserweiterung), gibt es dann eine natürliche Bijektion zwischen Teilerweiterungen${\displaystyle K\subseteq Z\subseteq L}$ undabgeschlossenen Untergruppen von${\displaystyle \mathrm{Gal}(L/K)}$.

Ist${\displaystyle L/K}$ eine nicht notwendigerweise algebraische unendliche Erweiterung, so gibt es keine derartige allgemeine Theorie mehr: Ist beispielsweise${\displaystyle L}$ ein vollkommener Körper der Charakteristik${\displaystyle p>0}$, so ist durch

${\displaystyle F_p:L\to L,x\mapsto x^p}$

ein Körperautomorphismus definiert, der so genannteFrobeniushomomorphismus. Die von${\displaystyle F_p}$ erzeugte Untergruppe${\displaystyle H}$ von${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\left(L/{\mathbb{F}}_p\right)}$ ist im Allgemeinen »viel« kleiner als die Gruppe der Automorphismen von${\displaystyle L}$, aber es gilt${\displaystyle L^H={\mathbb{F}}_p}$. Ist${\displaystyle L}$ einalgebraischer Abschluss von${\displaystyle {\mathbb{F}}_p}$, so liegt allerdings die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppedicht in${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}\left(\overline{{\mathbb{F}}_p}/{\mathbb{F}}_p\right)}$, das heißt ihrAbschluss ist gleich der Galoisgruppe.

Ist jedoch${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung mit${\displaystyle L^{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)}=K}$ (das impliziert nicht, dass L/K algebraisch und damit insbesondere nicht galoissch ist), so gilt trotzdem noch:${\displaystyle H\mapsto L^H}$ und${\displaystyle M\mapsto \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/M)}$ sind zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge derkompakten Untergruppen von${\displaystyle \mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)}$ und der Menge der Zwischenkörper${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$, bei denen${\displaystyle L}$ galoissch über${\displaystyle M}$ ist.