Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mitBelegen (beispielsweiseEinzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst undgute Belege einfügst.

AlsF-Test wird eine Gruppe vonstatistischen Tests bezeichnet, bei denen die Teststatistik unter derNullhypothese einerF-Verteilung folgt. Im Kontext derRegressionsanalyse wird mit dem F-Test eine Kombination von linearen (Gleichungs-)Hypothesen untersucht. Beim Spezialfall derVarianzanalyse ist mitF-Test ein Test gemeint, mithilfe dessen mit einer gewissenKonfidenz entschieden werden kann, ob zweiStichproben aus unterschiedlichen, normalverteiltenPopulationen sich hinsichtlich ihrerVarianzwesentlich unterscheiden. Er dient damit unter anderem zur generellen Überprüfung von Unterschieden zwischen zwei statistischen Populationen.

Der Test geht zurück auf einen der bekanntesten Statistiker,Ronald Aylmer Fisher (1890–1962).^[1]

DerF-Test ist ein Begriff aus dermathematischen Statistik, er bezeichnet eine Gruppe vonHypothesentests mitF-verteilterTeststatistik. Bei derVarianzanalyse ist mit demF-Test der Test gemeint, der für zwei Stichproben aus unterschiedlichen, normalverteilten Grundgesamtheiten die Unterschiede in den Varianzen prüft.

DerF-Test setzt zwei unterschiedliche normalverteilte Grundgesamtheiten (Gruppen) voraus mit den Parametern${\displaystyle {\mu }_1}$ und${\displaystyle {\sigma }_1^2}$ bzw.${\displaystyle {\mu }_2}$ und${\displaystyle {\sigma }_2^2}$. Es wird vermutet, dass die Varianz in der zweiten Grundgesamtheit (Gruppe) größer sein könnte als die in der ersten Grundgesamtheit. Um dies zu prüfen, wird aus jeder Grundgesamtheit eineZufallsstichprobe gezogen, wobei die Stichprobenumfänge${\displaystyle n_1}$ und${\displaystyle n_2}$ auch unterschiedlich sein dürfen. Die Stichprobenvariablen${\displaystyle X_{1,1},\dots ,X_{1,n_1}}$ der ersten Grundgesamtheit und${\displaystyle X_{2,1},\dots ,X_{2,n_2}}$ der zweiten Grundgesamtheit müssen dabei unabhängig sowohl innerhalb einer Gruppe als auch untereinander sein.

Für den Test derNullhypothese:${\displaystyle H_0:{\sigma }_2^2={\sigma }_1^2}$ gegen dieAlternativhypothese:${\displaystyle H_1:{\sigma }_2^2>{\sigma }_1^2}$ eignet sich derF-Test, dessen Teststatistik der Quotient der geschätztenVarianzen der beiden Stichproben ist:

${\displaystyle F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}=\frac{S_2^2}{S_1^2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{n_2-1}\sum _{i=1}^{n_2}(X_{2,i}-{\overline{X}}_2{)}^2}}{{\displaystyle \frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}(X_{1,i}-{\overline{X}}_1{)}^2}}.}$

Dabei sind${\displaystyle S_1^2}$,${\displaystyle S_2^2}$ dieStichprobenvarianzen und${\displaystyle {\overline{X}}_1}$,${\displaystyle {\overline{X}}_2}$ dieStichprobenmittel innerhalb der beiden Gruppen.

Unter der Gültigkeit der Nullhypothese ist die Teststatistik${\displaystyle F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}}$F-verteilt mit${\displaystyle n_2-1}$Freiheitsgraden im Zähler und${\displaystyle n_1-1}$ im Nenner. Die Nullhypothese wird abgelehnt für zu große Werte der Teststatistik. Man bestimmt dazu denkritischen Wert oder man berechnet denp-Wert des Prüfwerts. Dies geschieht am einfachsten unter Zuhilfenahme einerF-Wert-Tabelle.

Der kritische WertK ergibt sich aus der Bedingung:

${\displaystyle P\left(F(n_2-1,n_1-1)\ge K\mid H_0\right)\le {\alpha }_0,}$

mit${\displaystyle {\alpha }_0}$ dem erwünschtenSignifikanzniveau.

Denp-Wert berechnet man mittels:

${\displaystyle p=P\left(F(n_2-1,n_1-1)\ge f_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}\mid H_0\right),}$

mit${\displaystyle f_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}}$, dem in der Stichprobe gefundenen Wert der Teststatistik${\displaystyle F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}}$.

Hat manK bestimmt, dann lehnt man${\displaystyle H_0}$ ab, falls${\displaystyle f_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}\ge K}$. Hat man den p-Wertp berechnet, lehnt man${\displaystyle H_0}$ ab, falls${\displaystyle p\le {\alpha }_0}$.

Häufig wird für das Signifikanzniveau${\displaystyle {\alpha }_0}$ der Wert 5 % gewählt. Es handelt sich dabei aber nur um eine gängige Konvention, siehe auch den ArtikelStatistische Signifikanz. Allerdings können aus der erhaltenen Wahrscheinlichkeit${\displaystyle P(F\mid H_0)}$ keine direkten Rückschlüsse auf die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Alternativhypothese gezogen werden.

Um eine Entscheidung zu fällen, muss man wissen, welcherVerteilung dieTeststatistik${\displaystyle F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}}$ folgt. Dazu betrachtet man zunächst Zähler und Nenner der Prüfgröße genauer. Beide sind die Summe von quadrierten, um ihren Mittelwert bereinigtennormalverteiltenZufallsvariablen, jeweils dividiert durch die um eins reduzierte Stichprobengröße. Teilt man Zähler und Nenner durch dieVarianz${\displaystyle {\sigma }_1^2={\sigma }_2^2}$ in der Grundgesamtheit, was den Wert des Quotienten nicht verändert, und multipliziert mit dem Faktor${\displaystyle \frac{1}{n_i-1}}$, so folgen beide einerChi-Quadrat-Verteilung und es gilt^[2]

${\displaystyle \frac{S_1^2}{{\sigma }_1^2}\cdot (n_1-1)=\frac{n_1-1}{{\sigma }_1^2}\cdot \frac{1}{n_1-1}\cdot \sum _{i=1}^{n_1}(X_{1,i}-{\overline{X}}_1{)}^2=\sum _{i=1}^{n_1}{\left(\frac{X_{1,i}-\overline{X}}{{\sigma }_1}\right)}^2}$

Ein Unternehmen will die Herstellung eines seiner Produkte auf ein Verfahren umstellen, das bessere Qualität verspricht. Das neue Verfahren wäre zwar teurer, aber sollte eine kleinere Streuung aufweisen. Als Test werden 100 Produkte, hergestellt mit dem neuen Verfahren B, verglichen mit 120 Produkten, die mit der alten Methode A produziert worden sind. Die Produkte B weisen eine Varianz von 80 auf, und die Produkte A eine Varianz von 95. Getestet wird

${\displaystyle H_0:{\sigma }_A={\sigma }_B}$

gegen

${\displaystyle H_1:{\sigma }_A>{\sigma }_B}$

Die Teststatistik hat den Prüfwert:

${\displaystyle f_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{95}{80}=\mathrm{1,187}5}$

Dieser F-Wert stammt unter der Nullhypothese aus einer${\displaystyle F_{(119;99)}}$-Verteilung. Der p-Wert des Stichprobenergebnisses ist also:

${\displaystyle P(F(119;99)\ge \mathrm{1,187}5)\approx \mathrm{0,189.}}$

Die Nullhypothese kann also nicht abgelehnt werden, und somit wird die Produktion nicht auf das neue Verfahren umgestellt. Dabei bleibt die Frage, ob diese Entscheidung gerechtfertigt ist. Was wäre, wenn das neue Verfahren tatsächlich eine kleinere Varianz bewirkt, aber aufgrund der Stichprobe ist dies unentdeckt geblieben? Aber auch wenn die Nullhypothese abgelehnt worden wäre, also ein signifikanter Unterschied zwischen den Varianzen aufgefunden worden wäre, hätte doch der Unterschied unbedeutend klein sein können. Zuerst stellt sich natürlich die Frage, ob der Test im Stande wäre, den Unterschied zu entdecken. Dazu betrachtet man die Teststärke. Das Signifikanzniveau${\displaystyle {\alpha }_0}$ ist auch der Minimalwert der Teststärke. Das führt also nicht weiter. In der Praxis aber würde die Produktion natürlich nur dann umgestellt, wenn eine erhebliche Verbesserung zu erwarten wäre, z. B. eine Abnahme der Standardabweichung um 25 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Test einen solchen Unterschied entdeckt? Das ist genau der Wert der Teststärke für${\displaystyle {\sigma }_B=0,75{\sigma }_A}$. Die Berechnung erfordert zuerst die Berechnung des kritischen Werts${\displaystyle f_{\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}}$. Dazu unterstellen wir${\displaystyle {\alpha }_0=5\mathrm{\%}}$, und lesen aus einer Tabelle ab:

${\displaystyle f_{\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}=\mathrm{1,378.}}$

Es gilt also:

${\displaystyle P(F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}\ge \mathrm{1,378}|H_0)=0,05.}$

Der gesuchte Wert der Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, die erwähnte Abnahme der Standardabweichung zu entdecken, also:

${\displaystyle P(H_0\text{ablehnen}|{\sigma }_B=\frac{3}{4}{\sigma }_A)=}$

${\displaystyle =P(F_{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{e}}\ge f_{\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}|{\sigma }_B=\frac{3}{4}{\sigma }_A)=}$

${\displaystyle =P\left(\frac{S_A^2}{S_B^2}\ge f_{\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}|\frac{{\sigma }_B}{{\sigma }_A}=\frac{3}{4}\right)=}$

${\displaystyle =P\left(\frac{S_A^2/{\sigma }_A^2}{S_B^2/{\sigma }_B^2}\ge (\frac{3}{4}{)}^2{f}_{\mathrm{k}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}}\right)=}$

${\displaystyle =P\left(F(119;99)\ge \mathrm{0,775}\right)=0,91.}$

Das bedeutet: Wenn die Varianz um 25 % oder mehr abnimmt, so wird das in mindestens 91 % der Fälle entdeckt.

Dereinfachen Varianzanalyse liegt ebenfalls derF-Test zugrunde. Hier werden die Quadratsumme der Behandlung und dieResiduenquadratsumme einander gegenübergestellt.

Beim globalenF-Tests (auchOverall-F-Test oderF-Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells) wird geprüft, ob mindestens eine erklärende Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert und das Modell somit als Gesamtes signifikant ist.

• F-Tests sind in der Regel Beispiele fürLikelihood-Quotienten-Tests.

• J. Bortz, C. Schuster:Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 7. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2010,ISBN 978-3-642-12769-4.
• Lothar Sachs:Angewandte Statistik: Anwendung statistischer Methoden. 11. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004,ISBN 3-540-40555-0.

1. ↑Richard G Lomax:An introduction to statistical concepts. Lawrence Erlbaum Associates Publishers, Mahwah, N.J. 2007,S. 205 (archive.org). 
2. ↑Statistik-Nachhilfe.de:F-Test

• Parametrischer Test

• Wikipedia:Belege fehlen