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Atomorbital

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Darstellung unterschiedlicher Orbitale der ersten und zweitenElektronenschale.
Obere Reihe: Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}} der Orbitale als Punktwolken.
Untere Reihe: Darstellung vonIsoflächen von|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}}. Die Isofläche ist jeweils so gewählt, dass sich das Elektron innerhalb des von der Isofläche umschlossenen Volumens mit 90 % Wahrscheinlichkeit aufhält.

EinAtomorbital (zuenglischatomic orbital) ist in denquantenmechanischen Modellen derAtome die räumlicheWellenfunktion eines einzelnenElektrons in einemquantenmechanischen Zustand,[1] meist in einem stationären Zustand. SeinFormelzeichen ist meistφ{\displaystyle \varphi } (kleinesPhi) oderψ{\displaystyle \psi } (kleinesPsi). DasBetragsquadrat|ψ(r→)|2{\displaystyle |\psi ({\vec {r}})|^{2}} alsDichtefunktion wird interpretiert als die räumliche Verteilung derAufenthaltswahrscheinlichkeit, mit der das Elektron am Ortr→=(x,y,z){\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)} gefunden werden kann (Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik). Zusammen mit der Angabe, ob derSpin zu einer festen Achse oder zumBahndrehimpuls des Elektrons parallel oder antiparallel ausgerichtet ist, beschreibt ein Orbital den Elektronenzustand vollständig.[2]

In den älterenAtommodellen nachNiels Bohr (Bohrsches Atommodell, 1913)[3] undArnold Sommerfeld (Bohr-Sommerfeldsches Atommodell, 1916)[4] beschreibt ein Orbital eine genaue, durch dieQuantisierungsregeln ausgewählte Elektronenbahn. Diese Vorstellung wurde in der Quantenmechanik zugunsten einer diffusen Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons aufgegeben. Das quantenmechanische Atomorbital erstreckt sich für gebundene Elektronen vomAtomkern im Zentrum nach außen bis ins Unendliche, wobei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb weniger 0,1 nm typischerweise sehr klein ist und für größere Abständeasymptotisch weiter gegen null geht.[5] Der wahrscheinlichste Abstand vom Atomkern ist für das innerste Orbital gleich dem Radius der 1. Bohrschen Kreisbahn.[6]

Anschaulich stellt man ein Orbital gewöhnlich durch die Oberfläche des kleinstmöglichen Volumens dar, in dessen Inneren sich das Elektron mit großer Wahrscheinlichkeit aufhält.[7] Man erhält damit Körper, die ungefähr der Größe und Form der Atome entsprechen, wie sie sich in chemischenMolekülen,kondensierter Materie und derkinetischen Gastheorie bemerkbar machen.

Die gebräuchlichsten Atomorbitale sind die, die sich für das einzige Elektron des Wasserstoffatoms als Lösungen derSchrödingergleichung desWasserstoffproblems ergeben und 1926 erstmals veröffentlicht wurden. Sie haben verschiedene Formen, die mitψnlml(r→){\displaystyle \psi _{nlm_{l}}({\vec {r}})} bezeichnet werden, wobei der untere Index aus der Hauptquantenzahl n,{\displaystyle n,} der Bahndrehimpulsquantenzahl l{\displaystyle l} und der magnetischen Quantenzahl ml{\displaystyle m_{l}} besteht.[8]

ImOrbitalmodell für Atome mit mehreren Elektronen nimmt man an, dass die Elektronen sich unter Berücksichtigung desPauli-Prinzips auf die Orbitale verteilen.[9] Ein solcher Zustand heißtElektronenkonfiguration und stellt oft eine brauchbareNäherung für die Struktur derAtomhülle dar, obwohl diese durch zusätzliche Elektronenkorrelationen noch komplizierter ist.

Zur Beschreibung von Elektronen in Molekülen werdenMolekülorbitale alsLinearkombination von Atomorbitalen gebildet.[10] Elektronen in Festkörpern werden durch Orbitale beschrieben, die die Form vonBlochwellenfunktionen haben.[11]

In diesem Artikel wird nur auf gebundene Elektronen in Atomen eingegangen. Eine Vereinfachung des Orbitalmodells ist dasSchalenmodell.[12]

Darstellung

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Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte des 1s-Orbitals mithilfe einer (sehr feinen) Punktwolke

Da die WellenfunktionΨ{\displaystyle \Psi } von drei Variablen abhängt und im Allgemeinen komplexe Werte hat, ist eine vollständige grafische Darstellung in einer Abbildung nicht möglich. Häufig zeigen Bilder von Orbitalen eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}}. Dabei wird die Wahrscheinlichkeitsdichte z. B. alsPunktwolke visualisiert: Viele dicht liegende Punkte deuten große Wahrscheinlichkeitsdichte an, während in Gebieten geringer Wahrscheinlichkeitsdichte wenige Punkte eingezeichnet werden.[7] Da die Wahrscheinlichkeitsdichte sich im Prinzip ins Unendliche erstreckt, lässt sich keine äußere Begrenzung des Orbitals angeben. Stattdessen kann manIsoflächen gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte zeichnen, die durch

const=|Ψ(r→)|2{\displaystyle {\text{const}}=|\Psi ({\vec {r}})|^{2}}

definiert sind. Häufig wird die Konstante so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in dem von der Isofläche umschlossenen Raum zu finden, 90 % beträgt. Durch Abtasten verschiedener Winkelθ,ϕ{\displaystyle \theta ,\phi } erfährt man etwas über die Form der Isofläche und somit etwas über die „Form des Orbitals“. Wie vom Wasserstoffatom bekannt ist, haben die EigenfunktionenΨ(r→){\displaystyle \Psi ({\vec {r}})} derstationären SchrödingergleichungHΨ(r→)=EΨ(r→){\displaystyle H\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})} einen RadialanteilRnl(r){\displaystyle R_{nl}(r)} und einen WinkelanteilYlm(θ,ϕ){\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}:[8]

Ψ(r→)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ){\displaystyle \Psi ({\vec {r}})=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}

Da die Winkelabhängigkeit durch eine universelle KugelflächenfunktionYlm(θ,ϕ){\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} gegeben ist, steckt die jeweils spezifische Information im RadialanteilRnl(r){\displaystyle R_{nl}(r)}, der als reellwertige Funktion einer reellen Variablen grafisch dargestellt werden kann.[13]

Nicht selten wird bei der Darstellung einer Isofläche von|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}} die Fläche entsprechend demkomplexen Argument vonΨ(r→){\displaystyle \Psi ({\vec {r}})} koloriert (wie in dem Bild des p-Orbitals).

Eine einfache Art der schematischen Darstellung der Besetzung von Atomorbitalen ist diePauling-Schreibweise.

Klassifikation

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Atomorbitale können durch drei Quantenzahlenn,l,ml{\displaystyle n,l,m_{l}} festgelegt werden und bieten dann Platz für zwei Elektronen mit entgegengesetztemSpin. Alternativ können Atomorbitale durch vierQuantenzahlenn,l,j,mj{\displaystyle n,l,j,m_{j}} festgelegt werden und bieten dann Platz für nur jeweils ein Elektron.

Hauptquantenzahln: Schale

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Die Hauptquantenzahln=1,2,3…{\displaystyle n=1,2,3\dotsc } bezeichnet dieSchale (Bezeichnung auch K-Schale, L-Schale, M-Schale …), zu der das Orbital gehört.[14] Im Bohrschen Atommodell gibtn{\displaystyle n} dasEnergieniveau an, beginnend mit dem tiefsten, demGrundzustandn=1.{\displaystyle n=1.}

Als ungefähre Regel gilt: Je größern{\displaystyle n}, desto geringer dieBindungsenergie des Elektrons und damit desto größer die Wahrscheinlichkeit, das Elektron weiter entfernt vom Atomkern zu finden. Das gilt auch für Atome mit mehreren Elektronen. Bei Wechselwirkungen zwischen Atomen, die sich nahe kommen, (wieStößen von Gasmolekülen, Raumerfüllung in kondensierter Materie,chemischen Bindungen) spielen deshalb die Elektronen mit der größten Hauptquantenzahl die wichtigste Rolle (die Elektronen derValenzschale).[15]

Die Anzahl der(nlml){\displaystyle (nlm_{l})}-Orbitale in einer Schale ergibt sich zun2.{\displaystyle n^{2}.}[16] Unter Berücksichtigung desPauli-Prinzips kann die Schale mit maximal2⋅n2{\displaystyle 2\cdot n^{2}} Elektronen besetzt werden, dann ist sieabgeschlossen. Die entsprechenden Atome gehören zu denEdelgasen.[15]

Neben- oder Bahndrehimpuls-Quantenzahll

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Form

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Die Neben- oder Bahndrehimpulsquantenzahll=0,1,2…,(n−1){\displaystyle l=0,1,2\dotsc ,(n-1)} innerhalb einer Schale beschreibt den Betrag|l→|=ℏ⋅l(l+1){\displaystyle |{\vec {l}}|=\hbar \cdot {\sqrt {l(l+1)}}} desBahndrehimpulses des Elektrons.[17] Mit der Quantenzahlml{\displaystyle m_{l}} zusammen wird damit die winkelabhängige „Form“ des Orbitals festgelegt. Sie ist für alle Hauptquantenzahlen (beachten>l{\displaystyle n>l}) dieselbe.

Statt der Ziffern0, 1, 2 … wird die Nebenquantenzahl in der Literatur meist durch die Buchstabens, p, d, f … bezeichnet, abgeleitet von den ursprünglich gebrauchten Bezeichnungen„sharp, principal, diffuse, fundamental“ für die korrespondierendenSpektrallinien;[18] diese konkrete Bedeutung ist seit langem unwesentlich geworden:

pz{\displaystyle p_{z}}-Orbitald{\displaystyle d}-Orbitale4p{\displaystyle 4p}-Orbital
Vereinfachte Form eines p-Orbitals(l=1){\displaystyle (l=1)}.
Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion. Dargestellt ist eine Isofläche von|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}}.		Vereinfachte Formen der verschiedenen d-Orbitale (jeweilsl=2{\displaystyle l=2}). Für die jeweiligen Orbitale ist eine Isofläche der Wahrscheinlichkeitsdichte|Ψ(r→)|2{\displaystyle |\Psi ({\vec {r}})|^{2}} dargestellt.Form eines 4p-Orbitals(l=1,mx=0){\displaystyle (l=1,\,m_{x}=0)}.
Die Färbung steht für das Vorzeichen der Wellenfunktion.
Nameehemalige BedeutungNebenquantenzahlFormAnzahl2l+1{\displaystyle 2l+1}
s-Orbitalsharpl=0{\displaystyle \,l=0}kugelsymmetrisch01
p-Orbitalprincipall=1{\displaystyle \,l=1}hantelförmig0003 A2
d-Orbitaldiffusel=2{\displaystyle \,l=2}gekreuzte Doppelhantel05
f-Orbitalfundamentall=3{\displaystyle \,l=3}rosettenförmig07
g-Orbital A1(alphabetische Fortsetzung)l=4{\displaystyle \,l=4}rosettenförmig09
h-Orbital A1(alphabetische Fortsetzung)l=5{\displaystyle \,l=5}rosettenförmig11

Anmerkungen:

A1 
Kann alsangeregter Zustand vorkommen. Für denGrundzustand wird es theoretisch erst für Atome ab derOrdnungszahl 121 erwartet.
A2 
Entsprechend den drei Raumachsen.

Die Orbitale charakterisieren streng genommen nur die stationärenElektronen-Wellen in Systemen mit nur einem Elektron (wie z. B.Wasserstoffatom H,Heliumion He+,Lithiumion Li2+ usw.). Da die Form der Orbitale auch in Mehrelektronensystemen in etwa erhalten bleibt, reicht ihre Kenntnis aus, um viele qualitative Fragen zur chemischen Bindung und zum Aufbau von Stoffen zu beantworten.

Dabei ist zu beachten, dass die in der Literatur dargestellten Orbitale zuweilennicht dieEigenzustände zur magnetischen Quantenzahlml{\displaystyle m_{l}} der z-Komponente desDrehimpulsoperatorsl^z{\displaystyle {\hat {l}}_{z}} sind. Z. B. wird von den p-Orbitalen nur der eine Eigenzustand für denEigenwertml=0{\displaystyle m_{l}{\mathord {=}}0} dargestellt und als pz bezeichnet. Die mit px und py bezeichneten Orbitale sind jedochnicht die entsprechenden Eigenzustände fürml=±1,{\displaystyle m_{l}=\pm 1,} sondern sind derenSuperpositionen.[19] Sie sind Eigenzustände zu den Operatorenl^x{\displaystyle {\hat {l}}_{x}} bzw.l^y,{\displaystyle {\hat {l}}_{y},} jeweils zumx,y=0,{\displaystyle m_{x,y}{\mathord {=}}0,} die aber nicht mitl^z{\displaystyle {\hat {l}}_{z}} kommutieren. Für die Schlussfolgerungen ist das kein Problem, solange die entsprechenden Wellenfunktionenorthogonal sind.

Unterschale

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Je größerl{\displaystyle l}, desto größer ist bei festemn{\displaystyle n} die mittlere Entfernung des Elektrons vom Atomkern:

  • Beil=0{\displaystyle l=0} ist das Orbital kugelförmig und hat auch beir=0{\displaystyle r=0}, also im Kern, eine nichtverschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
  • Der Maximalwertl=n−1{\displaystyle l=n-1} entspricht der Bohrschen Kreisbahn, hier konzentriert sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei dem im Bohrschen Modell berechneten Radius.[20]

Da bei Atomen mit mehreren Elektronen dieinneren Elektronen die anziehendeKernladungabschirmen, verringert sich die Bindungsenergie der äußeren Elektronen.[21] Da die mittleren Kernabstände von der Nebenquantenzahl abhängen, ergeben sich zum gleichenn{\displaystyle n} je nach Nebenquantenzahl verschiedene Energieniveaus innerhalb derselben Schale. Diese werden auch alsUnterschalen derHauptschale (zu festemn{\displaystyle n}) bezeichnet.[22]

Die Anzahl der Unterschalen je Schale ist gleich der Hauptquantenzahln{\displaystyle n}:

Pro Unterschale gibt es2l+1{\displaystyle 2l+1} Orbitale (jeweils mit anderer Magnetquantenzahlml{\displaystyle m_{l}}, s. folgenden Abschnitt), was auf insgesamtn2{\displaystyle n^{2}} Orbitale pro Schale führt.

Magnetquantenzahlml: Neigung des Drehimpulsvektors

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Die Magnetquantenzahl

ml=−l,−(l−1),…,0,…,(l−1),l{\displaystyle m_{l}=-l,-(l-1),\dotsc ,0,\dotsc ,(l-1),l}

gibt die z-Komponentemlℏ{\displaystyle m_{l}\hbar } des Bahndrehimpulsvektors gegenüber einer (frei gewählten) z-Achse an. Das entspricht anschaulich einem Neigungswinkel

cos⁡ϑ=mll(l+1).{\displaystyle \cos \vartheta ={\frac {m_{l}}{\sqrt {l(l+1)}}}.}

Dass bei gegebeneml{\displaystyle l} genau2l+1{\displaystyle 2l+1} verschiedene Werte möglich sind, wird alsRichtungsquantelung bezeichnet.

Wenn kein äußeres Feld anliegt, haben die2l+1{\displaystyle 2l+1} einzelnen Orbitale einer Unterschale gleiche Energie. Dagegen spaltet imMagnetfeld die Energie innerhalb der Unterschale in2l+1{\displaystyle 2l+1} äquidistante Werte auf (Zeeman-Effekt), d. h., jedes einzelne Orbital entspricht dann einem separaten Energieniveau.

Magnetische Spinquantenzahlms

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Bei den leichteren Atomen braucht man denElektronenspin nur in der Form zu berücksichtigen, dass jedes Orbitalψnlml{\displaystyle \psi _{nlm_{l}}} von genau einemElektronenpaar besetzt werden kann, dessen zwei Elektronen nach dem Pauli-Prinzip entgegengesetzte magnetische Spinquantenzahlen aufweisen (ms=±12{\displaystyle m_{s}=\pm {\tfrac {1}{2}}}).

Gesamtdrehimpulsj und magnetische Quantenzahlmj

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Zu den schweren Atomen hin wird dieSpin-Bahn-Wechselwirkung stärker. Sie bewirkt die Aufspaltung der Energie einer Unterschale mit bestimmtenn>1,l>0{\displaystyle n>1,l>0} in zwei Unterschalen, je nach Wert des Gesamtdrehimpulsesj=l±12.{\displaystyle j=l\pm {\tfrac {1}{2}}.} Die magnetische Quantenzahlmj=−j,−(j−1),…,+j{\displaystyle m_{j}=-j,-(j-1),\dotsc ,+j} durchläuft2j+1{\displaystyle 2j+1} Werte. Jedes dieser Orbitale kann von einem Elektron besetzt werden, sodass die Gesamtzahl der Plätze gleich bleibt. In der Bezeichnung wird der Wert fürj{\displaystyle j} als unterer Index an das Symbol fürnl{\displaystyle nl} angefügt, z. B.2p3/2.{\displaystyle 2p_{3/2}.}

Quantentheorie

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Hauptartikel:Wasserstoffproblem

Aus der nichtrelativistischen Quantentheorie ergeben sich die Orbitale wie folgt: Die Wechselwirkung zwischen Elektron und Atomkern wird durch dasCoulombpotential beschrieben, der Atomkern als fix angenommen. DerHamiltonoperator für dasEin-Elektron-System ist

H^=p^22m+V(r){\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(r)}

mit dem Potential

V(r)=Zer{\displaystyle V(r)={\frac {Ze}{r}}}.

Da der Hamiltonoperator mit dem Drehimpulsoperator kommutiert, bildenH^,{\displaystyle {\hat {H}},}l^2{\displaystyle {\hat {l}}^{2}} undl^z{\displaystyle {\hat {l}}_{z}} einvollständiges System kommutierender Observablen. Zu diesen drei Operatoren gibt es also gemeinsame Eigenzustände, die durch die drei zugehörigen Quantenzahlenn,l,ml{\displaystyle n,l,m_{l}} bestimmt sind.

Die Schrödingergleichung

H^⋅ψn,l,ml(r,ϑ,ϕ)=En,l,ml⋅ψn,l,ml(r,ϑ,ϕ){\displaystyle {\hat {H}}\cdot \psi _{n,l,m_{l}}(r,\vartheta ,\phi )=E_{n,l,m_{l}}\cdot \psi _{n,l,m_{l}}(r,\vartheta ,\phi )}

lässt sich in einen radius- und einen winkelabhängigen Teil zerlegen. Die Eigenfunktionenψn,l,ml{\displaystyle \psi _{n,l,m_{l}}} sind das Produkt aus einerKugelflächenfunktionYlml(ϑ,φ){\displaystyle Y_{lm_{l}}(\vartheta ,\varphi )} (Eigenfunktion des Drehimpulsoperators) und einer radialen FunktionΦnl(r):{\displaystyle \Phi _{nl}(r)\colon }

ψn,l,ml(r,ϑ,ϕ)=Ylml(ϑ,φ)⋅Φnl(r){\displaystyle \psi _{n,l,m_{l}}(r,\vartheta ,\phi )=Y_{lm_{l}}(\vartheta ,\varphi )\cdot \Phi _{nl}(r)}

Diese sind bisn=3{\displaystyle n{\mathord {=}}3} in der folgenden Tabelle normiert dargestellt. Dabei bezeichnena0{\displaystyle a_{0}} denBohrschen Radius undZ{\displaystyle Z} die Kernladungszahl.

Die in der folgenden Tabelle dargestellten Orbitale sind alle um die z-Achse ausgerichtet, weil es sich um Eigenfunktionen desl^z{\displaystyle {\hat {l}}_{z}}-Operators handelt. Für Ausrichtung eines Orbitals mit gegebenem Bahndrehimpulsl{\displaystyle l} in eine beliebige andere Richtung muss man Linearkombinationen der Wellenfunktionen zu den verschiedenenml{\displaystyle m_{l}} bilden. Die grafische Darstellung zeigt ein Volumen, auf dessen Oberfläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte|ψ(r→)|2{\displaystyle |\psi ({\vec {r}})|^{2}} konstant ist. Die Farben kodieren die komplexe Phase der Wellenfunktion.

Komplexe Wellenfunktionen inwasserstoffähnlichen Atomen
OrbitalWellenfunktion des OrbitalsForm des Orbitalsψn,l,ml(r→){\displaystyle \psi _{n,l,m_{l}}({\vec {r}})}
(nicht maßstäblich[23])
n{\displaystyle n}l{\displaystyle l}ml{\displaystyle m_{l}}ψn,l,ml(r,θ,ϕ){\displaystyle \psi _{n,l,m_{l}}(r,\theta ,\phi )}
1s10001π(Za0)32e−Zra0{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{a_{0}}}}}1s-Orbital
2s2000142π(Za0)32(2−Zra0)e−Zr2a0{\displaystyle {\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left(2-{\frac {Zr}{a_{0}}}\right)e^{-\textstyle {\frac {Zr}{2a_{0}}}}}2s-Orbital
2p02100142π(Za0)32Zra0e−Zr2a0cos⁡θ{\displaystyle {\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {Zr}{a_{0}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{2a_{0}}}}\cos \theta }2p0-Orbital
2p−1/+121±118π(Za0)32Zra0e−Zr2a0sin⁡θe±iϕ{\displaystyle {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {Zr}{a_{0}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{2a_{0}}}}\sin \theta e^{\pm i\phi }}2p−1-Orbital2p1-Orbital
3s30001813π(Za0)32(27−18Zra0+2Z2r2a02)e−Zr3a0{\displaystyle {\frac {1}{81{\sqrt {3\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left(27-18{\frac {Zr}{a_{0}}}+2{\frac {Z^{2}r^{2}}{a_{0}^{2}}}\right)e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}}3s-Orbital
3p03100281π(Za0)32(6−Zra0)Zra0e−Zr3a0cos⁡θ{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{81{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left(6-{\frac {Zr}{a_{0}}}\right){\frac {Zr}{a_{0}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}\cos \theta }3p0-Orbital
3p−1/+131±1181π(Za0)32(6−Zra0)Zra0e−Zr3a0sin⁡θe±iϕ{\displaystyle {\frac {1}{81{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left(6-{\frac {Zr}{a_{0}}}\right){\frac {Zr}{a_{0}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}\sin \theta e^{\pm i\phi }}3p−1-Orbital3p1-Orbital
3d032001816π(Za0)32Z2r2a02e−Zr3a0(3cos2⁡θ−1){\displaystyle {\frac {1}{81{\sqrt {6\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {Z^{2}r^{2}}{a_{0}^{2}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}(3\cos ^{2}\theta -1)}3d0-Orbital
3d−1/+132±1181π(Za0)32Z2r2a02e−Zr3a0sin⁡θcos⁡θe±iϕ{\displaystyle {\frac {1}{81{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {Z^{2}r^{2}}{a_{0}^{2}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}\sin \theta \cos \theta e^{\pm i\phi }}3d−1-Orbital3d1-Orbital
3d−2/+232±21162π(Za0)32Z2r2a02e−Zr3a0sin2⁡θe±2iϕ{\displaystyle {\frac {1}{162{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {Z}{a_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {Z^{2}r^{2}}{a_{0}^{2}}}e^{-\textstyle {\frac {Zr}{3a_{0}}}}\sin ^{2}\theta e^{\pm 2i\phi }}3d−2-Orbital3d2-Orbital

Natürliches Orbital

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Ein natürliches Orbital ist ein Orbital, das sich nicht als Eigenfunktion eines Hamiltonoperators ergibt, sondern als Eigenfunktion einesEinelektronen-Dichteoperators. Dieser wird aus einem vorgegebenen Vielteilchenzustand gewonnen, der beispielsweise auch Elektronenkorrelationen enthalten kann und damit über den Rahmen eines Einzelteilchenmodells hinausgeht. Die mit den natürlichen Orbitalen gebildeteElektronenkonfiguration ergibt die beste Annäherung an den anfangs gegebenen Vielteilchenzustand, die mit einem Einzelteilchenmodell möglich ist.

Zeitabhängigkeit

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Werden Orbitale als Eigenfunktionen eines Operators definiert, der zu einer Energie korrespondiert, dann sind diese Orbitale im Rahmen des gewählten Modells stationär. Beispiele hierfür sind dieHartree-Fock-Orbitale als Eigenfunktionen des FockoperatorsF^{\displaystyle {\hat {F}}} und dieKohn-Sham-Orbitale, die Eigenfunktionen des Kohn-Sham-Hamilton-Operators sind. Im Gegensatz dazu sind die sogenanntennatürlichen Orbitale, als Eigenfunktionen des reduziertenEinelektronen-Dichteoperators, nicht stationär.

Hybridisierung

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EinigeSymmetrien von chemischen Bindungen scheinen den charakteristischen Formen der Orbitale zu widersprechen. Diese Bindungen werden durch die Bildung vonHybrid-Orbitalen verständlich, die sich bei Anwesenheit von Elektronen mit verschiedenem Bahndrehimpuls bilden können, wenn sie energetisch nahezu gleichwertig sind (siehe oben).

Mehr-Elektronen-Wellenfunktionen

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Die Interpretation von Orbitalen als Wellenfunktionen je eines Elektrons ist nur bei Einzelelektronensystemen eindeutig möglich. Eine Wellenfunktion fürN Elektronen kann dann konstruiert werden, indem manN Orbitale in eineSlater-Determinante einsetzt. Dies garantiert die fürFermionen notwendige Antisymmetrie der gesamten Wellenfunktion, kann aber darüber hinaus gehendeElektronenkorrelationen nicht darstellen. Um auch die Elektron-Elektron-Wechselwirkung näherungsweise zu berücksichtigen, können die Orbitale durchHartree-Fock-, Kohn-Sham-Rechnungen (siehe:Dichtefunktionaltheorie in der Quantenphysik) oder MCSCF-Rechnungen (MCSCF: Multiconfiguration Self Consistent Field) bestimmt werden. Doch stets bleibt gültig, dass anders gewählte Orbitale, wenn sie linear unabhängigeLinearkombinationen der ursprünglichen sind, mathematisch die gleiche Slater-Determinante ergeben, sodass man aus einer gegebenen Mehrteilchen-Wellenfunktion nicht eindeutig zurückschließen kann, welches die einzelnen besetzten Orbitale sind.

Literatur

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Weblinks

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Commons: Orbitale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Orbital – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

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  1. ↑The International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC): IUPAC - atomic orbital (A00500). Abgerufen am 13. Juni 2025 (englisch). 
  2. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 285. 
  3. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 11. 
  4. ↑Hermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 119. 
  5. ↑Steven Weinberg:Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015,ISBN 978-3-86894-263-7,S. 62. 
  6. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 274. 
  7. ↑abHermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 172. 
  8. ↑abFriedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 277. 
  9. ↑Hermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 175. 
  10. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 455. 
  11. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 473. 
  12. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 436. 
  13. ↑Hermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 171. 
  14. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 273. 
  15. ↑abHermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 175. 
  16. ↑Steven Weinberg:Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015,ISBN 978-3-86894-263-7,S. 64. 
  17. ↑Gerhard Franz:Quantenphysik - Quantenmechanik. 1. Auflage. de Gruyter, Oldenbourg 2024,ISBN 978-3-11-123798-5,S. 570. 
  18. ↑Hermann Haken, Hans Christoph Wolf:Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000,ISBN 3-540-67453-5,S. 181. 
  19. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 285. 
  20. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 283. 
  21. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 282. 
  22. ↑Friedhelm Kuypers:Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020,ISBN 978-3-527-41380-5,S. 436. 
  23. ↑Die Darstellung zeigt ein Volumen, auf dessen Oberfläche die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte|ψ(r→)|2{\displaystyle |\psi ({\vec {r}})|^{2}} konstant ist. Die Farben kodieren die komplexe Phase der Wellenfunktion.
Normdaten (Sachbegriff):GND:4143331-2 (GND Explorer,lobid,OGND,AKS) |LCCN:sh85009319
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