EinFünfeck, auchPentagon (vonaltgriechischπεντάγωνοςpentágōnos, deutsch‚fünfeckig‘),^[1] ist einegeometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone) und ist durch fünfPunkte definiert. Sind alle fünf Seiten gleich lang, spricht man von einemgleichseitigen Fünfeck. Sind darüber hinaus alle Winkel an den fünf Ecken gleich groß, dann wird das Fünfeckregulär oderregelmäßig genannt.

Fünfecke können, wie allePolygone, welche keineDreiecke sind, unterteilt werden in:

• überschlagenes Fünfeck: Mindestens zwei Seiten schneiden einander.
• konkaves Fünfeck: Mindestens einInnenwinkel ist größer als 180°. Ein Fünfeck kann maximal zwei derartigeWinkel haben.
• konvexes Fünfeck: Alle Innenwinkel sind kleiner als 180°.
• Sehnenfünfeck: Alle Ecken liegen auf einem gemeinsamenUmkreis.
• regelmäßiges Fünfeck: Alle Seiten sind gleich lang und alleInnenwinkel gleich groß. Regelmäßige Fünfecke können konvex oder überschlagen sein.
• regelmäßiges überschlagenes Fünfeck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer${\displaystyle \left\{5/2\right\}}$ oder zwei${\displaystyle \left\{5/3\right\}}$ übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigenSterne mitSchläfli-Symbolen${\displaystyle \left\{n/k\right\}}$, wobei${\displaystyle n}$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder${\displaystyle k}$-te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur einen regelmäßigen Fünfstrahlstern, dasPentagramm. Da es mit einemgeschlossenen Polygonzug gezeichnet werden kann, ist es auch ein sogenanntesSternpolygon mit dem Schläfli-Symbol${\displaystyle \left\{5/2\right\},\left\{5/3\right\}}$.

• Regelmäßiger Fünfstrahlstern Pentagramm
• 
  Sternpolygon${\displaystyle \left\{5/2\right\},\left\{5/3\right\}}$

DieSumme der Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 540°, also 3 mal 180°, und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel fürPolygone, in der für die Variable${\displaystyle n}$ die Anzahl derEckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall${\displaystyle n=5}$):

${\displaystyle \sum \alpha =(n-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }}$

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbarenFlächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen inDreiecke berechnen lässt.

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Fünfeck
Innenwinkel	${\displaystyle \alpha =\frac{(n-2)}{n}\cdot {180}^{\circ }=\frac{3}{5}\cdot {180}^{\circ }={108}^{\circ }}$ ${\displaystyle \alpha =\arccos \left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)={108}^{\circ }}$
Zentriwinkel	${\displaystyle \mu =\frac{{360}^{\circ }}{n}=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }}$ ${\displaystyle \mu =\arccos \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)={72}^{\circ }}$
Höhe	${\displaystyle h=r_u+r_i=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{5+2\cdot \sqrt{5}}\approx \mathrm{1,539}\cdot a}$
Seitenlänge	${\displaystyle a=2\cdot r_u\cdot \sin \left({36}^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle a=r_u\cdot \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,176}\cdot r_u}$
Umkreisradius	${\displaystyle r_u=\frac{a}{2\cdot \sin ({36}^{\circ })}}$ ${\displaystyle r_u=a\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\approx \mathrm{0,851}\cdot a}$
Inkreisradius	${\displaystyle r_i=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \cot \left({36}^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle r_i=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{0,688}\cdot a}$
Länge derDiagonalen	${\displaystyle d=2\cdot a\cdot \sin \left({54}^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle d=a\cdot \frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{5})\approx \mathrm{1,618}\cdot a}$
Flächeninhalt	${\displaystyle A=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt{25+10\cdot \sqrt{5}}\approx \mathrm{1,720}\cdot a^2}$

DerWinkel, den zwei benachbarteSeiten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einerallgemeinen Formel für regelmäßige Polygone):

${\displaystyle \alpha =\frac{(n-2)}{n}\cdot {180}^{\circ }=\frac{3}{5}\cdot {180}^{\circ }={108}^{\circ }}$

oder auch

${\displaystyle \alpha =\arccos \left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)={108}^{\circ }}$

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien${\displaystyle r_u}$ eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable${\displaystyle n}$ die Zahl${\displaystyle 5}$ einzusetzen.

${\displaystyle \mu =\frac{{360}^{\circ }}{n}=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }}$

oder auch

${\displaystyle \mu =\arccos \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)={72}^{\circ }}$

Das Fünfeck wird in 5 kongruente Dreiecke zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck${\displaystyle AGM}$ mit den Seiten${\displaystyle \frac{a}{2}}$, Umkreisradius${\displaystyle r_u}$, Inkreisradius${\displaystyle r_i}$ sowie den halben Zentriwinkel${\displaystyle \frac{{72}^{\circ }}{2}={36}^{\circ }}$, so gilt

${\displaystyle \sin ({36}^{\circ })=\frac{\frac{a}{2}}{r_u}=\frac{a}{2\cdot r_u}}$,

daraus folgt 

${\displaystyle a=2\cdot r_u\cdot \sin ({36}^{\circ })}$.

Löst man nach${\displaystyle r_u}$ auf, so erhält man

${\displaystyle r_u=\frac{a}{2\cdot \sin ({36}^{\circ })}}$.

Verwendet man für dieSinus-Werte deren Quadratwurzeln, so gilt auch

${\displaystyle a=r_u\cdot \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,176}\cdot r_u}$.

${\displaystyle r_u=a\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\approx \mathrm{0,851}\cdot a}$.

Auch der Inkreisradius${\displaystyle r_i}$ lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks, sprich mit dem rechtwinkligen Dreieck${\displaystyle AGM}$, ermitteln. Es ergibt sich

${\displaystyle \cot \left({36}^{\circ }\right)=\frac{r_i}{\frac{a}{2}}}$,

daraus folgt

${\displaystyle r_i=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \cot \left({36}^{\circ }\right)}$.

Wegen

${\displaystyle \cot \left({36}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{1-{\sin }^2\left({36}^{\circ }\right)}}{\sin \left({36}^{\circ }\right)}}$

und der Quadratwurzel des Sinuswertes

${\displaystyle \sin \left({36}^{\circ }\right)=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$,

eingesetzt in

${\displaystyle \cot \left({36}^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)}^2}}{\left(\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)}=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}}$,

gilt auch

${\displaystyle r_i=a\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{0,688}\cdot a}$.

Im nebenstehenden Bild ist eine von vier möglichen Diagonalen eingezeichnet. Die Diagonale lässt sich aus dem Hilfsdreieck${\displaystyle EFD}$ bestimmen. Es ergibt sich

${\displaystyle \sin \left({54}^{\circ }\right)=\frac{\frac{d}{2}}{a}}$,

daraus folgt

${\displaystyle d=2\cdot a\cdot \sin \left({54}^{\circ }\right)}$.

Verwendet man die Quadratwurzel des Sinus-Wertes

${\displaystyle \sin \left({54}^{\circ }\right)=\frac{1}{4}\cdot (1+\sqrt{5})}$

so gilt auch

${\displaystyle d=2\cdot a\cdot \frac{1}{4}\cdot (1+\sqrt{5})=a\cdot \frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{5})\approx \mathrm{1,618}\cdot a}$.

Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge${\displaystyle a}$ ist das Fünffache des Flächeninhalts eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks${\displaystyle ABM}$.

${\displaystyle A=5\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \tan ({54}^{\circ })\cdot \frac{a}{2}=\frac{5}{4}\cdot a^2\cdot \tan ({54}^{\circ })\approx \mathrm{1,720}\cdot a^2}$

Verwendet man für den Tangens-Wert dessen Quadratwurzel (analogInkreisradius)

${\displaystyle \cot ({36}^{\circ })=\tan ({54}^{\circ })=\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}}$,

so gilt auch

${\displaystyle A=\frac{5}{4}\cdot a^2\cdot \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx \mathrm{1,720}\cdot a^2}$.

Allgemein mit demUmkreisradiusr_u

${\displaystyle A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2\cdot \sqrt{10+2\cdot \sqrt{5}}}$

oder auch

${\displaystyle A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2\cdot \sin {72}^{\circ }\approx \mathrm{2,378}\cdot r_u^2\approx \mathrm{1,720}\cdot a^2}$

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis desGoldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenenVerhältnis zu seinenDiagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d. h.AD verhält sich zuBD wieBD zuCD.^[2]

Der Beweis nutzt dieÄhnlichkeit gewählterDreiecke.

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakteKonstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge (siehe Abbildung).

1. Zeichne einenKreis (spätererUmkreis, blau) mitRadius r um denMittelpunkt M.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechteDurchmesser (rot) ein.
3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius |DE| um Punkt D. Er schneidet dieGerade AM im Punkt F. Die StreckeEF ist dieLänge der Seite.
5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiterenKreisbogen (orange) mit Radius |EF| um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

${\displaystyle \overline{EM}=r\cdot 1}$

${\displaystyle \overline{DM}=r\cdot \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \overline{DE}=r\cdot \sqrt{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=r\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}$

${\displaystyle \overline{MF}=r\cdot \left(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}\right)=r\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

${\displaystyle \overline{EF}=r\cdot \sqrt{1+{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^2}}$

Umformen des Faktors:

${\displaystyle \frac{\overline{EF}}{r}=\sqrt{1+\frac{5-2\cdot \sqrt{5}+1}{4}}=\sqrt{\frac{4}{4}+\frac{5-2\cdot \sqrt{5}+1}{4}}}$

${\displaystyle \frac{\overline{EF}}{r}=\sqrt{\frac{4+5-2\cdot \sqrt{5}+1}{4}}=\sqrt{\frac{10-2\cdot \sqrt{5}}{4}}}$

${\displaystyle \frac{\overline{EF}}{r}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}}$

Das entspricht genau dem Faktor in der obigenFormel für die Seitenlänge.

Die Seiten des nicht eingezeichnetenDreiecks MFE entsprechen exakt den Seitenlängen desregelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und desregelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenenUmkreisradius r.

Die im Folgenden beschriebene Konstruktion (Bild) vom regelmäßigen Fünfeck stammt vonEuklid (3. Jh. v. Chr.). Sie benötigt vergleichsweise etwas mehr Aufwand, denn Euklids Ansatz dazu war dasGoldene Dreieck erster Art.^[3]Zur leichteren Nachvollziehbarkeit wurden in der Darstellung die gleichen Bezeichnungen der Punkte, wie die in den Bildern der Stoicheia (Euklids Elemente) verwendet.

1. Zeichne einen Kreis (den späteren Umkreis) mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt F.
2. Trage den Durchmesser |AG| ein.

Nun folgt die Konstruktion des Goldenen Dreiecks, platzsparend mit der MethodeInnere Teilung nachHeron von Alexandria.

3. Halbiere den Radius |FG| im Punkt I.
4. Errichte eine Senkrechte zum Radius |FG| im Punkt G und bestimme darauf den Punkt J mit |GJ| = |IG|.
5. Verbinde den Punkt F mit J.
6. Ziehe zuerst den Bogen JGK und anschließend den Bogen FLK, somit teilt L den Radius |FG| im Verhältnis desGoldenen Schnitts.
7. Bestimme den Punkt D mit |GD| = |FL|, das Goldene Dreieck FGD ist somit bestimmt.
8. Bestimme den Punkt C mit |GC| = |GD|, dies ergibt die erste Seitenlänge |CD|.
9. Trage die Seitenlänge |CD| einmal ab dem Punkt C und einmal ab dem Punkt D auf den Umkreis ab.
10. Verbinde die Punkte D-E-A-B-C, damit ist das regelmäßige Fünfeck fertiggestellt.

Mit Anwendung desGoldenen Schnitts,äußere Teilung

1. Zeichne eine StreckeAB, welche dieLänge der vorgegebenen Seite des Fünfecks hat.
2. Verlängere die Strecke ab demPunkt A um ca. drei Viertel der StreckeAB.
3. Zeichne einenKreisbogen um den Punkt B mit dem Radius |AB|.
4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius |AB|, es ergibt sich derSchnittpunkt F.
5. Fälle einLot von Punkt F auf die StreckeAB mit Fußpunkt G.
6. Zeichne eineParallele zur StreckeFG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius |GH| bis zur Verlängerung der StreckeAB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius |BJ| bis über die Senkrechte, die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |BA|, bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das regelmäßige Fünfeck.

Wie in derKonstruktion bei gegebenemUmkreis, ist auch hier derGoldene Schnitt der maßgebende Baustein.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt:u für die Konstruktion mit gegebenem Umkreis,s für die Konstruktion mit gegebener Seitenlänge.

1. Seite des Fünfecks:
   ${\displaystyle |\overline{E_u{F}_u}|\widehat{=}|\overline{A_s{B}_s}|}$
2. Radius für den Goldenen Schnitt:
   ${\displaystyle |\overline{D_u{E}_u}|\widehat{=}|\overline{G_s{H}_s}|}$
3. Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:
   ${\displaystyle \mathrm{\Phi }=\frac{\overline{A_u{F}_u}}{\overline{A_u{M}_u}}=\frac{\overline{A_u{M}_u}}{\overline{M_u{F}_u}}=\frac{\overline{B_s{J}_s}}{\overline{A_s{B}_s}}=\frac{\overline{A_s{B}_s}}{\overline{A_s{J}_s}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}}$

Durch Zusammenziehen eines aus einem Papierstreifen geschlungenenÜberhandknotens nimmt dieser die Form eines regulären Fünfecks an.

• 
  Bild 4
  Falten der ersten Faltlinie${\displaystyle {\mathrm{F}}_1}$
• 
  Bild 5
  Falten der zweiten Faltlinie${\displaystyle {\mathrm{F}}_2}$
• 
  Bild 6
  Falten der dritten und letzten Faltlinie${\displaystyle {\mathrm{F}}_3}$, Streifenende${\displaystyle {\mathrm{E}}_2}$ zwischen dem Streifenende${\displaystyle {\mathrm{E}}_1}$ und dem Trapez${\displaystyle {\mathrm{T}}_2}$ durchgezogen

DasDodekaeder ist der einzige derplatonischen Körper, der regelmäßige Fünfecke alsSeitenflächen hat. Auch einigearchimedische Körper enthalten regelmäßige Fünfecke, nämlich dasIkosidodekaeder, derIkosaederstumpf, dasRhombenikosidodekaeder und dasabgeschrägte Dodekaeder.

• 
  Dodekaeder
• 
  Ikosidodekaeder
• 
  Ikosaederstumpf (Fußballkörper)
• 
  Rhombenikosidodekaeder
• 
  Abgeschrägtes Dodekaeder

Sowohl dieOkra als auch dieSternfrucht hat im Querschnitt die Form eines Fünfecks. Die Blüten derPrunkwinde sind ebenfalls fünfeckig ausgebildet. AuchSeesterne undSchlangensterne weisen eine fünfstrahlige Symmetrie auf. Näherungsweise trifft dies auch für die Blätter desAmerikanischen Amberbaums zu. Vielecyclische Verbindungen enthalten eine Fünfringstruktur (etwaCyclopentan,γ-Butyrolacton,Furan,Furanosen etc.).

• 
  Okrafrüchte
• 
  Coccolithophore vonBraarudosphaera bigelowii bestehen aus 12Kalkschuppen mit einer fünfeckigen Grundfläche („Pentalithen“)
• 
  Aufgeschnittene Sternfrucht
• 
  Blattformen des Amerikanischen Amberbaums (Herbstfärbung)

Der Grundriss einer neuzeitlichenbastioniertenFestung hat häufig die Form eines Fünfecks. So sind regelmäßige Fünfecke die vollständig wieder aufgebaute FestungBourtange in den Niederlanden sowieNyenschanz (heute inSt. Petersburg), dieZitadelle von Jaca, dieZitadelle von Pamplona, dieFestung Dömitz, dieZitadelle von Turin, dieZitadelle von ’s-Hertogenbosch, dieZitadelle von Straßburg, dieZitadelle von Amiens, die 1598 abgebrochene Zitadelle vonVitry-le-François vonGirolamo Marini, die verschwundeneZitadelle von Antwerpen, dieZitadelle von Doullens (Picardie, nur in Teilen auf regelmäßigem Grundriss), dieZitadelle von Lille, dasHarburger Schloss, dieZitadelle Vechta, dieZitadelle von Münster, dasFort Nieuw-Amsterdam, dasKastell von Kopenhagen,Tilbury Fort inEssex östlich vonLondon, die Festung auf der InselPoel in Mecklenburg, die HöhenfestungWülzburg beiWeißenburg in Bayern und die FestungGoryōkaku in Japan. Die StadtSathmar im heutigen Rumänien besaß eine fünfeckige Festung.

Den Typ des befestigten Palasts(Palazzo in fortezza) auf regelmäßig fünfeckigem Grundriss verkörpern dieVilla Farnese inCaprarola (Provinz Viterbo, Italien), die SchlösserKrzyżtopór undNowy Wiśnicz sowie die Befestigungen vonSchloss Łańcut in Polen.

Der Hauptsitz desVerteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten inWashington, D.C. wird wegen seines Grundrisses in Form des regelmäßigen FünfecksPentagon genannt.

Jeweils ein Fünfeck liegt Kirchengebäuden wie derCorvinuskirche in Hannover, derDietrich-Bonhoeffer-Kirche (Köln-Lindenthal), der KircheSt. Michael in Detmold (Westfalen), der KircheSt. Markus in Recklinghausen, der KircheMariä Himmelfahrt (Irlbach) oder derWallfahrtskirche Zelená Hora in der Tschechischen Republik zugrunde.

Auf fünfeckigem Querschnitt erheben sich Turmbauten wie der stählerneVerkehrsturm am Potsdamer Platz, der ehemaligeMarinesignalturm Kiel, der aus Holz gefertigteAussichtsturm auf derHohenmirsberger Platte oder dasSiegesdenkmal in Bangkok.

DerFünfeckige Stein ist ein Grenzstein in Niederösterreich.

• 
  Zitadelle von Lille
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  Grundriss desPalazzo Farnese in Caprarola
• 
  Schloss Krzyżtopór
• 
  Festung auf der Insel Poel
• 
  Satellitenaufnahme desPentagons
• 
  Goryōkaku

Jacques Ozanam fertigte im Jahr 1699 einenKupferstich an, in dem er u. a. die Konstruktion eines Fünfeck zeigt, das ein gegebenesgleichseitiges Dreieck umschließt.

Ozanams Ansatz zur Konstruktion des Fünfecks

Der halbeInnenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt${\displaystyle {54}^{\circ }}$. Subtrahiert man von diesem den halben Innenwinkel${\displaystyle {30}^{\circ }}$ des gleichseitigen Dreiecks (Bild 2), ergibt sich der Winkel${\displaystyle OAE={24}^{\circ }}$ zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks.

Die Winkel${\displaystyle {54}^{\circ }}$,${\displaystyle {30}^{\circ }}$ und${\displaystyle {24}^{\circ }}$ haben den gemeinsamen Teiler${\displaystyle 6}$. Dies bedeutet, der halbe Innenwinkel${\displaystyle {54}^{\circ }}$ des Fünfecks setzt sich aus${\displaystyle 9}$ gleichen Teilen zu je${\displaystyle 6^{\circ }}$ zusammen. Daraus folgt: Auf den halben Innenwinkel${\displaystyle {30}^{\circ }}$ des Dreiecks entfallen${\displaystyle 5}$ bzw. auf den Winkel${\displaystyle {24}^{\circ }}$ zwischen dem Schenkel des Dreiecks und der Seite des Fünfecks entfallen${\displaystyle 4}$ solcher Teile.

Vorgehensweise

Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck${\displaystyle ABC}$ (Bild 2), zeichnet man zuerst dessen Höhe${\displaystyle \overline{AD}}$ ein und schlägt anschließend einen Kreisbogen um den Punkt${\displaystyle A}$ mit einem Radius etwas kleiner, als die halbe Höhe${\displaystyle \overline{AD}}$; die Schnittpunkte sind${\displaystyle O}$,${\displaystyle D^{\prime }}$ (Teilungspunkt${\displaystyle 5}$) und${\displaystyle O^{\prime }}$.

Es folgt (Bild 1) die – von Jacques Ozanam nicht dargestellte – Konstruktion des Teilungspunktes${\displaystyle 2}$ für den Winkel${\displaystyle D^{\prime }A2={18}^{\circ }}$. Nach dem Verlängern der Strecke${\displaystyle \overline{AD}}$ über${\displaystyle A}$ hinaus, dem Ziehen einer Geraden durch${\displaystyle A}$, parallel zu${\displaystyle \overline{BC}}$, wird der Kreisbogen${\displaystyle A{O}^{\prime }O}$ zu einem Kreis um${\displaystyle A}$ ergänzt; Schnittpunkte sind${\displaystyle S}$ und${\displaystyle D^{″}}$. Anschließend halbiert man den Radius${\displaystyle |\overline{A{D}^{″}}|}$ in${\displaystyle R}$ und zieht einen Kreis um${\displaystyle R}$ mit Radius${\displaystyle |\overline{RS}|}$; Schnittpunkt ist${\displaystyle T}$. Der Kreis um${\displaystyle S}$ mit Radius${\displaystyle |\overline{ST}|}$ liefert den Teilungspunkt${\displaystyle 2}$ sowie den gesuchten Winkel${\displaystyle D^{\prime }A2={18}^{\circ }}$ mithilfe desZentriwinkels${\displaystyle 2AS={72}^{\circ }}$ bzw. der Seitenlänge${\displaystyle |\overline{2S}|}$ eines regelmäßigen Fünfecks. Die Teilungspunkte${\displaystyle 1}$ (mittels der Winkelhalbierenden${\displaystyle wh}$) und${\displaystyle 3}$ sind für die Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Es geht weiter (Bild 2) mit dem Eintragen des Teilungspunktes${\displaystyle 4=N}$ mithilfe eines (nicht eingezeichneten) Kreisbogens um Punkt${\displaystyle 2}$ mit Radius${\displaystyle |\overline{O2}|}$ und dem Ziehen des Kreisbogens um${\displaystyle O}$ mit Radius${\displaystyle |\overline{ON}|}$, bis er den Kreisbogen um${\displaystyle A}$ in${\displaystyle E}$ schneidet; dabei ergibt sich der Winkel${\displaystyle NAE={48}^{\circ }}$. Der Punkt${\displaystyle H}$ wird mithilfe der Sehne${\displaystyle \overline{OE}}$ ab${\displaystyle O^{\prime }}$ markiert. Mit dem nächsten Kreisbogen um${\displaystyle C}$ mit Radius${\displaystyle |\overline{A{D}^{\prime }}|}$ wird der Schnittpunkt${\displaystyle M}$ bestimmt. Das Übertragen des Winkels${\displaystyle NAE={48}^{\circ }}$ mithilfe der Sehne${\displaystyle |EN|}$ auf den Kreisbogen um${\displaystyle C}$ ab${\displaystyle M}$ schließt sich an; Schnittpunkt ist${\displaystyle K}$. EineHalbgerade ab${\displaystyle A}$ durch${\displaystyle E}$ und eine zweite ab${\displaystyle C}$ durch${\displaystyle K}$ schneiden sich im Eckpunkt${\displaystyle F}$ des entstehenden Fünfecks. Auf die gleiche Art und Weise – spiegelbildlich zur Höhe${\displaystyle \overline{AD}}$ – ergibt sich der Eckpunkt${\displaystyle I}$. Mithilfe derMittelsenkrechten der Strecke${\displaystyle \overline{AF}}$ erhält man den Mittelpunkt des Umkreises für das Fünfeck. Nach dem Ziehen des Umkreises werden die Strecken${\displaystyle \overline{FC}}$ und${\displaystyle \overline{IB}}$ bis zum Umkreis verlängert; dabei werden die beiden letzten Eckpunkte${\displaystyle G}$ bzw.${\displaystyle P}$ des Fünfecks generiert. Die abschließende Verbindung des Eckpunktes${\displaystyle G}$ mit${\displaystyle P}$ vollendet das gesuchte Fünfeck.

• Fünfeck nach dem Satz von Mascheroni, allein mit einem Zirkel erstellt
• Parkettierung mit Fünfecken
• Goldener Schnitt

Commons: Regular pentagons – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Commons: Fünfeck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Fünfeck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Beweisarchiv: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien

1. ↑Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.):Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]). 
2. ↑C. Stanley Ogilvy:Unterhaltsame Geometrie. Kapitel 9:Der Goldene Schnitt – 9.1Das Pentagramm. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 1984,ISBN 3-528-28314-9, S. 76–77,doi:10.1007/978-3-663-00104-1_10.
3. ↑Euklid, Übersetzer:Rudolf Haller:Stoicheia (Euklids Elemente). IV.11. In einen Kreis ein gleichseitiges und gleichwinkliges Fünfeck einbeschreiben. Markgröningen 2017 (opera-platonis.de [PDF; abgerufen am 12. Juli 2024]). 

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