Eineeuklidische Relation ist in derMathematik einebinäre Relation, für dieEuklidsAxiom „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“^[1] gilt.

Einebinäre Relation${\displaystyle R}$ auf einerMenge${\displaystyle X}$ heißteuklidisch (oder auchrechts-euklidisch), wenn für beliebige Elemente${\displaystyle a,b,c}$ in${\displaystyle X}$ die folgende Bedingung erfüllt ist: steht${\displaystyle a}$ zu${\displaystyle b}$ und${\displaystyle a}$ zu${\displaystyle c}$ in gleicher Beziehung, so steht auch${\displaystyle b}$ zu${\displaystyle c}$ in dieser Beziehung.^[2] Dies lässt sich auchprädikatenlogisch ausdrücken mit${\displaystyle \mathrm{\forall }a,b,c\in X(aRb\wedge aRc⟹bRc)}$.

Dual dazu heißt eine Relation${\displaystyle R}$ auf${\displaystyle X}$links-euklidisch, wenn für beliebige${\displaystyle a,b,c}$ in${\displaystyle X}$ gilt: stehen sowohl${\displaystyle b}$ als auch${\displaystyle c}$ in Beziehung zu${\displaystyle a}$, dann steht auch${\displaystyle b}$ in Beziehung zu${\displaystyle c}$, formal${\displaystyle \mathrm{\forall }a,b,c\in X(bRa\wedge cRa⟹bRc)}$.

• Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von derTransitivität. Zum Beispiel ist die Relation≤ auf dennatürlichen Zahlen transitiv, doch nicht rechts-euklidisch,^[3] während die durch${\displaystyle xRy:\iff 0\le x\le y+1\le 2}$ definierte Relation${\displaystyle R}$ auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv,^[4] jedoch rechts-euklidisch ist.

• Für einesymmetrische Relation sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B.${\displaystyle xRy}$ definiert durch${\displaystyle y}$=0.

• Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auchreflexiv ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eineÄquivalenzrelation.^[2][5] Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.

• DerBildbereich einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine Teilmenge^[6] ihresUrbildbereichs. DieEinschränkung einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexiv^[7] und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.

• Eine Relation${\displaystyle R}$ ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und${\displaystyle R}$ auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.^[8]

• Eine rechts-euklidische Relation ist stetsquasitransitiv,^[9] ebenso eine links-euklidische Relation.^[10]

• Einekonnexe rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv,^[11] ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.^[10]

• Wenn${\displaystyle X}$ mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation${\displaystyle R}$ auf${\displaystyle X}$ nichtantisymmetrisch sein,^[12] gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf${\displaystyle X}$.^[10] Auf der zweielementigen Menge${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ist z. B. die durch${\displaystyle xRy:\iff y=1}$ definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch;${\displaystyle xRy:\iff x=1}$ ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.

1. ↑Das Buch I derElemente von Euklid enthält einleitend eine axiomatische Grundlegung, in der dieser Grundsatz als 1. Axiom allgemeiner Regeln der Gleichheit aufgeführt ist („Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα“); siehe hierzu W.-D. Geyer:Euklid: Die Elemente – eine Übersicht. Vorlesung über antike Mathematik, SS 2001,S. 3 (PDF; 275 kB).
2. ↑^abRonald Fagin:Reasoning About Knowledge. MIT Press, 2003,ISBN 978-0-262-56200-3,S. 60 (englisch,eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
3. ↑Da z. B.${\displaystyle 0\le 2}$ und${\displaystyle 0\le 1}$ gilt, aber nicht${\displaystyle 2\le 1}$.
4. ↑Da z. B.${\displaystyle 2R1}$ und${\displaystyle 1R0}$ gilt, aber nicht${\displaystyle 2R0}$.
5. ↑Denn aus${\displaystyle xRy}$ und${\displaystyle xRx}$ folgt${\displaystyle yRx}$.
6. ↑Gleichheit von Urbild- und Bildbereich ist nicht notwendig: die Relation${\displaystyle xRy}$ definiert durch${\displaystyle y=min\{x,2\}}$ ist rechts-euklidisch auf den natürlichen Zahlen und ihr Bildbereich${\displaystyle \{0,1,2\}}$ ist eine echte Teilmenge ihres Urbildbereichsℕ.
7. ↑Wenn${\displaystyle y}$ im Bildbereich von${\displaystyle R}$ liegt, dann folgt aus${\displaystyle xRy\wedge xRy}$ für geeignetes${\displaystyle x}$, dass${\displaystyle yRy}$. Dies zeigt auch, dass${\displaystyle y}$ im Urbildbereich von${\displaystyle R}$ liegt.
8. ↑Die "${\displaystyle \Rightarrow }$"-Richtung folgt aus dem vorherigen Absatz. — Für die "${\displaystyle \Leftarrow }$"-Richtung nimm an, dass${\displaystyle aRb}$ und${\displaystyle aRc}$ gelten, dann liegen${\displaystyle a,b,c}$ im Urbild- und im Bildbereich von${\displaystyle R}$; also folgt${\displaystyle bRc}$ wegen Symmetrie und Transitivität. Die links-euklidische Eigenschaft von${\displaystyle R}$ folgt analog.
9. ↑Wenn${\displaystyle xRy\wedge \mathrm{\neg }yRx\wedge yRz\wedge \mathrm{\neg }zRy}$ gilt, dann liegen sowohl${\displaystyle y}$ als auch${\displaystyle z}$ im Bildbereich von${\displaystyle R}$. Da${\displaystyle R}$ auf dieser Menge eine Äquivalenz ist, folgt aus${\displaystyle yRz}$ schon der Widerspruch${\displaystyle zRy}$.
10. ↑^abcMit einem analogen Argument, das die Lage von${\displaystyle x}$ und${\displaystyle y}$ im Urbildbereich von${\displaystyle R}$ verwendet.
11. ↑Wenn${\displaystyle xRy\wedge yRz}$ gilt, dann liegen${\displaystyle y}$ und${\displaystyle z}$ im Bildbereich von${\displaystyle R}$. Da${\displaystyle R}$ konnex ist, gilt${\displaystyle xRz}$ oder${\displaystyle zRx}$ oder${\displaystyle x=z}$.
12. ↑Da${\displaystyle R}$ konnex ist, liegen in ihrem Bildbereich mindestens zwei verschiedene Elemente${\displaystyle x}$ und${\displaystyle y}$, für die gilt${\displaystyle xRy\vee yRx}$. Es gilt sogar${\displaystyle xRy\wedge yRx}$. Dies widerspricht der Antisymmetrie.

• Mathematischer Grundbegriff
• Mengenlehre
• Euklid als Namensgeber