In derAlgebra werden Zahlen, deren${\displaystyle n}$-tePotenz die Zahl 1 ergibt,${\displaystyle n}$-teEinheitswurzeln genannt.

Es sei${\displaystyle R}$ einkommutativer Ring mit Einselement und${\displaystyle n\ge 1}$ einenatürliche Zahl. Ein Element${\displaystyle \zeta \in R}$ heißt einen-te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle {\zeta }^n=1}$
• ${\displaystyle \zeta }$ istNullstelle desPolynoms${\displaystyle X^n-1}$

Die${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln in${\displaystyle R}$ bilden eineUntergruppe dermultiplikativen Gruppe${\displaystyle R^{\times }}$, die oft mit${\displaystyle {\mu }_n(R)}$ bezeichnet wird.

Eine${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel${\displaystyle \zeta }$ heißtprimitiv, falls${\displaystyle {\zeta }^m\ne 1}$ für${\displaystyle m=1,\dots ,n-1}$ gilt.

ImKörper${\displaystyle \mathbb{C}}$ derkomplexen Zahlen sind

${\displaystyle \exp \left(\mathrm{i}\frac{2\pi k}{n}\right)=\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n},k=0,1,\dots ,n-1}$

die${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln, wobei${\displaystyle \mathrm{i}}$ dieimaginäre Einheit ist.
${\displaystyle (}$Insbesondere ist mit${\displaystyle n=4}$ und${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \mathrm{i}={\mathrm{e}}^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{4}}={\mathrm{e}}^{\frac{\pi \mathrm{i}}{2}}}$

eine vierte Einheitswurzel und des Weiteren

${\displaystyle {\mathrm{i}}^{\mathrm{i}}={\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{2}}.)}$

Setzt man

${\displaystyle {\zeta }_n=\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\right)}$,

so ist${\displaystyle {\zeta }_n}$ primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt

${\displaystyle 1,{\zeta }_n,{\zeta }_n^2,\dots ,{\zeta }_n^{n-1}}$.

Ist klar, um welches${\displaystyle n}$ es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen.

Da${\displaystyle 1}$ und mit${\displaystyle {\zeta }_n^i}$ und${\displaystyle {\zeta }_m^j}$ auch${\displaystyle {\zeta }_n^i{\zeta }_m^j={\zeta }_{nm}^{im+jn}}$ Einheitswurzeln sind, ist die Menge${\displaystyle \mu (\mathbb{C})}$ aller Einheitswurzeln eine Gruppe. Die Abbildung

${\displaystyle f:\mathbb{Q}\to \mu (\mathbb{C}),{\displaystyle \frac{k}{n}}\mapsto \exp \left({\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{i}k}{n}}\right)}$

ist surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist${\displaystyle \mathbb{Z}}$. Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu derFaktorgruppe${\displaystyle \mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$.

Die${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln lassen sich in derkomplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf demEinheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken einesregelmäßigen${\displaystyle n}$-Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl${\displaystyle 1}$ ist, denn diese ist für jedes${\displaystyle n\ge 1}$ eine${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel.

Realteil undImaginärteil der Einheitswurzeln${\displaystyle {\zeta }_n^k=x_k+\mathrm{i}{y}_k}$ sind damit die Koordinaten der Ecken des${\displaystyle n}$-Ecks auf dem Kreis, d. h. für${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$ ist

${\displaystyle x_k=\cos (2\pi k/n)=\cos ({360}^{\circ }\cdot k/n)}$    und   ${\displaystyle y_k=\sin (2\pi k/n)=\sin ({360}^{\circ }\cdot k/n)}$.

Mehr siehe unterRadizieren komplexer Zahlen.

Ist${\displaystyle \zeta }$ eine${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel, so gilt

Diese Aussage folgt unmittelbar aus dergeometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage fürCharaktere vonGruppen.

Die zweiten Einheitswurzeln sind

${\displaystyle {\zeta }_1=-1,{\zeta }_2=1}$;

die dritten Einheitswurzeln sind

${\displaystyle {\zeta }_1=-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3},{\zeta }_2=-\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\sqrt{3},{\zeta }_3=1}$;

die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:

${\displaystyle {\zeta }_1=\mathrm{i},{\zeta }_2=-1,{\zeta }_3=-\mathrm{i},{\zeta }_4=1}$.

Aus${\displaystyle 0=1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4}$ folgt

${\displaystyle 0=\frac{1}{{\zeta }^2}+\frac{1}{\zeta }+1+\zeta +{\zeta }^2={\left(\zeta +\frac{1}{\zeta }\right)}^2+\left(\zeta +\frac{1}{\zeta }\right)-1=w^2+w-1}$

für${\displaystyle w=\zeta +\frac{1}{\zeta }=\zeta +{\zeta }^4=2\cos ({72}^{\circ })}$. Lösen dieserquadratischen Gleichung liefert${\displaystyle w=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{5}{4}}}$. Da der Winkel${\displaystyle {72}^{\circ }}$ im 1. Quadranten liegt, ist${\displaystyle w}$ positiv, und damit ist${\displaystyle \cos ({72}^{\circ })=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}$ derRealteil von${\displaystyle \zeta }$. DerImaginärteil ist nach demSatz des Pythagoras${\displaystyle \sin ({72}^{\circ })=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+5}{8}}}$.

Ist${\displaystyle p:=\mathrm{char}(K)\ne 0}$ dieCharakteristik desKörpers${\displaystyle K}$, dann ist${\displaystyle \zeta =1}$ eine${\displaystyle p}$-fache Nullstelle des Polynoms${\displaystyle X^p-1}$. Ist${\displaystyle p}$ nichtTeiler der Ordnung${\displaystyle n}$, dann gelten die folgenden Aussagen auch für Körper mit Primzahlcharakteristik${\displaystyle p}$. Für zusätzliche Eigenschaften der Einheitswurzeln in solchen Körpern sieheEndlicher Körper#Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus.

• Ist${\displaystyle K}$ ein (kommutativer) Körper und${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$, dann bilden die Elemente${\displaystyle \zeta \in K}$ mit${\displaystyle {\zeta }^n=1}$ einezyklische Untergruppe${\displaystyle U}$ dermultiplikativen Gruppe${\displaystyle K^{\times }}$.
• DieGruppenordnung von${\displaystyle U}$ ist stets ein Teiler von${\displaystyle n}$.
• Ist sie gleich${\displaystyle n}$, so sagt man,${\displaystyle K}$ „enthält die${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln“ und nennt${\displaystyle U}$ „die Gruppe der${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln“.
• Eine${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel ist genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzelnerzeugt. DieOrdnung einer primitiven${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzel${\displaystyle {\zeta }_n}$ ist${\displaystyle n}$. Die primitiven${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des${\displaystyle n}$-tenKreisteilungspolynoms.
• Ist${\displaystyle {\zeta }_n}$ eine primitive${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel, dann ist${\displaystyle {\zeta }_n^k}$ eine primitive${\displaystyle \frac{n}{\mathrm{ggT}(k,n)}}$-te Einheitswurzel (größter gemeinsamer Teiler).
• Die Anzahl der primitiven${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln ist${\displaystyle \phi (n)}$ (Eulersche Phi-Funktion).
• Erweiterungen von${\displaystyle \mathbb{Q}}$, die durchAdjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißenKreisteilungskörper.
• Eineendliche multiplikativeUntergruppe${\displaystyle U}$ eines (kommutativen) Körpers${\displaystyle K}$ istzyklisch.

Beweis der letzten Aussage:${\displaystyle U}$ ist eineabelsche Torsionsgruppe. Sie ist also zu einem direkten Produkt

${\displaystyle U=\prod _{p\in \mathbb{P}}{U}_{(p)}}$   mit  ${\displaystyle U_{(p)}:=\left\{u\in U|\mathrm{\exists }i\in \mathbb{N}:u^{p^i}=1\right\}}$

isomorph (${\displaystyle \mathbb{P}}$ := Menge der positiven Primzahlen). Und die${\displaystyle U_{(p)}}$ sind zyklisch, weil die Gruppenelemente der Ordnung${\displaystyle p^i}$ allesamt Nullstellen von${\displaystyle X^{p^i}-1}$ sind und damit Potenzen voneinander. Schließlich ist wegen der Teilerfremdheit von Potenzen verschiedener Primzahlen das direkte Produkt zyklisch.

Imnicht-kommutativenSchiefkörper derQuaternionen${\displaystyle \mathbb{H}}$ hat das Polynom${\displaystyle X^2-1}$ die unendlich vielen Nullstellen

${\displaystyle ϵ={ϵ}_0+{ϵ}_1\mathrm{i}+{ϵ}_2\mathrm{j}+{ϵ}_3\mathrm{k}}$

mit

${\displaystyle {ϵ}_0=0\wedge {ϵ}_1^2+{ϵ}_2^2+{ϵ}_3^2=1}$.

DieQuaternionengruppe ist eine endliche nicht-kommutative Untergruppe der multiplikativen Gruppe${\displaystyle {\mathbb{H}}^{\times }}$. Sie hat die Ordnung 8 und denExponenten 4. Für weitere endliche Untergruppen von${\displaystyle {\mathbb{H}}^{\times }}$ siehe diesen Artikel überendliche Untergruppen der Quaternionen.

• Im Ring${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{2^n+1}=\mathbb{Z}/(2^n+1)\mathbb{Z}}$ der ganzen Zahlen modulo${\displaystyle (2^n+1)}$ ist die Zahl${\displaystyle 2}$ eine primitive${\displaystyle 2n}$-te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt${\displaystyle 2^n=-1}$.
• Im Ring${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{2^n-1}=\mathbb{Z}/(2^n-1)\mathbb{Z}}$ der ganzen Zahlen modulo${\displaystyle (2^n-1)}$ ist die Zahl${\displaystyle 2}$ eine primitive${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für dieComputeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante derschnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl${\displaystyle 2}$ eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.

• Siegfried Bosch:Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2009,ISBN 978-3-540-92811-9, Abschnitt 4.5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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