EinEigenvektor einerAbbildung ist in derlinearen Algebra ein vomNullvektor verschiedenerVektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert, wobei man den Skalierungsfaktor alsEigenwert der Abbildung bezeichnet.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaftenlinearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften einesmathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung vonDavid Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen^[1] und wird alsGermanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter demEnglischen, verwendet.

Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißtspezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalenVektorraums in sich selbst (Endomorphismen), wie sie durch quadratischeMatrizen dargestellt werden.

Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrixähnlich zu einerDiagonalmatrix ist.^[2]

In der englischen Literatur existieren eine Vielzahl an weiteren Begriffen für die Eigenwerte, so werden sie auchenglischcharacteristic roots, latent roots, characteristic values oderenglischproper values genannt.

Ist${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einemKörper${\displaystyle K}$ (in Anwendungen meist der Körper${\displaystyle \mathbb{R}}$ derreellen Zahlen oder der Körper${\displaystyle \mathbb{C}}$ derkomplexen Zahlen) und${\displaystyle f:V\to V}$ eine lineare Abbildung von${\displaystyle V}$ in sich selbst (Endomorphismus), so bezeichnet man alsEigenvektor einen Vektor${\displaystyle v\ne 0}$, der durch${\displaystyle f}$ auf ein Vielfaches${\displaystyle \lambda v}$ von sich selbst mit${\displaystyle \lambda \in K}$ abgebildet wird:

${\displaystyle f(v)=\lambda v}$

Den Faktor${\displaystyle \lambda }$ nennt man dann den zugehörigenEigenwert.

Anders formuliert: Hat für ein${\displaystyle \lambda \in K}$ die Gleichung

${\displaystyle f(v)=\lambda v}$

eine Lösung${\displaystyle v\ne 0}$ (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt${\displaystyle \lambda }$Eigenwert von${\displaystyle f.}$ Jede Lösung${\displaystyle v\ne 0}$ heißtEigenvektor von${\displaystyle f}$ zum Eigenwert${\displaystyle \lambda .}$

Hat der Vektorraum eine endliche Dimension${\displaystyle \dim (V)=n\in \mathbb{N},}$ so kann jeder Endomorphismus${\displaystyle f}$ durch eine quadratische${\displaystyle \left(n\times n\right)}$-Matrix${\displaystyle A}$ beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung

${\displaystyle A\cdot x=\lambda x}$

schreiben, wobei${\displaystyle x}$ hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung${\displaystyle x\ne 0}$ Eigenvektor und${\displaystyle \lambda }$ Eigenwert der Matrix${\displaystyle A.}$

Diese Gleichung kann man auch in der Form

${\displaystyle A\cdot x=\lambda E\cdot x}$

schreiben, wobei${\displaystyle E}$ dieEinheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu

${\displaystyle (A-\lambda E)\cdot x=0}$

oder

${\displaystyle (\lambda E-A)\cdot x=0}$

umformen.

Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hierVerfahren dernumerischen Mathematik zum Einsatz kommen.

Die Gleichung

${\displaystyle (A-\lambda E)\cdot x=0}$

definiert die Eigenwerte und stellt ein homogeneslineares Gleichungssystem dar.
Da${\displaystyle x\ne 0}$ vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn

${\displaystyle det(A-\lambda E)=0}$

gilt. DieseDeterminante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um einnormiertes Polynom${\displaystyle n}$-ten Grades in${\displaystyle \lambda .}$ SeineNullstellen, also die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle {\lambda }^n+{\alpha }_{n-1}\cdot {\lambda }^{n-1}+\cdots +{\alpha }_1\cdot \lambda +{\alpha }_0=0}$

über${\displaystyle K}$, sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad${\displaystyle n}$ höchstens${\displaystyle n}$ Nullstellen hat, gibt es auch höchstens${\displaystyle n}$ Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau${\displaystyle n}$ Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad${\displaystyle n}$ eine ungerade Zahl und gilt${\displaystyle K=\mathbb{R}}$, dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell.

Ist${\displaystyle \lambda }$ ein Eigenwert der linearen Abbildung${\displaystyle f:V\to V}$, dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor denEigenraum zum Eigenwert${\displaystyle \lambda }$. Der Eigenraum ist durch

${\displaystyle \mathrm{Eig}(f,\lambda ):=\{v\in V\mid f(v)=\lambda \cdot v\}}$

definiert. Falls dieDimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einenlinear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert${\displaystyle \lambda }$ gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwertausgeartet (früher auchentartet).^[3] DieDimension des Eigenraums${\displaystyle \mathrm{Eig}\left(f,\lambda \right)}$ wird alsgeometrische Vielfachheit von${\displaystyle \lambda }$ bezeichnet.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist derHauptraum.

Für den Rest dieses Abschnittes sei${\displaystyle K=\mathbb{C}.}$ Dann besitzt jede${\displaystyle \left(n\times n\right)\text{-Matrix }A}$ genau${\displaystyle n}$ Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung${\displaystyle {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k}$ derverschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten${\displaystyle {\mu }_1,\dots ,{\mu }_k.}$ Dabei ist${\displaystyle 1\le k\le n}$ und${\displaystyle \sum _{i=1}^k{\mu }_i=n.}$

Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man alsalgebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit${\displaystyle 1}$ werden alseinfacher Eigenwert bezeichnet.

Die Menge der Eigenwerte wirdSpektrum genannt und${\displaystyle \sigma \left(A\right)}$ geschrieben, sodass also

${\displaystyle \sigma (A)=\{\lambda \in \mathbb{C}|\mathrm{\exists }x\ne 0:Ax=\lambda x\}}$

gilt. AlsSpektralradius bezeichnet man den Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts.

Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seinergeometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einemhalbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.

Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man dieJordansche Normalform der Matrix erstellen.

Es sei die quadratische Matrix

gegeben. Subtraktion der mit${\displaystyle \lambda }$ multipliziertenEinheitsmatrix von${\displaystyle A}$ ergibt:

Ausrechnen derDeterminante dieser Matrix (mit Hilfe derRegel von Sarrus) liefert:

Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms, man erhält:

${\displaystyle {\lambda }_{1,2}=2,{\lambda }_3=-2}$

Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durchnumerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie

• derQR-Algorithmus,
• derQZ-Algorithmus,
• derQS-Algorithmus und
• dieDeflation

sowie spezielle Methoden fürsymmetrische Matrizen als auch Methoden fürdünnbesetzte große Matrizen wie

• diePotenzmethode,
• dieinverse Iteration,
• dasLanczos-Verfahren,
• dieUnterraumiteration,
• dasArnoldi-Verfahren,
• dasJacobi-Verfahren und
• dasJacobi-Davidson-Verfahren.

Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. B. mithilfe

• derMatrixnorm und
• derGerschgorin-Kreise,

die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.

• DieFolded Spectrum Method liefert mit jedem Durchlauf einen Eigenvektor, der jedoch auch aus der Mitte des Spektrums stammen kann.

Für einen Eigenwert${\displaystyle \lambda }$ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

${\displaystyle (A-\lambda E)\cdot x=0}$

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen denEigenraum auf, dessen Dimension alsgeometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert${\displaystyle \lambda }$ der geometrischen Vielfachheit${\displaystyle \mu }$ lassen sich also${\displaystyle \mu }$ linear unabhängige Eigenvektoren${\displaystyle x_1,\dots ,x_{\mu }}$ finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu${\displaystyle \lambda }$ gleich der Menge derLinearkombinationen von${\displaystyle x_1,\dots ,x_{\mu }}$ ist. Die Menge${\displaystyle \left\{x_1,\dots ,x_{\mu }\right\}}$ heißt dann eineBasis aus Eigenvektoren des zum Eigenwert${\displaystyle \lambda }$ gehörenden Eigenraumes.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahllinear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.

Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix

Die Eigenwerte${\displaystyle {\lambda }_{1,2}=2,{\lambda }_3=-2}$ wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannteEigenraum) zum Eigenwert${\displaystyle \lambda =2}$ berechnet:

Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

Bringt man die Matrix auf obereDreiecksform, so erhält man:

Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).

Obwohl der Eigenwert${\displaystyle \lambda =2}$ eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiertnur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert isteindimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nichtdiagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in dieJordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt mangeneralisierte Eigenvektoren oderHauptvektoren.

Für den Eigenwert${\displaystyle \lambda =-2}$ geht man genauso vor:

Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform:

Hier ist die Lösung der Vektor wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.

• Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Wenn${\displaystyle x}$ ein Eigenvektor ist, dann ist auch${\displaystyle q\cdot x}$ mit beliebigem${\displaystyle q}$ Eigenvektor.
• Ist${\displaystyle \lambda }$ ein Eigenwert derinvertierbaren Matrix${\displaystyle A}$ zum Eigenvektor${\displaystyle x,}$ so ist${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ Eigenwert derinversen Matrix von${\displaystyle A}$ zum Eigenvektor${\displaystyle x.}$
• Sind${\displaystyle {\lambda }_i}$ die Eigenwerte der Matrix${\displaystyle A\in {\mathbb{C}}^{n\times n},}$ so gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\mathrm{Spur}A\text{und}\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=\det A,}$

wobei bei mehrfachen Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist. Hier bezeichnet${\displaystyle \mathrm{Spur}A}$ dieSpur der Matrix${\displaystyle A}$.

• DasSpektrum einer Matrix${\displaystyle A}$ ist gleich dem Spektrum dertransponierten Matrix, also:

${\displaystyle \sigma (A)=\sigma \left(A^{\mathrm{\top }}\right).}$

Analog gilt

${\displaystyle \sigma \left(A^{\ast }\right)=\sigma \left(\overline{A}\right)=\overline{\sigma (A)}.}$

• Jede quadratische Matrix${\displaystyle A}$ über dem Körper${\displaystyle \mathbb{C}}$ der komplexen Zahlen istähnlich zu einer oberenDreiecksmatrix${\displaystyle B.}$ Die Eigenwerte von${\displaystyle A}$ sind genau die Diagonaleinträge der Matrix${\displaystyle B.}$
• Eigenvektoren zum Eigenwert${\displaystyle 1}$ sind Fixpunkte in der Abbildungsgeometrie. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist die Drehung eines Balls: Da sich der Radius des Balls hierbei nicht verändert, ist der Eigenwert der Drehung${\displaystyle 1}$ und die Drehachse ist ein Eigenvektor mit zwei Fixpunkten auf der Balloberfläche. Nach demSatz vom Fußball gibt es somit zwei Punkte auf einem Fußball, die sich vor dem Anstoß zur ersten und zur zweiten Halbzeit am jeweils gleichen Punkt des Raumes befinden.

Speziell für reellesymmetrische oder komplexehermitesche Matrizen gilt:

• Alle Eigenwerte sind stetsreell. Im Rahmen derHauptachsentransformation werden die Eigenwerte auchHauptwerte genannt.^[4] Ist die Matrix zudempositiv definit, so sind auch ihre Eigenwerte echt positiv.
• Es lässt sich immer eineOrthonormalbasis aus Eigenvektoren angeben.^[5] Dies ist eine direkte Folgerung aus demSpektralsatz. Insbesondere sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwertenzueinander orthogonal.
• Die aus denVorzeichen der Eigenwerte ermittelteSignatur der Matrix bleibt nach demTrägheitssatz von Sylvester unterKongruenztransformationen erhalten.
• Über denRayleigh-Quotient lässt sich zu jedem Eigenvektor der zugehörige Eigenwert ermitteln. Mit demSatz von Courant-Fischer lässt sich jeder Eigenwert als minimaler beziehungsweise maximaler Rayleigh-Quotient darstellen.
• Für dasBetragsquadrat der Komponenten${\displaystyle v_{ij}}$ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren${\displaystyle v_i}$ der Matrix${\displaystyle A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}}$ gilt mit deren Eigenwerten${\displaystyle {\lambda }_i}$ und den Eigenwerten${\displaystyle {\mu }_{jk}}$ derHauptuntermatrizen${\displaystyle M_j}$ von${\displaystyle A}$:^[6]

${\displaystyle |v_{ij}{|}^2\prod _{k=1;k\ne i}^n({\lambda }_i-{\lambda }_k)=\prod _{k=1}^{n-1}({\lambda }_i-{\mu }_{jk})}$

Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein System gemeinsamer Eigenvektoren zu finden:

Kommutieren zwei Matrizen${\displaystyle A}$ und${\displaystyle B}$ (gilt also${\displaystyle AB=BA}$) und ist${\displaystyle \lambda }$ ein nichtentarteter Eigenwert (d. h., der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von${\displaystyle A}$ mit Eigenvektor${\displaystyle v,}$ so gilt

${\displaystyle ABv=BAv=\lambda Bv.}$

Auch${\displaystyle Bv}$ ist also ein Eigenvektor von${\displaystyle A}$ zum Eigenwert${\displaystyle \lambda .}$ Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss${\displaystyle Bv}$ ein Vielfaches von${\displaystyle v}$ sein. Das bedeutet, dass${\displaystyle v}$ auch ein Eigenvektor der Matrix${\displaystyle B}$ ist.

Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind.

Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden.^[7] Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d. h. mit einer Basistransformation für alle Matrizen)diagonalisiert werden.

Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch alsRechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff desLinkseigenvektors durch die Gleichung

${\displaystyle x^{\ast }\cdot A=\lambda x^{\ast }.}$

Linkseigenvektoren finden sich z. B. in der Stochastik bei der Berechnung vonstationären Verteilungen vonMarkow-Ketten mittels einerÜbergangsmatrix.

Wegen${\displaystyle (x^{\ast }\cdot A{)}^{\ast }=A^{\ast }\cdot x}$ sind die Linkseigenvektoren von${\displaystyle A}$ gerade die Rechtseigenvektoren deradjungierten Matrix${\displaystyle A^{\ast }.}$Beinormalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen.

Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen${\displaystyle A}$ und${\displaystyle B}$ und die Gleichung

${\displaystyle A\cdot x=\lambda B\cdot x}$

untersuchen. Diesesverallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet.

In derFunktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearenFunktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man vonlinearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper${\displaystyle K}$ mit${\displaystyle \dim (V)=\mathrm{\infty }}$ und${\displaystyle A}$ ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man${\displaystyle A}$ ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen${\displaystyle \lambda \in K,}$ für die der Operator${\displaystyle A-\lambda \mathrm{Id}}$ nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur${\displaystyle n\in \mathbb{N}}$ verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen OperatorenHäufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung${\displaystyle Ax-\lambda \mathrm{Id}x=0}$ für ein${\displaystyle x\ne 0}$ lösen, nennt man wie in der linearen AlgebraEigenwerte. Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man dasPunktspektrum von${\displaystyle A.}$ Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.

Sei${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset \mathbb{R}}$ offen. Dann besitzt derAbleitungsoperator${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}:C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },\mathbb{C})\to C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega },\mathbb{C})}$ ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet man nämlich für alle${\displaystyle x\in \mathrm{\Omega }}$ die Gleichung

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)=\lambda f(x)}$

und wählt${\displaystyle f(x)=e^{\lambda x},}$ dann sieht man, dass die Gleichung${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}}$ für alle${\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}}$ erfüllt ist. Also ist jedes${\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}}$ ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion${\displaystyle e^{\lambda x}.}$

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man

• Eigenfrequenzen,Eigenformen und gegebenenfalls auch die Dämpfungscharakteristik eines schwingungsfähigen Systems,
• dieKnicklast eines Knickstabs (sieheBalkentheorie),
• dasBeulversagen (eine Art des Materialversagens durch unzureichendeSteifigkeit) eines leeren Rohres unter Außendruck,
• die Hauptkomponenten einerPunktmenge (z. B. zur Kompression von Bildern oder zur Bestimmung von Faktoren in der Psychologie:Hauptkomponentenanalyse),
• dieHauptspannungen in derFestigkeitslehre (Umrechnung der Spannungen in ein Koordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt),
• dieHauptstreckungen in der Festigkeitslehre als Eigenwerte derDeformationstensoren,
• die Hauptträgheitsachsen einesasymmetrischen Querschnitts (um einenBalken – Träger oder Ähnliches – in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen),
• vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils spezifisch definiertenStabilität eines Systems zu tun haben,
• denPageRank einer Homepage als Eigenvektor derGoogle-Matrix, dort gewertet als ein Maß für die relative Wichtigkeit einer Homepage im Internet,
• die Grenzverteilungen vonMarkow-Ketten mit diskretem Zustandsraum und diskreten Zeitschritten, die durch einestochastische Matrix beschrieben werden (die Linkseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind diestationären Verteilungen, die Rechtseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind dieAbsorptionswahrscheinlichkeiten),
• die Drehachse und damit die Fixpunkte, von denen derSatz vom Fußball spricht.
• dieEigengesichter in der automatisierten Gesichtserkennung.
• dasSpektrum eines Graphens (SpektraleGraphentheorie)

Eigenwerte spielen in derQuantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. derDrehimpuls werden hier durchOperatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. derHamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretesSpektrum, so kann die Energie nurdiskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einemAtom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekanntenSchrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den PhysikerErwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.

Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von derHeisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert.

• Gerd Fischer:Lineare Algebra. Vieweg-Verlag,ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler:Lineare Algebra. Gruyter,ISBN 3-11-017963-6.
• Dietlinde Lau:Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer,ISBN 3-540-72364-1.
• Gilbert Strang:Introduction to Linear Algebra. Cambridge University Press,ISBN 0-9802327-1-6.
• Günter Gramlich:Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag,ISBN 3-446-22122-0.

Wikiversity: Vorlesung über Eigenwerte und Eigenvektoren – Kursmaterialien

• Kapitel: Eigenwerte und Eigenvektoren. (PDF) Archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 19. November 2012; abgerufen am 30. Oktober 2014.  Von Joachim Weickert (Universität des Saarlandes):Mathematical Image Analysis Group. (PDF; 66 kB).
• MIT OpenCourseWare:Eigenvectors and Eigenvalues. Video der Vorlesung „Lineare Algebra“ von Gilbert Strang, MIT, 2000.
• Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst:Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: a Practical Guide. SIAM, Philadelphia, 2000. Sehr umfangreiches englisches Werk.
• Interaktive Applets – von der Uni Stuttgart. Spiegelung, Projektion, Scherung, Drehung.

1. ↑FAQL.de, abgerufen am 10. Juni 2013, zitiert David Hilberts ArtikelGrundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, veröffentlicht 1904 in denNachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse.
2. ↑Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler:Lineare Algebra. 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2003,ISBN 3-11-017963-6,S. 121. 
3. ↑Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz, Margarita Kraus:Moderne mathematische Methoden der Physik. Springer, 2010,ISBN 978-3-642-05184-5,S. 87 (google.com [abgerufen am 29. Februar 2012]). 
4. ↑Reiner Kreissig, Ulrich Benedix:Höhere technische Mechanik: Lehr- und Übungsbuch. Springer DE, 2002,ISBN 978-3-7091-6135-7,S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑Symmetrische Abbildungen und Matrizen. Archiviert vom Original am 18. Juli 2012; abgerufen am 2. Februar 2023 (Theorem 10.75). 
6. ↑P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (englisch). 
7. ↑A. W. Joshi:Matrices and tensors in physics. New Age International, 1995,ISBN 978-81-224-0563-7,S. 117 (google.com [abgerufen am 29. Februar 2012]). 

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