DerDrehimpuls oderDrall, veraltet:Impulsmoment, ist eine grundlegendephysikalische Größe, die den rotatorischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts um einen Bezugspunkt herum beschreibt. Damit steht der Drehimpuls für das, was in der Umgangssprache unter „Drall“ oder „Schwung“ verstanden wird. SeinFormelzeichen ist. In derTechnischen Mechanik wird er bei Bezugspunkt meist mit bezeichnet. Die Einheit imInternationalen Einheitensystem SI istkg·m2·s−1 =N·m·s.
Die vom Fahrstrahl des Teilchens m auf seinem Weg von A nach B pro Zeiteinheit überstrichene Fläche (blaue Dreiecke) ist proportional zu seinem Drehimpuls um C.
Der Drehimpuls hat mit demFlächensatz eine anschauliche Interpretation: Er ist das Produkt aus der Masse des (punktförmig gedachten) Teilchens und der vektoriellenFlächengeschwindigkeit seinesFahrstrahls um den Bezugspunkt, multipliziert mit zwei[1] (siehe nebenstehende Abbildung). Die radiale Geschwindigkeitskomponente – in Richtung zum Bezugspunkt oder von ihm weg – trägt nicht zum Drehimpuls bei, siehe auch den AbschnittEbene Bahn, Flächensatz..
Der Drehimpuls ist eineadditivevektorielle Größe, wobei zu beachten ist, dass physikalisch sinnvoll nur Drehimpulse bezüglich desselben Bezugspunkts addiert werden können. Der Gesamtdrehimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Drehimpulse seiner Teile. Sein Betrag ist das Produkt aus Masse, Abstand vom Bezugspunkt und zirkularer Geschwindigkeit um diesen herum, aufsummiert über alle Teilchen des Körpers. Die Richtung des Drehimpulsvektors ist die gemittelte spezifische vektorielle Flächengeschwindigkeit seiner Teilchen um den Bezugspunkt. Der Drehimpuls ist daher meist nicht parallel zurWinkelgeschwindigkeit des Körpers. Er lässt sich in zwei Komponenten zerlegen: denBahndrehimpuls und denEigendrehimpuls, siehe AbschnittBahn- und Eigendrehimpuls.[2][3.1] Anders als derImpuls ist der Drehimpuls einPseudovektor, das heißt, er ändert seine Richtung bei einerRaumspiegelung nicht, kehrt sich jedoch bei bloßer Umkehrung der Bewegungsrichtung ebenfalls um, siehe AbschnittVerschiebung, Drehung, Spiegelung..
Für jeden fest gewählten Bezugspunkt gilt dieDrehimpulserhaltung, das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keineDrehmomente um den Bezugspunkt wirken, behält seinen Gesamtdrehimpuls um nach Betrag und Richtung bei, siehe AbschnittDrallsatz. Die Drehimpulserhaltung gilt auch für den Bahn- und Eigendrehimpuls.[4.1] Üben zwei ungebundene Objekte wechselseitige Momente aufeinander aus, z. B. bei einem exzentrischenStoßvorgang, ändern sich ihre beiden Drehimpulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre Summe erhalten bleibt und das bezüglich jedes Bezugspunkts.
definiert.[1.1] Üblicherweise wählt man das Koordinatensystem so, dass der Bezugspunkt am Koordinatenursprung liegt:. Dann schreibt man vereinfacht:
Den Gesamtdrehimpuls eines Systems aus mehreren Massenpunkten erhält man, indem man die Drehimpulse aller seiner Teilchen zu diesem Bezugspunkt bildet und addiert:
Hier müssen die Einzelmassen so klein sein, dass die Summe ihrer Eigendrehimpulse gegenüber dem Gesamtdrehimpuls vernachlässigbar ist. Genauer ist jedenfalls dasVolumenintegral:
Mit derRechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden.
Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebeneKreisbewegung um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat den Betrag
größeremAbstand dieser Masse zur Drehachse jedoch in quadratischem Verhältnis (bei fester Winkelgeschwindigkeit).
Die Reihenfolge der Faktoren in ist eine Konvention. Somit zeigt der Drehimpulsvektor in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt dieKorkenzieherregel oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt derDaumen in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild).
Während Ortsvektor und Impuls bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte unverändert.
Betrag und Richtung des Drehimpulses einerPunktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts um ändert sich der Vektor jedes Ortes in und der Drehimpuls in
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.
Bei einerPunktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: Der Drehimpuls gehört zur Klasse derPseudovektoren.
Der Satz, dass das Drehmoment gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ist, ist in zwei allgemeinen Fällen gültig:[3.1]
Bei einem festen Bezugspunkt im Inertialsystem
Beim sich beliebig bewegenden Massenmittelpunkt, selbst wenn das Objekt beschleunigt wird
Daher ist es sinnvoll, den Drehimpuls entsprechend zu zerlegen:
Bahndrehimpuls
Das ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der zirkularen Bewegung des Massenmittelpunkts um den Bezugspunkt entsteht. Beispielsweise dominiert bei einem Satelliten, der die Erde umkreist oder einem Asteroiden, der an der Erde vorbeifliegt, der Bahndrehimpuls bezüglich des Erdmittelpunkts.
Eigendrehimpuls
Das ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der Rotation des Körpers um seinen Massenmittelpunkt entsteht. Er ist beachtlich beiKreiselbewegungen wie bei derPirouette eines Menschen.
Formal schreibt sich beim starren Körper der Drehimpuls um den Ursprung so:
Die Aufteilung in Bahn- und Eigendrehimpuls gestattet auch diekinetische Energie des Körpers in die translatorische Energie des Massenmittelpunkts und seineRotationsenergie um diesen herum aufzuteilen.
Im Allgemeinen zeigen Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls nicht in die gleiche Richtung[5] – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigtUnwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. DerDschanibekow-Effekt zeigt eine erstaunliche Konsequenz davon, und genauere Analysen sind unterEuler-Kreisel undPoinsotsche Konstruktion zu finden. Letztere benutzt dasEnergieellipsoid, an dem gezeigt werden kann, dass Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit immer einen spitzen Winkel einschließen.
Nur bei Rotation um eine derHauptträgheitsachsen des Körpers sind Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt.
Die Hauptträgheitsachsen sind dieEigenvektoren desTrägheitstensors, dersymmetrisch ist. Deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal. Mit dem Trägheitstensor kann
Die Dynamik eines Körpers lässt sich mit dem Drehimpuls ähnlich der Dynamik des Massenpunkts formulieren:[7]
Trägheitsprinzip
Der kräftefreie Körper bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt).
Drallsatz (Aktionsprinzip)
Unter dem Einfluss von Drehmomenten bewegt sich der Körper derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).
Der Drallsatz oder Eulersche Drehimpulssatz drückt sich formal als
aus. Um den Drehimpuls eines Körpers um den Punkt zu ändern, muss ein äußeres Drehmoment an ihm angreifen.[1] Im wichtigen Spezialfall der momentenfreien Bewegung zeigt sich, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.
Experiment Drehimpulserhaltung (Video, 18 s): Auf das dreh- und schwenkbare Rad wird ein Drehmoment ausgeübt, wodurch das Teilsystem „Rad“ einen horizontalen Drehimpuls erhält. Dann ändert der drehbar sitzende Experimentator den Drehimpulsvektor dieses Teilsystems, indem er die Achse des Rades (und damit dessen Drehimpulsrichtung) aus der Horizontalen in die Senkrechte (roter Pfeil) dreht. Die Drehimpulserhaltung in vertikaler Richtung erzwingt, dass der Experimentator samt Drehstuhl einen gleich großen Drehimpuls in entgegengesetzter Richtung annimmt (gelber Pfeil). Der seit Anfang im Gesamtsystem vorhandene vertikale Drehimpuls mit dem Wert bleibt somit erhalten.[8][3.2]
Die Drehimpulserhaltung bedeutet, dass der Drehimpuls eineErhaltungsgröße ist. Das Video untermauert die Drehimpulserhaltung, die sich im Alltag auch beiSpielkreiseln, beimDiskuswurf und beimPirouetteneffekt zeigt. Sie bedeutet insbesondere, dass die inneren Kräfte eines Körpers momentenfrei sind, was dasBoltzmann-Axiom ausdrückt.
Genauer bleibt der Gesamt-Drehimpuls in einemisolierten physikalischen System nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems bestehen. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. dieAtomkerne, dieMoleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Daszweite Keplersche Gesetz, nach dem sich ein Planet auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, ist Ausdruck der Drehimpulserhaltung.
Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt keinDrehmoment auf das System ausüben. In einem homogenenSchwerefeld gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenenSchwerpunkt. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpulses erhalten.
Die Drehimpulserhaltung gilt für beliebige physikalische Systeme (z. B. auchelektromagnetische Felder) und kann mithilfe desNoether-Theorems daraus hergeleitet werden, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung des betrachteten Systems im Raum abhängen.
Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.
Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs
wenn die Masse und die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn der Drehimpuls zeitunabhängig ist, wenn also gilt, dann erfüllt jeder Bahnpunkt dieEbenengleichung
Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.
Dann gilt das zweiteKeplersche Gesetz (auch Flächensatz genannt): Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen, d. h., seineFlächengeschwindigkeit ist konstant.
Denn in einer kurzen Zeit ändert sich der Fahrstrahl um und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche
Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich dieFlächengeschwindigkeit konstant. Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf Situationen verallgemeinern, in denen sich der Drehimpuls ändert, sieheFlächensatz..
Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie erhalten ist. Denn in relativistischer Physik gilt
Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehePolarkoordinaten/Geschwindigkeit),. ImKreuzprodukt mit fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält:
Der Drehimpuls eines Körpers ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten:
Bei dieser Summe über die Bahndrehimpulse von Teilmassen müssen diese so klein gewählt werden, dass die Summe ihrer Eigendrehimpulse gegenüber dem Gesamtdrehimpuls vernachlässigbar ist. Genauer ist jedenfalls die Berechnung mit einemVolumenintegral:
Darin sind
die Massen der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung,
die Massendichte der kontinuierlichen Masseverteilung,
und die Orte und Geschwindigkeiten der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masseverteilung und
das Geschwindigkeitsfeld, das angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich die Masse am Ort bewegt.
Mit Hilfe desMassenmittelpunkts eines Körpers und dessen Ortskoordinate sowie seiner Geschwindigkeit können darauf bezogene Ortskoordinaten und dieWinkelgeschwindigkeiten der Massepunkte definiert werden. Dann lassen sich die Geschwindigkeiten ausdrücken als:
Bei einem starren Körper sind zudem alle Winkelgeschwindigkeiten gleich groß, sieheEindeutigkeit. Damit ergibt sich der Drehimpuls um den Ursprung zu:
bzw.
Hier sind zusätzlich
die Gesamtmasse des Körpers und
derTrägheitstensor des Körpers bezogen auf seinen Massenmittelpunkt.
Dieser Abschnitt bedarf einer grundsätzlichen Überarbeitung:
Belege fehlen, nicht alle Formelzeichen sind erklärt.
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In derRelativitätstheorie kann der Drehimpuls nicht in einen Vierervektor eingebettet werden. Dies wird bereits dadurch offensichtlich, dass unterLorentztransformationen wie transformiert. Dieses Problem wird umgangen, indem derDrehimpulstensor eingeführt wird. Dieser ist definiert als
In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls einequantisierte Größe, die durch denDrehimpulsoperator beschrieben wird. Er ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches derreduzierten Planck-Konstante. Die Ausrichtung des Drehimpulses ist ebenfalls gequantelt. Sie unterliegt derRichtungsquantelung in Bezug auf dieQuantisierungsachse. Zusätzlich zur klassischen Mechanik existiert in der Quantenmechanik derSpin, der sich (fast) wie ein klassischer Eigendrehimpuls verhält. Im Gegensatz zu diesem ist er nicht mit einer räumlichen Bewegung verbunden, sodass in der Quantenmechanik auch Punktteilchen einen Eigendrehimpuls haben können. In der physikalischen Praxis findet eine Begriffsverschiebung zur klassischen Mechanik statt, indem in der Quantenmechanik mit dem Begriff „Eigendrehimpuls“ nur der Spin gemeint ist und der „Bahndrehimpuls“ die klassischen Anteile des Drehimpulses umfasst.
Somit setzt sich der Drehimpulsoperator aus dem aus der klassischen Physik folgendenBahndrehimpulsoperator und demSpinoperator zusammen.
↑ R. Grammel:Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920,DNB451641280,S.17f. (archive.org – „Schwung“ bedeutet Drehimpuls, „Drehstoß“ etwa Drehmoment und „Drehwucht“ Rotationsenergie).
↑F. Klein,A. Sommerfeld:Über die Theorie des Kreisels. Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie. Heft IV. Teubner, Leipzig 1910,S.762 (archive.org).
↑Alfred Recknagel:Physik – Mechanik. Verlag Technik, Berlin 1955,S.217f. (Hier werden mehrere ähnliche Experimente beschrieben.).
