In derPhysik beschreibt dieDispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen demAblauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz,Energie) und denEigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl,Brechungsindex,Ausbreitungsgeschwindigkeit,Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen derKreisfrequenz${\displaystyle \omega }$ und derKreiswellenzahl${\displaystyle k}$. Sie wird aus der linearenWellengleichung durch eineFouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form^[1]

${\displaystyle \omega =\mathrm{\Omega }(k)}$.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional^[2]

${\displaystyle \omega =v_{\text{Phase}}\cdot k}$,

mit der konstantenPhasengeschwindigkeit${\displaystyle v_{\text{Phase}}=\frac{\omega }{k}}$. In diesem Fall gibt eskeineDispersion.

Die Geschwindigkeit einesWellenpakets ist dagegen dieGruppengeschwindigkeit${\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}k}}$ oder im dreidimensionalen Fall^[3]${\displaystyle {\overrightarrow{v}}_{\text{Gruppe}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}\overrightarrow{k}}}$.

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersionnicht auseinanderlaufen, werden alsSolitonen bezeichnet^[4].

Die Dispersionsrelation derOptik als Ausbreitungelektromagnetischer Wellen innichtleitenden Medien^[5] lautet:

${\displaystyle \omega =\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}k=\mathrm{\Omega }(k)}$

mit derPermittivität${\displaystyle \epsilon }$ und derPermeabilität${\displaystyle \mu }$. Die Phasengeschwindigkeit vonLicht in einemMedium beträgt

${\displaystyle v_{\text{Phase}}=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}=\frac{c}{n(\omega )}=c_{\text{M}}}$

mit der derVakuumlichtgeschwindigkeit${\displaystyle c}$. Der (komplexe)Brechungsindex${\displaystyle n}$ tritt in Abhängigkeit der Kreisfrequenz${\displaystyle \omega }$ auf:

${\displaystyle n(\omega )=\sqrt{\frac{\mu }{{\mu }_0}\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}}\text{und }c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}}$

mit der elektrischen Feldkonstante${\displaystyle {\epsilon }_0}$ und dermagnetischen Feldkonstante${\displaystyle {\mu }_0}$. Die Gruppengeschwindigkeit^[6]

${\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}k}=\frac{c}{n(\omega )+\omega \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega }}}$

kann je nach Vorzeichen von${\displaystyle \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega }}$ deutlich von der Phasengeschwindigkeit abweichen. Normale Dispersion liegt für${\displaystyle \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega }>0}$ vor undanomale Dispersion für.

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

${\displaystyle \omega =\frac{E}{\hslash }}$

und dieWellenzahl (bzw. derWellenvektor) mit demImpuls^[7]${\displaystyle p}$

${\displaystyle \overrightarrow{k}=\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash },}$

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen derTeilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung) derMateriewelle, z. B. beifreienElektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

wobei${\displaystyle \hslash }$ diereduzierte Planck-Konstante und${\displaystyle m}$ dieMasse des Teilchens bezeichnet^[8]. Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle eines freien Teilchens beträgt^[9]

${\displaystyle v_{\text{Phase}}=\frac{\omega }{k}=\frac{\hslash k}{2m}}$

und die Gruppengeschwindigkeit^[10]:

${\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}k}=\frac{\hslash k}{m}=2\cdot v_{\text{Phase}}}$

Das Ergebnis erlaubt die klassische Beschreibung des freien Teilchens mit einer minimalen Ortsunschärfe${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$ mit der Geschwindigkeit${\displaystyle v_{\text{Gruppe}}=v=p/m}$ in den Fällen, in denen mit der Impulsunschärfe${\displaystyle \mathrm{\Delta }p=h\mathrm{\Delta }{v}_{\text{Gruppe}}}$ aus derHeisenbergsche Unschärferelation${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge h}$ folgt, dass${\displaystyle \mathrm{\Delta }x\ge h/m\mathrm{\Delta }{v}_{\text{Gruppe}}}$ ist^[11].

In derFestkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl einesTeilchens oderQuasiteilchens angegeben. InFestkörpern wird dabei einerseits denPhononen (Gitterschwingungen desAtomgitters) einePhononen-Dispersionsrelation zugeordnet^[12], andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe derBandstruktur beschrieben wird^[13][14].

In einem Kristall mit periodischer Gitterstruktur kann die Dispersionsrelation für Elektronen durch eine Bandstruktur beschrieben werden^[15]:

${\displaystyle E(\mathbf{k})=E_0+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}=\hslash \omega \text{bzw. }\omega ={\omega }_0+\frac{\hslash k^2}{2m^{\ast }}}$

wobei${\displaystyle m^{\ast }}$ dieeffektive Masse des Elektrons ist.

FürPlasmonen als longitudinale Plasmaschwingungen ist die Dispersionsrelation^[16]:

${\displaystyle \omega =\sqrt{{\omega }_p^2+c^2{k}^2}}$

wobei${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit und${\displaystyle {\omega }_p=4\pi N{e}^2/m_e}$ diePlasmafrequenz ist, gebildet aus derElektronendichte${\displaystyle N}$, derElektronenladung${\displaystyle e}$ und der Elektronenmasse${\displaystyle m_e}$.

Für Meereswellen alsSchwerewellen lautet die Dispersionsrelation nach^[17]

${\displaystyle \omega =\mathrm{\Omega }(k)=\sqrt{gk\tanh (kh)}\text{mit }\tanh (kh)=\frac{1}{2}\frac{{\text{e}}^{kh}-{\text{e}}^{-kh}}{{\text{e}}^{kh}+{\text{e}}^{-kh}}}$

mit derSchwerebeschleunigung${\displaystyle g}$ und der Wassertiefe${\displaystyle h}$. Die Funktion

Für Tiefwasserwellen gilt${\displaystyle kh\gg 1}$ und damit${\displaystyle \tanh (kh)\approx 1}$. Für diese Wellen nähert sich die Dispersionsrelation zu^[18]

${\displaystyle \omega =\sqrt{gk}}$

mit der Schwerebeschleunigung${\displaystyle g}$ und der Wellenzahl${\displaystyle k}$.

Für Seichtwasserwellen der Tiefe${\displaystyle h}$ gilt${\displaystyle kh\ll 1}$ und damit${\displaystyle \tanh (kh)\approx (kh)}$. Für diese Oberflächenwellen beträgt die Dispersionsrelation^[18]

${\displaystyle \omega =\sqrt{gk\tanh (kh)}\approx \sqrt{gkkh}=\sqrt{gh}k}$

mit der Schwerebeschleunigung${\displaystyle g}$ und der Wellenzahl${\displaystyle k}$. Damit sind sowohl die Phasengeschwindigkeit${\displaystyle v_{\mathrm{\Omega }}}$ und die Gruppengeschwindigkeit${\displaystyle v_g}$ konstant:

${\displaystyle v_{\mathrm{\Omega }}=\frac{\omega }{k}=\sqrt{gh}\text{und}{v}_g=\frac{\text{d}\omega }{\text{d}k}=\sqrt{gh}}$

Im Gegensatz zu Sturmwellen, bei denen die Wasserschichten ab einer Tiefe von etwa 200 m unbewegt bleiben, wird bei einemTsunami das gesamte Wasservolumen vom Meeresboden bis zur Oberfläche in Bewegung gesetzt. Auf dem offenen Meer können Tsunamis Wellenlängen von 100 bis 300 km erreichen, in seltenen Fällen sogar bis zu 500 km. Die Wellenzahlen${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ reichen dabei von${\displaystyle \text{6,3}\cdot {10}^{-5}{\text{ m}}^{-1}}$ bis${\displaystyle {10}^{-5}{\text{ m}}^{-1}}$. Selbst in Ozeanen mit einer Tiefe von etwa${\displaystyle h=5.000\text{m}}$ ist das Produkt${\displaystyle kh}$ maximal. Tsunamis sind also vom Verhalten her Seichtwasserwellen, die Geschwindigkeiten von

${\displaystyle v_g=\frac{\text{d}\omega }{\text{d}k}=\sqrt{gh}=\sqrt{\text{9,81}\cdot 5.000}\text{m/s}=220\text{m/s}=800\text{km/h}.}$

erreichen – fast die Geschwindigkeit eines Jumbo-Jets!

Berücksichtigt man bei den Meereswellen zusätzlich dieKapillarwellen, so erweitert sich die Dispersionsrelation zu^[19]

${\displaystyle \omega =\mathrm{\Omega }(k)=\sqrt{gk+\frac{\sigma k^3}{\rho }}}$

Dabei ist${\displaystyle \sigma }$ dieOberflächenspannung und${\displaystyle \rho }$ dieDichte des Wassers.

Betrachtet man Meereswellen als Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe, so ergänzt sich die Dispersionsrelation zu^[20]

${\displaystyle \omega =\sqrt{\left(gk+\frac{\sigma k^3}{\rho }\right)\tanh (kh)}}$

Dabei ist${\displaystyle \sigma }$ die Oberflächenspannung und${\displaystyle \rho }$ die Dichte des Wassers.

In isotropen Festkörpern existieren zwei Arten von elastischen Wellen mit ihren entsprechenden Dispersionsrelationen:

• Longitudinalwellen (P-Wellen)^[21]:

${\displaystyle \omega =c_{L}k,c_L=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }}=\sqrt{\frac{K+\frac{4}{3}\mu }{\rho }}}$

• Transversalwellen (S-Wellen)^[22]:

${\displaystyle \omega =c_{T}k,c_T=\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}}$

Hierbei sind${\displaystyle \lambda }$ und${\displaystyle \mu }$ dieLamé-Konstanten und${\displaystyle K=\lambda +\frac{2}{3}\mu }$ derKompressionsmodul.

Für Schwingungen transversal in Richtung${\displaystyle x}$ fürBiegewellen, die sich in einem dünnen Stab in Richtung${\displaystyle z}$ ausbreiten, gilt^[23]:

${\displaystyle \omega =\beta k^2,\text{mit}\beta =\sqrt{\frac{E{I}_y}{\rho A}}}$

wobei:

${\displaystyle E}$ derElastizitätsmodul ist,

${\displaystyle I_y}$ das axialeFlächenträgheitsmoment ist,

${\displaystyle A}$ die Querschnittsfläche ist.

Die Frequenz oder Dispersionsrelation ist also proportional zum Quadrat des Wellenvektors. In einem unbegrenzten Medium hängt sie linear vom Wellenvektor ab.

Die Dispersionsrelation für Torsionswellen in einem zylindrischen Stab lautet^[24]:

${\displaystyle \omega =k\sqrt{\frac{\sigma }{\rho }}}$

wobei${\displaystyle \sigma }$ die Spannung des Drahtes ist.

Torsionswellen in einem zylindrischen Stab folgen der Dispersionsrelation^[25]:

${\displaystyle \omega =k\sqrt{\frac{G}{\rho }}=k\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}}$

wobei${\displaystyle G}$ derSchubmodul ist, bzw.${\displaystyle \mu }$ die zweiteLamé-Konstante.

Hörbare Schallwellen sind ein weiteres Beispiel für dispersionsfreie Wellen, da die Dispersionsrelation linear vom Wellenvektor abhängt^[26]:

${\displaystyle \omega =k\sqrt{\gamma \frac{p}{\rho }}}$

bei einem Gasdruck${\displaystyle p}$ mit der Dichte${\displaystyle \rho }$ und demAdiabatenexponent${\displaystyle \gamma }$.

• Dieter Meschede:Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015,ISBN 3-663-10954-2,S. 29 f. 
• Dispersionsrelation. In: Ulrich Kilian u. Christine Weber (Hrsg.):Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 2003,ISBN 978-3-86025-296-3 (spektrum.de). 
• Dispersionsrelation. In:Harry Paul (Hrsg.):Lexikon der Optik. Spektrum Akademischer Verlag, 1999,ISBN 978-3-8274-0382-7 (spektrum.de). 

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