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Differenzierbarkeit

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(Weitergeleitet vonDifferenzierbar)

Graph der differenzierbaren Funktion ${\tfrac {1}{4}}x^{3}+{\tfrac {3}{4}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x-2$

{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}x^{3}+{\tfrac {3}{4}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x-2} — Graph der differenzierbaren Funktion ${\tfrac {1}{4}}x^{3}+{\tfrac {3}{4}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x-2$

AlsDifferenzierbarkeit bezeichnet man in derMathematik die Eigenschaft einerFunktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weiselinear approximieren zu lassen.Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur fürreellwertige Funktionen auf der Menge derreellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, fürkomplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexenVektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.

Die Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen derDifferentialrechnung, eines Teilgebiets derAnalysis.

Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen

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Definitionen

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Schwarz: Graph der Funktionf
Rot: Graph der linearen Funktiong, dief in der Nähe der Stellex₀ approximiert

Zur 2. Definition der Differenzierbarkeit

Differenzierbare Funktionen sind genau diejenigen Funktionen, die lokal durch genau eine lineare Funktion approximierbar sind.

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellenVariablen, also eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ , deren Funktionswertereelle Zahlen sind und derenDefinitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ ein offenesIntervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion $f {\displaystyle f}$ ist differenzierbar an einer Stelle $x_{0}$ aus ihrem Definitionsbereich, wenn dieAbleitung von $f {\displaystyle f}$ an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:

1. Definition

Eine Funktion

f {\displaystyle f}

ist genau danndifferenzierbar an der Stelle

x_{0}

ihres Definitionsbereichs, wenn derbeidseitigeGrenzwert derDifferenzenquotienten

\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von

f {\displaystyle f}

an der Stelle

x_{0}

, geschrieben

f'(x_{0})

2. Definition: Eine Funktion $f {\displaystyle f}$ ist genau danndifferenzierbar an der Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn eine reelle Zahl $m {\displaystyle m}$ (die von $x_{0}$ abhängen darf) und eine (ebenfalls von $x_{0}$ abhängige) Funktion $r {\displaystyle r}$ (Fehler der Approximation) mit folgenden Eigenschaften existieren:

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+m\cdot h+r(h)$
Für $h\to 0$ geht $r(h)$ schneller als linear gegen 0, das heißt:

{\tfrac {r(h)}{h}}\to 0

für

h\to 0

Die Funktion

f {\displaystyle f}

lässt sich also in der Nähe von

x_{0}

durch eine lineare Funktion

g {\displaystyle g}

mit

g(x_{0}+h)=f(x_{0})+m\cdot h

bis auf den Fehler

r(h)

approximieren. Den Wert

m {\displaystyle m}

bezeichnet man als die Ableitung von

f {\displaystyle f}

an der Stelle

x_{0}

Differenzierbare Funktionen sind damit genau diejenigen Funktionen, die sich lokal durch lineare Funktionen approximieren lassen (siehe Abbildung). Diese Definition geht aufKarl Weierstraß zurück und wirdWeierstraßsche Zerlegungsformel genannt.

Eine Funktion heißt genau danndifferenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie anjeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Die Funktion $f'\colon x\mapsto f'(x)$ heißt dannAbleitungsfunktion oder kurzAbleitung von $f {\displaystyle f}$ .

Erläuterungen

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Grafisch lässt sich die Eigenschaft Differenzierbarkeit so deuten, dass eine Funktion genau dann an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar ist, wenn im zugehörigen Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ des Graphen von $f {\displaystyle f}$ genau eineTangente existiert, die nicht senkrecht verläuft. Die Tangente ist der Graph der in der 2. Definition genannten linearen Funktion $g {\displaystyle g}$ .

Die Ableitung von $f {\displaystyle f}$ an der Stelle $x_{0}$ ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ und einen anderen Kurvenpunkt $(x,f(x))$ . Die Funktion $f {\displaystyle f}$ ist also an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang $x\to x_{0}$ gegen die Steigung der Tangente konvergieren.

Aus Differenzierbarkeit folgtStetigkeit: Jede an einer Stelle differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Jede auf ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt nicht. Die unten angeführten nicht differenzierbaren Funktionen sind alle stetig.

Beispiele für differenzierbare Funktionen

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Aus denAbleitungsregeln folgt:

Jede Funktion, die sich durch einPolynom darstellen lässt, ist differenzierbar.
Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ einerbijektiven differenzierbaren Funktion $f {\displaystyle f}$ ist genau dann an der Stelle $y_{0}=f(x_{0})$ differenzierbar, wenn $f^{\prime }(x_{0})\neq 0$ ist.
dieParabelfunktion $f(x)=x^{2}$ ist für alle $x\in \mathbb {R}$ differenzierbar. Sei $x_{0}\in \mathbb {R}$ dann ist

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x_{0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2x_{0}h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}(2x_{0}+h)=2x_{0}

und ihre Ableitung ist

f'(x)=2x

Aus denGrenzwertsätzen fürPotenzreihen folgt:

Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.

Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen

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DieHeaviside-Funktion ist an der Stelle 0 nicht stetig und deshalb auch nicht differenzierbar. Im Sinne von Distributionen wird dieDirac-Distribution als Ableitung der Heaviside-Funktion betrachtet.

Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion (zum Beispiel eineTreppenfunktion oder dieDirichlet-Funktion) ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar.

Wurzelfunktion

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DieWurzelfunktion $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R}$ , $f(x)={\sqrt {x}}$ ist an der Stelle $x_{0}=0$ nicht differenzierbar.Der Differenzenquotient

{\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {0}}}{x-0}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}

strebt für $x\to 0$ gegen unendlich, konvergiert also nicht.Der Graph der Funktion hat an der Stelle $x_{0}$ zwar eine Tangente, diese verläuft aber vertikal und besitzt deshalb keine Steigung.

Betragsfunktion

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Funktionsgraph und Graph der Ableitung von $f(x)=|x|$

{\displaystyle f(x)=|x|} — Funktionsgraph und Graph der Ableitung von $f(x)=|x|$

Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ ist an der Stelle $0 {\displaystyle 0}$ nicht differenzierbar.

Für $x>0$ ist $f(x)=x$ und damit

\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1

Für $x<0$ ist dagegen $f(x)=-x$ und folglich

\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1

Da derlinks- und derrechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht. Die Funktion $f {\displaystyle f}$ ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar.

Es existieren an der Stelle $0 {\displaystyle 0}$ jedoch dierechtsseitige Ableitung

f'_{+}(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1

und dielinksseitige Ableitung

f'_{-}(0)=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1

DerFunktionsgraph hat an der Stelle $0 {\displaystyle 0}$ einen Knick. Es gibt sozusagen eine linksseitige Tangente mit Steigung $-1$ und eine rechtsseitige mit Steigung $+1$ . Zu jeder Steigung zwischen $-1$ und $+1$ gibt es eine Gerade, die den Funktionsgraph im Punkt $(0,0)$ „berührt“, aber sich nicht „anschmiegt“.

Dies ist ein typisches Verhalten für abschnittsweise definierte Funktionen, wo an den Nahtstellen zwar die Funktionswerte zusammenpassen, aber nicht die Ableitungen. Die Graphen von differenzierbaren Funktionen haben demgegenüber keine Knicke.

Ein drittes Beispiel

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Graph der Funktion $f {\displaystyle f}$ mit $f(x)=x\sin(1/x)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ .

Graph der Funktion $f {\displaystyle f}$ mit $f(x)=x\sin(1/x)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ .

Die Funktion

f(x)={\begin{cases}x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar (aber überall sonst).Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt

{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)-0}{x-0}}=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right).

Der Limes für $x\to 0$ existiert nicht. Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte. Vielmehr pendelt der Differenzenquotient, wenn $x {\displaystyle x}$ gegen 0 geht, unendlich oft zwischen den Werten −1 und 1 und nimmt dabei jeden Zwischenwert unendlich oft an.

Weierstraß-Funktion

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{\displaystyle [-2,2]} — Graph einer reellenWeierstraß-Funktion imIntervall $[-2,2]$ . Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar.

Die nach ihrem Entdecker benannteWeierstraß-Funktion

f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{k}\sin(2^{k}x)}{3^{k}}}

ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Wiener-Prozess

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Weitere Beispiele liefert die mathematische Brownsche Bewegung:Fast jeder Pfad einesWiener-Prozesses ist als Funktion $X_{\cdot }(\omega )\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ t\mapsto X_{t}(\omega )$ stetig, aber nirgends differenzierbar.

Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen

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Beispiel einer nicht stetig differenzierbaren Funktion

Die Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } — Die Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$ ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar

Eine Funktion heißtstetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitungstetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion

f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

an jeder Stelle, inklusive $x=0$ , differenzierbar, weil

f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{2}\cos \left({\tfrac {1}{h}}\right)-0}{h}}=0.

Die Ableitung

f'(x)={\begin{cases}2x\cos \left({\frac {1}{x}}\right)+\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}

ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.

Eine Funktion $f {\displaystyle f}$ heißtzweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion $f^{'} {\displaystyle f'}$ differenzierbar ist. Entsprechend wirddreimal, viermal, …, $k {\displaystyle k}$ -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit $f^{″} {\displaystyle f''}$ , $f^{‴} {\displaystyle f'''}$ , $f^{(4)}$ , …, $f^{(k)}$ bezeichnet.

Da aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion $f {\displaystyle f}$ selbst und die erste Ableitung $f^{'} {\displaystyle f'}$ automatisch stetig. Die zweite Ableitung $f^{″} {\displaystyle f''}$ braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer $k {\displaystyle k}$ -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen $f^{'} {\displaystyle f'}$ , $f^{″} {\displaystyle f''}$ , … bis zur $(k-1)$ -ten Ableitung $f^{(k-1)}$ stetig. Für die $k {\displaystyle k}$ -te Ableitung $f^{(k)}$ braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man $f {\displaystyle f}$ $k {\displaystyle k}$ -malstetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktionunendlich oft differenzierbar oderglatt.

Die Menge aller $k {\displaystyle k}$ -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit derDefinitionsmenge $D {\displaystyle D}$ bezeichnet man als $C^{k}(D)$ . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt $C^{\infty }(D)$ . Eine $k {\displaystyle k}$ -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auchFunktion derDifferentiationsklasse $C^{k}$ , kurz:Funktion der Klasse $C^{k}$ oder $C^{k}$ -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechendFunktion der (Differentiations-)Klasse $C^{\infty }$ oder $C^{\infty }$ -Funktion.

Die Funktion

f(x)=x\cdot |x|={\begin{cases}-x^{2}&x<0\\\ \ x^{2}&x\geq 0\end{cases}}

ist differenzierbar, ihre Ableitung ist die Funktion $f'(x)=2\,|x|$ , die stetig, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. Die Funktion $f {\displaystyle f}$ ist also stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht zweimal differenzierbar.Entsprechend ist die Funktion

f(x)=x^{k-1}\cdot |x|={\begin{cases}-x^{k}&x<0\\\ \ x^{k}&x\geq 0\end{cases}}

$(k-1)$ -mal stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht $k {\displaystyle k}$ -mal differenzierbar.

Komplexe Funktionen

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Fürkomplexe Funktionen, alsokomplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen, definiert man Differenzierbarkeit ganz analog zu reellen Funktionen.Es sei $U\subset \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ heißtkomplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$ , falls derGrenzwert

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}

existiert.^[1] In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als $f'(z_{0})$ .

Eine Funktion $f {\displaystyle f}$ heißtholomorph im Punkt $z_{0}$ , falls eine Umgebung von $z_{0}$ existiert, in der $f {\displaystyle f}$ komplex differenzierbar ist.Holomorphe Funktionen sind automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und sogaranalytisch.

Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen

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Für Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Funktionen, die auf offenen Teilmengen deseuklidischen Raums definiert sind, gibt es mehrere verschieden starke Begriffe der Differenzierbarkeit.Im Folgenden sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge. Die Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ können als $n {\displaystyle n}$ -Tupel $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ geschrieben werden.Weiter sei eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {R}$ gegeben. Wir betrachten einen festen Punkt $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U$ und betrachten Differenzierbarkeit im Punkt $a {\displaystyle a}$ .

Partielle Differenzierbarkeit

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Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff.Die Funktion $f {\displaystyle f}$ heißtpartiell differenzierbar am Punkt $a {\displaystyle a}$ in Richtung $x_{i}$ , falls diepartielle Ableitung

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a)}{h}}

existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf $x_{i}$ als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.

Die Funktion $f {\displaystyle f}$ heißtpartiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt die partiellen Ableitungen in allen Richtungen existieren.Sie heißtstetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R}$ sind.

Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der Funktion, sondern nur die Stetigkeit der Funktion in Richtung der Koordinatenachsen.

Richtungsableitung

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Ist $v\in \mathbb {R} ^{n}$ einEinheitsvektor, so ist die(beidseitige)Richtungsableitung von $f {\displaystyle f}$ in Richtung $v {\displaystyle v}$ an der Stelle $a {\displaystyle a}$ definiert als

D_{v}f(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}

Betrachtet man nur positive $h {\displaystyle h}$ , so erhält man dieeinseitige Richtungsableitung

D_{v}^{+}f(a)=\lim _{h\searrow 0}{\frac {f(a+hv)-f(a)}{h}}

Die Funktion $f {\displaystyle f}$ heißt(einseitig) differenzierbar in Richtung von $v {\displaystyle v}$ , falls die (einseitige) Richtungsableitung von $f {\displaystyle f}$ in Richtung $v {\displaystyle v}$ existiert.Die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren derStandardbasis sind gerade die partiellen Ableitungen

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)=D_{e_{i}}f(a)

Totale Differenzierbarkeit

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Die Funktion $f {\displaystyle f}$ heißttotal differenzierbar im Punkt $a {\displaystyle a}$ , falls einelineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ und eine Funktion $r {\displaystyle r}$ existieren, so dass sich $f {\displaystyle f}$ bis auf den Fehler $r {\displaystyle r}$ durch $L {\displaystyle L}$ approximieren lässt,

f(a+v)=f(a)+Lv+r(v),

und $r {\displaystyle r}$ von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht, das heißt ${\tfrac {r(v)}{\|v\|}}\to 0$ für $\|v\|\to 0$ .

Die lineare Abbildung $L {\displaystyle L}$ heißttotale Ableitung von $f {\displaystyle f}$ im Punkt $a {\displaystyle a}$ .Sie wird mit $Df(a)$ bezeichnet. DieMatrixdarstellung bezüglich der Standardbasis heißtJacobi-Matrix und wird mit $J_{f}(a)$ oder auch $Df(a)$ bezeichnet.Die Funktion $f {\displaystyle f}$ heißttotal differenzierbar, falls sie in jedem Punkt total differenzierbar ist.

Eine total differenzierbare Funktion ist auch stetig.

In der neueren mathematischen Literatur spricht man statt vontotaler Differenzierbarkeit meist einfach vonDifferenzierbarkeit. Die totale Ableitung wird auchDifferential genannt.

Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen

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Ist $f {\displaystyle f}$ beidseitig differenzierbar in jede Richtung, so ist $f {\displaystyle f}$ insbesondere partiell differenzierbar.
Ist $f {\displaystyle f}$ total differenzierbar, so ist $f {\displaystyle f}$ differenzierbar in jede Richtung (also insbesondere auch partiell differenzierbar). Die Einträge der Jacobi-Matrix sind die partiellen Ableitungen
$J_{f}(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\quad \dots \quad {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$ .

Man erhält die Richtungsableitung in Richtung

v=(v_{1},\dots ,v_{n})

, indem man die totale Ableitung (eine lineare Abbildung) auf den Vektor

v {\displaystyle v}

anwendet.

D_{v}f(a)=Df(a)\,v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\,v_{i}

Die Umkehrungen gelten nicht:

Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind.
Auch aus der beidseitigen Differenzierbarkeit in alle Richtungen folgt nicht totale Differenzierbarkeit. Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung $v\in \mathbb {R} ^{n}\mapsto D_{v}f(a)$ , linear ist.

Anders ist es, wenn man nicht nur die Existenz, sondern auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt.

Ist $f {\displaystyle f}$ stetig partiell differenzierbar, so ist $f {\displaystyle f}$ auch total differenzierbar.

Man nennt stetig partiell differenzierbare Funktionen deshalb auch einfachstetig differenzierbar.Auch hier gilt die Umkehrung nicht:

Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Insgesamt gilt somit:

stetige partielle Differenzierbarkeit ⇒ totale Differenzierbarkeit ⇒ Differenzierbarkeit in jede Richtung ⇒ partielle Differenzierbarkeit,

es gilt jedoch keine der Umkehrungen.

Beispiele

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Jede Funktion, die sich als Polynom in den Variablen $x_{1},\dots ,x_{n}$ darstellen lässt, ist stetig differenzierbar.
Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen von stetig differenzierbaren Funktionen sind stetig differenzierbar.

Gegenbeispiele

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Alle Gegenbeispiele sind Funktionen auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ . Die Koordinaten werden mit $x {\displaystyle x}$ und $y {\displaystyle y}$ bezeichnet statt mit $x_{1}$ und $x_{2}$ . Von Interesse ist hier nur die Differenzierbarkeit und Stetigkeit am Ursprung $(0,0)$ . Überall sonst sind die Funktionen stetig differenzierbar.

Partiell differenzierbar, aber nicht stetig und nicht alle Richtungsableitungen

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{\displaystyle f_{1}} — Graph der Funktion $f_{1}$

Die Funktion

f_{1}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar. Auf den Koordinatenachsen hat die Funktion konstant den Wert 0, das heißt für alle $x {\displaystyle x}$ und $y {\displaystyle y}$ gilt

f_{1}(x,0)=f_{1}(0,y)=0

Daraus folgt

{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}(0,0)=0

Die Funktion ist jedoch bei (0,0) nicht stetig.Auf der ersten Winkelhalbierenden (mit Ausnahme des Ursprungs) hat $f_{1}$ konstant den Wert eins ( $f_{1}(t,t)=1$ ).Nähert man sich dem Ursprung auf der ersten Winkelhalbierenden, so streben die Funktionswerte also gegen 1.Die Richtungsableitung in andere Richtungen als die der Koordinatenachsen existieren nicht.

{\displaystyle f_{2}} — Graph der Funktion $f_{2}$

Die Funktion

f_{2}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {2xy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar und stetig. Alle einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber außer in die Koordinatenrichtungen nicht die beidseitigen.

Einseitige, aber keine beidseitigen Richtungsableitungen

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{\displaystyle f_{3}} — Graph der Funktion $f_{3}$

Dieeuklidische Norm

f_{3}(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

verallgemeinert dieBetragsfunktion. Sie ist überall stetig.

Für jeden Einheitsvektor $v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ existiert die einseitige Richtungsableitung von $f_{3}$ in $(0,0)$ und es gilt

D_{v}^{+}f_{3}(0,0)=\lim _{h\searrow 0}{\frac {\sqrt {(hv_{1})^{2}+(hv_{2})^{2}}}{h}}=\lim _{h\searrow 0}{\frac {|h|}{h}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}=\lim _{h\searrow 0}{\frac {|h|}{h}}=1

Der Grenzwert existiert nur einseitig, also existieren die beidseitigen Richtungsableitungen nicht.Insbesondere ist die Funktion auch nicht partiell differenzierbar.

Alle Richtungsableitungen existieren, aber definieren keine lineare Abbildung

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{\displaystyle f_{4}} — Graph der Funktion $f_{4}$

f_{4}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {3x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

Hier existieren alle Richtungsableitungen, für die partiellen Ableitungen gilt

{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}(0,0)=0,\ {\frac {\partial f_{4}}{\partial y}}(0,0)=-1.

Die Abbildung $v\mapsto D_{v}f_{4}(0,0)$ ist jedoch nicht linear.Für den Einheitsvektor $v=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ gilt

D_{\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)}f_{4}(0,0)=0,

während

{\frac {\partial f_{4}}{\partial x}}(0,0)\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {\partial f_{4}}{\partial y}}(0,0)\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}.

Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar

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{\displaystyle f_{5}} — Graph der Funktion $f_{5}$

f_{5}(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy^{3}}{x^{2}+y^{4}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

Hier existieren alle Richtungsableitungen, für jeden Vektor $v\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt $D_{v}f_{5}(0,0)=0$ .Insbesondere ist $f_{5}$ partiell differenzierbar mit

{\frac {\partial f_{5}}{\partial x}}(0,0)={\frac {\partial f_{5}}{\partial y}}(0,0)=0

und die Abbildung

v\mapsto D_{v}f_{5}(0,0)=0

ist die Nullabbildung, also trivialerweise linear.

Die Funktion ist auch stetig.Sie ist jedoch an der Stelle (0,0) nicht total differenzierbar.Wäre sie es, so wäre $L=Df(0,0)$ die Nullabbildung und für jeden Vektor $v=(v_{1},v_{2})$ gälte

f_{5}(v_{1},v_{2})=f_{5}(0,0)+L(v_{1},v_{2})+r(v_{1},v_{2})=0+0+r(v_{1},v_{2})

Für das Fehlerglied $r(v)=r(v_{1},v_{2})$ gälte also

r(v_{1},v_{2})={\frac {v_{1}v_{2}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{4}}}

Setzt man $v_{1}=h^{2}$ und $v_{2}=h$ mit $h>0$ , so erhält man

r(v)={\frac {h^{2}h^{3}}{h^{4}+h^{4}}}={\frac {h}{2}}

und

\|v\|={\sqrt {h^{4}+h^{2}}}=h{\sqrt {1+h^{2}}}

, also

{\frac {r(v)}{\|v\|}}={\frac {1}{2{\sqrt {1+h^{2}}}}}

Für $h {\displaystyle h}$ gegen 0 geht dieser Term gegen ${\tfrac {1}{2}}$ statt gegen 0.

Total differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar

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{\displaystyle f_{6}} — Graph der Funktion $f_{6}$

Diese Funktion ist der entsprechenden Beispielfunktion einer Variablen nachgebildet, der Nachweis verläuft im Prinzip genauso wie dort.

f_{6}(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin {\dfrac {1}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

Die Funktion ist an der Stelle (0,0) total differenzierbar, die Ableitung ist dieNullfunktion.Nähert man sich dem Nullpunkt, so divergieren jedoch die partiellen Ableitungen, zum Beispiel geht der Betrag von

{\frac {\partial f_{6}}{\partial x}}(x,0)=2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\frac {2}{x}}\cos {\dfrac {1}{x^{2}}}

gegen unendlich für $x {\displaystyle x}$ gegen 0.

Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

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Eine Abbildung $F {\displaystyle F}$ von einer offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{m}$ lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen:

F(x)=\left(f_{1}(x),\dots ,f_{m}(x)\right)

mit

f_{i}\colon U\to \mathbb {R}

für

i=1,\dots ,m

Differenzierbarkeit von $F {\displaystyle F}$ lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der $f_{i}$ zurückführen. $F {\displaystyle F}$ ist (im Punkt $a\in U$ ) genau dannpartiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors $v {\displaystyle v}$ , total differenzierbar, stetig partiell differenzierbar), wenn alle Komponentenfunktionen $f_{1},\dots ,f_{m}$ diese Eigenschaft haben.

Ist $F {\displaystyle F}$ im Punkt $a {\displaystyle a}$ total differenzierbar, so ist $DF(a)$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ . Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen

J_{F}(a)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\dots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

und die Richtungsableitung von $F {\displaystyle F}$ im Punkt $a {\displaystyle a}$ in Richtung $v {\displaystyle v}$ ist das Bild des Vektors $v {\displaystyle v}$ unter der linearen Abbildung $DF(a)$ .

Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen

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Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit.Die Begriffe Richtungsableitung und totale Differenzierbarkeit lassen sich jedoch auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle.Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sindFunktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. Zur Unterscheidung nennt man die auf diesen Vektorräume definierten FunktionenFunktionale und nennt Abbildungen zwischen solchen VektorräumenOperatoren.

Gâteaux-Differenzierbarkeit

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Der Richtungsableitung entspricht dieGâteaux-Ableitung.Gegeben sei einnormierter Vektorraum $V {\displaystyle V}$ (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einerNorm $\|\cdot \|$ ), eine offene Teilmenge $U\subset V$ und ein Funktional $F\colon U\to \mathbb {R}$ .Die Gâteaux-Ableitung von $F {\displaystyle F}$ an einem „Punkt“ $a\in U$ in Richtung eines Vektors $v\in V$ ist dann gegeben durch

\delta F(a,v)=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(a+\tau \,v)-F(a)}{\tau }}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}F(a+\tau \,v)\right|_{\tau =0}

falls der Grenzwert existiert.

Falls die Gâteaux-Ableitung für jedes $v\in V$ existiert, dannist eine Abbildung $\delta F(a)\colon V\to \mathbb {R}$ , $v\mapsto \delta F(a,v)$ erklärt.Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also $\delta F(a,\lambda v)=\lambda \delta F(a,v)$ für alle $\lambda >0$ .Wie im Endlichdimensionalen folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen nicht, dass $\delta F(a)$ additiv und damit linear ist.Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist.

Für den BegriffGâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen:

Manche Autoren nennen ein Funktional $F {\displaystyle F}$ Gâteaux-differenzierbar im Punkt $a {\displaystyle a}$ , falls alle $\delta F(a,v)$ existieren, und bezeichnen dann die Abbildung $\delta F(a)$ alsGateaux-Ableitung von $F {\displaystyle F}$ im Punkt $a {\displaystyle a}$ .Andere fordern zusätzlich, dass $\delta F(a)$ linear und stetig ist.

Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren $F {\displaystyle F}$ von einem normierten Vektorraum $V {\displaystyle V}$ in einen andern normierten Vektorraum $W {\displaystyle W}$ (typischerweise einBanachraum). Die in der Definition der Gâteaux-Ableitung geforderte Konvergenz versteht sich dann im Sinne der Norm von $W {\displaystyle W}$ . Entsprechendes gilt für die Stetigkeit von $\delta F(a)\colon V\to W$ .

Fréchet-Differenzierbarkeit

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Der totalen Differenzierbarkeit im Endlichdimensionalen entspricht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen dieFréchet-Differenzierbarkeit.Gegeben seienBanachräume $V {\displaystyle V}$ und $W {\displaystyle W}$ , eine offene Teilmenge $U\subset V$ , eine Abbildung $F\colon U\to W$ und ein Punkt $a\in U$ .

Die Abbildung $F {\displaystyle F}$ heißtFréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung $L\colon V\to W$ und eine Abbildung $r\colon U\to W$ existieren, sodass für alle $h\in V$ mit $a+h\in U$ gilt

F(a+h)=F(a)+L\,h+r(h)

und

\lim _{\Vert h\Vert \to 0}{\frac {\|r(h)\|}{\Vert h\Vert }}=0.

Dabei steht im Zähler die Norm von $W {\displaystyle W}$ , im Nenner die von $V {\displaystyle V}$ .

Derlineare Operator $L\colon V\to W$ heißt in diesem FallFréchet-Ableitung von $F {\displaystyle F}$ an der Stelle $a {\displaystyle a}$ .

Zusammenhänge

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Wie im Endlichdimensionalen ist jede Fréchet-differenzierbare Abbildung $F {\displaystyle F}$ auch Gâteaux-differenzierbar und die Gâteaux-Ableitung stimmt mit derFréchet-Ableitung überein.Umgekehrt braucht $F {\displaystyle F}$ im Punkt $a {\displaystyle a}$ selbst dann nicht Fréchet-differenzierbar zu sein, wenn die Gâteaux-Ableitung $\delta F(a)$ linear und stetig ist.

Differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

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Die Differenzierbarkeit von Abbildungen zwischendifferenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird auf die Differenzierbarkeit ihrer Kartendarstellungen zurückgeführt. Dabei muss Stetigkeit schon vorausgesetzt werden.

Es seien $M {\displaystyle M}$ und $N {\displaystyle N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten derDimensionen $m {\displaystyle m}$ bzw. $n {\displaystyle n}$ und derDifferenzierbarkeitsklasse $C^{r}$ und es sei $F\colon M\to N$ eine stetige Abbildung.Zu jedem Punkt $p\in M$ existiert dann eineKarte $(U,\phi )$ von $M {\displaystyle M}$ um $p {\displaystyle p}$ , das heißt eine offene Umgebung $U\subset M$ , die $p {\displaystyle p}$ enthält, und ein auf $U {\displaystyle U}$ definierterHomöomorphismus $\phi \colon U\to \phi (U)\subset \mathbb {R} ^{m}$ auf eineoffene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{m}$ . Genauso existiert auch eine Karte $(V,\psi )$ von $N {\displaystyle N}$ um den Bildpunkt $f(p)\in N$ .Da $F {\displaystyle F}$ stetig ist, können die Karten so gewählt werden, dass $F(U)$ ganz in $V {\displaystyle V}$ liegt. Unter der Kartendarstellung von $F {\displaystyle F}$ bezüglich dieser Karten versteht man dann die Abbildung

\psi \circ F\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\to \psi (V)

Dies ist eine Abbildung von der offenen Teilmenge $\phi (U)$ des $\mathbb {R} ^{m}$ in die offene Teilmenge $\psi (V)$ des $\mathbb {R} ^{n}$ .

Die Abbildung $F {\displaystyle F}$ heißtstetig differenzierbar, falls sie stetig ist und ihre Kartendarstellungen stetig differenzierbar sind. Sie heißt $k {\displaystyle k}$ -mal stetig differenzierbar (für $k\leq r$ ), odervon der Klasse $C^{k}$ , falls ihre Kartendarstellungen $k {\displaystyle k}$ -mal stetig differenzierbar.

Die Differenzierbarkeit hängt nicht von der Wahl der Karten ab (solange $k\leq r$ ist), da die Kartenwechselabbildungen $C^{r}$ -Diffeomorphismen sind.Ist $M {\displaystyle M}$ oder $N {\displaystyle N}$ dereuklidische Raum, so kann man dort auf die Karte verzichten.Insbesondere gilt:

Eine Funktion $f\colon M\to \mathbb {R}$ ist genau dann $r {\displaystyle r}$ -mal stetig differenzierbar, wenn das für ihre Kartendarstellungen $f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\to \mathbb {R}$ , bezüglich Karten $(U,\phi )$ von $M {\displaystyle M}$ gilt.

Analog definiert man die komplexe Differenzierbarkeit für komplexwertige Funktionen aufkomplexen Mannigfaltigkeiten und Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

Für die Definition der Ableitung einer Abbildung $F {\displaystyle F}$ zwischen Mannigfaltigkeiten bzw. einer Funktion $f {\displaystyle f}$ auf einer Mannigfaltigkeit sieheTangentialraum undPushforward.

Begriffserweiterungen

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Folgende Konzepte sind Verallgemeinerungen der Differenzierbarkeit:

schwache Ableitungen
Differenzierbarkeit im Sinne vonDistributionen
Radon-Nikodým-Ableitung
Subgradient

Weblinks

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Commons: Differenzierbarkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

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↑Guido Walz (Hrsg.):Lexikon der Mathematik. 2. Auflage.Band 3 (Inp bis Mon). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017,ISBN 978-3-662-53501-1,S. 148 f.,doi:10.1007/978-3-662-53502-8.

Literatur

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Im Prinzip sämtliche einführende Literatur zu Analysis und/oder Differentialrechnung. Beispielsweise seien genannt:

Otto Forster:Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004,ISBN 3-528-67224-2.
Otto Forster:Analysis 2. Differentialrechnung imRⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2005,ISBN 3-528-47231-6.
Konrad Königsberger:Analysis. 2 Bände. Springer, Berlin 2004,ISBN 3-540-41282-4.

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