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Differentialoperator

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EinDifferentialoperator ist in derMathematik eineFunktion, die alsOperator einer Funktion eine Funktion zuordnet und dieAbleitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren dieRegularität der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildungddx{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} (gesprochen: „d nach dx“), die einerdifferenzierbaren Funktionf{\displaystyle f} ihre Ableitungf′{\displaystyle f^{\prime }} zuordnet:

ddx:f↦ddxf=dfdx=f′{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=f'}

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem ArtikelM⊂Rn{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} einebeschränkte undoffene Menge. Außerdem wird mitCk(M){\displaystyle C^{k}(M)} die Menge derk{\displaystyle k}-mal stetig differenzierbaren Funktionenf:M→R{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } und mitC(M)=C0(M){\displaystyle C(M)=C^{0}(M)} die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Insbesondere stehtC∞(M){\displaystyle C^{\infty }(M)} für den Raum derglatten Funktionen. Die Beschränkung, dassf{\displaystyle f} zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andereDefinitions- und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition derschwachen Ableitung und damit zu denSobolev-Räumen, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe derFunktionalanalysis in derOperatortheorie zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist derPseudo-Differentialoperator.

Linearer Differentialoperator erster Ordnung

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Definition

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SeiM⊂Rn{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} eineoffene Teilmenge. Einlinearer Differentialoperator erster Ordnung ist eineAbbildung

D:C1(M)→C0(M),{\displaystyle D\colon C^{1}(M)\to C^{0}(M),}

die durch

u↦∑i=1nai(x)∂xiu{\displaystyle u\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\partial _{x_{i}}u}

dargestellt werden kann, wobeiai{\displaystyle a_{i}} einestetige Funktion ist.

Beispiele

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  • Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung
ddx:f↦f′.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f'.}
∂∂xi:f↦∂f∂xi{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\colon f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}
inxi{\displaystyle x_{i}}-Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.
  • Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazua∈C0(M){\displaystyle a\in C^{0}(M)} eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch
D=addx:f↦af′d. h.Df(x)=a(x)f′(x){\displaystyle D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto af'\quad {\text{d. h.}}\quad Df(x)=a(x)f'(x)}
definierte OperatorD{\displaystyle D} ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.
∇=(∂∂x1∂∂x2∂∂x3).{\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.}
hat.
∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
und
∂∂z¯=12(∂∂x+i∂∂y){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}
sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen FunktionenM⊂C→C{\displaystyle M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} } aufHolomorphie untersucht, gilt nämlich∂f∂z¯=0{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0} so ist die Funktionf{\displaystyle f} holomorph.

Gewöhnlicher Differentialoperator

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Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mitgewöhnlichen Differentialgleichungen auf.

Definition

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Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnungk{\displaystyle k} eine Abbildung

D:Ck(M)→C0(M),{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}

die durch

D(f)(x):=∑i=0kai(x)(difdxi(x))βi{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x)\left({\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}}

gegeben ist. Hier istai{\displaystyle a_{i}} für allei{\displaystyle i} wieder eine stetige Funktion. Im Fallβi=1{\displaystyle \beta _{i}=1} für allei{\displaystyle i} nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

Beispiel

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dkdxk:f↦f(k){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\colon f\mapsto f^{(k)}}
ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich ausai≡0{\displaystyle a_{i}\equiv 0} füri<k,ak≡1{\displaystyle i<k,\;a_{k}\equiv 1} undβk=1{\displaystyle \beta _{k}=1} ergebenden Spezialfall.

Linearer partieller Differentialoperator

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Definition

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SeiM⊂Rn{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnungk{\displaystyle k} ist einlinearer Operator

D:Ck(M)→C0(M),{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}

der durch

D(f)(x):=∑|α|≤kaα(x)∂αf∂xα(x){\displaystyle D(f)(x):=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)}

dargestellt werden kann. Wobeiaα{\displaystyle a_{\alpha }} für alleMultiindizesα∈Nn{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}} eine stetige Funktion ist.

Beispiele

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Δ=∇2=∑k=1n∂2∂xk2.{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}
Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eineselliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.
Δ−∂∂t.{\displaystyle \Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}.}
Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.
◻φ(x,y,z,t)=1c2∂2φ∂t2(x,y,z,t)−Δ(x,y,z)φ(x,y,z,t),{\displaystyle \Box \varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}(x,y,z,t)-\Delta _{(x,y,z)}\varphi (x,y,z,t),}
wobeic{\displaystyle c} einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist einhyperbolischer Operator und wird bei derWellengleichung verwendet.

Partieller Differentialoperator

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Definition

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Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnungk{\displaystyle k} ist ebenfalls wieder eine Abbildung

D:Ck(M)→C0(M).{\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M).}

Diese ist gegeben durch

D(f)(x):=∑i∑|α|≤kaαi(x)(∂αf∂xα(x))i.{\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i}\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha i}(x)\left({\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right)^{i}.}

Hier sindaαi{\displaystyle a_{\alpha i}} für alleα∈Nn{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}} undi{\displaystyle i} stetige Funktionen.

Lineare Differentialoperatoren

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In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition derlinearen Abbildung. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

Definition

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SeiD{\displaystyle D} ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

D(f+g)=(Df)+(Dg){\displaystyle {D}\,(f+g)=({D}f)+({D}g)}
D(cf)=c(Df){\displaystyle {D}\,(cf)=c\,({D}f)}

für alle Funktionenf,g∈C1(M){\displaystyle f,g\in C^{1}(M)} und alle Konstantenc{\displaystyle c} gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

ddx:f↦f′,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f',}

der einer Funktionf{\displaystyle f} ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einenVektorraum. NachFouriertransformation lässt sie sich häufig auf einealgebraische Gleichung und Konzepte derlinearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der Differentialoperatoren

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MitDiffk⁡(C∞(M)){\displaystyle \operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))} wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnungk{\displaystyle k} bezeichnet, die aufC∞(M){\displaystyle C^{\infty }(M)} operieren. Die Menge

Diff⁡(C∞(M)):=⨁k≥0Diffk⁡(C∞(M)){\displaystyle \operatorname {Diff} (C^{\infty }(M)):=\bigoplus _{k\geq 0}\operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))}

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

(D1∘D2)(f)=D1(D2(f)){\displaystyle (\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2})(f)=\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{2}(f))}

zu einerZ+{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}-graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus derVertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den DifferentialoperatorenD{\displaystyle D} bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionenexp⁡(D){\displaystyle \exp(D)}. Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten dieBaker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit

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Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.

Koordinaten-invariante Definition

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SeiM{\displaystyle M} eineglatte Mannigfaltigkeit und seienE,F→M{\displaystyle E,F\to M}Vektorbündel. Ein Differentialoperator der Ordnungk{\displaystyle k} zwischen denSchnitten vonE{\displaystyle E} undF{\displaystyle F} ist einelineare Abbildung

D:Γ∞(M,E)→Γ∞(M,F){\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}

mit den folgenden Eigenschaften:

supp⁡(Ds)⊆supp⁡(s).{\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} (s).}
Γ0∞(E|U)→DΓ0∞(F|U)↓ϕ∗↓ψ∗C∞(U,Cr)→D~C∞(U,Cs){\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Gamma _{0}^{\infty }(E\vert _{U})&{\xrightarrow {D}}&\Gamma _{0}^{\infty }(F\vert _{U})\\{\big \downarrow }\phi ^{*}&&{\big \downarrow }\psi ^{*}\\C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})&{\xrightarrow {\tilde {D}}}&C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{s})\end{array}}}
kommutiert. Mitϕ∗{\displaystyle \phi ^{*}} ist derPullback eines glatten Vektorfeldes in den RaumC∞(U,Cr){\displaystyle C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})} bezeichnet.

Beispiele

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Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

Symbol eines Differentialoperators

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Die in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2. Ordnung entsprechen, wenn man die partiellen Ableitungen∂i{\displaystyle \partial _{i}} formal durch Variablenyi{\displaystyle y_{i}} ersetzt und nur die Terme höchster – also zweiter – Ordnung betrachtet, einerquadratischen Form in denyi{\displaystyle y_{i}}. Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form dasselbeVorzeichen, im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen, im parabolischen Fall fehlt für eines deryi{\displaystyle y_{i}} der Term höchster Ordnung. Die entsprechendenpartiellen Differentialgleichungen zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten. Die Namen kommen von den Analoga zuKegelschnittgleichungen.

Das lässt sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Fälle erweitern. Man behält nur Terme der höchsten Ordnung bei, ersetzt Ableitungen durch neue Variableyi{\displaystyle y_{i}} und erhält ein Polynom in diesen neuen Variablen, mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann. Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ, wenn gilt: das Hauptsymbol ist ungleich Null, wenn mindestens einyi{\displaystyle y_{i}} ungleich Null ist. Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2. Ordnung „gemischte“ Fälle, die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind.

Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Präzision fest.

Symbol

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Es sei

P(u)(x)=∑|α|≤mbα(x)∂α∂xαu(x){\displaystyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}u(x)}

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnungm{\displaystyle m}. Die Koeffizientenfunktionbα∈C∞(Rn){\displaystyle b_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} kann matrixwertig sein. DasPolynom

p(x,ξ)=∑|α|≤mbα(x)(iξ)α{\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}

inξ∈Rn{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} heißt das Symbol vonP{\displaystyle P}. Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

Hauptsymbol

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SeiP{\displaystyle P} wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnungm{\displaystyle m}. Das homogene Polynom

pm(x,ξ)=∑|α|=mbα(x)(iξ)α{\displaystyle p_{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}

inξ∈Rn{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}} heißt Hauptsymbol vonP{\displaystyle P}. Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

Beispiele

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∑i=1n−ξi2=−|ξ|2.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}-\xi _{i}^{2}=-|\xi |^{2}.}

Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbündeln

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Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

SeiD:Γ∞(M,E)→Γ∞(M,F){\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)} ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Seip∈M{\displaystyle p\in M},ξ∈Tp∗M{\displaystyle \xi \in T_{p}^{*}M} unde∈Ep{\displaystyle e\in E_{p}}. Wählef∈Cc∞(M){\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)} unds∈Γc∞(M,E){\displaystyle s\in \Gamma _{c}^{\infty }(M,E)} mitf(p)=0{\displaystyle f(p)=0},dfp=ξ{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f_{p}=\xi } unds(p)=e{\displaystyle s(p)=e}. Dann ist der Ausdruck

σDk(p,ξ)e:=ikk!D(fks)(p){\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )e:={\frac {i^{k}}{k!}}D(f^{k}s)(p)}

unabhängig von der Wahl vonf{\displaystyle f} unds{\displaystyle s}.Die Funktion

σDk(p,ξ)∈Hom⁡(Ep,Fp){\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )\in \operatorname {Hom} (E_{p},F_{p})}

heißt dann das Hauptsymbol vonD{\displaystyle D}.

Bidifferentialoperator

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Einen Differentialoperator, der auf zwei Funktionen wirkt,

D:Ck(M)×Ck(M)→C0(M){\displaystyle D\colon C^{k}(M)\times C^{k}(M)\to C^{0}(M)}

nennt man auchBidifferentialoperator.

Pseudo-Differentialoperatoren

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Hauptartikel:Pseudo-Differentialoperator

Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv. In der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert. Lineare Differentialoperatoren der Ordnungk{\displaystyle k} mit glatten und beschränkten Koeffizienten können als Pseudo-Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden. SeiD:Cck(Rn)→Cc(Rn){\displaystyle D\colon C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}(\mathbb {R} ^{n})} ein solcher Differentialoperator, dann kann man aufDf{\displaystyle Df} dieFourier-TransformationF{\displaystyle {\mathcal {F}}} und danach die inverse Fourier-TransformationF−1{\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}} anwenden. Das heißt, es gilt

(Du)(x)=(F−1FDu)(x)=1(2π)n∫Rn∫Rnei(x−y)ξD(ξ)u(y)dydξ.{\displaystyle (Du)(x)=({\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}Du)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }D(\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}

Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo-Differentialoperators

(Pu)(x)=1(2π)n∫Rn∫Rnei(x−y)ξa(x,y,ξ)u(y)dydξ.{\displaystyle (Pu)(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }a(x,y,\xi )u(y)\mathrm {d} y\mathrm {d} \xi .}

Hieran sieht man auch, dass gewisse Differentialoperatoren alsIntegraloperatoren dargestellt werden können und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensätzlich sind.

Literatur

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Normdaten (Sachbegriff):GND:4012251-7 (GND Explorer,lobid,OGND,AKS)
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