Der BegriffDetailed Balance (detailliertes Gleichgewicht) bezeichnet eine Eigenschaft von homogenenMarkow-Ketten, einem speziellenstochastischen Prozess. Anschaulich ist ein Prozess im detaillierten Gleichgewicht, wenn nicht erkennbar ist, ob er sich zeitlich vorwärts oder rückwärts bewegt.

Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen${\displaystyle (X_z{)}_{z\in \mathbb{Z}}}$ und einerÜbergangsmatrix${\displaystyle (w_{ij})}$, wobei${\displaystyle w_{ij}}$ die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand${\displaystyle X_i}$ zum Zustand${\displaystyle X_j}$ bezeichnet (also dieÜbergangswahrscheinlichkeit), heißtreversibelbezüglich der Verteilung${\displaystyle P}$, wenn

${\displaystyle P(X_i)w_{ij}=P(X_j)w_{ji}}$

für alle${\displaystyle i,j}$ gilt. Eine Markow-Kette heißtreversibel, wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

Die obige Gleichung ist die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts. Ist sie erfüllt, so ist das System, das durch den Markow-Prozess beschrieben wird, im detaillierten Gleichgewicht oder der detaillierten Balance.

• DerMetropolisalgorithmus ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft derDetailed Balance erfüllt. Er wird inMonte-Carlo-Simulationen dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.
• FürstationäreMarkow-Ketten${\displaystyle (X_z{)}_{z\in \mathbb{Z}}}$ mit Übergangsmatrix${\displaystyle (w_{ij})}$ (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einerstationären Verteilung starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zurzeitlichen Reversibilität, das heißt, für denzeitumgekehrten Prozess${\displaystyle {\tilde{X}}_z:=X_{-z}}$ gilt für alle${\displaystyle t_1,\dots ,t_n\in \mathbb{Z}}$

${\displaystyle (X_{t_1},\dots ,X_{t_n})\sim (X_{-t_1},\dots ,X_{-t_n})}$, das heißt,${\displaystyle X_{t_1},\dots }$ sind verteilt wie${\displaystyle X_{-t_1},\dots }$

Für jedeRealisierung ist also gleichgültig, in welcher Richtung sie durchlaufen wird.

• Jede Verteilung, welche die Detailed-Balance-Bedingung erfüllt, ist eine stationäre Verteilung. Das folgt direkt aus derMastergleichung${\displaystyle \frac{\mathrm{d}{P}_k}{\mathrm{d}t}=\sum _{\ell \ne k}(w_{k\ell }{P}_{\ell }-w_{\ell k}{P}_k)=0}$.

Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die stationäre Verteilung ist daraus aber nicht gegeben. Ein hinreichendes Kriterium dafür liefert zum Beispiel derErgodensatz.

• Gibbs-Sampling

• G. Bhanot,The Metropolis algorithm, Rep. Prog. Phys. 51 (1988) 429
• Achim Klenke:Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008,ISBN 978-3-540-76317-8
• Hans-Otto Georgii:Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 5. Auflage, de Gruyter 2015

• Markow-Prozesse
• Statistische Physik