DieDehnung (Formelzeichen:${\displaystyle \epsilon }$) ist eine Angabe für die relative Längenänderung (Verlängerung bzw. Verkürzung) beiVerformung einesKörpers unterBelastung, beispielsweise durch eingeprägteKräfte oder durch eine Temperaturänderung (Wärmeausdehnung). Wenn die Abmessung des Körpers sich vergrößert, spricht man von einerpositiven Dehnung (Streckung, Längung), andernfalls von einernegativen Dehnung (Kontraktion) oderStauchung.

Die Dehnung ist definiert als:

${\displaystyle \epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }\ell }{{\ell }_0}}$

Dabei ist${\displaystyle \mathrm{\Delta }\ell }$ die Längenänderung und${\displaystyle {\ell }_0}$ ist die ursprünglicheLänge. Die Dehnung wird alsGröße der Dimension Zahl angegeben, auch mit 100 % multipliziert alsProzentzahl. Die Werte von${\displaystyle \mathrm{\Delta }\ell }$ und${\displaystyle {\ell }_0}$ werden üblicherweise direkt amPrüfkörper gemessen.

Im technischen Bereich ist auch die Angabe der Dehnung in Mikrometer pro Meter (µm/m) üblich. Dafür wird, abgeleitet von Mikroepsilon, auch die Schreibweise µeps oder µε bzw. µD (Deutsch) verwendet. 1 µm/m entspricht 0,0001 Prozent oder 1*10-6ε. Eine Dehnung von 0,001ε entspricht 1.000 µm/m. Eine 1-prozentige Dehnung entspricht 10.000 µm/m.

Für viele Werkstoffe ist die Dehnung in gewissen Grenzenproportional zur wirkendenSpannung, was durch dasHookesche Gesetz im linear-elastischen Bereich ausgedrückt wird. Das Verhältnis von der Spannung zur Dehnung wird alsElastizitätsmodul bezeichnet.

Infolge derQuerkontraktion ergibt sich auch quer zur Kraftrichtung und zur primären Dehnung eine sekundäre Dehnung mit umgekehrten Vorzeichen. Das Verhältnis aus Quer- und Längsdehnung wirdPoissonzahl genannt.

In einem allgemeinen Belastungsszenario können Zug-, Druck- undScherkräfte auch kombiniert auftreten. Dies hat ebenso komplexe Dehnungen in allen drei Raumrichtungen zur Folge. Der Dehnungszustand ist zudem vom zugrunde gelegtenBezugssystem abhängig. So tritt bei der Dehnung der quadratischen Scheibe im Bild auch eineScherung γ auf. Die diesem Umstand gerecht werdende, vollständige mathematische Beschreibung des Dehnungsszustands erfolgt überTensoren der Kraft bzw. Dehnung. DerVerzerrungstensorε ist – wie auch derSpannungstensorσ – grundlegend für dieElastizitätstheoriefester Körper; sie bilden insbesondere das Grundgerüst fürComputermodelle derVerformungssimulation, wie sie z. B. mit derFinite-Elemente-Methode ausgeführt werden kann.

Grafisch können die Zusammenhänge zwischen den Spannungen und Dehnungen mitSpannungs-Dehnungs-Diagrammen und die Abhängigkeit von der Ausrichtung des Bezugssystems in Form derMohrschen Spannungs- bzw. Dehnungskreise dargestellt und ausgewertet werden.

Bei Betrachtung von Dehnungen als Antwort auf zwei (oder mehr)aufeinander folgende Krafteinwirkungen sind zwei verschiedene Bezugssysteme für die Berechnung gebräuchlich:

Wird die Dehnung jeweils bezogen auf die Ausgangslänge${\displaystyle {\ell }_0}$ vor derersten Krafteinleitung angegeben, so spricht man vontechnischer Dehnung. Diese Methode ist besonders einfach, weil die Ausgangslänge${\displaystyle {\ell }_0}$ dann eineKonstante ist. Die technische Dehnung wird auchCauchy-Dehnung${\displaystyle {\epsilon }_C}$ genannt.

Sie weist jedoch den Nachteil auf, dass die Summe zweier Teildehnungen nicht der Gesamtdehnung entspricht:

${\displaystyle {\epsilon }_C=\frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_1+\mathrm{\Delta }{\ell }_2}{{\ell }_0}}$ ist nicht identisch mit${\displaystyle {\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}={\epsilon }_1+{\epsilon }_2=\frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_1}{{\ell }_0}+\frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_2}{{\ell }_1}=\frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_1}{{\ell }_0}+\frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_2}{{\ell }_0+\mathrm{\Delta }{\ell }_1}}$.

Solange jedoch${\displaystyle \mathrm{\Delta }{\ell }_1\ll {\ell }_0}$, gilt näherungsweise:

${\displaystyle {\ell }_1\approx {\ell }_0}$   bzw.  ${\displaystyle {\epsilon }_2\approx \frac{\mathrm{\Delta }{\ell }_2}{{\ell }_0}}$ und damit${\displaystyle \epsilon \approx {\epsilon }_1+{\epsilon }_2}$.

Dielogarithmische oder„wahre“ Dehnung${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ (auchHencky-Dehnung${\displaystyle {\epsilon }_H}$ genannt)^[1] wird jeweils auf dieaktuelleLänge des Körpers bezogen, nachdem er also durch frühere Krafteinwirkungen bereits vorverformt worden ist.

Sie wird definiert durch:

${\displaystyle \mathrm{d}{\epsilon }^{\prime }=\frac{\mathrm{d}\ell }{\ell }}$

und damit

${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }=\ln \left(\frac{\ell }{{\ell }_0}\right)=\ln \left(1+\epsilon \right)=\ln \left(\lambda \right)}$,

wobei mit${\displaystyle \lambda }$ dieHauptstreckungen in der jeweiligen Richtung bezeichnet werden.

Mathematisch gesehen ist die technische Dehnung eineReihenentwicklung der Formel für die „wahre“ Dehnung in eineTaylorreihe mit Abbruch nach dem ersten Glied. FürkleineDehnungen besteht daher zwischen beiden Definitionen der Zusammenhang:

${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }=\ln \left(1+\epsilon \right)\approx \epsilon }$.

Alsnominell wird die Dehnung bezeichnet, wenn die Messwerte${\displaystyle \mathrm{\Delta }\ell }$ und${\displaystyle {\ell }_0}$ nicht am Probekörper, sondern zwischen den Einspannklemmen derPrüfmaschine bestimmt werden. Diese Art der Dehnungsbestimmung findet bei Werkstoffen Anwendung, die sich über denMessbereich derExtensometer hinaus verformen lassen.^[2]

• Dehnrate
• Gleichmaßdehnung
• Bruchdehnung
• Umformgrad
• Kontinuumsmechanik

Wiktionary: Dehnung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

1. ↑H. Hencky:Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen. In:Zeitschrift für technische Physik. 9, 1928, S. 215–220 (Originalveröffentlichung über die Hencky-Dehnung).
2. ↑DIN EN ISO 527-1:2012Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften – Teil 1:Allgemeine Grundsätze.

• Verformung