Im engeren Sinn bezeichnetBruchrechnung dasRechnen mitgemeinen Brüchen (manchmal auchgewöhnlichen Brüchen) in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ (siehe unten). Bruchrechnung gehört damit zurArithmetik, einem Teilgebiet derMathematik.

In einem weiteren Sinn wird das Wort auch für das Rechnen mitrationalen Zahlen gebraucht, gleichgültig, in welcher Schreibweise sie vorliegen.

Eine wichtigere Erweiterung besteht in der Zulassung vonBruchtermen, das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und NennerTerme sein können, dieVariablen enthalten. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäß. Das Rechnen mit Bruchtermen gehört aber zurAlgebra.

Die Regeln der Bruchrechnung beziehen sich auf dieGrundrechenarten, also aufAddition,Subtraktion,Multiplikation,Division, sowie auf dieKehrwertbildung. Insbesondere bei Bruchtermen kommen auch Regeln für Potenzen und Wurzeln hinzu.

Außerdem gibt es eineKürzungs- undErweiterungsregel, die eine Besonderheit der Bruchrechnung sind. Sie beruht auf dem Unterschied zwischenBruch und Bruchzahl, der im folgenden Abschnitt genauer dargestellt wird.

Die Bruchschreibweise, also die Schreibweise mit Bruchstrich, geht aufLeonardo von Pisa zurück, der sie 1228 einführte.^[1] Sie wird ganz allgemein in verschiedenen Bereichen der Mathematik, besonders in der Algebra, immer dann verwendet, wenn in der untersuchten Struktur die elementaren Bruchrechenregeln, insbesondere die Kürzungs- und Erweiterungsregel, gelten. Auch hier spricht man immer dann von „Bruchrechnung“, wenn diese Regeln angewendet werden.

Die Bruchrechnung beruht darauf, dass sich dasGanze (dieEins aus dem Rechnen mit natürlichen Zahlen) unterteilen lässt.Einen Kuchen kann man zum Beispiel in vier Teile teilen. Wenn diese Teile gleich groß sind, so ist jedes Teil ein Viertel des Kuchens. Wenn, wie im Bild, eines der Viertel schon fehlt, so sind drei Viertel Kuchen dargestellt.

Geschrieben wird dies gewöhnlich in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“: Die Zahlunter dem Bruchstrich – der sogenannteNenner oder auchTeiler – gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde; die Zahlüber dem Bruchstrich – derZähler – gibt an, wie viele Teile davon in diesem Falle gemeint sind. So erhält man einenBruch. Man kann diesen auch so deuten: Der Zähler gibt an, wie viele Ganze gemeinsam in so viele gleich große Teile zu teilen sind, wie der Nenner angibt. (Man legt drei Kuchen übereinander und teilt den Stapel in vier gleiche Teilstapel.)

Wird das Ganze (die Torte) stattdessen inacht Teile geteilt und werden davonsechs genommen, so ist das ein anderer Bruch:${\displaystyle \frac{6}{8}}$ statt${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Aber diese beiden Brüche stehen offenbar für die gleiche Menge Kuchen: Sie stehen für dieselbeBruchzahl.

Für jedeBruchzahl gibt es viele (unendlich viele) verschiedeneDarstellungen, verschiedeneBrüche, die alle denselben Wert (dieselbeGröße) verkörpern, aber auf unterschiedliche Weise. Von einem Bruch zum anderen gelangt man durchErweitern und Kürzen. Dadurch ändert sich derWert einer Bruchzahl nicht, man erhält aber für diese Zahl verschiedene Darstellungsweisen: verschiedene Brüche. Diese werden alsgleichwertige (oder auchäquivalente) Brüche bezeichnet und beschreiben denselben Anteil am Ganzen.^[2]

Demnach sind Brüche genau dann gleichwertig, wenn sie alternativ eine der folgenden Bedingungen erfüllen.

• Sie führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch.
• Sie führen nach Erweiterung auf denselben Nenner zu demselben Bruch.
• Ihre Quotienten aus Zähler und Nenner ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl, auch Bruchzahl genannt.
• Auf dem Zahlenstrahl liegen sie an derselben Stelle.^[3]

Beispiele

• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ und${\displaystyle \frac{6}{8}}$ beschreiben denselben Anteil am Ganzen, nämlich${\displaystyle 0,75}$.
• ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ und${\displaystyle \frac{8}{12}}$ führen vollständig gekürzt zu demselben Bruch, nämlich${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
• ${\displaystyle \frac{2}{12}}$ und${\displaystyle \frac{3}{18}}$ führen nach Erweiterung auf den Nenner${\displaystyle 36}$ zu demselben Bruch, nämlich${\displaystyle \frac{6}{36}}$.
• ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ und${\displaystyle \frac{15}{35}}$ ergeben jeweils dieselbe rationale Zahl${\displaystyle 0,\overline{428571}}$, wenn man ihreQuotienten aus Zähler und Nenner bildet. In diesem Falle handelt es sich um einen periodischen Dezimalbruch.
• ${\displaystyle \frac{3}{5}}$,${\displaystyle \frac{6}{10}}$ und${\displaystyle \frac{9}{15}}$ liegen auf demZahlenstrahl an derselben Stelle, nämlich${\displaystyle 0,6}$.

Brüche lassen sich zunächst in gemeine Brüche (auchgewöhnliche Brüche genannt) undDezimalbrüche (= Dezimalzahl, umgangssprachlich: „Kommazahl“) einteilen, daneben gibt es noch die Darstellung als gemischter Bruch. Wenn man von einem Bruch spricht, meint man in der Regel einen gemeinen Bruch, das Rechnen mit Dezimalbrüchen wird meistens nicht als Bruchrechnung bezeichnet.

In der nachfolgenden Tabelle sind gebräuchliche Bezeichnungen für Brüche zusammengefasst, die in diesem Abschnitt erklärt werden. Die in der Tabelle weiter unten stehenden Begriffe fallen jeweils unter die darüberstehenden Oberbegriffe, zum Beispiel ist jeder Scheinbruch ein gemeiner Bruch, nebeneinanderstehende Begriffe müssen sich nicht ausschließen. Dabei ist zu beachten, dass es sich um Bezeichnungen fürZahlschreibweisen und nicht für die dargestellten Zahlen handelt. Eine bestimmte Zahl kann verschiedene Darstellungen haben, die jeweils mit unterschiedlichen Begriffen aus der Tabelle bezeichnet werden. So kann man zum Beispiel jeden unechten Bruch auch als gemischten Bruch schreiben.

Weitere Formen, in denen Bruchzahlen dargestellt werden können (Kettenbruch,Prozent- undPromilleschreibweise,Binärbrüche usw.), werden in je eigenen Artikeln behandelt und in dieser Tabelle nicht aufgeführt.

Gemeine Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung vonZähler undNenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:

${\displaystyle \frac{Z}{N}}$

Zähler und Nenner eines Bruches sindganze Zahlen. Dabei darf der Nenner${\displaystyle N}$ nichtnull sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist.

Jeder Bruch kann nämlich auch alsDivisionsaufgabe verstanden werden. Dabei ist der Zähler${\displaystyle Z}$ derDividend, der Nenner${\displaystyle N}$ der Divisor:

${\displaystyle Z:N=\frac{Z}{N}}$

Das Entscheidende bei der Bruchrechnung ist, dass hierjede Division (außer durch null) möglich ist und ein einfach darstellbares Ergebnis hat, während ja im Bereich der ganzen Zahlen dieTeilbarkeitsregeln gelten.

Üblicherweise werden für Zähler und Nennernatürliche Zahlen verwendet und ein eventuell vorhandenes negativesVorzeichen wird vor den Bruch gesetzt, also beispielsweise${\displaystyle -\frac{3}{4}}$ statt${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ oder${\displaystyle \frac{3}{-4}}$. Sind Zählerund Nenner negativ, so bezeichnet das nach den Regeln der Division von ganzen Zahlen denpositiven Bruch:${\displaystyle \frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}}$

Bei einer Variante dieser Schreibweise, die oft verwendet wird, wenn gemeine Brüche in Texten vorkommen, werden Zähler, Bruchstrich und Nenner hintereinandergeschrieben und als Bruchstrich einSchrägstrich verwendet,^[4] zum Beispiel 1/2, 3/8. Bei der Schreibweise mit Schrägstrich an Stelle des waagrechten Bruchstrichs werden (vor allem) einstellige Zähler und Nenner manchmal verkleinert über bzw. unter den Schrägstrich geschrieben:⁶/₇. Zu diesem Zweck existieren in vielen Druckzeichensätzen Sonderzeichen, wie zum Beispiel ¾ oder ½.

Wenn bei einem Bruch derBetrag des Zählers kleiner als der Betrag des Nenners ist, spricht man von einemechten odereigentlichen Bruch (z. B.${\displaystyle \frac{6}{7}}$ oder${\displaystyle \frac{2}{5}}$), andernfalls von einemunechten oderuneigentlichen Bruch (z. B.${\displaystyle \frac{7}{7}}$ oder${\displaystyle \frac{11}{3}}$).

Echte Brüche sind also die, deren Betrag kleiner ist als ein Ganzes.

Ist der Zähler in einem gemeinen Bruch gleich 1 (z. B.${\displaystyle \frac{1}{2}}$ oder${\displaystyle \frac{1}{9}}$), spricht man von einemStammbruch, ansonsten von einemabgeleiteten Bruch oderZweigbruch.

Unechte Brüche, bei denen der Zähler ein ganzzahligesVielfaches des Nenners ist (z. B.${\displaystyle \frac{12}{3}}$), bezeichnet man alsScheinbrüche, da sie sich durchKürzen in ganze Zahlen umwandeln lassen (im Beispiel in die Zahl 4). Insbesondere lässt sich jede ganze Zahl${\displaystyle n}$ als Scheinbruch${\displaystyle \frac{n}{1}}$ schreiben.

Unechte Brüche, die keine Scheinbrüche sind, lassen sich immer als gemischte Brüche (auch: als gemischte Zahlen, in gemischter Schreibweise) darstellen.

Dabei wird zunächst der ganzzahlige Anteil, d. h. die zur Null hin gerundete Zahl, geschrieben und anschließend direkt danach der verbleibende Anteil als echter Bruch. Zum Beispiel${\displaystyle 1\frac{1}{3}}$ statt${\displaystyle \frac{4}{3}}$ oder${\displaystyle -3\frac{3}{5}}$ statt${\displaystyle -\frac{18}{5}}$.

Ein Problem der gemischten Schreibweise ist, dass sie als Produkt missverstanden werden kann:

So steht${\displaystyle 2\frac{1}{3}}$ meist für${\displaystyle 2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}}$ und nicht für${\displaystyle 2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$.

Schreibt man dagegen${\displaystyle a\frac{b}{c}}$, so handelt es sich nicht um einen Bruch in gemischter Schreibweise, sondern (wegen der Variablen) um einenTerm. Hier muss das weggelasseneRechenzeichen ein Malpunkt sein (andere Rechenzeichen dürfen in Termen nicht weggelassen werden).${\displaystyle a\frac{b}{c}}$ muss also als${\displaystyle a\cdot \frac{b}{c}}$ verstanden werden und niemals als${\displaystyle a+\frac{b}{c}}$.

Beim Rechnen mit Brüchen in den vier GrundrechenartenAddition,Subtraktion,Multiplikation undDivision werden jeweils zwei Brüche verknüpft, sodass eine dritte Zahl entsteht. Dies darf nicht verwechselt werden mit dem Umformen von Brüchen, wobei ein einziger Bruch eine neue Form erhält, ohne dass sein Wert sich ändert.

DasUmformen (die Formänderung) ist oft die Voraussetzung dafür, dass mit Brüchen gerechnet werden kann. Deshalb wird es hier zuerst behandelt.

Um einen Bruch in eineKommazahl umzuwandeln, dividiert man einfach den Zähler durch den Nenner.${\displaystyle \frac{3}{4}}$ ergibt 0,75 beziehungsweise 75 % vom Ganzen.

Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruches mit derselben Zahl (ungleich 0) multipliziert (den Brucherweitert) oder durch einengemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt (den Bruchkürzt).

Beispiel:${\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}}$. Von links nach rechts gelesen wurde der Bruch erweitert, von rechts nach links gekürzt.

Der Wert einer in gemischter Schreibweise dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man den ganzzahligen Anteil alsScheinbruch mit dem Nenner des Bruchteils schreibt und die verbliebenen Bruchanteile hinzuzählt. Umgekehrt kann man bei einemunechten Bruch die Bruchteile, die Ganze ergeben, abspalten und die verbleibenden als Bruch anfügen.

Beispiel:${\displaystyle \frac{8}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}}$. Von links nach rechts gelesen wurden Ganze abgespalten, von rechts nach links wurde die gemischte Zahl eingerichtet.

Gemeine Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißengleichnamig; sind die Nenner voneinander verschieden, so heißen sieungleichnamig. Werden ungleichnamige Brüche so erweitert, dass sie danach die gleichen Nenner haben, so nennt man dasgleichnamig machen. Beim praktischen Rechnen sollte dazu derHauptnenner der Brüche bestimmt werden, das ist daskleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.

Beispiel: Die Brüche${\displaystyle \frac{2}{7};\frac{1}{6};\frac{9}{14}}$ sollen gleichnamig gemacht werden. Das kgV der Nenner ist${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 7=42}$, also werden alle drei Brüche so erweitert, dass ihr Nenner jeweils 42 lautet:

${\displaystyle \frac{2}{7}=\frac{2\cdot 6}{42}=\frac{12}{42};\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 7}{42}=\frac{7}{42};\frac{9}{14}=\frac{9\cdot 3}{42}=\frac{27}{42}}$.

Die gleichnamigen Darstellungen lassen sich nun beispielsweise verwenden, um die dargestellten Bruchzahlen der Größe nach zu ordnen, indem man ihre Zähler vergleicht:

, also muss gelten.

Die Brüche, die addiert oder subtrahiert werden sollen, werden zunächst gleichnamig gemacht, anschließend werden ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert.

Beispiele:

• Addition von zwei gleichnamigen gemeinen Brüchen:${\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1}$ Man liest: „drei Viertel plusein Viertel“ (Figur 1)
• Addition von zwei ungleichnamigen gemeinen Brüchen, deren Ergebnis ein echter Bruch ist:${\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{2}{15}=\frac{5}{30}+\frac{4}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}}$ (Figur 2)
• Addition von zwei ungleichnamigen gemeinen Brüchen, deren Ergebnis ein gemischter Bruch ist:${\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}}$ (Figur 3)

• 
  Figur 1
• 
  Figur 2
• 
  Figur 3

Brüche werden multipliziert, indem man jeweils ihre Zähler und Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ist dann der Zähler des Ergebnisses, das Produkt der Nenner ist dann der Nenner des Ergebnisses.

Beispiel:

${\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}}$

InFigur 4 hat die gesamte braune Fläche einen Anteil von${\displaystyle \frac{2}{3}}$ an der Gesamtfläche und die hellbraune Fläche einen Anteil von${\displaystyle \frac{4}{5}}$ an der gesamten braunen Fläche.

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinemKehrwert multipliziert.

Beispiel:${\displaystyle \frac{2}{15}:\frac{14}{27}=\frac{2}{15}\cdot \frac{27}{14}=\frac{2}{3\cdot 5}\cdot \frac{3\cdot 9}{2\cdot 7}=\frac{1\cdot 9}{5\cdot 7}=\frac{9}{35}}$.

Dabei dürfen, wie im Beispiel dargestellt, Zwischenergebnisse gekürzt werden (hier beispielsweise die 3 und die 2 im vorletzten Schritt).

Beim Multiplizieren oder Dividieren von gemischten Brüchen ist es meist nötig, diese zunächst in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. (Außer bei ganz einfachen Aufgaben, wie etwa${\displaystyle 6\frac{1}{3}:2=3\frac{1}{6}}$.)

Beim Addieren und Subtrahieren dagegen ist es günstiger, die Ganzen für sich zu betrachten und Bruchrechnung nur bei den verbleibenden echten Brüchen anzuwenden. Beim Addieren kann hier ein zusätzliches Ganzes auftreten, beim Subtrahieren mögen die Bruchteile nicht ausreichen, sodass eines der Ganzen zu einem Scheinbruch aufgeteilt werden muss:

${\displaystyle 13\frac{3}{4}+27\frac{1}{2}=40+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)=40+1\frac{1}{4}=41\frac{1}{4}}$;

${\displaystyle 16\frac{1}{3}-9\frac{1}{2}=7+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=7+\left(\frac{2}{6}-\frac{3}{6}\right)=6+\left(\frac{6}{6}+\frac{2}{6}-\frac{3}{6}\right)=6\frac{5}{6}}$.

Die folgenden Regeln gelten sowohl beim Bruchrechnen im engeren Sinn als auch beim Rechnen mit Bruchtermen.Beim Rechnen mit Brüchen stehen die Variablen${\displaystyle a,b,c,d,n}$ in den Regeln für bestimmte ganze Zahlen. Setzt man stattdessen für diese Variablen andere Ausdrücke, z. B. selbst wieder echte Brüche, Dezimalbrüche oder Terme ein, dann erhält man Regeln für das Rechnen mit Bruchtermen, das Bruchrechnen im weiteren Sinn.

Beim Rechnen mit Brüchen liefern die abstrakten Rechenregeln stets korrekte Ergebnisse, häufig ist die Rechnung mit den „praktischen Rechenregeln“ weniger aufwändig.

Kürzen${\displaystyle \to }$
${\displaystyle \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b}}$
${\displaystyle \leftarrow }$ Erweitern

Hilfreiche Eselsbrücken hierzu sind:

• Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
• Was du oben tust, machst du auch unten!

Aus der Äquivalenz${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}}$ für beliebige natürliche Zahlen${\displaystyle c>0}$ folgt, dass jede rationale Zahl durch unendlich viele verschiedene Brüche dargestellt werden kann, denn es gilt${\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}=\frac{3a}{3b}=\frac{4a}{4b}=\cdots }$.

${\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}}$

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit demKehrwert des Bruches, der alsDivisor fungiert, multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

${\displaystyle \frac{a}{b}:n=\frac{a}{b\cdot n}\text{und}n:\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b}{a}}$

Regel	Beispiel
${\displaystyle \frac{a^n}{b^m}=a^n\cdot b^{-m}}$	${\displaystyle \frac{3}{2}=3\cdot 2^{-1}}$
${\displaystyle \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}}$	${\displaystyle \frac{a^3}{a^2}=a^3\cdot a^{-2}=a^{3-2}=a}$
${\displaystyle \frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n}$	${\displaystyle \frac{3^2}{2^2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2}$

Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebra eine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auchVariablen.Die Rechenregeln für Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden.

Bei der Bestimmung desDefinitionsbereiches eines Bruchterms ist zu beachten, dass der Nenner nicht den Wert 0 haben darf. Beispielsweise wäre der von${\displaystyle x}$ abhängige Bruchterm${\displaystyle \frac{1}{6-2x}}$ beim Einsetzen von${\displaystyle x=3}$ nicht definiert.Der Definitionsbereich ist also${\displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \{3\}}$, wenn als Grundmenge die Menge derreellen Zahlen vorausgesetzt wird.In komplizierteren Fällen sollte der Nenner in Faktoren zerlegt werden, damit der Definitionsbereich erkennbar wird.

Beispiel:${\displaystyle \frac{x}{x^2-9}=\frac{x}{(x+3)(x-3)}}$ hat den Definitionsbereich${\displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \{-3;+3\}}$.

Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch denselben Rechenausdruck dividiert.Wichtig dabei ist, dass nur Faktoren vonProdukten herausgekürzt werden können. Summen und Differenzen im Zähler und im Nenner müssen gegebenenfalls zuerstin Produkte zerlegt werden (Faktorisierung).

Beispiele:

1. ${\displaystyle \frac{4ab{c}^3}{6a^{2}bc}=\frac{2c^2}{3a}}$
2. ${\displaystyle \frac{x^2-6xy+9y^2}{2x-6y}=\frac{(x-3y{)}^2}{2(x-3y)}=\frac{x-3y}{2}}$

Beim Kürzen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern. So ist im ersten Beispiel der ungekürzte, links stehende Term nur definiert, wenn${\displaystyle a,b,c\ne 0}$ gilt, der rechtsstehende bereits, wenn nur${\displaystyle a\ne 0}$ gilt. Im zweiten Beispiel ist der ungekürzte Term nur definiert, wenn${\displaystyle x\ne 3y}$ gilt, der gekürzte ist ohne Einschränkungen definiert.

Die Änderung des Definitionsbereiches eines Bruchterms beim Kürzen ist eine der Techniken, mit denenFunktionsterme stetig fortgesetzt werden können.

Wie bei Zahlen ist es nötig, die gegebenen Bruchterme gleichnamig zu machen, d. h. auf den gleichen Nenner zu bringen. Man bestimmt einen möglichst einfachen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), der durch alle gegebenen Nenner teilbar ist.

Beispiel:

${\displaystyle \frac{3}{2a^2}-\frac{4ab-1}{2ab}+2}$

Als Hauptnenner ergibt sich${\displaystyle 2a^{2}b}$. Die Erweiterungsfaktoren der drei gegebenen Bruchterme erhält man dadurch, dass man jeweils den gefundenen Hauptnenner durch den bisherigen Nenner dividiert. Die Erweiterungsfaktoren sind also${\displaystyle b}$,${\displaystyle a}$ und${\displaystyle 2a^{2}b}$.

${\displaystyle \frac{3}{2a^2}-\frac{4ab-1}{2ab}+2}$

${\displaystyle =\frac{3\cdot b-(4ab-1)\cdot a+2\cdot 2a^{2}b}{2a^{2}b}}$

${\displaystyle =\frac{3b-4a^{2}b+a+4a^{2}b}{2a^{2}b}=\frac{3b+a}{2a^{2}b}}$

Häufig lässt sich der Hauptnenner nur erkennen, wenn man die Nenner in Faktoren zerlegt (Faktorisierung). Dabei greift man oft auf die Methode desAusklammerns zurück oder verwendetbinomische Formeln.

Beispiel:

${\displaystyle \frac{x}{x^2-xy}-\frac{y}{x^2+xy}-\frac{x}{x^2-y^2}}$

${\displaystyle =\frac{x}{x(x-y)}-\frac{y}{x(x+y)}-\frac{x}{(x+y)(x-y)}}$

${\displaystyle =\frac{x\cdot (x+y)-y\cdot (x-y)-x\cdot x}{x(x+y)(x-y)}}$

${\displaystyle =\frac{x^2+xy-xy+y^2-x^2}{x(x+y)(x-y)}=\frac{y^2}{x(x+y)(x-y)}}$

Beim Multiplizieren von Bruchtermen müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner multipliziert werden. Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner sollten herausgekürzt werden.

Beispiel:${\displaystyle \frac{4xy}{z^2}\cdot \frac{xz}{6y}=\frac{4x^{2}yz}{6y{z}^2}=\frac{2x^2}{3z}}$

In komplizierteren Aufgaben sollte man Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen, um sie bereits vor der eigentlichen Multiplikation herauskürzen zu können.

Beispiel:${\displaystyle \frac{a-2b}{4a+1}\cdot \frac{16a^2-1}{a^2-4ab+4b^2}=\frac{a-2b}{4a+1}\cdot \frac{(4a+1)(4a-1)}{(a-2b{)}^2}=\frac{4a-1}{a-2b}}$

Die Division von Bruchtermen lässt sich auf die Multiplikation zurückführen. Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinemKehrwert multipliziert.

Beispiel:${\displaystyle \frac{2x-3}{5x}:\frac{4x^2-9}{10x^2}=\frac{2x-3}{5x}\cdot \frac{10x^2}{(2x+3)(2x-3)}=\frac{2x}{2x+3}}$

Brüche kann man oft in sogenanntePartialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen vonPrimzahlen sind; z. B.:

${\displaystyle \frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3},}$

${\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},}$

${\displaystyle \frac{1}{72}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9},}$

${\displaystyle \frac{1}{60}=\frac{-1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{8}{5}.}$

Brüche lassen sich auch als Zerlegungen inStammbrüche darstellen, z. B.

${\displaystyle \frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}}$ und

${\displaystyle \frac{25}{31}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{18}+\frac{1}{1116}}$.

Die alten Ägypter kannten nur solche Darstellungen von Brüchen, weshalb sieÄgyptische Brüche genannt werden.

Das Zahlentripel${\displaystyle (\frac{1}{5},\frac{24}{35},\frac{5}{7})}$ ist ein Beispiel einespythagoreischen Bruchs (siehe auchpythagoreisches Tripel), denn

${\displaystyle {\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{24}{35}\right)}^2={\left(\frac{5}{7}\right)}^2}$.

Ein pythagoreischer Bruch kann demnach aus einem pythagoreischen Tripel erzeugt werden, indem dieses durch eine geeignete natürliche Zahl dividiert wird. Der obige pythogareische Bruch lässt sich aus dem pythagoreischen Tripel (7,24,25) mittels Division durch 35 erzeugen.

SieheRationalisierung (Bruchrechnung).

• Farey-Folge
• Kreuzweise Multiplikation

• Erhard Cramer, Johanna Nešlehová:Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor-Studiengängen. 3., verbesserte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2008,ISBN 978-3-540-78180-6,S. 77–83. 
• Friedhelm Padberg, Sebastian Wartha:Didaktik der Bruchrechnung. 5. Auflage. Springer, 2023,ISBN 978-3-662-52968-3. 

Wikibooks:${\displaystyle \begin{array}{c}\mathbf{M}\mathbf{A}\mathbf{T}\mathbf{H}\mathbf{E}\mu \alpha T\mathbb{R}ix\end{array}}$ Mathematik für die Schule – Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Wikibooks:${\displaystyle \begin{array}{c}\mathbf{M}\mathbf{A}\mathbf{T}\mathbf{H}\mathbf{E}\mu \alpha T\mathbb{R}ix\end{array}}$ Mathematik für die Schule – Bruchterme

Wiktionary: Bruchrechnung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Bruchrechnung In Nachhilfe Videos veranschaulicht (Olaf Hinrichsen, OberPrima.com UG, 16. März 2018)
• Rechner für Brüche – diverse Online-Programme rund um die Bruchrechnung
• Formeln für die Bruchrechnung – Eine übersichtliche Auflistung der wichtigsten Formeln für das Rechnen mit Brüchen
• Interaktives Applet, das durch die verschiedene Aufgabenstellungen zur Bruchrechnung führt

1. ↑Hans Wußing:Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik.VEBDeutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, S. 325
2. ↑Susanne Prediger, Christoph Selter,Stephan Hußmann, Marcus Nührenbörger:Gleichwertigkeit verstehen aus:Brüche, Prozente, Dezimalzahlen - Handreichungen für ein Diagnose- und Förderkonzept zur Sicherung mathematischer Basiskompetenzen, erschienen imCornelsen Verlag (2014)
3. ↑Gunter Heim:Gleichwertige Brüche erkennen in: Rhetos Lern-Lexikon der Physik und der spekulativen Philosophie (2016)
4. ↑Amtliche Rechtschreibregeln vom 1. August 2006, §106,Canoonet

• Bruchrechnung