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Radiant (Einheit)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet vonBogenmaß)
Physikalische Einheit
EinheitennameRadiant
Einheitenzeichenrad{\displaystyle \mathrm {rad} }
Physikalische GrößeEbenerWinkel
Formelzeichenα,β,γ...{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ...}
DimensionLL=1{\displaystyle {\mathsf {{\frac {L}{L}}=1}}}
SystemInternationales Einheitensystem
InSI-Einheiten1rad=11m1m=1{\displaystyle \mathrm {1\,rad=1\,{\frac {1\;m}{1\;m}}=1} }
Benannt nachlateinischradius, „Strahl“
Siehe auch:Winkelmaße
Der Winkel, der auf dem Kreisumfang die Länge des Radius markiert, beträgt 1 rad, der Vollwinkel also2π{\displaystyle 2\pi } rad.

DerRadiant (Einheitenzeichen:rad) ist einWinkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechendenKreisbogens imEinheitskreis angegeben wird. Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe „im Bogenmaß“ auchBogenwinkel genannt.Die Bogenlänge eines gegebenen Winkels ist proportional demRadiusr{\displaystyle r}. Auf einem Kreis mit 5 cm Radius markiert ein Winkel von 1 rad also einen 5 cm langen Bogen. Der Vollkreis (360°) hat die BogenlängeU=2{\displaystyle U=2}π{\displaystyle \pi }r{\displaystyle r}, also beträgt derVollwinkel2π{\displaystyle 2\pi } rad.

In vielen Berechnungen derPhysik und derMathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß, siehe etwaWinkelgeschwindigkeit undSinus und Kosinus.

ImInternationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für diekohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m mit derDimension Zahl. Er ist also eineHilfsmaßeinheit und kann in Rechnungen einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. Die Einheit kann mitSI-Präfixen kombiniert werden, beispielsweise mrad fürMilliradiant oder μrad fürMikroradiant.[1]

In der Praxis wird das nachgestellteEinheitenkürzelrad häufig dann weggelassen, wenn das Winkelmaß als Vielfaches vonπ{\displaystyle \pi } angegeben wird, da dann eine Verwechslung mit den Angaben in Winkelgrad° oder ingon unwahrscheinlich ist.

Umrechnung zwischen Radiant und Grad

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Häufig benötigte Werte:
GradRadiant
180∘{\displaystyle 180^{\circ }}π≈3,1416{\displaystyle \pi \approx 3{,}1416}
90∘{\displaystyle 90^{\circ }}12π≈1,5708{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \approx 1{,}5708}
45∘{\displaystyle 45^{\circ }}14π≈0,7854{\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi \approx 0{,}7854}
57∘17′45″{\displaystyle 57^{\circ }\,17'\,45''}≈1{\displaystyle \approx 1}
57,29577951∘{\displaystyle 57{,}29577951^{\circ }}
1∘{\displaystyle 1^{\circ }}π180≈17,45mrad{\displaystyle {\frac {\pi }{180}}\approx 17{,}45\,{\text{mrad}}}
3,44′{\displaystyle 3{,}44'}1mrad=0,001{\displaystyle 1\,{\text{mrad}}=0{,}001}
1″{\displaystyle 1''}4,85μrad{\displaystyle 4{,}85\,\mu {\text{rad}}}

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Grad oder in Radiant, manchmal zusätzlich auch inGon, wo der Vollwinkel 400 gon umfasst. Die Modi zur Berechnung heißen auf den meisten Taschenrechnern „DEG“ (vonenglischdegree für Grad) für das Gradmaß, „RAD“ für das Bogenmaß und „GRD“, „GRA“ oder „GRAD“ für das Gon-Winkelmaß, und sind manchmal über eine Kombitaste „DRG“ (von den Anfangsbuchstaben der Einheiten) zyklisch umschaltbar.

Winkelfunktionen in mathematischen Bibliotheken fürProgrammiersprachen und in Programmen zur Tabellenkalkulation verwenden in der Regel das Bogenmaß, Gradangaben müssen daher meist umgerechnet werden. Der Vollwinkel hat 2 π{\displaystyle \pi } Radiant oder 360Grad, daher gilt:

2πrad=360∘{\displaystyle 2\pi \,\mathrm {rad} =360^{\circ }}
1rad=360∘2π=180∘π≈57,29577951∘{\displaystyle 1\,\mathrm {rad} ={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}29577951^{\circ }}

oder:

1∘=2π360rad=π180rad≈0,017453293rad{\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}\,\mathrm {rad} ={\frac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} \approx 0{,}017453293\,\mathrm {rad} }

Der Faktor für die Umrechnung von Radiant auf Grad ist also180∘π (=1rad=1){\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\ \left(=1\,\mathrm {rad} =1\right)}

Beispiele:

Historisches

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Im SI war zunächst offengelassen worden, ob Radiant undSteradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen. 1980 empfahl dasCIPM, diese ergänzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20.CGPM und beschloss die Aufhebung der Klasse der ergänzenden Einheiten.[2]

Weblinks

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Commons: Radiant – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. ↑Le Système international d’unités. 9e édition, 2019 (die sogenannte „SI-Broschüre“, französisch und englisch).
  2. ↑Resolution 8 of the 20st CGPM (1995). Elimination of the class of supplementary units in the SI. Bureau International des Poids et Mesures, abgerufen am 12. April 2021 (englisch). 
SI-Einheiten
SI-Basiseinheiten

Sekunde |Meter |Kilogramm |Ampere |Kelvin |Mol |Candela

Abgeleitete SI-Einheiten
mit besonderem Namen

Radiant •Steradiant |Hertz |Newton •Pascal •Joule •Watt |Coulomb •Volt •Farad •Ohm •Siemens •Weber •Tesla •Henry |Grad Celsius |Lumen •Lux |Becquerel •Gray •Sievert |Katal

Zum Gebrauch mit dem SI
zugelassene Einheiten

Minute •Stunde •Tag |Astronomische Einheit |Winkelgrad •Winkelminute •Winkelsekunde |Hektar |Liter |Tonne •Atomare Masseneinheit |Elektronenvolt |Neper •Bel, Dezibel

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