EinBernoulli-Prozess oder eineBernoulli-Kette (benannt nachJakob I Bernoulli) ist eine Folge vonstochastisch unabhängigenBernoulli-Experimenten. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Erfolg oder Misserfolg. Zudem muss die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg und somit auch die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg bei jedem der Experimente dieselbe sein.

In mathematischer Terminologie ist ein Bernoulli-Prozess ein zeitlich diskreterstochastischer Prozess, der aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Folge vonunabhängigen Versuchen mitBernoulli-Verteilung zum selben Parameter${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$ besteht. Das heißt, für jeden der Zeitpunkte 1, 2, 3, … wird „ausgewürfelt“, ob ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit${\displaystyle p}$ eintritt oder nicht.

Der Prozess kann durch eine Folge von unabhängigenZufallsvariablen${\displaystyle X_1,X_2,X_3,\dots }$ beschrieben werden, von denen jede mit der konstanten Wahrscheinlichkeit${\displaystyle p}$ den Wert 1 (Erfolg) und mit der Wahrscheinlichkeit${\displaystyle 1-p}$ den Wert 0 (Misserfolg) annimmt.

Je nach Fragestellung interessiert man sich für eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen:

• Die Anzahl${\displaystyle S_n}$ erfolgreicher Versuche nach Durchführung von insgesamt${\displaystyle n}$ Versuchen. Sie folgt einerBinomialverteilung. Es gilt${\displaystyle S_n=X_1+\cdots +X_n}$.
• Die Anzahl${\displaystyle T_r}$ von Versuchen, die benötigt werden, um eine vorgegebene Anzahl von${\displaystyle r}$ Erfolgen zu erzielen. Sie folgt dernegativen Binomialverteilung. Insbesondere ist die Wartezeit auf den ersten Erfolggeometrisch verteilt.

Die Anzahl der Erfolge nach${\displaystyle n}$ Versuchen bei einem Bernoulli-Prozess ist eine spezielleMarkow-Kette: Beim Schritt von${\displaystyle n}$ nach${\displaystyle n+1}$ geht das System mit der Wahrscheinlichkeit${\displaystyle p}$ aus dem Zustand${\displaystyle k}$ in den Zustand${\displaystyle k+1}$ über, sonst bleibt es im Zustand${\displaystyle k}$.

Ein Bernoulli-Prozess hat dieErgebnismenge${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\{S,F{\}}^{\mathbb{N}}}$ und jedeZufallsvariable${\displaystyle X_i}$ hat zwei möglichen Ergebnisse,${\displaystyle S}$ (Erfolg) und${\displaystyle F}$ (Misserfolg), also ist${\displaystyle X_i\in \{S,F\}}$. Für jede Zufallsvariable${\displaystyle X_i}$ tritt mit der gleichenWahrscheinlichkeit Erfolg bzw. Misserfolg auf. Ist${\displaystyle p}$ die Wahrscheinlichkeit für Erfolg, dann ist${\displaystyle 1-p}$ die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg, also${\displaystyle P\{X_i=S\}=p}$ und${\displaystyle P\{X_i=F\}=1-p}$.

Die Anzahl${\displaystyle S_n=\sum _{i=1}^{n}1\{X_i=S\}}$ der erfolgreichen Versuche hat denErwartungswert${\displaystyle \mathrm{E}(S_n)=np}$ und dieVarianz${\displaystyle \mathrm{Var}(S_n)=np(1-p)}$.^[1]

Die Zufallsvariable${\displaystyle S_n}$, die angibt, wie viele von${\displaystyle n}$ Bernoulli-Versuchen erfolgreich waren, folgt derBinomialverteilung. Wir leiten diese Verteilung im folgenden Beispiel mit einem Würfel her.

Beim Würfeln werde die Sechs als Erfolg gewertet. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also${\displaystyle p=\frac{1}{6}}$, die komplementäreWahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist${\displaystyle 1-p=\frac{5}{6}}$. Gefragt sei nun nach der Wahrscheinlichkeit, in${\displaystyle n=5}$ Würfen genau${\displaystyle k=2}$ Sechsen zu werfen. Die Antwort auf diese Frage findet man wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, erst 2 Sechsen, dann 3 andere Augenzahlen zu werfen, ist${\displaystyle p^2(1-p{)}^3}$. Da es auf die Reihenfolge aber nicht ankommt, ist diese Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren mit der Anzahl der Möglichkeiten, zwei (ununterscheidbare) Sechsen auf 5 Würfe zu verteilen. DerKombinatorik zufolge ist diese Anzahl durch denBinomialkoeffizienten${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})}$ gegeben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet also:

${\displaystyle B(2|p,5)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})p^2(1-p{)}^{5-2}}$

Davon verallgemeinert lautet die Wahrscheinlichkeit in${\displaystyle n}$Bernoulli-Versuchen genau${\displaystyle k}$ mal Erfolg zu haben

${\displaystyle P(S_n=k)=B(k|p,n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}}$

Diese Funktion heißtBinomialverteilung.

Ein betrunkener Fußgänger (oder eindiffundierendes Teilchen) bewegt sich auf einer Linie bei jedem Schritt mit derWahrscheinlichkeit${\displaystyle p}$ vorwärts, mit der Wahrscheinlichkeit${\displaystyle 1-p}$ rückwärts. Man interessiert sich beispielsweise für die Entfernung vom Ausgangspunkt. Ein solches Modell wird in der Physik als eindimensionaleZufallsbewegung bezeichnet. Die Position${\displaystyle Y_n}$ des Fußgängers nach${\displaystyle n}$ Schritten lässt sich mithilfe des Bernoulli-Prozesses${\displaystyle (X_k)}$ darstellen als

${\displaystyle Y_n=Y_0+\sum _{k=1}^n(2X_k-1)=Y_0+2S_n-n}$

Ist beispielsweise eine Realisierung des Bernoulli-Prozesses durch dieFolge

${\displaystyle (X_n)=1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,\dots }$

gegeben, dann ist die Folge

${\displaystyle (Y_n)=1,0,-1,0,1,2,1,2,3,2,\dots }$

mit${\displaystyle Y_0=0}$ die zugehörige Irrfahrt.

• Christian Hesse:Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003,ISBN 3-528-03183-2,doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 

1. ↑Indian Institute of Science:Bernoulli Processes

• Stochastischer Prozess
• Bernoulli (Familie)