Einbalancierter Baum (englisch oftself-balancing tree) ist in derInformatik ein besondererBaum, der einemaximaleHöhe von${\displaystyle c\cdot \log (n)}$ garantiert, wobei${\displaystyle n}$ die Anzahl der Elemente im Baum angibt und${\displaystyle c}$ eine von${\displaystyle n}$ unabhängige Konstante ist. Manche Autoren rechnen auch Datenstrukturen dazu, die Vorkehrungen enthalten, dass die mittlere Höhe oderPfadlänge bei jedem Baum logarithmisch bleibt.

Eine wichtige Anwendung von Bäumen in der Informatik ist deren Nutzung alsSuchbaum. Die Laufzeit der wichtigstenOperationen in einem Suchbaum (Suchen, Einfügen und Löschen eines Wertes) hängt im schlechtesten Fall linear von der Höhe des Baumes ab (die Operationen haben eineKomplexität von${\displaystyle \mathcal{O}(h)}$;${\displaystyle h}$ Höhe des Baumes).

Jederk-näre Baum mit${\displaystyle n}$ Knoten hat eine Höhe von${\displaystyle h\ge {\log }_k(n+1)}$; und im Durchschnitt immer noch${\displaystyle c\cdot {\log }_{k}n}$ für ein gewisses konstantes${\displaystyle c}$. So sind auch die Operationen auf einem Baum mindestens der Komplexität${\displaystyle \mathcal{O}({\log }_{k}n)=\mathcal{O}(\log n)}$.

Fügt man jedoch zum Beispiel einem Suchbaum eine große Menge bereits sortierter Daten ein, wächst dieser ungleichmäßig und hat im Extremfall eine Höhe von${\displaystyle n}$ mit der unerwünschten Folge, dass auch jede folgende Einfüge-, Such- und Löschoperation der Komplexität${\displaystyle \mathcal{O}(n)}$ ist.

Das Ergebnis dieses einseitigen Einfügens wäre somit eineeinfach verkettete Liste; die Vorteile eines Baums wären somit zunichtegemacht

Balancierte Bäume wurden entwickelt, um die Entartung zu verhindern und eine Höhe von${\displaystyle c\cdot \log (n)}$ zu garantieren.

Dazu verfolgt man unterschiedliche Konzepte. Allen gemeinsam ist: Man fordert spezielle Eigenschaften des Baumes,

• aus denen folgt, dass die Höhe des Baumes in jedem Fall${\displaystyle c\cdot \log (n)}$ ist.
• sodass es geeignete Such-, Einfüge- und Löschoperationen (sinnvollerweise derKomplexität${\displaystyle \mathcal{O}(h)}$) gibt, die die speziellen Eigenschaften wahren.

Man erhält eine solche Operation, indem man die Operation der allgemeinen Suchbäume verwendet und nach jeder Ausführung an der Stelle der Änderung die Balance überprüft, adjustiert und ggf. neu balanciert. Es kann vorkommen, dass sich diese Anpassungs- und Reparatur-Welle bis zur Wurzel hinauf fortsetzt.

Nach der Höhe balancierte Bäume stellen für jeden Knoten sicher, dass die Höhe des linken Unterbaumes und die Höhe des rechten Unterbaumes nur um ein bestimmtes Verhältnis oder eine bestimmte Differenz voneinander abweichen.

BeimRot-Schwarz-Baum wird jedem Knoten eine Farbe (Rot oder Schwarz) zugeordnet; der Baum ist bezüglich der schwarzen Knoten optimal höhenbalanciert und der Anteil der roten Knoten ist begrenzt. Diese Bäume stellen eine binäre Realisierung der2-3-4-Bäume dar, einer speziellen Variante derB-Bäume.

ImAVL-Baum gilt für jeden Knoten: Die Höhe seineslinken Kindes weicht von der seines rechten Kindes um höchstens ±1 ab.

Sei${\displaystyle T}$ ein Binärbaum mit linkem Unterbaum${\displaystyle T_l}$ und rechtem Unterbaum${\displaystyle T_r}$. Dann heißt

${\displaystyle \rho (T):=\frac{|T_l|}{|T|}=1-\frac{|T_r|}{|T|}}$

dieWurzelbalance von${\displaystyle T}$. Dabei bedeutet${\displaystyle |T|}$ die Anzahl der(externen) Blätter von${\displaystyle T}$.

Ein Binärbaum wirdvon beschränkter Balance α genannt, wenn für jeden Unterbaum${\displaystyle T^{\prime }}$ von${\displaystyle T}$ gilt:

${\displaystyle \alpha \le \rho (T^{\prime })\le 1-\alpha }$ .

Diese Art Binärbäume wurden 1972 von Reingold und Nievergelt^[1] eingeführt. In der englischen Literatur heißen sie auch „weight-balanced trees“ (WBTs).^[2]

Mehlhorn versammelt alle Binärbäume mit beschränkter Balance α in der MengeBB(α) und beweist auf S. 181:
Sei undT ein BB(α)-Baum. Dann haben die OperationenSuche(a,T),Einfüge(a,T),Lösche(a,T) jeweils dieZeitkomplexität${\displaystyle \mathcal{O}(\log |T|)}$.

Unter demGewicht eines Knotens sei hier die Wahrscheinlichkeit des Zugriffs auf ihn verstanden.

Ist der Baum statisch, spielen also Einfüge- oder Löschoperationen keine Rolle, so bietet sich derBellman-Algorithmus an, der einen optimalen gewichteten binären Suchbaum konstruiert. Seine Effizienz ist auch dann gegeben, wenn die Gewichte nur ungefähr bekannt sind.

Allerdings kann bei einerextremen Verteilung der Zugriffswahrscheinlichkeiten auch beimoptimalen gewichteten binären Suchbaum imworst case eine lineare (nicht mehr logarithmische) Abhängigkeit der Höhe von der Anzahl herauskommen.

Sind Einfüge- oder Entfernoperationen wichtig, so sind im Prinzip auch die Gewichte zu pflegen. Im Grenzfall sogar beim Aufsuchen, da sich hierbei zumindest die Zugriffsstatistik ändert.

Dies und noch mehr leisten dieSplay-Bäume.

• Gewichteter binärer Suchbaum
• Bellman-Algorithmus (Konstruktion des optimalen gewichteten binären Suchbaums)
• Splay-Baum

1. ↑Nievergelt, J. & Reingold, E. M. (1972) Binary search trees of bounded balance. In Proceedings of the Fourth Annual Acm Symposium on Theory of Computing. ACM, pp. 137–142.
2. ↑Y. Hirai, K. Yamamoto:Balancing weight-balanced trees. In:J. Functional Programming. 21. Jahrgang,Nr. 3, 2011,S. 287,doi:10.1017/S0956796811000104 (yoichihirai.com [PDF]). 

• Kurt MehlhornDatenstrukturen und effiziente Algorithmen Teubner Stuttgart 1988,ISBN 3-519-12255-3.

• Suchbaum

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