In derMathematik und ihren Anwendungen bezeichnetasymptotische Analyse (auchasymptotische Analysis) einerseits eine Methode, um dasGrenzverhalten vonFunktionen oderFolgen zu klassifizieren, indem man nur den wesentlichen Trend des Grenzverhaltens beschreibt, andererseits aber auch die zugrundeliegende Theorie als Ganzes.

Asymptotische Resultate hängen im Wesentlichen davon ab, welche Parameter konvergieren bzw. divergieren und welche Region man betrachtet.

Das asymptotische Verhalten von Funktionen lässt sich mit einerÄquivalenzrelation beschreiben. Seien${\displaystyle f}$ und${\displaystyle g}$reellwertige Funktionennatürlicher Zahlen${\displaystyle n,}$ so lässt sich eine Äquivalenzrelation definieren durch:

${\displaystyle f\sim g\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(n)}{g(n)}=1}$

DieÄquivalenzklasse von${\displaystyle g}$ besteht aus allen Funktionen${\displaystyle h}$, bei denen derrelative Fehler${\displaystyle \frac{h(n)-g(n)}{g(n)}}$ zu${\displaystyle g}$ beim Grenzübergang${\displaystyle n\to \mathrm{\infty }}$ gegen${\displaystyle 0}$ strebt. Diese Definition lässt sich unmittelbar auf Funktionen einer reellen oder komplexen Veränderlichen${\displaystyle x}$ übertragen sowie auf den Fall${\displaystyle x\to x_0}$, wobei die Annäherung an${\displaystyle x_0}$ oft nur über eineTeilmenge erfolgt, z. B. im Reellen von links oder von rechts, bzw. im Komplexen in einem Winkelbereich, oder über eine vorgegebene diskrete Menge. Des Weiteren lässt sich diese Definition auch auf mehrere laufende Parameter ausdehnen.

• DerPrimzahlsatz derZahlentheorie besagt, dass die Anzahl von Primzahlen kleiner${\displaystyle x}$ für große${\displaystyle x}$ sich asymptotisch verhält wie${\displaystyle x/\ln x}$.
• DieStirling-Formel beschreibt das asymptotische Verhalten derFakultäten.
• Vier elementare Beispiele sind${\displaystyle \ln (1+x)}$,${\displaystyle \sin x}$,${\displaystyle 1-\cos x}$ und${\displaystyle \cot x}$ mit dem asymptotischen Verhalten${\displaystyle x}$,${\displaystyle x}$,${\displaystyle x^2/2}$ bzw.${\displaystyle 1/x}$ für${\displaystyle x\to 0.}$

Eine nützliche Notation zur Beschreibung der Wachstumsklassen ist die Landau-Notation, die ursprünglich vonPaul Bachmann stammt, aber durchEdmund Landau bekannt gemacht wurde. Eine wichtige Anwendung der Landau-Notation ist dieKomplexitätstheorie, in derasymptotische Laufzeit und Speicherverbrauch einesAlgorithmus untersucht werden.

Die einfachste Art, diese Symbole zu definieren, ist:${\displaystyle O(f(x))}$ und${\displaystyle o(f(x))}$ sind Klassen von Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:

• 
• ${\displaystyle g(x)\in o(f(x)):\iff \underset{x\to x_0}{lim}\left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|=0}$

Der Punkt${\displaystyle x_0}$ wird in der Regel aus dem Kontext klar. Weiters schreibt man oft auch${\displaystyle g(x)=O(f(x))}$ statt${\displaystyle g(x)\in O(f(x))}$.

Unter einer asymptotischen Entwicklung einer Funktion${\displaystyle f}$ versteht man die Darstellung der Funktion alsformale Potenzreihe – also als nicht notwendigerweise konvergenteReihe. Dabei kann nach Abbruch der Reihe nach einem endlichen Glied die Größe das Fehlergliedes kontrolliert werden, wodurch die asymptotische Entwicklung eine gute Näherung in der Nähe von${\displaystyle x_0}$ für den Funktionswert${\displaystyle f(x_0)}$ liefert.^[1] Ein bekanntes Beispiel einer asymptotischen Entwicklung ist dieStirlingsche Reihe als asymptotische Entwicklung für dieFakultät. Definieren lässt sich eine solche Entwicklung mit Hilfe einerasymptotischen Folge${\displaystyle ({\phi }_n)}$ als

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^N{a}_i{\phi }_i(x)+o({\phi }_N(x))}$

mit${\displaystyle {\phi }_{n+1}(x)=o({\phi }_n(x)),x\to x_0}$.

Falls die asymptotische Entwicklung nicht konvergiert, gibt es für jedes Funktionsargument${\displaystyle x}$ einen Index${\displaystyle k}$, für den der Approximationsfehler

${\displaystyle f(x)-\sum _{i=1}^k{a}_i{\phi }_i(x)}$

betragsmäßig am kleinsten wird; das Hinzufügen weiterer Terme verschlechtert dieApproximation. Der Index${\displaystyle k}$ der besten Approximation wird bei asymptotischen Entwicklungen aber umso größer, je näher${\displaystyle x}$ bei${\displaystyle x_0}$ liegt.

Asymptotische Entwicklungen treten insbesondere bei der Approximation gewisser Integrale auf, beispielsweise mittels derSattelpunktmethode. Das asymptotische Verhalten von Reihen lässt sich darauf oft mit Hilfe dereulerschen Summenformel zurückführen.

• Methode des steilsten Anstieges
• Methode von Chester-Friedman-Ursell

• A. Erdélyi:Asymptotic Expansions. Dover Books on Mathematics, New York 1987,ISBN 0-486-60318-0.
• L. Berg:Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968,DNB750308605.

1. ↑Asymptotische Entwicklung einer Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.):Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000,ISBN 3-8274-0439-8. 

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