Ihre Grundlagen wurden im 17. Jahrhundert vonGottfried Wilhelm Leibniz undIsaac Newton alsInfinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt. Infinitesimalrechnung ist die mathematische Untersuchung kontinuierlicher Veränderungen, so wieGeometrie die Untersuchung der Form undAlgebra die Untersuchung der Verallgemeinerung arithmetischer Operationen ist.
Die Analysis hat sich zu einem sehr allgemeinen, nicht klar abgrenzbaren Oberbegriff für vielfältige Gebiete entwickelt. Neben der Differential- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellenDifferentialgleichungen, dieVariationsrechnung, dieVektoranalysis, dieMaß- und Integrationstheorie und dieFunktionalanalysis.[1]
heißtm die Steigung undc der y-Achsen-Abschnitt oderOrdinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte und auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch
Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt eineTangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle berechnen kann. Wählt man eine Stelle ganz nahe bei und legt eine Gerade durch die Punkte und, so ist die Steigung dieserSekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)
Diesen Quotienten nennt man denDifferenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle immer weiter an annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben
und nennen dies dieAbleitung oder denDifferentialquotienten vonf in.Der Ausdruck bedeutet, dassx immer weiter an angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischenx und beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen“. Die Bezeichnung steht fürLimes.
Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktionf heißt differenzierbar an der Stelle, wenn der Grenzwert existiert.
Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eineSumme von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.
Die obigeFolgekonvergiert, fallsf gewisse Bedingungen (wie z. B.Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenanntenRiemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.
In der sogenanntenHöheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. dasLebesgue-Integral betrachtet.
Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtetFunktionen mehrerer reeller Variablen, die oft als einVektor beziehungsweisen-Tupel dargestellt werden.
Die Begriffe derNorm (als Verallgemeinerung des Betrags), derKonvergenz, der Stetigkeit und derGrenzwerte lassen sich einfach von einer in mehrere Dimensionen verallgemeinern.
Die Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen unterscheidet sich von der eindimensionalen Differentiation.Wichtige Konzepte sind dieRichtungs- und diepartielle Ableitung, die Ableitungen in einer Richtung beziehungsweise in einer Variable sind. DerSatz von Schwarz stellt fest, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff dertotalen Differentiation von Bedeutung. Dieser kann interpretiert werden als die lokale Anpassung einerlinearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion und ist das mehrdimensionale Analogon der (ein-dimensionalen) Ableitung. DerSatz von der impliziten Funktion über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden.
In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie dasKurvenintegral, dasOberflächenintegral und dasRaumintegral. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind derTransformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und derSatz von Fubini, welcher es erlaubt, Integrale übern-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. Auch dieIntegralsätze aus derVektoranalysis vonGauß,Green undStokes sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Sie können als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden.
Die Funktionalanalysis ist eines der wichtigsten Teilgebiete der Analysis. Die entscheidende Idee in der Entwicklung der Funktionalanalysis war die Entwicklung einer koordinaten- und dimensionsfreien Theorie. Dies brachte nicht nur einen formalen Gewinn, sondern ermöglichte auch die Untersuchung von Funktionen auf unendlichdimensionalentopologischen Vektorräumen.[1] Hierbei werden nicht nur die reelle Analysis und dieTopologie miteinander verknüpft, sondern auch Methoden derAlgebra spielen eine wichtige Rolle.Aus wichtigen Resultaten derFunktionalanalysis wie es beispielsweise derSatz von Fréchet-Riesz ist, lassen sich zentrale Methoden für die Theorie partieller Differentialgleichungen ableiten. Zudem ist die Funktionalanalysis, insbesondere mit derSpektraltheorie, der geeignete Rahmen zurmathematischen Formulierung der Quantenmechanik und auf ihr aufbauender Theorien.
Eine Differentialgleichung ist eineGleichung, die eine unbekannte Funktion und Ableitungen von dieser enthält. Treten in der Gleichung nur gewöhnliche Ableitungen auf, so heißt die Differentialgleichung gewöhnlich. Ein Beispiel ist die Differentialgleichung
Ziel der Theorie der Differentialgleichungen ist es, Lösungen, Lösungsmethoden und andere Eigenschaften solcher Gleichungen zu finden. Für gewöhnliche Differentialgleichungen wurde eine umfassende Theorie entwickelt, mit der es möglich ist, zu gegebenen Gleichungen Lösungen anzugeben, insofern diese existieren. Da partielle Differentialgleichungen in ihrer Struktur komplizierter sind, gibt es weniger Theorie, die auf eine große Klasse von partiellen Differentialgleichungen angewandt werden kann. Daher untersucht man im Bereich der partiellen Differentialgleichungen meist nur einzelne oder kleinere Klassen von Gleichungen. Um Lösungen und Eigenschaften solcher Gleichungen zu finden, werden vor allem Methoden aus der Funktionalanalysis und auch aus derDistributionentheorie und dermikrolokalen Analysis eingesetzt. Allerdings gibt es viele partielle Differentialgleichungen, bei denen mit Hilfe dieser analytischen Methoden erst wenige Informationen über die Lösungsstruktur in Erfahrung gebracht werden konnten. Ein in der Physik wichtiges Beispiel einer solch komplexen partiellen Differentialgleichung ist das System derNavier-Stokes-Gleichungen. Für diese und für andere partielle Differentialgleichungen versucht man in dernumerischen Mathematik näherungsweise Lösungen zu finden.
Im Gegensatz zur reellen Analysis, die sich nur mit Funktionen reeller Variablen befasst, werden in der Funktionentheorie (auch komplexe Analysis genannt) Funktionen komplexer Variablen untersucht. Die Funktionentheorie hat sich von der reellen Analysis mit eigenständigen Methoden und andersartigen Fragen abgesetzt. Jedoch werden einige Phänomene der reellen Analysis erst mit Hilfe der Funktionentheorie richtig verständlich. Das Übertragen von Fragen der reellen Analysis in die Funktionentheorie kann daher zu Vereinfachungen führen.[1]
Leonhard Euler:Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983,ISBN 3-540-12218-4 (Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
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