DieAleph-Funktion, benannt nach demersten Buchstaben deshebräischen Alphabets und auch als geschrieben, ist eine in derMengenlehre, genauer in der Theorie derKardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.
Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung desAuswahlaxioms in der Klasse derOrdinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl mit der kleinsten zu gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist dasSupremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einenOrdnungsisomorphismus von auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von an der Stelle bezeichnet man mit, das heißt, ist die-te unendliche Kardinalzahl.
Die Aleph-Funktion lässt sich mittransfiniter Rekursion wie folgt definieren:
Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, die Kardinalität derabzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als, ist, und so weiter. Die Frage, ob gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist alsKontinuumshypothese bekannt.
Allgemein ist eineNachfolger-Kardinalzahl, falls eineNachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eineLimes-Kardinalzahl.
Üblicherweise bezeichnet die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als geschrieben werden.
Es gilt stets für alle Ordinalzahlen. Man kann zeigen, dass esFixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen, für die gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge, der informal als dargestellt wird. Ebenso sindschwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.