Abzählende Kombinatorik

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Zahl der Variationen und Kombinationen von 10 Elementen zur k-ten Klasse und der partiellen Derangements (fixpunktfreie Permutationen) von 10 Elementen.
**P*(10;k)** k-Permutationen oder Variationen mit Wiederholung
**P(10;k)** k-Permutationen oder Variationen ohne Wiederholung
**K*(10;k)** k-Kombinationen mit Wiederholung
**K(10;k)** k-Kombinationen ohne Wiederholung
**D(10;10-k)** partielle Derangements
(bei denen nur k der 10 Elemente die Plätze wechseln)

Dieabzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich derKombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung derAnzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen

unterscheidbarer oder nicht unterscheidbarerObjekte (d. h. „ohne“ bzw. „mit“ Wiederholung derselben Objekte) sowie
mit oder ohne Beachtung ihrerReihenfolge (d. h. „geordnet“ bzw. „ungeordnet“).

In der modernen Kombinatorik werden diese Auswahlen oder Anordnungen auch alsAbbildungen betrachtet, so dass sich die Aufgabe der Kombinatorik in diesem Zusammenhang im Wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen.

Anwendungen

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Für das Rechnen mitWahrscheinlichkeiten auf der Basis desWahrscheinlichkeitsbegriffs vonLaplace bildet die Kombinatorik eine wichtige Grundlage.

Ein verblüffendes Phänomen der Kombinatorik ist, dass sich oftmals wenige Objekte auf vielfältige Weise kombinieren lassen. BeimZauberwürfel können beispielsweise die 26 Elemente auf rund 43Trillionen Arten kombiniert werden. Dieses Phänomen wird oft alskombinatorische Explosion bezeichnet und ist auch die Ursache für dasGeburtstagsparadoxon.

Permutationen, Variationen und Kombinationen

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Begriffsabgrenzungen

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Aufgrund der Vielfalt der Herangehensweisen sind die Schreibweisen und Begrifflichkeiten im Bereich der Kombinatorik leider oft recht uneinheitlich. Zwar bezeichnen übereinstimmend alle Autoren die Vertauschung der Reihenfolge einer Menge von $n {\displaystyle n}$ unterscheidbaren Elementen alsPermutation. Wählt man dagegen von diesen $n {\displaystyle n}$ Elementen nur $k<n$ Elemente aus, deren Reihenfolge man anschließend vertauscht, bezeichnen viele Autoren das nun alsVariation,geordnete Stichprobe bzw.Kombination mit Berücksichtigung der Reihenfolge, andere dagegen (namentlich im englischsprachigen Raum) weiter alsPermutation. Lässt man schließlich in einer solchen Auswahl von Elementen deren Reihenfolge außer Acht, wird solch eine Auswahl nun für gewöhnlichungeordnete Stichprobe,Kombination ohne Berücksichtigung der Reihenfolge oder einfach nurKombination genannt. Kombinationen sind also, sofern nichts weiter zu ihnen gesagt wird, in der Regel ungeordnet, Permutationen und/oder Variationen dagegen geordnet, wobei die Frage, ob man Permutationen als Sonderfälle von Variationen (oder umgekehrt) betrachtet, gegebenenfalls von Autor zu Autor unterschiedlich beantwortet wird.

Alles in allem gibt es also zunächst einmal drei (oder auch nur zwei) verschiedene Fragestellungen, die ihrerseits noch einmal danach unterteilt werden, ob es unter den ausgewählten Elementen auch Wiederholungen gleicher Elemente geben darf oder nicht. Ist ersteres der Fall, spricht man von Kombinationen, Variationen oder Permutationen mit Wiederholung, andernfalls solchen ohne Wiederholung. Stellt man sich schließlich vor, dass die ausgewählten Elemente dabei einerUrne oder Ähnlichem entnommen werden, wird dementsprechend auch von Stichproben mit oder ohne Zurücklegen gesprochen.

Übersicht der Terminologie
			Elemente paarweise verschieden	Elemente können mehrfach vorkommen
			ohne Zurücklegen, ohne Wiederholung	mit Zurücklegen, mit Wiederholung
geordnete Stichprobe, mit Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge relevant	$k=n$	Permutation	Permutation ohne Wiederholung (engl.n-permutation)	Permutation mit Wiederholung (engl.n-tuple)
	$k<n$	Variation	Variation ohne Wiederholung (engl.k-permutation)	Variation mit Wiederholung (engl.k-tuple)
ungeordnete Stichprobe, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, d. h. Reihenfolge irrelevant	$k<n$	Kombination	Kombination ohne Wiederholung (engl.k-combination)	Kombination mit Wiederholung (engl.k-multiset)

Anzahlen

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Im Folgenden bezeichnet $n {\displaystyle n}$ die Zahl der vorhandenen Elemente und $k {\displaystyle k}$ die Zahl ausgewählten Elemente bzw. $k_{1},\ldots ,k_{s}$ die jeweiligen Anzahlen der Elemente, die nicht unterscheidbar sind.

Anzahl möglicher Permutationen, Variationen und Kombinationen
	ohne Wiederholung $(a,b,c),\{a,b,c\}$	mit Wiederholung $(a,a,b),\{a,a,b\}$
Permutationen $(a,b)\neq (b,a)$	$n! {\displaystyle ~n!~}$	${\frac {(k_{1}+\ldots +k_{s})!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{s}}}$
Permutationen $(a,b)\neq (b,a)$	→Fakultät	→Multinomial
Variationen $(a,b)\neq (b,a)$	$n^{\underline {k}}={n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}}$	$~n^{k}~$
Variationen $(a,b)\neq (b,a)$	→Fallende Fakultät	→k-Tupel
Kombinationen $\{a,b\}=\{b,a\}$	${n \choose k}={\frac {n!}{{\left(n-k\right)!}\cdot k!}}$	$\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!}}$
Kombinationen $\{a,b\}=\{b,a\}$	→Mengen (k-Teilmengen)	→Multimengen

Bälle und Fächer

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Eine Verallgemeinerung des Urnenmodells ist ein vonGian-Carlo Rota popularisiertes Modell mit Bällen und Fächern, im Englischen nach einem Vorschlag vonJoel Spencer auchTwelvefold Way („Zwölffacher Weg“) genannt.^[1]^[2] Gesucht ist dabei die Anzahl der Möglichkeiten, $k {\displaystyle k}$ Bälle auf $n {\displaystyle n}$ Fächer zu verteilen, wobei die Bälle und Fächer jeweils entweder unterscheidbar oder nicht unterscheidbar sind und entweder keine weitere Bedingung gilt oder in jedes Fach höchstens ein Ball kommen darf oder mindestens ein Ball kommen muss. Man erhält folgende Übersicht:

$k {\displaystyle k}$ Bälle	$n {\displaystyle n}$ Fächer	Beschränkung auf Anzahl der Bälle pro Fach
unterscheidbar?		—	max. 1	mind. 1
$\checkmark$	$\checkmark$	$n^{k}$	$n^{\underline {k}}={\tfrac {n!}{(n-k)!}}=k!\,{\tbinom {n}{k}}$	$n!\,S_{k,n}$
$\times$	$\checkmark$	$\left(\!\!{\tbinom {n}{k}}\!\!\right)={\tbinom {k+n-1}{n-1}}$	${\tbinom {n}{k}}$	$\left(\!\!{\tbinom {n}{k-n}}\!\!\right)={\tbinom {k-1}{n-1}}$
$\checkmark$	$\times$	$\sum _{r=0}^{n}S_{k,r}$	${\begin{array}{lll}1&:&k\leq n\\0&:&k>n\end{array}}$	$S_{k,n}$
$\times$	$\times$	$\sum _{r=0}^{n}P_{k,r}=P_{k+n,n}$	${\begin{array}{lll}1&:&k\leq n\\0&:&k>n\end{array}}$	$P_{k,n}$

Dabei ist $S_{k,n}$ die Anzahl der Möglichkeiten, eine $k {\displaystyle k}$ -elementige Menge in $n {\displaystyle n}$ nichtleere disjunkte Teilmengen aufzuteilen (Stirling-Zahl zweiter Art), und $P_{k,n}$ die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl $k {\displaystyle k}$ als Summe von $n {\displaystyle n}$ positiven ganzen Zahlen ohne Beachtung der Reihenfolge darzustellen (siehePartitionsfunktion).

Äquivalente Darstellungen

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Wird in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,P)$ die Anzahl der möglichen Ereignisse durch eine der obigen kombinatorischen Formeln gegeben, dann können über die vollständige Zerlegung des Ereignisraums äquivalente Darstellungen für sie abgeleitet werden. Die folgenden beiden Modelle verdeutlichen dies. Es werden $k {\displaystyle k}$ Bälle zufällig auf $n\leq k$ Fächer verteilt. Man betrachte die Ereignisse $E_{j}$ , dass $j {\displaystyle j}$ Fächer, $j=1,\ldots ,n$ , mindestens einen Ball enthalten unter der Prämisse:

Kein Ball wird von vornherein einem Fach zugeordnet.
Jeder Ball wird von vornherein einem Fach zugeordnet, kann aber in einem anderen Fach landen.

Der erste Fall entspricht der Variante „nicht unterscheidbare Bälle, unterscheidbare Fächer“. Die vollständige Zerlegung des Ereignisraums in die disjunkten Ereignisse $E_{j}$ ergibt dann

|\Omega |={\binom {n+k-1}{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\binom {k-1}{k-j}}

Der zweite Fall entspricht der Variante „unterscheidbare Bälle, unterscheidbare Fächer“. Die vollständige Zerlegung des Ereignisraums analog zum ersten Fall ergibt die äquivalente Darstellung

|\Omega |=n^{k}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}\sum _{i=0}^{j-1}(-1)^{i}{\binom {j}{j-i}}(j-i)^{k}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}(-1)^{j}\sum _{i=1}^{j}(-1)^{i}{\binom {j}{i}}i^{k}

wobei sich die zweite Summe durch Umkehrung der Summierungsreihenfolge (bzw. $i\to j-i$ ) aus der ersten ergibt.

Für $n=k$ ist das Ereignis, dass alle Fächer mindestens einen Ball besitzen, gleich dem Ereignis, dass alle Fächer genau einen Ball besitzen, und enthält $n! {\displaystyle n!}$ Elemente. Daraus folgt

n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}=(-1)^{n}\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}i^{n}

Literatur

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Martin Aigner:Diskrete Mathematik. Vieweg, 2006,ISBN 3-8348-9039-1.
Karl Bosch:Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Vieweg, 2003,ISBN 3-528-77225-5.
Norbert Henze:Stochastik für Einsteiger. Springer Spektrum, 2013,ISBN 978-3-658-03076-6,doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
Konrad Jacobs,Dieter Jungnickel:Einführung in die Kombinatorik. de Gruyter, 2003,ISBN 3-11-016727-1.
Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener:Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. Oldenbourg, 2005,ISBN 3-486-57890-1.

Weblinks

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Wiktionary: Kombinatorik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Algorithmensammlung: Kombinatorik: Binomialkoeffizient – Lern- und Lehrmaterialien

V.N. Sachkov:Combinatorial analysis. In:Michiel Hazewinkel (Hrsg.):Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag undEMS Press, Berlin 2002,ISBN 1-55608-010-7 (englisch,encyclopediaofmath.org).
Modul Kombinatorik beim MathePrisma
Michael Stoll:Abzählende Kombinatorik (PDF; 554 kB) Vorlesungsskript
Empfehlungen zur Kombinatorik in der Schule (PDF; 612 kB) aus:Stochastik in der Schule, 33, 2013, 1, S. 21–25

Einzelnachweise

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↑Richard P. Stanley:Enumerative combinatorics (Band 1), Cambridge University Press, 2. Auflage 2012,ISBN 978-1-107-01542-5, S. 79 ff. und 107 f. (englisch; Stanleys Webseite zum Buch mit der letzten Vorabversion und Errata als PDF:Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition)
↑Aigner:Diskrete Mathematik, 2006,S. 10