Eineabelsche Gruppe ist eineGruppe, d. h. eine bestimmte Menge von Elementen zusammen mit einerVerknüpfung, für die zusätzlich dasKommutativgesetz gilt.
Der mathematische Begriffabelsche Gruppe, auchkommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. DieAdditionrationaler Zahlen und dieMultiplikation rationaler Zahlen erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft inGeometrie undAlgebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen.
Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens und des Multiplikationszeichens abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen MathematikersNiels Henrik Abel gewählt worden.
Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eineGruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben und dann einModul genannt. In diesem Falle heißen die Summe von und, das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird geschrieben. Das Inverse von wird dann als dessenEntgegengesetztes mit bezeichnet.
Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben werden. Dann heißt oder einfach das Produkt von und. In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird geschrieben. Das Inverse von bezeichnet man nun mit.
In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als. Es gelten dann die Regeln:. Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten.
ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der ganzen Zahlen und die gewöhnliche Addition.
ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die und ist die gewöhnliche Multiplikation.
Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl kein Inverses bezüglich der Multiplikation. lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
Die Menge derVerschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor verschoben
Die Menge derDrehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
Die Menge derDrehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben.. Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zurHauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. ist die Drehung um, ist die Drehung um und ist die Drehung um.
Sind abelsche Gruppen, so wird zu einer abelschen Gruppe durch.
Ist eine Menge und eine abelsche Gruppe, so ist eine Gruppe, wenn definiert wird:. Es heißt diete Komponente von. Oft wird als Vektor geschrieben der Form. Dabei ist. Ist, so ist die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus sind. Ist, so ist.
Diereellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
Allgemeiner liefert jederKörper in derselben Weise zwei abelsche Gruppen und.
Hingegen ist die Gruppe der invertierbaren-Matrizen über einemKörper für ein Beispiel für einenichtabelsche Gruppe. Die kleinstenichtabelsche Gruppe ist übrigens diesymmetrische GruppeS3 mit sechs Elementen.
Eine nicht leere Teilmenge der abelschen Gruppe heißtUntergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle gilt:.[2] In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:.
ist Untergruppe von.
Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
Ist eine Gruppe und, so sind und Untergruppen von.[3] Zum Beispiel ist Menge der geraden Zahlen, eine Untergruppe von.
Jede Teilmenge ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die enthält. Diese Untergruppe heißt die vonerzeugte Untergruppe von. Sie wird mit bezeichnet.
Sind Untergruppen von, so ist die Menge eine Untergruppe von. Allgemeiner: Ist eine Familie von Untergruppen, so ist eine Untergruppe von. Sie heißt dieSumme der Untergruppen.
Ist, so ist die von erzeugte Untergruppe. Ist so heißt einErzeugendensystem von.
Eine abelsche Gruppe heißtendlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge gibt, so dass gilt. Ist von einem Element erzeugt, so heißtzyklisch. Es wird geschrieben.
Jede Untergruppe von ist zyklisch.
Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von ist wieder zyklisch. Es gilt. Dabei ist dergrößte gemeinsamer Teiler von. Zum Beispiel ist:.
ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist ein Erzeugendensystem von und ist, so ist auch noch ein Erzeugendensystem.
Einige Gruppen in Kunst und Natur
Fra Giovanni da Verona malte dieses Bild als Intarsie in der Sacrestia di Santa Maria in Organo. Es veranschaulicht eine zyklische Gruppe der Ordnung 8 samt einer Untergruppe der Ordnung 4.
Der Entwurf vonBramante zum Petersdom. Unter anderem ist es eine Drehgruppe der Ordnung 4. Tatsächlich ist mathematisch noch mehr darin versteckt. Es ist ein Fraktal.
Die Blüte zeigt die Symmetrie der Drehgruppe der Ordnung 5. Auch das entstehendePentagramm ist deutlich zu erkennen.
Ist eine Untergruppe, so definiert eine Äquivalenzrelation. Sind und sind so ist. Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei Menge der Äquivalenzklassen. Auf wird eine Addition erklärt.
Wollen wir tatsächlich in rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist.
Ist eine Untergruppe von, so ist zyklisch. Das heißt, es gibt ein mit. Ist, so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von. Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive genau dann, wenn sie beim Teilen durch den gleichen Rest lassen. Es ist dann ein Repräsentantensystem von. Bezeichnet der Rest, der beim Teilen von durch sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in folgende 'Addition': für. Den Index beim Zeichen lässt man weg. So ergibt in zum Beispiel.[5]
ist eine Untergruppe von. Ein Repräsentantensystem von ist das rechts offene Einheitsintervall. In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen:. Dabei ist größte ganze Zahl. Es ist daher für:
Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe von kommen etwas weiter unten zur Sprache.
Die Identität und die Nullabbildung sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe gibt es genau einen Morphismus. Genauso gibt es genau einen Homomorphismus.
Die Abbildung ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist so ist die Multiplikation mit, also die Abbildung, ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zumDistributivgesetz, welches besagt: Für alle gilt:. Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen das heißt: Ist ein Homomorphismus, so gibt es ein mit für alle.
Ist, so ist die Abbildung ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe.
Die natürlicheExponentialfunktion: ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe bijektiv in die multiplikative Gruppe ab. Die Umkehrabbildung ist dernatürliche Logarithmus.
Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eineKategorie (Mathematik). Diese ist der Prototyp einerabelschen Kategorie.
Es liegt nahe für und zu definieren:. Es gilt dann:
. (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in. Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in. Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit geschrieben.)
Für alle ist.
Für alle und alle ist.
Für alle und alle ist.
Für alle und alle ist.
Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem-Modul. Ist ein Homomorphismus, so ist für alle:.
Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in die. Zu jedem beliebigen gibt es genau einen Homomorphismus mit. Es ist. Allgemein ist. Die obigen Gesetze besagen dann:
Für alle ist.
Für alle ist.
Für alle ist.
Für alle ist. Wird für die Menge der rationalen oder reellen Zahlen eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.
Ist ein Homomorphismus, und sind beziehungsweise Untergruppen, so sind und Untergruppen. Insbesondere sind und Untergruppen. Hieraus folgt:
Ist eine Gruppe und eine natürliche Zahl, so ist und Untergruppen von. Dies gilt, da die Multiplikation mit ein Homomorphismus ist.
ist Untergruppe von. Dies ist dieTorsionsuntergruppe von. Ist, so heißttorsionsfrei. Für jede Gruppe ist torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von ist.
Ist ein Homomorphismus und ist von Elementen erzeugt und ist von Elementen erzeugt, so ist von Elementen erzeugt.
Jede Untergruppe von ist von maximal Elementen erzeugt.
Ist ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus. In diesem Fall heißtIsomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen und so heißenisomorph.
Ist ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißtMonomorphismus.
ist als Abbildung injektiv.
.
Für alle abelschen Gruppen und alle Homomorphismen mit ist. Es ist links kürzbar.
Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind Monomorphismen, so ist ein Monomorphismus.
Ist ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißtEpimorphismus.
ist als Abbildung surjektiv.
.
Für alle Gruppen und alle gilt: Ist, so ist. Es ist auf der rechten Seite kürzbar.
Ist eine Untergruppe, so ist die Abbildung ein Epimorphismus.
Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind und Epimorphismen, so ist ein Epimorphismus. Er heißtkanonischer Epimorphismus.
Sind und Homomorphismen und ist ein Epimorphismus, so ist ein Epimorphismus.
Ein bijektiver Homomorphismus heißtIsomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.
Homomorphiesatz: Sei ein Homomorphismus. der kanonische Epimorphismus. Dann ist ein Monomorphismus mit. Insbesondere ist.[7] Es ist folgendes Diagrammkommutativ.Homomorphiesatz
Sind Gruppen, so ist die Menge eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch:.
Es ist für jede endlich erzeugte Gruppe.
Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen gleich, so ist.
Für alle abelschen Gruppen ist. Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
Ist ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung ein Homomorphismus. Für gilt:. Ist die Identität auf, so ist die Identität auf. Ist ein Isomorphismus, so ist ein Isomorphismus. Wird
Jeder abelschen Gruppe die abelsche Gruppe und
jedem Homomorphismus der Homomorphismus zugeordnet, so erhält man denFunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie.
Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von. Da es zu jedem einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit gibt, ist die Zuordnung eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: hat die folgende Eigenschaft: Für alle und alle Homomorphismen ist. Außerdem ist für alle die Abbildung ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist:. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ für alle und alle mit Isomorphismen.Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A) Das heißt unter anderem ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn dies ist.
Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist eine exakte Folgeexakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe die induzierte Folge exakt.[10] Dabei ist. Der Funktor heißtlinks exakt. Ist ein Epimorphismus, so ist normalerweise kein Epimorphismus.
Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es in den verlinkten Wikipedia-Artikeln weitere Informationen zu Teilaspekten abelscher Gruppen.
Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring (sieheoben). Wird durch einen beliebigenRing ersetzt, erhalten wir einen-Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln überHauptidealbereichen übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
Torsionsgruppen: Ein heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass. Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe bilden eine Untergruppe. Beispielsweise ist die Torsionsuntergruppe von.
Direkte Summen abelscher Gruppen: Für den Fall zweier Untergruppen sei der Begriff hier erklärt. Ist und, so heißt direkte Summe von.
Freie abelsche Gruppe: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der-Moduln spielen diefreien Moduln eine große Rolle.
Endlich erzeugte abelsche Gruppe. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff derDimension einesVektorraums jeder abelschen Gruppe ihrenRang zuordnen. Er ist definiert als die größteMächtigkeit einer-linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen derMengenlehre.
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