Dieses Wikibook beschäftigt sich mit der verblüffenden Ähnlichkeit bei den Verhältnissen der Schwingungsfrequenzen derBalmer-Serie mit den Verhältnissen der Schallfrequenzen des einleitenden Motivs der Sinfonischen DichtungTill Eulenspiegels lustige Streiche von Richard Strauss (* 1864; † 1949).

Es steht außer Zweifel, dass für solche kompositorischen Transferleistungen nicht nur eine überragende Musikalität eine Voraussetzung ist, sondern dass Richard Strauss auch über die erforderliche Genialität und den Einfallsreichtum verfügte, um aus dem physikalischen Basismaterial derart hochrangige Werke zu erschaffen.

 Till Eulenspiegel soll im 14. Jahrhundert ein umherstreifender gerissener Schalk gewesen sein, der sich dumm stellte und seinen Mitmenschen viele Streiche spielte.

Die nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannte Balmer-Serie beschreibt eine Folge von Spektrallinien im Spektrum von Wasserstoffatomen, die durch spezifische Frequenzen oder Wellenlängen elektromagnetischer Strahlung beschrieben werden können und von denen fünf Linien im Bereich des sichtbaren Lichts liegen. Diese sind zunächst im Sonnenlicht nachgewiesen worden, da das chemische Element Wasserstoff Hauptbestandteil von Sternen ist und das Sonnenlicht wegen seiner großen Helligkeit sehr gut untersucht werden kann. Später wurden die Wasserstofflinien auch im Licht heller Sterne nachgewiesen, wie zum Beispiel beim hellsten Stern des Nachthimmels, nämlich Sirius (α Canis Majoris) im Sternbild Großer Hund.

Kurz bevor die Komposition entstand, hatten der Komponist Richard Strauss und der Mathematiker und Komponist Hans Sommer (* 1837; † 1922, eigentlich Hans Zincken genannt Sommer), der in der Optik sehr bewandert war, in Weimar Freundschaft geschlossen.^[1] Es könnte daher gut sein, dass Richard Strauss damals über seinen väterlichen Freund Hans Sommer von aktuellen physikalischen Entdeckungen und somit auch von der optischen Balmer-Serie erfahren hat. Mit dessen Hilfe könnte er die auf Schallfrequenzen übertragenen Frequenzen der fünf sichtbaren Spektrallinien - quasi schalkhaft - für die fünf Töne c - f - g - gis - a des Eingangsmotivs seiner Sinfonischen DichtungTill Eulenspiegels lustige Streiche verwendet haben.

Die Atome oder Moleküle eines Gases können durch Energiezufuhr angeregt werden. Hierbei werden die Elektronen in der Atomhülle auf höhere diskrete Energieniveaus gebracht. Durch spontane Emission fallen die Elektronen irgendwann zufällig in ein niedrigeres Energieniveau zurück, wobei die dabei frei werdende Energie als elektromagnetische Strahlung in Form eines Photons abgestrahlt wird, dessen Schwingungsfrequenz${\displaystyle \nu }$ über die Lichtgeschwindigkeit${\displaystyle c}$ ausgedrückt werden kann, die eine festgelegte Größe hat:

${\displaystyle c=299792458\frac{\text{Meter}}{\text{Sekunde}}}$

${\displaystyle \nu =\frac{c}{\lambda }}$

Hierbei ist${\displaystyle \lambda }$ die Wellenlänge des vom Atom emittierten Lichtteilchens, und jede Wellenlänge entspricht einer bestimmten gesättigten Farbe. Weißes Licht hat ein kontinuierliches Spektrum mit praktisch allen sichtbaren Wellenlängen:

Werden Atome durch Licht angeregt, werden die Photonen mit den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen dabei vernichtet (absorbiert), und im entsprechenden Absorptionsspektrum ist bei der dazugehörigen Wellenlänge eine dunkle Linie zu sehen. Wird ein Gas zu einem Plasmaleuchten angeregt, werden nur bei den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen Photonen erzeugt (emittiert), die im Emissionsspektrum dann als helle Linien zu sehen sind.

Die Lage dieser Linien auf dem Bildschirm eines optischen Spektrometers hängt von den von der Wellenlänge des untersuchten Lichtes abhängigen Brechungswinkeln des verwendeten Glasprismas beziehungsweise von den Eigenschaften des verwendeten Beugungsgitters ab. Die erzielten Brechungswinkel werden also durch die geometrische Anordnung in den eingesetzten optischen Geräten bestimmt.

Diese Wellenlängen sind auch vom Absorptionsspektrum des Lichtes der Sterne bekannt, allen voran unserer Sonne, da diese zu einem sehr großen Teil aus Wasserstoff bestehen und einen hohen Energieumsatz haben. Der englische Arzt, Physiker und Chemiker William Hyde Wollaston (* 1766; † 1828) hat 1802 als erster solche dunklen Linien im Sonnenspektrum beschrieben, er hat sie allerdings für Trennlinien zwischen den natürlichen Farben gehalten.^[2] Sie wurden unabhängig von ihm 1814 auch vom deutschen Optiker und Physiker Joseph von Fraunhofer (* 1787; † 1826) entdeckt und systematisch untersucht.^[3] Ihm zu Ehren werden sieFraunhofer-Linien genannt. Zur Unterscheidung wurden die zahlreichen Absorptionslinien mit Buchstaben gekennzeichnet – starke Linien mit Großbuchstaben und schwächere Linien mit Kleinbuchstaben. Zu noch genaueren Differenzierungen werden zusätzliche Ziffern verwendet:

Wenn das angeregte Elektron sich in einem Wasserstoffatom befindet und von einem höheren Energieniveau${\displaystyle E_m}$ zum zweittiefsten Energieniveau${\displaystyle E_2}$ übergeht, ergeben sich die Wellenlängen${\displaystyle {\lambda }_{m,2}}$ der Balmer-Serie. Die Spektrallinien dieser Serie sind nach dem Schweizer Mathematiker und PhysikerJohann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannt, der die mathematische Gesetzmäßigkeit1885 anhand seiner empirisch gefundenen, verallgemeinertenBalmer-Formel für die Wellenlängen${\displaystyle {\lambda }_{m,n}}$ in denVerhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel darstellen konnte:^[4]

${\displaystyle {\lambda }_{m,n}=A\left(\frac{m^2}{m^2-n^2}\right)}$ mit${\displaystyle m>n}$ und${\displaystyle n\ge 1}$

Hierbei ist

${\displaystyle A=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }_{m,n}={\lambda }_{\mathrm{\infty },n}\approx 364,506820\text{ Nanometer}}$

eine konstante Wellenlänge im Ultravioletten. Balmer nannte sie dieGrundzahl des Wasserstoffs und gab ihren Wert mit 3645,6 Angström beziehungsweise 364,56 Nanometer bedingt durch die damaligen Messgenauigkeiten geringfügig höher an.

Die Existenz von Energieniveaus war zu dieser Zeit allerdings noch gar nicht bekannt, und die zeitgenössischen Forscher waren wegen der fehlenden Erklärung wie elektrisiert. Johann Jakob Balmer schrieb hierzu in seiner Veröffentlichung:

Es sind besonders die numerischen Verhältnisse der Wellenlängen der ersten vier Wasserstofflinien, welche die Aufmerksamkeit reizen und fesseln. Die Verhältnisse dieser Wellenlängen lassen sich nämlich überraschend genau durch kleine Zahlen ausdrücken.

Der Unterschied zwischen den berechneten und beobachteten Wellenlängen ist so klein, dass die Übereinstimmung im höchsten Grade überraschen muss.

Aus diesen Vergleichungen ergibt sich [...], dass die Formel auch für die fünfte [...] Wasserstofflinie zutrifft.

Die Koeffizienten${\displaystyle k_{m,2}}$ der Balmer-Serie, die sich für${\displaystyle n=2}$ aus dem Klammerausdruck ergeben, hat Johann Jakob Balmer ebenfalls angegeben:

${\displaystyle k_{m,2}=\frac{m^2}{m^2-4}}$

Diese Koeffizienten${\displaystyle k_{m,2}}$ und die dazugehörigen Wellenlängen${\displaystyle {\lambda }_{m,2}}$ lauten mit der zusätzlichen Definition${\displaystyle r_3:=1}$ für die ersten fünf Spektrallinien der Balmer-Serie mit${\displaystyle 3\le m\le 7}$:

m	Rationaler Wert von${\displaystyle k_{m,2}}$	Dezimalwert von${\displaystyle k_{m,2}}$	Verhältnis${\displaystyle r_m=r_{(m-1)}\cdot \frac{k_{(m-1),2}}{k_{m,2}}}$	Dezimalwert des Kehrwerts${\displaystyle \frac{1}{r_m}}$	Wellenlänge${\displaystyle {\lambda }_{m,2}=A\cdot k_{m,2}=A\frac{k_{3,2}}{r_m}}$ in Nanometer
3	${\displaystyle \frac{9}{5}}$	${\displaystyle 1,8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	656,112
4	${\displaystyle \frac{16}{12}=\frac{4}{3}}$	${\displaystyle 1,\overline{3}}$	${\displaystyle \frac{27}{20}}$	${\displaystyle 0,\overline{740}}$	486,009
5	${\displaystyle \frac{25}{21}}$	${\displaystyle 1,\overline{190476}}$	${\displaystyle \frac{189}{125}}$	${\displaystyle 0,\overline{661375}}$	433,937
6	${\displaystyle \frac{36}{32}=\frac{9}{8}}$	${\displaystyle 1,125}$	${\displaystyle \frac{8}{5}}$	${\displaystyle 0,625}$	410,070
7	${\displaystyle \frac{49}{45}}$	${\displaystyle 1,0\overline{8}}$	${\displaystyle \frac{81}{49}}$	${\displaystyle 0,\overline{604938271}}$	396,907

Balmer gab in seiner Veröffentlichung unter anderem die von Anders Jonas Ångström (* 1814; † 1874) in dessen französischsprachigem Werk über das Sonnenspektrum von 1866 experimentell bestimmten und 1868 veröffentlichten Wellenlängen für die sichtbaren Wasserstofflinien an:^[5]

m	Wellenlänge ${\displaystyle {\lambda }_{m,2}}$ in Nanometer	Bezeichnung	Bezeichnung nach Fraunhofer	Farbbezeichnung	Farbe	Frequenz der Wasserstofflinie ${\displaystyle {\nu }_{m,2}}$ in Hertz
3	656,2	${\displaystyle H_{\alpha }}$	C-Linie	Rot		${\displaystyle 4,569\cdot {10}^{14}}$
4	486,1	${\displaystyle H_{\beta }}$	F-Linie	Blaugrün		${\displaystyle 6,168\cdot {10}^{14}}$
5	434,0	${\displaystyle H_{\gamma }}$	f-Linie vor G	Blau		${\displaystyle 6,909\cdot {10}^{14}}$
6	410,1	${\displaystyle H_{\delta }}$	h-Linie	Violett		${\displaystyle 7,311\cdot {10}^{14}}$
7	396,8	${\displaystyle H_{ϵ}}$	nahe vor${\displaystyle H_I}$	Violett		${\displaystyle 7,553\cdot {10}^{14}}$

Alternativ können diese Serien auch mit der Rydberg-Konstante

${\displaystyle R_{\mathrm{\infty }}=\frac{4}{A}\approx 1,0973731568160\cdot {10}^7{\mathrm{m}}^{-1}}$

für die Frequenzen${\displaystyle {\nu }_{m,n}}$ beschrieben werden:

${\displaystyle {\nu }_{m,n}=c\cdot R_{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)}$ mit${\displaystyle m>n}$ und${\displaystyle n\ge 1}$

Die Frequenz${\displaystyle {\nu }_{A,2}}$, die sich mit der Grundzahl des Wasserstoffs für${\displaystyle m\to \mathrm{\infty }}$ bei der Balmer-Serie mit${\displaystyle n=2}$ ergibt, kann also folgendermaßen berechnet werden:

${\displaystyle {\nu }_{m,n}=\frac{c}{{\lambda }_{m,n}}=\frac{c}{A\left(\frac{m^2}{m^2-n^2}\right)}}$

${\displaystyle \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{\nu }_{m,n}={\nu }_{\mathrm{\infty },2}={\nu }_{A,2}=\frac{c}{A}=c\cdot R_{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4}\approx 8,224605\cdot {10}^{14}\text{Hertz}}$

Der Bezeichnung durch Balmer für die Wellenlänge${\displaystyle A}$ alsGrundzahl des Wasserstoffs folgend, könnte diese FrequenzGrundschwingungszahl des Wasserstoffs genannt werden.

Till Eulenspiegels lustige Streiche sind neun Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie vom deutschen Komponisten Richard Strauss (* 1864; † 1949) komponiert worden. Es handelt sich um eine Tondichtung für großes Orchester mit einer Aufführungsdauer von fünfzehn Minuten, diezwischen 1893 und 1894 entstanden ist, nachdem Richard Strauss mehrere Monate in Griechenland und Ägypten verbracht hatte, um sich von den Spätfolgen einer Lungenentzündung zu erholen, und nachdem seine OperGuntram fertig geworden worden war.

Ursprünglich hatte Richard Strauss offenbar geplant, das Werk unmittelbar mit dem bekannten und markanten sechstaktigen Till-Eulenspiegel-Motiv beginnen zu lassen. Der fünftaktige Prolog wurde von Richard Strauss erst im Laufe der Überarbeitung als Beginn der Komposition hinzugefügt. Im Verlauf der Komposition taucht das Till-Eulenspiegel-Motiv dann erst am Ende erneut auf.

Der Prolog wurde vom Komponisten schließlich mit den Worten "Es war einmal ein Schalknarr..." und "gemächlich" betitelt, das unmittelbar darauffolgende Till-Eulenspiegel-Motiv mit den Worten "...Namens „Till Eulenspiegel“" und "allmählich" lebhafter".[6]

Der Beginn der Komposition ist in F-Dur notiert, und die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs sind c - f - g - gis - a. Sie werden zwei Mal wiederholt:

Die Sinfonische DichtungTill Eulenspiegels lustige Streiche trägt die Opus-Zahl 28, und sie wurde unter der Leitung des deutschen Komponisten Franz Wüllner (* 1832; † 1902) am 5. November 1895 in Köln uraufgeführt.

Diese Sinfonische Tondichtung von Richard Strauss mit der Opus-Zahl 30,Also sprach Zarathustra wurde Ende November 1896 durch unter Leitung von Richard Strauss in Frankfurt am Main uraufgeführt.

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die kurz nach der Sinfonischen DichtungTill Eulenspiegels lustige Streiche entstandene Komposition, ebenfalls sehr deutliche Bezüge physikalischen Zahlenverhältnissen hat und ein Eingangsmotiv mit fünf Tönen verwendet.

Das in der EinleitungSonnenaufgang verwendete Eingangsmotiv ist auch aus einer physikalischen Zahlenreihe, nämlich derNaturtonreihe abgeleitet, wobei deren erster, zweiter, dritter, vierter und fünfter Ton mit den Frequenzverhältnissen 1:1, 2:1, 3:2, 4:3 und 5:4 in Bezug auf den Grundton eine zentrale Rolle spielen.

Strauss verwendet erneut das C als Basiston, der als Oktave auf Groß-C und Klein-c zunächst vier Takte lang in den Kontrabässen, im Orgelpedal und im Kontrafagott ausgehalten wird, bevor die vierC-Trompeten mit ihrem markanten aufsteigenden Motiv dazukommen. Für sein Trompetenmotiv verwendet Richard Strauss die nächsten vier Töne der Naturtonreihe c', g', c" und e", so dass schließlich ein fast vom gesamten Orchester gespielter, strahlender C-Dur-Akkord erklingt, der durch die Alteration des Terztons sogleich nach c-Moll verändert wird. Nach einem kurzen triolischen Zwischenspiel der Pauken mit den beiden Quarttönen G und c erklingt das Trompetenmotiv erneut mit umgekehrter Akkordfolge c-Moll und C-Dur. Wie auch in der Sinfonischen DichtungTill Eulenspielgels lustige Streiche wird das Motiv ein drittes Mal gespielt und dann weiterentwickelt, wobei der aufgebaute C-Dur-Akkord bei diesem Mal als Dominante zu dem danach folgenden F-Dur gedeutet werden kann. Nach vier Takten schließt die Einleitung mit einem erneuten und lang ausgehaltenen C-Dur im Fortissimo, welches von allen Instrumenten gespielt wird.

Im weiteren Verlauf des Orchesterstückes spielt Richard Strauss in den AbschnittenVon der Wissenschaft undDer Genesende auch noch mit der in der Astronomie bedeutenden Zahl Zwölf, indem erZwölftonreihen verwendet.

Die äußerst kunstvoll gestaltete Fuge zu Beginn des Abschnitts "Von der Wissenschaft" mit der Anweisungsehr langsam beginnt mit einem viertaktigen Thema im Viervierteltakt, dessen drei erste Töne C - G - c den drei Naturtönen des Trompetenmotivs aus der Einleitung der Komposition entsprechen, bei denen es erst eine Quinte und dann eine weitere Quarte nach oben geht. Ausgehend vom Spitzenton c ergibt sich im Folgenden eine Zwölftonreihe, die nach einem zunächst sehr simplen Rhythmus eine schnelle Triole auf Vierteln und eine weitere langsame Triole auf Halben verwendet. Der Dux wird in den vierten Celli unisono mit den vierten Kontrabässen auf C - G - c vorgetragen. Danach setzen die dritten Celli und Kontrabässe mit dem Comes eine Quinte höher auf G - d - g ein. Der zweite Comes beginnt dann wiederum eine Quinte höher auf d - a - d' und wird von den zweiten Celli und Kontrabässen übernommen. Der dritte Comes auf a - e' - a' erklingt schließlich in den ersten Celli und Kontrabässen.

Zu Beginn des sich anschließenden Abschnitts "Der Genesende" mit der Anweisungmarcato wird das zwölftönige Thema zunächst in den Celli, Kontrabässen und den Posaunen, dann in den Hörnern und den Bratschen und danach in den Oboen und den zweiten Geigen noch einmal rhythmisch geringfügig verändert aufgegriffen:

Es gibt nur wenige weitere physikalische Zahlenreihen, die für die Tonhöhen von musikalischen Motiven geeignet wären. Ferner ist festzuhalten, dass Richard Strauss kein Pionier und auch kein Anhänger der Zwölftonmusik war, so dass die Tatsache, dass er dennoch damit arbeitet, als symbolisch und durchaus auch als ein wenig schalkhaft angesehen werden kann.

Siehe hierzu auch→ Wikibook Zahlen / Zur Zwölf.

Beim letzten Abschnitt der Komposition mit der BezeichnungNachtwandlerlied verwendet er zwölf mitternächtliche Glockenschläge. Die Zwölf hat nicht nur enge astronomische Bezüge zur Aufteilung der Nacht in die zwölfNachtstunden, sondern auch zu den zwölfnachts sichtbaren Lebewesenkreiszeichen der Ekliptik, die von den siebenWandelgestirnen durchlaufen werden und in denen sich der Planet Jupiter von der Erde aus gesehen jeweils ein Jahr lang aufhält.

Siehe hierzu auch→ Wikibook Konjunktionen.

Übrigens beschäftigen sich auch die drei GedichteTraum durch die Dämmerung,Schlagende Herzen undNachtgang der zwischen den beiden Sinfonischen Dichtungen geschaffenen KompositionDrei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum von 1895 mit der Opus-Zahl 29 (also genau zwischen den beiden oben beschriebenen Sinfonischen Dichtungen) mit den astronomischen Objekten Sonne, Mond und Sterne und deren Betrachtung und Wirkung in der Natur ("Licht", "Dämmerung", "Nacht", "Frühling").

• Nummer 1:Traum durch die Dämmerung (Fis-Dur / B-Dur / Fis-Dur, sehr ruhig, 2/4-Takt)
  • ... im Dämmergrau, die Sonne verglomm, die Sterne ziehn,
  • ... in ein blaues, mildes Licht.
  • ... in ein mildes, blaues Licht.
• Nummer 2:Schlagende Herzen (G-Dur, lebhaft und heiter, Allegro giocoso, 2/4-Takt)
  • ... du gold'ne Sonne in Himmelshöhn! (in strahlendem C-Dur)
• Nummer 3:Nachtgesang (c-Moll, mäßig langsam, 3/4-Takt)
  • Der Mond goss silbernes Licht ...
  • ... rein wie die liebe Sonne.

Die mit dem menschlichen Auge sichtbaren Lichtfrequenzen der ersten fünf Wasserstofflinien (${\displaystyle 3\le m\le 7}$) der Balmer-Serie (${\displaystyle n=2}$) entsprechen recht genau den Verhältnissen der Tonfrequenzen der unmittelbar danach zwei Mal wiederholten fünf Töne des ersten Motivs der Sinfonischen DichtungTill Eulenspiegels lustige Streiche:

Tonbezeichnung	Tonfrequenz ${\displaystyle f_m}$ in Hertz	Frequenzverhältnis zum nächsten Ton	m	Frequenz der Wasserstofflinie ${\displaystyle {\nu }_{m,2}}$ in Hertz	Frequenzverhältnis zur nächsten Linie	Wellenlänge ${\displaystyle {\lambda }_{m,2}}$ in Nanometer
c	261,6	1,335	3	${\displaystyle 4,569\cdot {10}^{14}}$	1,350	656,1
f	349,2	1,122	4	${\displaystyle 6,168\cdot {10}^{14}}$	1,120	486,0
g	392,0	1,059	5	${\displaystyle 6,909\cdot {10}^{14}}$	1,058	433,9
gis	415,3	1,059	6	${\displaystyle 7,311\cdot {10}^{14}}$	1,033	410,1
a	440,0		7	${\displaystyle 7,553\cdot {10}^{14}}$		396,9

Die in der zweiten Spalte angegebenen Tonfrequenzen beziehen sich also auf den Kammerton A mit 440 Hertz. Die in der letzten Spalte angegebenen Wellenlängen entsprechen fast exakt den fünf in der Veröffentlichung von Balmer 1884 für die Wasserstofflinien im sichtbaren Bereich angegebenen Wellenlängen (siehe oben).

Werden die Lichtfrequenzen${\displaystyle {\nu }_{m,2}}$ mit dem mittleren Umrechnungsfaktor${\displaystyle u_{440}=5,713\cdot {10}^{-13}}$ multipliziert, ergeben sich die entsprechenden Tonfrequenzen${\displaystyle f_m=u_{440}\cdot {\nu }_{m,2}}$ und die musikalischen Intervalle des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

An dieser Stelle muss noch festgehalten werden, dass dieser Umrechnungsfaktor willkürlich gewählt werden kann, aber irgendwie festgelegt werden muss. Die Stimmung der Musikinstrumente bei Ensemblemusik muss seit jeher durchgeführt werden, damit alle Instrumente harmonische Zusammenklänge erzeugen können. Hierzu wurden auch Stimmtöne oder einKammerton verwendet, deren Tonhöhe festgelegt war. Der französische Gelehrte Joseph Sauveur (* 1653; † 1716) und später auch der deutsche Physiker und Astronom Ernst Chladni (* 1756; † 1827) schlugen vor, als grundlegendes Zeitmaß einerphysikalischen Stimmung die Einheit einer Sekunde für die Festlegung des Grundtons C zu verwenden. Dies bedeutet, dass der Grundton C0 exakt die Frequenz 1 Hertz hat und alle Oktaven dieses Grundtons nach oben immer exakt die doppelte Frequenz haben. Dies führt zu der folgenden Reihe:

Tonbezeichnung	Faktor	Tonfrequenz${\displaystyle f}$ in Hertz	Tiefster Ton der...
C0	${\displaystyle 2^0}$	1
C1	${\displaystyle 2^1}$	2
C2	${\displaystyle 2^2}$	4
C3	${\displaystyle 2^3}$	8
C4	${\displaystyle 2^4}$	16	Subkontra-Oktave
C5	${\displaystyle 2^5}$	32	Kontra-Oktave
C6	${\displaystyle 2^6}$	64	großen Oktave
C7	${\displaystyle 2^7}$	128	kleinen Oktave
C8	${\displaystyle 2^8}$	256	eingestrichenen Oktave
C9	${\displaystyle 2^9}$	512	zweigestrichenen Oktave
C10	${\displaystyle 2^{10}}$	1024	dreigestrichenen Oktave
C11	${\displaystyle 2^{11}}$	2048	viergestrichenen Oktave

Wenn eine Referenztonhöhe für die Übertragung von Frequenzen elektromagnetischer Wellen zu Schallwellen gesucht wird, ist es für Physiker naheliegend, sich an dem Grundton C dieser physikalischen Stimmung zu orientieren.

Die ersten fünf Töne dieser Reihe haben aus musikalischer Sicht nur eine theoretische Bedeutung und sind für Menschen praktisch nicht mit einer Tonhöhe wahrnehmbar. Der Ton A ist eine große Sexte (respektive neun Halbtöne) höher als das direkt darunterliegende C beziehungsweise eine kleine Terz (respektive drei Halbtöne) tiefer als das direkt darüberliegende C. Wenn das A in der letzten Oktave zwischen C8 und C9 in dieser Reihe als Kammerton festgelegt wird, hat er bei gleichschwebender Stimmung (alle zwölf aufeinanderfolgenden Halbtonintervalle haben dasselbe Frequenzverhältnis${\displaystyle 2^{\frac{1}{12}}\approx 1,059463}$) die folgende Frequenz:

${\displaystyle f_A=f_{C8}\cdot 2^{\frac{9}{12}}=f_{C9}\cdot 2^{-\frac{3}{12}}\approx 430,539\text{ Hertz}\approx 431\text{ Hertz}}$

Mit einer Frequenz von 256 Hertz für den Grundton c ergeben sich die folgenden Tonhöhen für die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs beziehungsweise die ersten fünf Linien der Balmer-Serie (3 ≤ m ≤ 7):

Tonbezeichnung	Tonfrequenz reine Stimmung in Hertz	Tonfrequenz gleichschwebende Stimmung in Hertz	Tonfrequenz Balmer-Serie${\displaystyle f_m}$ in Hertz	m	Intervall zum Grundton c
c	256,000	256,000	256,000	3	Prime
f	341,333	341,719	345,600	4	Quarte
g	384,000	383,567	387,072	5	Quinte
gis	409,600	406,375	409,600	6	Kleine Sexte
a	426,667	430,539	423,184	7	Große Sexte

Hieraus resultiert ein etwas kleinerer mittlerer Faktor${\displaystyle u_{431}=5,591\cdot {10}^{-13}}$ als Proportionalitätskonstante zwischen den Licht- und den Schallfrequenzen${\displaystyle f_m=u_{431}\cdot {\nu }_{m,2}}$ des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

Diese Tonhöhen wurden beispielsweise bei der frühenPariser Stimmung von 1829 im 19. Jahrhundert verwendet. Im Laufe der Zeit wurde die Referenztonhöhe allerdings aus praktischen Erwägungen immer höher - Saiteninstrumente klingen voller und lauter, wenn die Saiten etwas stärker gespannt werden, wobei sie allerdings eine höhere Eigenfrequenz bekommen. Richard Strauss war sich der damit verbundenen Problematik bewusst und kommentierte die gestiegene Höhe des Kammertons einige Jahre vor seinem Tod folgendermaßen:^[7]

Die hohe Stimmung unserer Orchester wird immer unerträglicher. Es ist doch unmöglich, dass eine arme Sängerin A-Dur-Koloraturen, die ich Esel schon an der äußersten Höhengrenze geschrieben habe, in H-Dur herausquetschen soll.

Rückkehr zumPariser A, bevor sich unsere armen Sänger die Paar letzten noch vorhanden Stimmen verschrien haben!

Es ergibt sich die Frage, ob es diese physikalischen und musikalischen Sachverhalte koinzident sind, oder ob sich um einen Zufall handeln kann. Da es offenbar keine belastbaren Belege für eine Koinzidenz gibt, ist die Frage nicht zu beantworten.

Zumindest muss festgehalten werden, dass es sich um einen äußerst bemerkenswerten Zufall handeln würde. Es gibt allein schon${\displaystyle {12}^4=20736}$ Möglichkeiten, genau vier Töne aus einem Vorrat von zwölf Tönen auf einen beliebigen Anfangston folgen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs aus diesem Tonvorrat zufällig ausgewählt werden, beträgt demnach knapp 0,00005. Andere Motive haben weniger oder mehr als fünf Töne, haben einen größeren Tonumfang oder haben einen anderen Anfangston, was die Anzahl der Möglichkeiten noch zusätzlich und deutlich erhöht und die Wahrscheinlichkeit eines Zufalls entsprechend verringert.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Motiv mit den fünf Tönen c' - f' - g' - gis' - a', das im Gegensatz zu den vielen anderen tatsächlich komponierten Motiven noch nicht einmal diatonisch ist, sondern chromatische Bestandteile hat, ausgerechnet und zufällig nur wenige Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie und deren Diskussion in Fachkreisen komponiert wird, ist noch geringer.

Schließlich ist zu berücksichtigen, dass das in der Tonart F-Dur notierte Motiv mit dem Ton C beginnt, dessen Tonhöhe im 18. und 19. Jahrhundert häufig mithilfe der Definition der Zeiteinheit der Sekunde rein physikalisch festgelegt war.

Im sehr umfangreichenRépertoire International des Sources Musicales (RISM) findet sich in über einer Million Notendokumente kein anderes Beispiel, das mit einem Motiv nur aus exakt diesen fünf Tönen beginnt. Nur zwei weitere, in der Tonart C-Dur stehende Beispiele mit einer Entstehungszeit vor 1893 lassen sich finden. Die beiden Folgen mit den fünf Tönen verwenden fast die gleichen Tonlängen wie das Till-Eulenspiegel-Motiv (drei Achtelnoten, eine Viertelnote und eine Achtelnote), und das Motiv wird in beiden Beispielen einmal unmittelbar wiederholt:

•  Carl Czerny (* 1791; † 1857): Klavierübung in C-Dur (6/8-Takt), opus 599, Nummer 38: Tonfolge: g", c"', d"', dis"', e"'^[8]
• Anonymus: Ländler in C-Dur (3/4-Takt), Tonfolge: g', c", d", dis", e"^[9]

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Till-Eulenspiegel-Motiv von Richard Strauss 1893 rein zufällig entsprechend der Frequenzverhältnisse der Balmer-Serie gewählt wurde, ist nach diesen Überlegungen gewiss nicht null, sie ist aber äußerst gering.

Es möge bedacht werden, dass eine rationale Folge mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen wie bei der Balmer-Serie keineswegs ästhetisch empfundene Tonhöhenverhältnisse ergeben muss. Bei den höheren Ordnungen in der Balmer-Serie sowie beispielsweise bei der 1906 von dem US-amerikanischen Physiker Theodore Lyman (* 1874; † 1954) gefundenen Lyman-Serie im Ultravioletten^[10] oder der 1908 von dem deutschen Physiker Friedrich Paschen (* 1865; † 1947) gefundenen Paschen-Serie im Infraroten ist das zum Beispiel nicht der Fall.^[11] Es ist bemerkenswert, dass von diesen spektralen Serien nur die Balmer-Serie im für Menschen sichtbaren Wellenlängenbereich des Lichtes liegt und gleichzeitig nur die Balmer-Serie linear in eine von Menschen harmonisch wahrnehmbare Tonfolge transformiert werden kann.

Es sind daher nur sehr wenige Fälle bekannt, bei denen sich physikalische Zahlenfolgen, insbesondere wenn diese auch noch mit den menschlichen Sinnen unmittelbar wahrgenommen werden können, in musikalischen Tonfolgen widerspiegeln. Ein bedeutendes Beispiel ist dienatürliche Obertonreihe, die sich aus ganzzahligen Verhältnissen bei schwingenden Saiten oder in Luftsäulen ergibt und von Richard Strauss in der Sinfonischen DichtungAlso sprach Zarathustra verarbeitet wurde (siehe oben).

Ein weiteres Beispiel mit den vier pythagoreischen Tönen c' - f' - g' - c" ist in der Legende vonPythagoras in der Schmiede überliefert.

→ Siehe auchWikibook Pythagoras in der Schmiede.

Die ersten drei dieser Töne entsprechen den ersten drei Tönen des Till-Eulenspiegel-Motivs. Das dort unter anderem eine Rolle spielende Verhältnis zwischen den ganzen Zahlen Vier und Drei beschreibt das musikalische Intervall der reinen Quarte, die sowohl beim ersten Intervall des Till-Eulenspiegel-Motivs als auch beim zweiten Intervall des Zarathustra-Motivs auftaucht.

Die pythagoreischen Töne, die laut einiger Überlieferungen angeblich die Klänge von Hammerschlägen gewesen seien, wurden 1690 vom französisch-deutschen Organisten und Komponisten Georg Muffat (* 1653; † 1704) in seiner OrgelkompositionNova Cyclopeias Harmonica verwendet. Diese Komposition ist von einer Aria eingerahmt, sie umfasst acht Variationen zum ThemaAd Malleorum Ictus Allusio (Zur Anspielung auf die Schläge der Hämmer) und endet mit dem SpruchSummo Deo Gloria.

Zwei Jahre darauf veröffentlichte der deutsche Geiger, Komponist und Hofkapellmeister Rupert Ignaz Mayr (* 1646; † 1712), der wie Georg Muffat Schüler des italienischen Komponisten Jean-Baptiste Lully (* 1632; † 1687) war, die sieben dem Kurfürsten von Bayern Maximilian II. Emanuel gewidmeten Orchestersuiten:

Pythagorische Schmids=Fuencklein

Bestehend in unterschiedlichen Arien / Sonatinen / Ouverturen / Allemanden / Couranten / Gavotten / Sarabanden / Giquen / Menueten / &c.

Mit 4.Instrumenten und beygefügten General-Baß,Bey Tafel=Musicken / Comœdien / Serenaden / und zu anderen fröhlichen Zusammenkunfften zu gebrauchen.

Schon die Pythagoreer waren der Auffassung, dass sich in der Astronomie dieselben zahlenmäßigen Gesetzmäßigkeiten zeigen wie in der Musik. Es gab auch später immer wieder Versuche, die Umlaufbahnen der Planeten mit harmonischen Klängen in Verbindung zu bringen, wie zum Beispiel durch Johannes Kepler (* 1571; † 1630) in seinem WerkHarmonices mundi libri V (fünf Bücher über die Harmonien der Welt) von 1619, in dem er astronomische Zahlenverhältnisse auf musikalische Intervalle übertrug. Der deutsche Komponist Paul Hindemith (* 1895; † 1963) griff dieses Thema auf und schuf 1951 die SymphonieDie Harmonie der Welt mit den drei SätzenMusica instrumentalis (wörtlich: "werkzeugliche Musik"),Musica humana (wörtlich: "menschliche oder gebildete Musik") undMusica mundana (wörtlich: "Weltmusik") sowie 1957 das Libretto und die Musik zur gleichnamigen Oper in fünf Akten. In der Einleitung zu seinem musiktheoretischen WerkUnterweisung im Tonsatz schreibt er:

Ich weiß mich mit dieser Einstellung zum Handwerklichen des Tonsatzes einig mit den Anschauungen, die gültig waren lange vor der Zeit der großen klassischen Meister. Wir finden ihre Vertreter im frühen Altertum; weitblickende Künstler des Mittelalters und der Neuzeit bewahren die Lehre und geben sie weiter. Was war ihnen das Tonmaterial? Die Intervalle waren Zeugnisse aus den Urtagen der Weltschöpfung; geheimnisvoll wie die Zahl, gleichen Wesens mit den Grundbegriffen der Fläche und des Raumes, Richtmaß gleicherweise für die hörbare wie die sichtbare Welt; Teile des Universums, das in gleichen Verhältnissen sich ausbreitet wie die Abstände der Obertonreihe, so daß Maß, Musik und Weltall in eins verschmolzen.

Auch mit mathematisch definierten Zahlenfolgen, wie zum Beispiel der Fibonacci-Folge, können Melodien geschaffen werden. Die Fibonacci-Folge geht auf den mittelalterlichen Mathematiker Leonardo Fibonacci aus Pisa (* um 1170; † nach 1240) zurück, und ergibt mit den beiden Startwerten Null und Eins immer wieder neue nachfolgende ganze Zahlen, indem die letzten beiden Zahlen der Folge jeweils addiert werden:

${\displaystyle f_0=0}$

${\displaystyle f_1=1}$

${\displaystyle f_{i+2}=f_{i+1}+f_i\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{N}}_0}$

Daraus ergibt sich die folgende unendliche Zahlenreihe:

${\displaystyle f_2=1}$

${\displaystyle f_3=2}$

${\displaystyle f_4=3}$

${\displaystyle f_5=5}$

${\displaystyle f_6=8}$

${\displaystyle f_7=13}$

${\displaystyle f_8=21}$

${\displaystyle f_9=34}$

${\displaystyle f_{10}=55}$

${\displaystyle f_{11}=89}$

${\displaystyle f_{12}=144}$

${\displaystyle \dots }$

Mit zunehmender Länge der Folge nähert sich das Verhältnis der beiden letzten Zahlen immer mehr dem Goldenen Schnitt:

${\displaystyle \underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f_i}{f_{i-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,6180339887498948482}$

Auch in der Physik hat diese Zahlenfolge eine Bedeutung. Bei einer optischen Doppelschicht, die an den beiden Außenflächen und zwischen den beiden optischen Schichten halbverspiegelt ist, wird jeweils die Hälfte des auftreffenden Lichtes reflektiert und die andere Hälfte transmittiert. Zählt man, wie viele Kombinationen${\displaystyle k}$ von unterschiedlichen Strahlengängen es für eine gegebene Anzahl${\displaystyle n}$ von aufeinanderfolgenden Reflexionen innerhalb der Doppelschicht gibt, ergibt sich mit der folgenden Bedingung eine Fibonacci-Folge:

${\displaystyle k=f_{n+2}}$

Diese Erkenntnis geht auf den in Wien geborenen kanadischen Mathematiker Leo Moser (* 1921; † 1970) zurück.^[12]

Das Notenbeispiel rechts zeigt ein Fibonacci-Jingle mit den ersten sieben Fibonacci-Zahlen von Null bis Acht als Melodie mit den Tonstufen in der Tonart C-Dur in physikalischer Stimmung (c = 2⁸ Hertz = 256 Hertz) mit reinen Intervallen mit ganzzahligen Schwingungszahlen pro Sekunde. Die Stimmtonhöhe für den Ton a' liegt hierbei wie bei der Pariser Stimmung bei rund 430,5 Hertz.[13] Die Zahl Null wird in der Melodie durch eine Pause repräsentiert, und die folgenden sechs Zahlen entsprechen den Tonstufen c', c', d', e', g', c":

Tonbezeichnung	Tonfrequenz${\displaystyle f}$ in Hertz	Intervall	Verhältnis zum Grundton
C8	256	Grundton	1
C8	256	Prime	1:1
D8	288	Sekunde	9:8
E8	320	Große Terz	5:4
G8	384	Quinte	3:2
C9	512	Oktave	2:1

Als die Spektrallinien entdeckt worden waren und selbst 1884 als Johann Jakob Balmer die mathematischen Gesetzmäßigkeiten empirisch gefunden und mit der Balmer-Formel beschrieben hatte, waren die physikalischen und theoretischen Ursachen für die Entstehung solcher diskreten Spektrallinien noch völlig unbekannt. Erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts gelang es mit Hilfe derQuantenmechanik, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.

Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie

${\displaystyle E=h\cdot \nu }$

entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante

${\displaystyle h=6,62607015\cdot {10}^{-34}\text{ Joulesekunden}}$

ist dasPlancksche Wirkungsquantum (in Joulesekunden) und${\displaystyle \nu }$ ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.

Die Teilchennatur des Lichts folgerten in den Jahren von 1899 bis 1905 der deutsche Forscher Max Planck (* 1858; † 1947) aus den Gesetzmäßigkeiten der Wärmestrahlung^[14] und in verschärfter Form sein jüngerer Kollege Albert Einstein (* 1879; † 1955) in der VeröffentlichungUeber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt aus dem lichtelektrischen Effekt (oder Photoeffekt).^[15] 1918 wurde Max Planck für die Entdeckung der Energiequanten und 1921 Albert Einstein für die Entdeckung des Gesetzes des photoelektrischen Effekts der Nobelpreis für Physik verliehen. Das Schlagwort vom Dualismus Welle-Korpuskel durchzieht seither die schwierigen Diskussionen darüber, wie die Physik der mikroskopisch kleinen Dinge zu verstehen ist. Ja, selbst die Schallwellen der Musik haben klitzekleine Körner: diePhononen mit einer Energie proportional zur Frequenz nach der Planck-Einstein-Formel.

Auch ein Teilchen mit einer Ruhemasse, wie zum Beispiel ein Elektron, kann als eine Materiewelle aufgefasst werden. Die nach dem französischen Physiker Louis-Victor de Broglie (* 1892; † 1987) benannten De-Broglie-Gleichungen von 1924 stellen die Bezüge zwischen Wellenlänge${\displaystyle \lambda }$ und Frequenz${\displaystyle \nu }$ für Materiewellen her, die für Teilchen mit der Energie${\displaystyle E}$ beziehungsweise mit dem Impuls${\displaystyle p}$ gelten:

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}}$

${\displaystyle \nu =\frac{E}{h}}$

Für die Entdeckung der Wellennatur der Elektronen wurde ihm 1929 der Nobelpreis für Physik verliehen

Als Max Planck das Wirkungsquantum alsHilfsgröße${\displaystyle \mathbf{h}}$ einführte, ahnte er noch nicht, welche universelle Tragweite die Konstante hat. Sie verkettet die Werteskala von Raum und Zeit eindeutig und fundamental mit der von Masse, Energie und Impuls. Im modernenInternationalen Einheitensystem kennt die Mechanik nur noch eine willkürliche Größe, die Sekunde. Meter und Kilogramm werden über die endgültig festgeschriebenen Werte der universellen Lichtgeschwindigkeit${\displaystyle c}$ (seit 1983) und der Planck-Konstanten${\displaystyle h}$ (seit 2019) von der Sekunde abgeleitet. Die Dauer einer Sekunde wurde 1967 auf 9 192 631 770 Perioden eines Quantenübergangs von Caesium-Atomen festgelegt.

Die angegebenen Formeln betreffen die Materiewellen von freifliegenden Teilchen. Wenig später baute ein brillanter Theoretiker die allgemeineren Wellengleichungen mit Kräften, die Teilchen anziehen oder abstoßen. Platz frei für das Paradebeispiel dieser neuen Wellenmechanik!

Die Bindung zwischen dem negativ geladenen Elektron und dem positiv geladenen Proton des Wasserstoffatoms (genauer: des leichtesten Wasserstoff-Isotops Protium) nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentriertestehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde.^[16] Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen ihrer verschiedenen Schwingungsformen oder stehenden Wellen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.

Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit${\displaystyle n=1,2,3,...}$ der Formel

${\displaystyle {\nu }_n=\frac{{\nu }_1}{n^2}}$,

wo${\displaystyle {\nu }_1}$ die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet:

${\displaystyle E_n=-h\cdot {\nu }_n}$

Wieder zieht die Plancksche Konstante${\displaystyle h}$ ein. Die tiefste Energie für die Hauptquantenzahl 1 ergibt sich zu:

${\displaystyle E_1=-h\cdot {\nu }_1\approx -13,6\text{ eV}}$

Diese Energie gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine Knoten vorkommen.

Also folgt:

${\displaystyle E_n=-\frac{h\cdot {\nu }_1}{n^2}=\frac{E_1}{n^2}}$

Die AbkürzungeV steht für die Energieeinheit ' Elektronenvolt, die in der Atomphysik häufig verwendet wird'. Die Umrechnung einer Energie zwischen der Maßeinheit Joule und der Maßeinheit Elektronenvolt ist mit der Ladung eines Elektrons

${\displaystyle e=1,602176634\cdot {10}^{-19}\text{ Coulomb}}$

definiert:

${\displaystyle E\text{ (in Joule)}=e\cdot E_{eV}\text{ (in Elektronenvolt)}}$

${\displaystyle E_{eV}\text{ (in Elektronenvolt)}=\frac{E\text{ (in Joule)}}{e}}$

Bei der Energiedifferenz von einem Elektronenvolt handelt sich also um die Energie, die ein Elektron gewinnt oder verliert, wenn es in einem elektrischen Feld eine Potentialdifferenz von einem Volt durchlaufen hat.

Somit liegt die höchste Eigenfrequenz${\displaystyle {\nu }_1}$ beziehungsweise die kleinste Wellenlänge${\displaystyle {\lambda }_1}$ des Wasserstoffatoms im Ultravioletten:

${\displaystyle {\nu }_1\approx 3,2899\cdot {10}^{15}\text{ Hertz}=3,2899\text{ Petahertz}}$

${\displaystyle {\lambda }_1\approx 91,125\text{ Nanometer}}$

Wird diese der höchsten Eigenfrequenz${\displaystyle {\nu }_1}$ entsprechende Wellenlänge${\displaystyle {\lambda }_1}$ auf einen vollständigen Kreis gelegt, ergibt sich aus dessen Umfang ein Radius von rund 14,5 Nanometern. Dieser Radius ist nicht identisch mit dem Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand, dem so genannten Bohrschen Radius, da hierfür zusätzlich zur kinetischen Energie auch die potentielle Energie im elektrischen Feld zwischen positiv geladenem Atomkern und negativ geladenem Elektron berücksichtigt werden muss, die eine Anziehungskraft bewirkt. Der Bohrsche Radius beträgt deswegen nur ungefähr 53 Pikometer, also weniger als ein Tausendstel von${\displaystyle {\lambda }_1}$.

Die angeregten Energien${\displaystyle E_n}$ haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele rechts im Bild zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4. Zu sehen sind Flächen konstanter Amplitude und Farben konstanter Phase.

Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand${\displaystyle E_m}$ in den tieferen Zustand${\displaystyle E_n}$ mit${\displaystyle m>n}$ über. Die Energie${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=E_m-E_n}$ wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden vom schwedischen Physiker Johannes Robert Rydberg Rydberg-Formel mit der Rydberg-Konstanten${\displaystyle R_{\mathrm{\infty }}=\frac{4}{A}}$ (siehe oben) berechnet werden kann:^[18]

${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=h\cdot {\nu }_{m,n}=h\cdot {\nu }_{m,n}\cdot {\lambda }_{m,n}\cdot R_{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)=h\cdot c\cdot R_{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)=h\cdot {\nu }_1\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)}$

Beziehungsweise sowie über die Beziehung${\displaystyle |E_1|=\frac{h\cdot c}{e}\cdot R_{\mathrm{\infty }}}$ in der Maßeinheit Elektronenvolt:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{E}_{eV}=\frac{h\cdot {\nu }_{m,n}}{e}=|E_1|\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)=\frac{h\cdot c}{e}\cdot R_{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\text{ (in Elektronenvolt)}}$

Die höchste Eigenfrequenz${\displaystyle {\nu }_1}$ kann demzufolge auch mit der Rydberg-Konstante ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\nu }_1=c\cdot R_{\mathrm{\infty }}=\frac{4\cdot c}{A}}$

Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung diestimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um diespontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: dieQuantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.

Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark, Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Niels Bohr wurde 1922 für seine Verdienste um die Erforschung der Struktur der Atome und der von ihnen ausgehenden Strahlung der Nobelpreis für Physik verliehen. Werner Heisenberg wurde 1932 für die Begründung der Quantenmechanik, deren Anwendung unter anderem zur Entdeckung der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat, damit geehrt.

Wolfgang Pauli gelang 1926 eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren.^[19] Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.

Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden. Der deutsche theoretische Physiker Arnold Sommerfeld (* 1868; † 1951) schrieb im September 1919 in München im Vorwort seines BuchesAtombau und Spektrallinien:

Seit der Entdeckung der Spektralanalyse konnte kein Kundiger zweifeln, daß das Problem des Atoms gelöst sein würde, wenn man gelernt hätte, die Sprache der Spektren zu verstehen. Das ungeheure Material, welches 60 Jahre spektroskopischer Praxis aufgehäuft haben, schien allerdings in seiner Mannigfaltigkeit zunächst unentwirrbar. Fast mehr haben die sieben Jahre Röntgenspektroskopie zur Klärung beigetragen, indem hier das Problem des Atoms an seiner Wurzel erfaßt und das Innere des Atoms beleuchtet wird.Was wir heutzutage aus der Sprache der Spektren heraus hören, ist eine wirkliche Sphärenmusik des Atoms, ein Zusammenklingen ganzzahliger Verhältnisse, eine bei aller Mannigfaltigkeit zunehmende Ordnung und Harmonie. Für alle Zeiten wird die Theorie der Spektrallinien den NamenBohrs tragen. Aber noch ein anderer Name wird dauernd mit ihr verknüpft sein, der NamePlancks. Alle ganzzahligen Gesetze der Spektrallinien und der Atomistik fließen letzten Endes aus der Quantentheorie. Sie ist das geheimnisvolleOrganon, auf dem die Natur dieSpektralmusik spielt und nach dessenRhythmus sie den Bau der Atome und Kerne regelt.

Siehe auch:

• → Wikibook Quantenmechanik
• → Wikibook Unsere Quantenwelt

Das menschliche Ohr ist ein bemerkenswertes Messinstrument, das sowohl für die Amplituden wie für die Frequenzen von Schallwellen einelogarithmische Empfindlichkeit aufweist. Das bedeutet, dass für uns die Lautstärke um den gleichen Schritt zunimmt, wenn die Amplitude mit demselben Faktor multipliziert wird - nicht etwa wenn derselbe Betrag addiert wird. Genauso steigt die Tonhöhe für uns um den gleichen Schritt, wenn die Frequenz um einen Faktor erhöht wird. Der Faktor zwei wird besonders deutlich wahrgenommen, nämlich als eine Oktave. Im Abstand von Oktaven klingen die Melodien so ähnlich, dass man den Tönen den gleichen Namen gibt, versehen mit Strichlein oder Ziffern, wenn man die Oktavenlage angeben will.

Vielen ist das logarithmische Maß geläufig, mit dem wir die Verhältnisse von Amplituden beschreiben. Ein Faktor zehn wurde als 20 Dezibel definiert. Ein Amplitudenfaktor${\displaystyle q}$ kann mit dem dekadischen Logarithmus${\displaystyle \lg }$ beziehungsweise${\displaystyle {\log }_{10}}$ oder mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis${\displaystyle \log }$ in einen Pegel${\displaystyle Q}$ in derMaßeinheit Dezibel (dB) umgerechnet werden:

${\displaystyle Q\text{ (in Dezibel)}=20\text{ dB}\cdot {\log }_{10}q=20\text{ dB}\cdot \frac{\log q}{\log 10}}$

Das gleiche Prinzip funktioniert bei den Frequenzen respektive den wahrgenommenen Tonhöhen. Ein Faktor zwei wurde als 1200 Cent definiert. Alle zwölf Halbtöne - beziehungsweise alle kleine Sekunden - haben in der Musiktheorie bei der gleichstufigen Stimmung definitionsgemäß eine Größe von 100 Cent. Zwölf gleichgroße Halbtöne direkt übereinander ergeben eine Oktave, die demzufolge eine Größe von 1200 Cent hat. Der Tonhöhenunterschied${\displaystyle c}$ in derMaßeinheit Cent (C) bei einem vorgegebenen Frequenzverhältnis${\displaystyle q}$ kann mit der folgenden Formel ebenfalls mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis${\displaystyle \log }$ oder mit dem Logarithmus dualis${\displaystyle \mathrm{ld}}$ beziehungsweise${\displaystyle {\log }_2}$ berechnet werden:

${\displaystyle c\text{ (in Cent)}=1200\text{ C}\cdot {\log }_{2}q=1200\text{ C}\cdot \frac{\log q}{\log 2}}$

Die Bezeichnung Cent für die Maßeinheit wurde 1875 von Alexander John Ellis (* 1814; † 1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz’ BuchDie Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.^[20][21]

Zwei Töne, die als ein musikalisches Intervall im ganzzahligen Schwingungsverhältnis zueinanderstehen, werden als konsonant klingend empfunden. Dies ist besonders deutlich bei der Prime und bei der Oktave, bei denen das Frequenzverhältnis 1:1 beziehungsweise 1:2 ist. Je größer die beiden ganzen Zahlen werden, desto geringer wird der Effekt wahrgenommenen Konsonanz und somit einer harmonischen Wahrnehmung. Dieser Effekt ist für geübte Ohren auch bei der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 2:3) und bei der reinen Quarte (Frequenzverhältnis 3:4) noch gut zu hören. Instrumente ohne fest vorgegebene Tonhöhen wie Streicher oder Posaunen sowie Gesangsensembles können auch große und kleine Terzen (Frequenzverhältnis 4:5 und 5:6) beziehungsweise kleine und große Sexten (Frequenzverhältnis 5:8 und 3:5) rein intonieren. Insbesondere bei Dur- und Moll-Dreiklängen, die aus drei Tönen im Abstand einer großen und einer kleinen Terz beziehungsweise einer Quinte zusammengesetzt sind, entsteht durch die Verwendung reiner Intervalle ein besonders harmonisch empfundener Klang.

Die folgende Tabelle gibt die Frequenzverhältnisse bei den musikalischen Intervallen von der Prime bis zur Oktave in der reinen Stimmung und in Bezug auf die Quarte, Quinte und Oktave in pythagoreischer Stimmung wieder:

Der Tritonus ist also das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte. Am großen Zahlenverhältnis 25:36 liest man ab, ohne den Zweiklang gehört zu haben: da kommt eine Dissonanz heraus. In gleichstufiger Stimmung haben die beiden Töne das folgende irrationale Frequenzverhältnis (auch kein sanfter Klang):

${\displaystyle 2^{-\frac{6}{12}}=2^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}}$

Positive Abweichungen in der letzten Spalte mit der Maßeinheit Cent bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung höher ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung, und negative Abweichungen bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung tiefer ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung.

Bemerkenswert ist, dass bei den oben in der Tabelle angegebenen ganzzahligen Verhältnissen unter den Zahlen mit nur einer Ziffer allein die Sieben nicht auftaucht, was unterstreicht, dass sie aus Sicht einiger mittelalterlicher Autoren eine besondere Zahl ist.

Mehr zu den Stimmungen und mancherlei pingelige Berechnungen gibt es hier zu lesen:

• Till Eulenspiegels lustige Serie/ Stimmung

→ Siehe hierzu auch:

• Wikibook / Zahlen / Zur Sieben
• Wikibook / Zahlen / Tonsysteme

Die nächste Tabelle stellt die entsprechenden musikalischen reinen Intervalle den Frequenzverhältnissen bei der Balmer-Serie gegenüber:

Schließlich noch eine Tabelle, die die entsprechenden musikalischen Intervalle aus der Balmer-Serie mit den Frequenzverhältnissen bei gleichstufiger Stimmung vergleicht:

Von Schwingungen, Wellen und Obertönen handelt das technische Kapitel, das etwa 30 Papierseiten entspricht:

→ Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Objekte.

Es schürft in den physikalischen Grundlagen für Schwingungen und Wellen in Stoffen und bemüht reichlich Formeln und Algorithmen dazu.

Der Komponist und Naturwissenschaftler Hans Sommer könnte Richard Strauss den Sachverhalt über die akustisch-musikalisch Variante der optisch-physikalischen Balmer-Serie vermittelt haben. Es ist leicht nachvollziehbar, dass er über Entdeckungen in der Optik und der Physik bestens unterrichtet war.

Hans Sommer hieß als Sohn vonOtto Gustav Zincken (* 1809; † 1940) eigentlich Hans Friedrich August Zincken genannt Sommer. Der Vater von Otto Gustav Zincken war der promovierte Herzoglich Braunschweigischer Hofmedicus Julius Leopold Theodor Friedrich Zincken (* 1770; † 1856), der wiederum der Sohn des Justizbeamten Carl Friedrich Wilhelm Zincken (* 1729; † 1806) und seiner FrauSophie Schläger war. Diese Ehe wurde geschieden und beide Ehepartner heirateten erneut. Sophie Schläger heiratete 1782 Johann Christoph Sommer (* 1741; † 1802), der als Hofrat und Professor für Anatomie am Anatomisch-Chirurgischen Institut in Braunschweig tätig war und dessen Nachname fortan bei ihren Nachfahren der Familie Zincken geführt wurde.

Hans Sommers Vater starb als er zweieinhalb Jahre alt war. Seine verwitwete Mutter,Nanny Langenheim (* 1813; † 1902), heiratete 1845 den Unternehmer, Optiker und Pionier der Photographie Peter Wilhelm Friedrich von Voigtländer (* 1812; † 1878). Dessen Vater war der Optiker Johann Friedrich Voigtländer (* 1779; † 1859), der seit 1808 die FirmaJ. F. Voigtländer, Werkstätte für optische und feinmechanische Instrumente führte und der Nachfahre des Optikers und Erfinders Johann Christoph Voigtländer war (* 1732; † 1797).

Hans und Antonie Sommer hatten die beiden Söhne Otto und Richard.

Hans Sommer war ausgebildeter Mathematiker, und er war in Göttingen auch von dem Physiker Wilhelm Eduard Weber (* 1804; † 1891) unterrichtet worden. Bereits 1866 wurde er in Braunschweig am PolytechnikumCollegium Carolinum Professor für Mathematik. Zwölf Jahre später wurde er zum Rektor ernannt, und er war bei der Überführung des Collegiums in dieHerzogliche Technische Hochschule Carolo-Wilhelmina beteiligt, die heute die Technische Universität Braunschweig ist. Er forschte in Braunschweig bis 1884 insbesondere auf dem Gebiet der angewandten Optik.

Er half als einer der Pioniere in der angewandten Optik auch seinem Stiefvater Peter Wilhelm Friedrich Ritter von Voigtländer, der zusammen mit seinem Vater Johann Friedrich Voigtländer ab 1849 als Unternehmer die optischen WerkeVoigtländer & Sohn in Braunschweig führte.^[22]

Im Jahr 1858 veröffentlichte Hans Sommer in Göttingen seine Inaugural-Dissertation zur Erlangung der philosophischen Doktorwürde mit dem TitelZur Bestimmung der Brechungsverhältnisse. Hierin widmet er sich auch und ausführlich der Brechung am Prisma, mit dessen Hilfe weißes Licht spektral aufgespalten werden kann, um zum Beispiel Spektrallinien erkennen und vermessen zu können.^[23]

Im Jahr 1870 veröffentlichte Hans Sommer in Braunschweig ein Buch mit dem TitelÜber die Dioptik der Linsen-Systeme, in dem er ebenfalls auf den Brechungseffekt eingeht.^[24]

→ Siehe hierzu auchWikibook Digitale bildgebende Verfahren / Ablenkung von Lichtstrahlen

Hans Sommer und Richard Strauss gründeten 1903 gemeinsam dieAnstalt für musikalische Aufführungsrechte (AFMA), die als erste Vorgängerorganisation der späterenGesellschaft für musikalische Aufführungs- und mechanische Vervielfältigungsrechte (GEMA) gilt.

2019 wurde der Briefwechsel zwischen Richard Strauss und Hans Sommer in Buchform herausgegeben.^[25]

Ohne die vielfältigen Forschungsergebnisse und bemerkenswerten Entdeckungen aus dem 19. Jahrhundert wäre es sehr schwierig gewesen, die Quantentheorie zu entwickeln. Und ohne das tiefere Verständnis der Quantenmechanik gäbe es vermutlich keine Halbleiter, die heute fast in jedem Haushalt vorhanden sind. Mit explizitem Bezug auf die Lichtemission möge zur Kenntnis genommen werden, dass durch die Erforschung der vielen verschiedenen diskreten Energieniveaus von Gasen, Kristallen und Halbleitern, heute Leuchtstofflampen, Laser und Leuchtdioden hergestellt werden können, die praktisch bei jeder beliebigen Wellenlänge in einem weiten Spektralbereich vom Infraroten bis zum Ultravioletten monochromatisches Licht emittieren. Leuchtdioden werden heute als energieeffiziente Leuchtmittel in der Beleuchtungstechnik und bei fast allen Bildschirmen eingesetzt.

→ Siehe auch WikibookDigitale bildgebende Verfahren / Beleuchtung / Lichtquellen

Bislang sind für die hier aufgestellte interdisziplinäre Hypothese, dass die Entdeckung der ganzzahligen Verhältnisse bei der optisch-physikalischen Balmer-Serie die Umsetzung in ein akustisch-musikalisches Motiv angeregt haben könnte, keine schriftlichen Quellen bekannt geworden. Diese Geschichte wurde allerdings über Generationen von Physikern mündlich tradiert. Der Hauptautor hatte sie Mitte der 1980er Jahre in einer Lehrveranstaltung der Technischen Universität Berlin von ProfessorGerd Koppelmann (* 5. September 1929; † 21. September 1992) erfahren. Der Hauptautor dankt seinem Doktorvater Professor Heinz Niedrig für den Nachruf auf dessen Kollegen Gerd Koppelmann.^[26]

• Markus Bautsch:Die von Johann Jakob Balmer gefundenen Zahlenverhältnisse bei den Spektrallinien des Wasserstoffs, in: Gudrun Wolfschmidt (Herausgeberin):Astrophysik seit 1900 – Jubiläum von Karl Schwarzschild (1873–1916) und Ejnar Hertzsprung (1873–1967), Proceedings der Tagung des Arbeitskreises Astronomiegeschichte in der Astronomischen Gesellschaft in Berlin im September 2023, tredition (Nuncius Hamburgensis – Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften, Band 59), Hamburg, 2024, Seiten 14–33.

• Quadriviale Kuriositäten

1. ↑Siehe auch:Briefwechsel Hans Sommer an Richard Strauss, Weimar, 14. April 1893, in Christian Cöster (Herausgeber):Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Schott Music, 2020,ISBN 9783795718060
2. ↑ William Hyde Wollaston: ‘‘On the Dispersion of Light“, ‘‘Philosophical Transactions of the Royal Society of London’’, Teil II, Kapitel XII, Seiten 365 bis 380, 1802
3. ↑Joseph Fraunhofer: ‘‘Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten, in bezug auf die Vervollkommnung achromatischer Fernröhre’‘, Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München für die Jahre 1814 und 1815, Band V, Seiten 193 bis 226, München, 1815
4. ↑Johann Jakob Balmer:Notiz über die Spektrallinien des Wasserstoffes, in:Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel, Band 7, Seiten 548 bis 560, H. Georg's Verlag, 1885
5. ↑Anders Jonas Ångström:Spectre normal du Soleil – Atlas de six planches, in:Recherches sur le Spectre Solaire, Verlag W. Schultz, Uppsala (1868)
6. ↑Till Eulenspiegels lustige Streiche opus 28, Abenteuer Klassik
7. ↑Aus: Brief von Richard Strauss vom 7. Oktober 1942 aus den Hotels Verenahof - Ochsen, Baden bei Zürich, Schweiz
8. ↑Czerny, Carl <1791-1857>, Exercises in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
9. ↑Anonymus, Ländler in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
10. ↑Theodore Lyman:The Spectrum of Hydrogen in the Region of Extremely Short Wave-Lengths, Astrophysical Journal, Band 23, Seiten 181 bis 210, 1906
11. ↑Friedrich Paschen: ‘‘Zur Kenntnis ultraroter Linienspektra’‘, Annalen der Physik, Band 27, 332, Ausgabe 13, Leipzig, Seiten 537 bis 570, 1908
12. ↑Stanley L. Basin (* 1936; † 2016):The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature, San Jose State College, Kalifornien, Vereinigte Staaten von Amerika, in:The Fibonacci Quaterly, Volume 1, Number 1, 1963, Seiten 53 bis 56
13. ↑Behind the MINT #04: … weil wir mehr als Technik können. Podcast – Höre Zukunft!, Berliner Hochschule für Technik, abgerufen am 22. November 2024.
14. ↑Max Planck: ‘‘Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum’‘, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, Nummer 17, Seite 237 bis 254, Berlin, 1900
15. ↑Albert Einstein: ‘‘Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt’‘, Annalen der Physik, Band 322, Nummer 6, Seiten 132 bis 148, 1905
16. ↑Erwin Schrödinger: ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem’‘, Teil I bis IV, Annalen der Physik, Band 79 bis 81, 1926
17. ↑Niels Bohr: ‘‘On the Constitution of Atoms and Molecules’‘, Teil I bis III, Philosophical Magazine, 26. Jahrgang, 1913
18. ↑Johannes Robert Rydberg: ‘‘Recherches sur la constitution des spectres d'émission des éléments chimiques’‘, Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar, Band 23, Nummer 11, Seiten 1 bis 177, 1889
19. ↑Wolfgang Pauli:Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, Band 36, 5. Heft, 27. März 1926, Seite 336 bis 665, Julius Springer, Berlin
20. ↑Hermann von Helmholtz:Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik., Vieweg, Braunschweig, 1863.
21. ↑Alexander John Ellis:On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, London, Longmans, Green & Company, 1875
22. ↑Bernhard Braunecker und Reinmar Wagner:Hans Zincke-Sommer (1837–1922) / Physiker und Komponist, Zeitschrift Musik & Theater, September 2012, Schweizerische Physikalische Gesellschaft
23. ↑Hans Sommer:Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse, Google Books
24. ↑Hans Sommer:Über die Dioptik der Linsen-Systeme, Google Books
25. ↑Christian Cöster:Richard Strauss im Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Seiten 23 bis 178, Schott, Mainz, 2019
26. ↑Heinz Niedrig:Gerd Koppelmann zum Gedenken, Physikalische Blätter, Jahrgang 48, 1992, Nummer 12

In diesem Abschnitt geht es um den physikalischen Hintergrund des konventionellen Tonsystems der europäischen Musik. Zu den künstlerischen Aspekten wird nichts Kluges gesagt und auch wer sich als unmusikalisch ansieht, darf anfangen zu lesen.

Der vorliegende Text verwendet einige Begriffe aus diesem Abschnitt:

Till Eulenspiegels lustige Serie / Musiktheoretischer Hintergrund

Die Schwebungen sind ein Phänomen bei Schwingungen, das für die Stimmung von Instrumenten eine große Rolle spielt. In diesem Abschnitt gilt der Begriff "Frequenz" als Synonym für "Tonhöhe"; er beschreibt sie physikalisch. Außerdem haben technisch vorbelastete Leute die Angewohnheit, Töne, Klänge und Wellenformen als "Signal" zu bezeichnen.

Das Bild zeigt oben zwei periodische Kurven, cyan und magenta, die eine leicht verschiedene Frequenz haben. Die horizontale Achse ist als die Zeit anzusehen. Am Anfang sind beide Kurven in Phase, beide gleichzeitig am Maximum. Nach etwa 9 Perioden haben sie eine entgegengesetzte Phase, später wieder die gleiche Phase. Die untere Kurve ist die Summe, also die Überlagerung, der zwei Schwingungen. Das Ergebnis ist eine schnelle Schwingung, deren Amplitude langsam zwischen Null und dem Maximalwert pendelt. Diese Wellenform heißt eineSchwebung. Ein anderer technischer Name spricht von einerAmplitudenmodulation. Die Amplitude der Schwingung wird mit einer sinusförmigen Hüllkurve moduliert. Eine künstlerisch angehauchte Bezeichnung sieht in der Kurve einTremolo.

Machen wir ein einfaches mathematisches Modell der Schwebungen. Wie sich herausstellt, gibt es sie auch beim Zusammenklang von zwei Tönen, die beinahe harmonisch zueinander sind, wenn also ihre Frequenzen ungefähr in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen. Gleichungsallergiker dürfen die Berechnungen überspringen. Wir tun uns einen Block von trigonometrischen Formeln an.

${\displaystyle \cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b}$

${\displaystyle \cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b}$

${\displaystyle \sin (a+b)=\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b}$

${\displaystyle \sin (a-b)=-\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b}$

Herleitung:

${\displaystyle \exp (i(a+b))=\cos (a+b)+i\sin (a+b)=}$

${\displaystyle =\exp (ia)\exp (ib)=(\cos (a)+i\sin (a))(\cos (b)+i\sin (b))}$

${\displaystyle =(\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b))+i(\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b))}$

${\displaystyle \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$

${\displaystyle \cos x=\cos (-x);\sin x=-\sin (-x)}$

${\displaystyle \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}$

${\displaystyle \sin (a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b}$

${\displaystyle \sin (a-b)=-\cos a\sin b+\sin a\cos b}$

Umkehrungen:

${\displaystyle 2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)}$

${\displaystyle a+b=A;a-b=B;a=(A+B)/2;b=(A-B)/2}$

${\displaystyle \cos (A)+\cos (B)=2\cos ((A+B)/2)\cos ((A-B)/2)}$

${\displaystyle 2\sin a\sin b=\cos (a-b)-\cos (a+b)}$

${\displaystyle \cos (A)-\cos (B)=-2\sin ((A+B)/2)\sin ((A-B)/2)}$

${\displaystyle \sin a\cos b=(1/2)\cdot (\sin (a+b)+\sin (a-b))}$

${\displaystyle \sin (A)+\sin (B)=2\sin ((A+B)/2)\cos ((A-B)/2)}$

Ergebnis:

${\displaystyle \cos A+\cos B=2\cdot \cos ((A+B)/2)\cdot \cos ((A-B)/2)}$

${\displaystyle \cos A-\cos B=-2\cdot \sin ((A+B)/2)\cdot \sin ((A-B)/2)}$

${\displaystyle \sin A+\sin B=2\cdot \sin ((A+B)/2)\cdot \cos ((A-B)/2)}$

${\displaystyle \sin A-\sin B=2\cdot \cos ((A+B)/2)\cdot \sin ((A-B)/2)}$

Die letzten vier Gleichungen beschreiben alle möglichen Überlagerungen von zwei Schwingungen der Frequenzen${\displaystyle f}$ und${\displaystyle g,}$ wenn gesetzt wird:

${\displaystyle A=2\pi ft;B=2\pi gt.t}$ ist die Zeit.

Eine allgemeine Überlagerung ist eine Linearkombination dieser vier Terme.

Die rechten Seiten sagen dann folgendes aus: so ein Signal ist ein Produkt aus der Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenzen,${\displaystyle (f+g)/2}$, und der Schwingung mit der halben Differenzfrequenz${\displaystyle (f-g)/2}$. Das ergibt genau eine Amplitudenmodulation mit einem langsamen Faktor, wenn${\displaystyle f}$ und${\displaystyle g}$ zwei eng benachbarte Frequenzen sind.

Der Absolutbetrag der Amplitude hat nun zwei 'Bäuche' pro Periode des langsam modulierenden Faktors. Das Ohr hört das Vibrato also mit der ganzen Frequenzdifferenz${\displaystyle (f-g)}$. Wenn die Frequenz dieser Differenz im Hörbereich liegt, wird ein sogenannter Kombinationston wahrgenommen, insbesondere wenn die Amplituden hoch sind und die Perzeption durch Nichtlinearitäten im Innenohr noch deutlicher wird. Solche Töne werden nach dem italienischen GeigenvirtuosenGuiseppe Tartini (* 1692; † 1770) auchTartini-Töne genannt, da dieser sie bei laut gespielten Doppelgriffen auf seiner Geige wahrgenommen und 1754 beschrieben hatte. Bereits 1745 wurden sie vom deutschen Organisten, Komponisten und MusiktheoretikerGeorg Andreas Sorge (* 1703; † 1778) entdeckt.^[1]

Summen/Differenzen von Schwingungen wurden hier in Produkte verwandelt. Die resultierende Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenz bekommt dabei eine Modulation, also eine einhüllende Sinuskurve. Die Modulation vibriert mit der halben Differenz der Frequenzen und die Hüllkurve pulsiert mit der Differenz.

Vielfach wird in der Technik die andere Richtung der Gleichungen benutzt: man liefert zwei Frequenzen an und erzeugt zuerst ihr Produkt. Das nennt sich eine Mischung, nicht eine Überlagerung. Am Ausgang finden sich die Summe und die Differenz der Frequenzen. Besonders die (niederfrequente) Differenz ist wichtig, wenn die hohen schwierig zu handhaben sind. Man hat dann ein Signal runtergemischt auf eine komfortable "Zwischenfrequenz". Das Ohr hat einen eingebauten Mischer, wie die Tartini-Töne zeigen. Allgemeine Mischprodukte zweier Frequenzen${\displaystyle (n\cdot f_1\pm m\cdot f_2)}$heißen im technischen JargonIntermodulationen, vielleicht auch Kombinationstöne.

Kuriosität. Es gab früher (gibt?) bei grottenschlechten Lautsprecherboxen einen billigen Trick, um die Illusion von guten Basstönen zu erwecken. Wenn die Box eine tiefe Frequenz F nicht wiedergeben kann, werden einfach die zweiObertöne 2*F und 3*F durch Klirren, also nichtlineares Scheppern irgendwelcher Bauteile, erzeugt. Das Ohr denkt sichden fehlenden Grundton dazu, also die Differenz dieser zwei Harmonischen. Aus dem gleichen Grund kann man bei kleinen Orgeln etwa im Pedal diskret ein Register in Quintenlage zuschalten, um den satten Bass eine Oktave tiefer anzudeuten, um nicht zu sagen vorzutäuschen. Wer weiß, wieviel Jahrhunderte der Trick schon dauert.Ein akustischer Bass von "32-Fuß" kommt an alsResidualton, wenn offene Pfeifen (16 Fuß) kombiniert werden mit gedeckten Pfeifen (10-2/3 Fuß). Der Komponist und Organist Abt Vogler (1749-1814) setzte solche "akustischen" Register ein.

Behauptung 1:Haben zwei Frequenzen${\displaystyle f,g}$ ein exaktes Zahlenverhältnis${\displaystyle (f=nF,g=mF)}$ dann kann es in der Überlagerung keine tieffrequente Schwebung geben.

Denn beispielsweise:

${\displaystyle \cos ((nF)2\pi t)+\cos ((mF)2\pi t)=2\cos (((n+m)F/2)2\pi t)\cos (((n-m)F/2)2\pi t).}$

Diese Formel enthält nur relativ "hohe" Frequenzen im Produkt. Zum Beispiel${\displaystyle F=100\text{ Hz },n=2,m=3}$ macht aus 200 Hz und 300 Hz in den Faktoren die Frequenzen 250 Hz und 50 Hz. Selbes Argument ist anzuwenden für die drei anderen Fälle der Überlagerung.

Behauptung 2:Wenn eine kleine Abweichung${\displaystyle 2s}$ der Frequenzen vom exakten Verhältnis vorliegt${\displaystyle (f=nF+s,g=mF-s),}$ dann zerfällt die Überlagerung in Terme vom Typ: Reiner Zweiklang mal Amplitudenmodulation mit der Frequenz${\displaystyle s.}$ Eine Schwebung mit der langsamen Frequenz${\displaystyle s}$ ist hörbar.

Zum Beweis werde gesetzt:

${\displaystyle a=(nF+s)(2\pi t);b=(mF-s)(2\pi t);u=2\pi st;}$

${\displaystyle (a+b)/2=((n+m)F/2)(2\pi t)=A;(a-b)/2=((n-m)F/2)(2\pi t)+u=B+u.}$

${\displaystyle \cos a+\cos b=Q(u)=2\cos A\cos (B+u)}$

${\displaystyle \sin a-\sin b=R(u)=2\cos A\sin (B+u)}$

Die Ausdrücke${\displaystyle Q(0)}$ und${\displaystyle R(0)}$ sind schwebungsfreie reine Überlagerungen nach der Behauptung 1.

${\displaystyle Q(u)=2\cos A[\cos B\cos u-\sin B\sin u]=Q(0)\cos (u)-R(0)\sin (u)}$

Das allgemeine${\displaystyle Q(u)}$ ist also die Linearkombination aus den reinen Zweiklängen mal je eine langsame Amplitudenmodulation mit der Frequenz${\displaystyle s}$. Die Ausrechnung verläuft genauso für jede von vier Summen/Differenzen der Cosinus und Sinus. Also gilt sie für allgemeine Überlagerungen.

Damit ist gezeigt, dass bei den Terzen, Quarten, Quinten das Phänomen der Schwebung vorkommt. Deren Modulationsfrequenz ist gleich der halben Abweichung der Frequenzdifferenz${\displaystyle (f-g)}$ vom Sollwert für rein gestimmte Intervalle. Die Frequenz eines Tremolos ist gleich dieser Abweichung.

Einen Haken hat die Sache noch, weil bei so einer Schwebung die Differenz von zwei Produkten, nicht ein Produkt, anfällt. Die zwei Terme fressen sich im Mittel auf, genauer, sie liefern sich ein Tauziehen. Der langsame Faktor sin(u) geht durch Null, wenn der andere, cos(u), betragsmäßig maximal wird. Und umgekehrt. Kombiniert kommt nur eine schwache Amplitudenmodulation (Hüllkurve) heraus. Wenn allerdings die zwei Schwingungen statt der Sinusform eine komplexere periodische Form haben, wie die Schallwellen aus interessanten Instrumenten, dann verstärkt sich der Schwebungseffekt. Dann sind die Obertöne da, die Vielfachen der zwei überlagerten Frequenzen. Bei der Quinte etwa gleichen sich der zweite des einen und der dritte des anderen Tons. Die tragen dann gehörig zum Tremolo-Effekt bei.

Folgerung. Um eine Quinte, Quarte oder Terz rein zu stimmen, wird eine der Saiten oder Pfeifen usw. so manipuliert, dass der Zweiklang ohne Tremolo (Schwebung) stehen bleibt. Um sie um Cent-Beträge enger oder weiter zu stimmen, wird die langsame Frequenz der Schwebung ausgezählt und je nach Frequenz der Töne auf bestimmte Zielwerte eingepegelt.

Überlagern sich zwei Töne mit ungefährem Frequenzverhältnisf:g = n:m, dann können der Obertonmf und der Obertonng sich periodisch auslöschen, man hört die Schwebungsfrequenz| mf - ng |.

Eine andere, häufig auch in Synthesizern vorkommende Schwingungsform ist die Frequenzmodulation. Dabei hat die schnelle Schwingung eine konstante Amplitude, doch ihre Frequenz ändert sich im langsamen Rhythmus. Musikalisch entspricht das einemVibrato. Ein ganzer Kamm von Nebenfrequenzen wäre nötig, um die FM aus einer Überlagerung zu erzeugen.

Mit etwas umständlichen Argumenten soll dieser Abschnitt ein Paar von Tönen analysieren. Angenommen wird nur, dass es periodische Signale sind, die Zerlegung in Obertöne wird nicht hinzugezogen. Die intuitiv leicht zu merkende Obertonregel wird doch wieder herauskommen.

Zwei Töne mit Frequenzenf undg sollen nahe daran sein, im harmonischen Verhältnisf:g = n:m zu stehen. Anders gesagt, es gibt einen gemeinsamen Unterton mit der Frequenzu, sowie eine Abweichungs, so dass gilt:f = nu + s/2 undg = mu - s/2.

Es folgt:| mf - ng | = (m+n) s/2 =: S.

Die Zahlenn,m mitn<m haben keinen gemeinsamen Teiler.

Nun soll herausgefunden werden, warum man eine Schwebung mit der FrequenzS wahrnehmen kann. Dieser Wert S ist größer als der minimale Werts, der für Sinuswellen im vorigen Abschnitt ausgerechnet wurde. Auch bei den Letzteren kommt die SchwebefrequenzS vor, etwa wenn man aufmerksam den Verlauf der Spitzen der Signalsumme verfolgt.

Wenn die Harmonie perfekt ist, alsomf = ng, dann kann der Klang der Summe beider Töne nur davon abhängen, in welcherPhase sie zueinander liegen.

Zum Beispiel mitf:g = 2:3 gibt es in einer PeriodeT = 1/u des Untertonsu zwei Maxima vonf und drei Maxima vong.

Phase Null: Maxima vonf bei 0 undT/2, Maxima vong bei 0,T/3, 2T/3.

Phase verschoben: Maxima vonf beiT/4 und 3T/4, Maxima vong unverändert.

In zweiten Fall gibt es keine gemeinsamen Maxima, die Summe klingt anders.

Allgemein mitn<m, f:g = n:m passen ins IntervallT, n bzw.m Perioden:

f hat seine Maxima beikT/n + p (k = 0...n-1; p= Phasenverschiebung).

g hat seine Maxima beijT/m + q (j = 0...m-1; q= Verschiebung).

Hier sindj,k ganze Zahlen. Welchen Wertebereich kann die Phasenverschiebung haben, so dass der Klang variiert?

Halten wir etwap=0 fest und verändern wirq im Intervall von 0 bisT/m, das heißt, wir spielen alle Phasen der Frequenzg durch. Das ist aber viel zu viel, denn es passiert folgendes: Beiq=0 habenf undg ihr gemeinsames Maximum zur Zeit 0, aber schon beiq = (T/n - T/m) trifft das nächste Maximum vong auf das nächste vonf und die Töne klingen wie beiq=0. Der sinnvolle Phasenspielraum von Frequenzg ist höchstensT/n - T/m = (T/m)(m-n)/n, also ein Bruchteil der vollen Periode vong.

Ist das nicht immer noch zu viel? Gibt es nicht ein Paar von Positionen auf dem RasterT, wofür eine noch kleinere Verschiebung die Signalspitzen deckungsgleich macht? Mit optimaler Wahl von Zahlenj,k solljT/m + q = kT/n; q = (jn-km)T/(nm) minimal werden, aber nicht Null.n undm sind teilerfremd,m>n. Ist vielleichtjn-km = 1 lösbar mitj>0, k>0? Das wäre der bestmögliche Fall.

Vorbemerkung:jn-km = 0 hatm als kleinste Lösung fürj: j=m,k=n. Dennjn = km; n/m = k/j. Es kann also wederk<n nochj<m sein, sonst hättenn,m einen Teiler (zerlege allen,m,j,k in Primzahlen).

Nun durchlaufej den interessanten Bereich1...m-1.

Behauptung. In dieser Menge gibt es keine zwei gleichen Differenzen

${\displaystyle j_{1}m-k_{1}n=x_1;j_{2}m-k_{2}n=x_2;j_2>j_1.}$

Wegenn<m könen diek₁,k₂ so gewählt werden, dassx₁,x₂ positiv und kleiner alsm sind. Warum sind diex-Werte verschieden?

Wärex₁=x₂, dann Im Widerspruch zur Teilerfremdheit. Den Werten${\displaystyle j\in \{\mathrm{1...}m-1\}}$ werden also verschiedene Werte${\displaystyle x\in \{\mathrm{1...}m-1\}}$ zugeordnet. Daher kommt irgendwann der Wertx=1 vor.

Folglich ist die minimale Zeitverschiebung:

U = min(q) = T/(nm).

Nach diesem Betrag wiederholen sich die Klangfarben mit periodischer Verschiebung und sind mit reellen Zahlen0<p<U zu unterscheiden.

Bei perfekter Harmonie giltT = n/f = m/g, alsoU = 1/(mf) = 1/(ng).

Pro Sekunde ist die Zahl der PeriodenU gleich:N(f) = N(g); mf = ng.

Eine Schwebung mit FrequenzS kommt vor, wenn die PeriodenzahlenN(f) = mf undN(g) = ng sich umS Zyklen unterscheiden. So viele Perioden der Klangveränderung gibt es dann nämlich. Also gilt wie erwartet:S = | mf - ng |. Ende des Beweises, endlich.

Die Schwebung bei harmonischen Intervallen ist nicht einfach eine Amplitudenmodulation, sondern eine allgemeinere Modulation der Wellenform, der Klangfarbe. Die nichtlineare Komponente des Hörens kann dabei helfen, sie wahrzunehmen.

Beispiel: Geübte Ohren nehmen wahr, dass bei der verstimmten Quinte ~(2/3)·F über der GrundfrequenzF, die Oktave zur Quinte, also das Dreifache der tiefen und das Doppelte der höheren Frequenz, entscheidend zur Schwebung beiträgt.

Zitate aus der Musikalischen Bibliothek von Lorenz Mizler werden mit Mus.Bib. markiert.^[2] Die Schwebung erklärt nach Werckmeister, "Kurtzer Unterricht Wie man ein Clavier stimmen und wohl temperiren könne."

"Da nun eineConsonantia gegen die andere etwa zu hoch oder zu niedrig stehet, so nennet man dasselbe eine Schwebung. Dieser Nahme kommt fürnehmlich von den Orgelmachern her, denn wenn sie zwo Pfeiffen zusammen stimmen, und dieselben bald reine sind, so machen solche Pfeiffen, wenn sie zugleich mit einander angehalten werden, einenTremorem, oder Zittern, je näher nun die Zusammen-Stimmung ist, je langsamer wird derTremor, wenn sie aber endlich zusammen gestimmt sind, so lässet sich derTremor oder daß Beben nicht mehr hören, und klingen solche zwo Pfeiffen ofte, als wenn es eine Pfeiffe wäre. Wenn der oberste Clavis gegen den andern zu hoch ist, so heist man es, in die Höhe schweben, ist er zu niedrig, nennet man dasselbe niedrig schweben." (Mus.Bib. I.2 S.160)

Gut gesungene mehrstimmigea-cappella-Chormusik sollte rein gestimmt erklingen, genauso wie Streicher-Ensembles. Wir reden hier von altmodischer tonaler Musik. Eine Musik, der streckenweise die eine oder andereTonart anheftet.

In der reinen C-Dur-Tonleiter sind alle Intervalle zum Grundton rational.

Zwischen den Nachbarn gibt es große (9/8) oder kleine (10/9) Ganztöne und bei E-F und H-C den diatonischen Halbton (16/15). Die Dreiklänge auf Tonika C, Dominante G und Subdominante F sind rein.

Soll das Prinzip der reinen Akkorde und Intervalle beim Wechsel in eine benachbarte Tonart zu C-Dur beibehalten werden (Modulation), dann passiert mehr als nur eine schwarze Taste einzubauen. Es müssen auch manche Tonhöhen der weißen Tasten angepasst werden!

Indiz dafür: die Quinte D-A ist in Rein-C-Dur verstimmt. D wäre die Molltonart parallel zur Subdominante. Die Modulation in Richtung Subdominante braucht in der Tatzwei Alterationen für ein reines F-Dur. H wird zu B und D wird um einsyntonisches Komma gedrückt.

Eine Modulation nach a-Moll braucht zwar keine "schwarze Taste", aber auch hier muss D etwas sinken, um zur reinen Subdominante von A zu werden.

Eine Modulation von der reinen Tonleiter in C-Dur zur derjenigen in G-Dur braucht auchzwei Änderungen: aus F wird Fis und A wird um ein syntonisches Komma angehoben, von 440 Hz nach 445,5 Hz.

Die Terzen im reinen C-Dur sind rein bis auf D-F. Taucht diese auf, sollte wieder eine Modulation im Spiel sein und der Ton D abgesenkt werden.

Was ist das syntonische Komma? Das Verhältnis von zwei pythagoreischen Ganztönen (9/8) zu einer reinen großen Terz (5/4),

SK =${\displaystyle {\left(\frac{9}{8}\right)}^2/\left(\frac{5}{4}\right)}$ = 81/80 = 1,0125 = 21,51 Cent.

Dieses Komma tritt auf, weil die reine Terz aus einem großen und einem kleinen Ganzton besteht:${\displaystyle (5/4)=(9/8)\cdot (10/9).}$

Gleichwertig definiert man das syntonische Komma als den Unterschied zwischen vier reinen Quinten und zwei Oktaven plus großer Terz:

SK =${\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^4/\left(2\cdot 2\cdot \frac{5}{4}\right)=81/80.}$

Weiter unten wird eine Methode der Stimmung erwähnt, die Terzen dadurch rein macht, dass Quinten im Vierergespann gleichmäßig gestaucht werden.

Fazit: eine reine Intonation benutzt viel mehr Töne als zwölf. Nicht nur sind beispielsweise As und Gis verschiedene Noten und Frequenzen, sondern diese und auch alle 'weißen Tasten' kommen in Varianten vor, die sich um das syntonische Komma unterscheiden.

Rechenübung zum Wechsel der Tonart.

Nichts befiehlt einem, dass ein Lied in C-Dur zu sein hat, also auf dem ersten Ton beginnt und endet. Mit der gleichen Folge von ganzen und halben Tönen können Melodien sich um jeden anderen Ton als Ruhepol entwickeln. Das LiedGreensleeves zum Beispiel sitzt auf dem zweiten Ton (hier bezogen auf F-Dur). Solche Melodien sindmodal auf dem zweiten, dritten, vierten, fünften ... Ton; auch genannt Dorisch, Phrygisch, Lydisch, Mixolydisch usw.Unzählige traditionelle und volkstümliche Lieder haben modale Tonarten.

Die Vorherrschaft von Dur und Moll brach erst mit der Renaissance allmählich aus. Welche Besonderheit haben die Stufen 1 und 6, also Dur und natürliches Moll? Bei ihnen gibt es die nächstverwandten Töne (Quinte=Dominante und Quarte=Subdominante) und sie haben denselben perfekten Dreiklang wie der Grundton. Vielleicht wurden damit die vielstimmige Polyphonie und die schriftlich fixierte Musik besser machbar. Ging nicht auch im zwanzigsten Jahrhundert die Dur-Moll-Ära zu Ende?

Zum Vergleich der Tonleitern auf dem ersten, vierten und fünften Ton (Tonika, Subdominante, Dominante) rechnen wir die jeweiligen Frequenzen im Verhältnis zum Anfang aus.

Nun werde verlangt, warum auch immer, die Skalen nach Dur zu verbiegen. Die Tonleiter auf F hat zwei Unterschiede zur Dur-Skala, die Töne H und D. Um folgende Intervalle muss abgesenkt werden, um ein F-Dur zu erzwingen:

${\displaystyle H\to B:}$ (45/32) / (4/3) = 135/128

${\displaystyle D\to ,D:}$ (27/32) / (5/3) = 81/80

Die Tonleiter auf G hat die Töne A und F, die von Dur abweichen.

Zwei Anhebungen erzeugen ein G-Dur:

${\displaystyle ,A\to A:}$ (9/8) / (10/9) = 81/80

${\displaystyle F\to Fis:}$ (15/8) / (16/9) = 135/128

Das syntonische Komma 81/80=1,0125 taucht jedes Mal auf. Neu ist ein Halbtonschritt, der einen Leitton entweder abschafft oder herstellt. Die halbtönige Alteration ist kleiner, um ein Prozent, also etwa ein Komma, als ein diatonischer Halbton. Denn: (16/15) / (135/128) = 1,011...

Die Begriffe temperierte, gleichstufige oder gleichschwebende Stimmung bezeichnen die gleiche Technik, die bei Tasteninstrumenten vorherrscht. Man teilt die Oktave streng in zwölf gleiche Intervalle auf. Das bringt eine brutale Vereinfachung, die

• erstens die Unterschiede zwischen As und Gis und Kollegen ausradiert (enharmonische Verwechslung),
• zweitens alle Feinstruktur (Verschiebung ums syntonische Komma) unterdrückt.

Weil zwölf temperierte Halbton-Intervalle I eine Oktave ausmachen, gilt:

${\displaystyle I^{12}=2\Rightarrow I=\sqrt[12]{2}=e^{\ln (2)/12}=1,\mathrm{059463...}=}$ 100 Cent.

Daspythagoreische Komma ist der Fehlbetrag, der herauskommt, wenn zwölf Intervallschritte vonreinen Quinten verglichen werden mit einem Intervall von sieben Oktaven:

PK =${\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^{12}/2^7=3^{12}/2^{19}}$ = 1,01364 = 23,46 Cent.

Die Folge reiner Quinten schießt um einen Achtel Ton (Erinnerung, ein Halbton = 100 Cent) über die Oktaven hinaus. Die Kette von 12 Quinten heißt derQuintenzirkel. Zu schön wäre es, wenn er wieder beim Ausgangston ankäme. Töne, die sich um Oktaven (Faktoren zwei) unterscheiden, sind hier äquivalent. In der reinen Stimmung wäre der Quintenzirkel eine Quintenspirale. Der Kreis schließt sich nur wegen leicht unsauberer Quinten.

"Aus der Erfahrung weiß man, daß, wenn man z.E. alle Quinten etc. rein stimmet, bey der Fortschreitung die Tone zu hoch kommen, und mit andern Tonen eine unleidliche Dissonanz verursachen. Diesem Uebel abzuhelffen, nimmt man einer Consonanz bald etwas ab, oder leget ihr bald etwas zu, und temperiret die Verhältnisse der Tone so gegeneinander, daß sie das Gehörealle wohl vertragen kan, welchesTemperatur heist, und zur Absicht hat, daß man aus allen 24 Tonarten, ohne die Ohren zu beleidigen, spielen kan." (Mus.Bib. I.3 S.237)

Bei der gleichstufigen Stimmung wird jede Quinte nur um knapp 2 Cent eingeengt, so dass die Folge passgenau und gleichmäßig eine Oktave mit zwölf Tönen bevölkert. Der Fehler erklingt als eine dezente Schwebung der Quinten, ein Tremolo, das nicht weiter schockiert. Beim Klavierstimmen stellt man die langsamen Perioden dieser Schwebungen auf Sollwerte ein. Daher auch der Name gleichschwebende Stimmung.

Eine gleichwertige Definition des pythagoreischen Kommas ist das Verhältnis von sechs 'großen' Ganztönen zu einer Oktave,

PK =${\displaystyle {\left(\frac{9}{8}\right)}^6/2.}$

Diese Zahl wurde zuerst von Euklid erwähnt.

Es kam Kritik auf. Die gleichstufig großen und kleinen Terzen weichen hörbar von den reinen Vertretern der Gattung ab. Um die 15 Cent beträgt der Fehler.

Die gleichschwebend gestimmten Terzen klingen also kratzig wegen schneller Schwebungen. Die großen Terzen sind "scharf".

Rechenbeispiel.

Den Kammerton A =  440 Hertz nennen wir a', er gehört zur Oktave von c' bis h'. Die Töne in der Oktave darunter bezeichnen wir ohne Strich. Die Frequenz vom Ton c' folgt aus der von a', wenn neunmal durchs Halbtonintervall I geteilt wird. Die Frequenz von c ist dann die Hälfte.

Was macht die Schwebung zwischen den temperierten Tönen

c = 130,812 Hz,

e = 164,813 Hz ?

Das Intervall c-e ist eine große Terz, das ideale Verhältnis wäre 4:5.

Die Obertöne${\displaystyle 5\cdot c}$ und${\displaystyle 4\cdot e}$ liegen also sehr nahe zusammen. Ein Tremolo mit der Differenzfrequenz dieser Obertöne soll wahrnehmbar sein.

${\displaystyle F=|5\cdot c-4\cdot e|\simeq 5.2}$

Diese gleichstufig gestimmte Terz vibriert mit der Frequenz 5 Hertz.

Die Stimmung ist ein Kompromiss, der für Tasteninstrumente erfunden wurde. Gute Streicher und Sänger neigen spontan dazu, mit den reinen Intervallen aufzuwarten.

Früher wurden daher noch andere Kompromisse bevorzugt, in der Richtung: Wir geben die Hälfte der möglichen Tonarten auf. Dafür verschönern wir aber viele der Terzen.

Schon im 16. Jahrhundert und Anfang des 17. Jahrhunderts haben sich viele gebildete Leute mit dem Problemen der ungleichschwebenden Stimmung beschäftigt und verschiedene Vorschläge erarbeitet, wie diese abgemildert werden kann. Zu diese Gelehrten zählen unter anderenJohannes Kepler (* 1571; † 1630),Leonhard Euler (* 1707; † 1783),Wolfgang Caspar Printz (* 1641; † 1717),Andreas Werckmeister (* 1645; † 1706) undGottfried Silbermann (* 1683; † 1753). In der Mitte des 17. Jahrhunderts machte vor allen anderenJohann Philipp Kirnberger (* 1721; † 1783) von sich reden. Bis zum Ende des 17. Jahrhunderts wurde auf dieser Basis schließlich die gleichschwebende Temperatur entwickelt, wobei sich untern vielen anderen die folgenden Personen bei der Umsetzung und Einführung hervorgetan haben:Johann Georg Neidhardt (* 1680; † 1739),Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778),Johann Heinrich Lambert (* 1728; † 1777),Christoph Gottlieb Schröter (* 1699; † 1782),Barthold Fritze (* 1697; † 1766),Jean-Philippe Rameau (* 1683; † 1764),Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (* 1717; † 1783),Friedrich Wilhelm Marpurg (* 1718; † 1795) undMoses Mendelssohn (* 1729; † 1786).^[3]

Die Dur-Tonleiter ist ein Quint-Terz-System. Abgesehen von Transpositionen um Oktaven, erreicht man die Töne mit der kleinstmöglichen Zahl von Sprüngen mit Quinten, Faktor (3/2), und großen Terzen, Faktor (4/5), vom Grundton aus. Eine Quinte nach unten gleicht dabei einer Quarte aufwärts.

Will man die Skala noch einfacher nur mit reinen Quinten nachbilden, bekommt das System diepythagoreische Stimmung und hat unreine Terzen, denn vier Quinten modulo Oktaven übertreiben die Terz um ein syntonisches Komma. Die so gestimmte Terz wäre mit 408 Cent noch schriller als die temperierte.

Dogmatische Theoretiker des Mittelalters hatten tatsächlich die Terz zur Dissonanz erklärt, Pythagoras erlaube sie nicht. Wer dem Ukas folgte, machte sterbenslangweilige mittelalterliche Musik mit nur Quinten als Harmonie.

Symbolisch erzeugen die Algorithmen die Tonleitern, modulo Oktaven:

Das Rechnen sei mit Logarithmen definiert. Werte von Oktave, Quinte, großer Terz:

${\displaystyle O_k:=\ln (2);Q:=\ln (3/2);T:=\ln (5/4).}$

Alle Töne haben Werte zwischen 0 und${\displaystyle O_k.}$ Intervalle werden kombiniert durch Addition und Subtraktion modulo Oktave; also Summen/Differenzen um Oktaven verschoben, so dass das Ergebnis im halboffenen Intervall${\displaystyle [0,O_k)}$ liegt. Mathematisch sind die Töne und Intervalle einekommutative Gruppe und isomorph zum Einheitskreis. Der Ton C sei das Null-Element. Das Inverse einer Quinte ist die Quarte, also die Umkehrung. Terzen sind invers zu Sexten, Sekunden invers zu Septimen. Die Gruppenverknüpfung "+" ist die Addition modulo Oktave, bei Negation "-" erfolgt auch die Oktaven-Verschiebung danach. Die Symbole${\displaystyle Q,T,P,S,I,...}$ sind Gruppenelemente, und wie bei jeder abelschen Gruppe ist die Multiplikation derselben mit ganzen Zahlen möglich.

• Das Pythagoreische Komma${\displaystyle P:=12Q=\ln (531441/524288)=}$ 23,46 Cent
• Das Syntonische Komma${\displaystyle S:=4Q-T=\ln (81/80)=}$ 21,51 Cent

Ein System aus 13 reinen Quinten kann so notiert werden:

As-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis

As hat den Wert -4Q und Gis den Wert 7Q.

Ausgehend vom Quintensystem können wir die Terzen bereinigen, indem wir den Überschuss abziehen, den 4 Quinten gegenüber der großen Terz haben, modulo 2 Oktaven. Er beträgt ein syntonisches Komma. Eine Tiefkomma-Notation dokumentiert, wie die Dur-Skala vom pythagoreischen Quintensystem abweicht:

{ C D ,E F G ,A ,H C } = {0, 2Q, 4Q-S, -Q, Q, 3Q-S, 5Q-S, 0}

Auch ein Hochkomma-Präfix wird benutzt, um positive S-Verschiebungen anzuzeigen. Allgemein, wenn Note X den Wert x hat:

${\displaystyle X\mapsto x\Rightarrow ,X\mapsto (x-S){}^{\prime }X\mapsto (x+S).}$

Alle Dur-Tonleitern haben das Muster mit Kommata an denselben drei Stellen.

Beispiele:

Des-Dur: { Des Es ,F Ges As ,B ,C Des}

As-Dur: { As B ,C Des Es ,F ,G As}

Cis-Dur: { Cis Dis ,Eis Fis Gis ,Ais ,His Cis}

Weil${\displaystyle Cis\mapsto 6Q,Des\mapsto -6Q,}$ ist ihre Differenz ein pythagoreisches Komma. Dagegen ist der Unterschied von ,Cis und Des weniger als 2 Cent.

Mittelalterlich konnte durch 12 wiederholte Quintensprünge die Tonleiter gefüllt werden mit den 'pythagoreischen' Halbtönen. Nachdem endlich rein klingende Terzen eingeführt wurden, brachten geordnete Modulationen zu den Nachbartönen der Quintenreihe immer neue Korrekturen ums syntonische Komma ein.

Die Differenz zwischen dem Pythagoreischem und Syntonischen Komma (P-S) ist kleiner als 2 Cent. P-S heißt einSchisma. Genauso klein ist der zwölfte Teil (P/12), um den die reinen Quinten in der temperierten Stimmung reduziert werden.

Die Ungenauigkeit bei der Tonhöhe darf relativ groß sein, wenn ein Ton nur kurze Zeit dauert. Das Produkt aus Frequenzbreite und Dauer ist von der Größenordnung Eins:${\displaystyle (\mathrm{\Delta }f)(\mathrm{\Delta }t)\simeq 1.}$ An der Schwebung ist es zu sehen: Zwei Frequenzen mit Abstand${\displaystyle \mathrm{\Delta }f}$ machen eine Schwebung mit der Frequenz${\displaystyle s=\mathrm{\Delta }f/2.}$ Der Ton kommt in Hüllkurven an, die mindestens eine Periode von der Schwebung dauern,

${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=\frac{1}{2\pi s}=\frac{1}{\pi \mathrm{\Delta }f}.}$

Das Produkt aus Frequenzverbreiterung und Zeitdauer des Tremolos ist in der Gegend von Eins.

Bemerkung: In der Quantenphysik regiert Heisenbergs Unschärfe. Bezogen aufs Produkt aus Energie und Zeit spielt sich da genau das Gleiche ab. Denn die Energie ist das Produkt einer Frequenz mit dem Wirkungsquantum.

Wieviel Zeit dauert es denn nach dieser Unschärferelation, wenn man einen Reinheitsfehler von 2 Cent beim Kammerton A messen will?

${\displaystyle \mathrm{\Delta }f=440Hz\cdot (2^{2/1200}-1)=440(\exp (\ln (2)/600)-1)=0,5\text{ Hz }\Rightarrow \mathrm{\Delta }t=2s}$

So etwa 2 Sekunden, schneller ist der Fehler weder messbar noch wahrnehmbar.

Die lange gängige Theorie (Hermann von Helmholtz) sah im Ohr einen linearen Detektor, der auf Resonatoren beruhe.Sie ergab einen Widerspruch. Auf der einen Seite hat das Gehör eine hohe Auflösung für Frequenzen, etwa 1,5 Hz. Auf der anderen Seite eine hohe Zeitauflösung, genannt Trillerempfindlichkeit, bis zu 18 Amplitudenspitzen pro Sekunde. Also erheblich unter der Einheit. Mit einem linearen System ist das nicht gleichzeitig möglich. Es wird verständlicher, wenn ein Detektor abhängig vom Inhalt des "Signals" seine Arbeitsweise in Echtzeit anpassen kann. Schon an den Tartini-Tönen waren nichtlineare Fähigkeiten des Gehörs zu erkennen.

Die drei verwandten Frequenzenf, (3/2)·f und (4/3)·f heißen traditionellTonika, Dominante undSubdominante. Abgesehen von der Oktave, sind diese Quinte und Quarte die rationalen Töne über der Tonika mit dem kleinsten Nenner. Die große und die kleine Terz setzen die Reihe fort, (5/4)·f und (6/5)·f.

Die reine Dur-Tonleiter ist eindeutig dadurch bestimmt, dass über den drei Stufen Tonika, Dominante und Subdominante jeweils ein reiner Dur-Akkord existiert: Quinte = große + kleine Terz. Die reine Moll-Tonleiter wird genauso eindeutig erzeugt, wenn diese drei Stufen den reinen Moll-Dreiklang tragen: kleine + große Terz. Dur und Moll sind die zwei Grundmengen von Tönen mit der höchstmöglichen Symmetrie. Sie haben je 7 Töne; ein "Ton" wird als gleich angesehen in allen Oktaven.

Aus der Definition folgt mit etwas Rechenfleiß die Frequenztabelle. In beiden diatonischen Leitern kommen drei elementare Intervalle vor, ein Halbton H=(16/15), ein großer Ganzton G=(9/8) und ein kaum davon verschiedener kleiner Ganzton K=(10/9). Die Intervall-Formeln der Leitern sind:

Dur:  G-K-H-G-K-G-H  Frequenzen: 9/8  5/4  4/3  3/2  5/3 15/8  2/1Moll: G-H-K-G-H-G-K  Frequenzen: 9/8  6/5  4/3  3/2  8/5  9/5  2/1

Beide Folgen schließen sich im Kreis und durchlaufen so viele Oktaven wie gewünscht. Die Kreise sind Spiegelbilder, wenn der Anfangspunkt mitten in der Teilfolge GHG sitzt.

Zum Nachrechnen: das Produkt aller Intervalle ergibt 2, die Oktave. Produkte GK = KG sind große Terzen, GH = HG sind kleine Terzen. Die Dur-Frequenzen sind Vielfache eines Bruchteils 1/24, die Moll-Frequenzen brauchen den größeren Teiler 120.

Die Moll-Skala istfast, aber nicht ganz eine zyklisch verschobene Dur-Tonleiter:

  G-H-K-G-H-G-K-G-H   (Moll)      G-K-H-G-K-G-H   (Dur)

Die Leiter, die zwei Töne tiefer unter dem Dur-Schema anfängt, wird zu reinem Moll, wenn die zwei Intervalle G,K am Anfang des Durs vertauscht werden. Das Mikro-Intervall zwischen G und K beträgt G/K = (9/8)/(10/9) = (81/80), einKomma. Um diesen Betrag wird die zweite Stufe vom Dur verschoben, damit alle definierenden Dreiklänge der gewünschten Moll-Tonleiter haargenau stimmen.

Wer also von C-Dur nach a-Moll wechselt und theoretische Reinheit anstrebt, muss dabei den Ton D um ein Komma absenken. Geht es weiter in reinstem F-Dur, ist noch H rauszuwerfen und durch B zu ersetzen. In Terzen aufwärts muss die reine Stimmung symmetrisch die Töne manipulieren. Von C-Dur nach e-Moll, indem F zu Fis mutiert. Weiter nach G-Dur bleibt nur noch A um ein Komma zu heben.

In 24 Schritten terzweise hinauf könnte man so alle reinen Tonarten durchlaufen, im Wechsel Dur und Moll, alle zwei Schritte eine Komma-Korrektur. Am Ende kommt ein His-Dur an, wo das His (H#) um ein Komma über dem C liegt. Wegen dieses Fehlbetrags schließt der reine Quintenzirkel sich nicht richtig. Um die Quälerei mit solcher Unstimmigkeit zu umgehen, wurden pragmatisch die unreinen Stimmungen entwickelt. Mehr Freiheit für die Künstler bei etwas schwebenden Harmonien, deren Abweichung vom mathematischen Ideal problemlos überhört wird. Wir tolerieren in großer Mehrheit ja auch technisch schlechte MP3-Quellen und die brutale Kompression von Dynamik.

Selbstverständlich benutzt die praktische Musik außer Dur und Moll alle möglichen anderen, weniger symmetrischen Skalen. Gemische sind beliebt. Moll (melodisch aufsteigend) etwa ist ein leicht alteriertes Dur: nur die erste Terz wird verkleinert. Moll (harmonisch) hebt nur die siebte Stufe des reinen Moll an zu einem Leitton, dem Halbton unter der Tonika. Der interessante Vierklang Gis-H-D-F der verminderten Septime zerlegt dann praktisch die Oktave in vier kleine Terzen; er gehört bei gleichschwebender Stimmung zu vier Tonarten gleichzeitig. In so viele Richtungen hin kann er "aufgelöst" werden.

Noch eine pingelige Haarspalterei. Nach der beschriebenen Reise auf Terzen durch den Quintenzirkel ist der Faktor, um den das 'His' über das 'C' hinaus schießt, nicht genau das erwähnte syntonische Komma (G/K) = 81/80, sondern etwas verschieden.Begründung: Anfangs liegtH unter C mit dem Halbton-Faktor (1/H). An einer Stelle wird Note H um das Komma angehoben, an einer zweiten wird es erhöht zum His mit dem Faktor (G/H), drittens erfährt diesem His irgendwann auch der Komma-Schub. Der Faktor des reinstimmig verschleppten His über C ist daher:

[His/C] = (1/H)·(G/K)·(G/H)·(G/K).

Ergebnis${\displaystyle 3^{12}/2^{19}}$. Um diesen Multiplikator, das pythagoreische Komma, ragen 12 reine Quinten über 7 Oktaven hinaus.

Eine Art von Gesetz zeigt, wie aus vielen Zweiklängen ein Dreiklang entsteht. Zuerst die Beispiele:

Die Oktave als Produkt Quinte mal Quarte: (2/1)= (3/2)·(4/3)

Die große Sexte aus Quarte und großer Terz: (8/5)= (4/3)·(5/4)

Die Quinte das Produkt großer und kleiner Terz: (3/2)=(5/4)·(6/5)

Die große Terz aus großem und kleinem Ton: (5/4)= (9/8)·(10/9)

Auf der rechten Seite erscheinen nur Tripel ganzer aufeinanderfolgender Zahlen:

2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, 8:9:10.

Offenbar ist da immer der Mittelwert eingerahmt. Diese Tripel sind nämlich die Frequenz-Verhältnisse:

2:3:4 Grundton:Quinte:Oktave,

3:4:5 Grundton:Quarte:Sexte,

4:5:6 Grundton:Terz:Quinte und

8:9:10 Grundton:Sekunde:Terz.

Es handelt sich physikalisch um Ausschnitte aus der Reihe der 'Harmonischen', also der Vielfachen oder Obertöne, einer tieferen Grundfrequenz. Tripel, die die Zahl 7 enthalten, mögen wir hier nicht.

Die antike Wissenschaft sortierte die Töne statt nach Frequenzen nach den Längen von (gleich gespannten) Saiten, welche zum Kehrwert der Frequenz proportional sind. Ausgedrückt in solchen Saitenlängen und auf ganze Zahlen skaliert, ergeben sich die vier Tripel:

12:8:6 Teilung der Oktave

20:15:12 Teilung der Sexte

15:12:10 Teilung der Quinte

45:40:36 Teilung der Terz

Die Längenverhältnisse hier sind Paare von 'ungleichen Rationen', etwa 12:8 und 8:6, in altmodischer Sprache.

Man entdeckte die passende Regel zur "harmonischen" Aufteilung der Intervalle von Tönen mit Hilfe der Saite. Die Regel setzt die arithmetische Mittelung der Frequenzen in die Teilung der Längen um.

Definition:

Die mittlere ganze Zahlb in (a > b > c) heißt dasharmonisches Mittel der Eckwertea,c, wenn gilt:

(a/c) = (a-b) / (b-c)

In Worten: das Verhältnis der Wertea/c ist gleich dem Verhältnis der Differenzen zwischena,c undb, also gleich dem Verhältnis der Abstände zum gesuchten Zwischenwert.

Äquivalent ist die Aussage: der Kehrwert vonb ist der Mittelwert der Kehrwerte vona undc (Beweis Übung). Notation der harmonischen Teilung:a:b:c.

Gemessen in Saitenlängen am Monochord, gehorchen viele der musikalischen Aufteilungen von Intervallen also exakt der Formel für Harmonische Mittelung, wie die oben angegebenen vier Fälle.

Folgendes Buch war im 18. Jahrhundert das Standardwerk der Kompositionslehre. Keine Geringeren als Haydn, Mozart und Beethoven haben es studiert.

GRADVS AD PARNASSVM oder

Anführung zur Regelmäßigen Musikalischen Composition

Auf eine neue, gewisse, und bishero noch niehmals in so deutlicher Ordnung and das Licht gebrachte Art ausgearbeitet

vonJohann Joseph Fux, Weil. Gr. Kayserl.und Königl.Cathol.Majest.Carls des VI.Ober Capellmeister.

Aus dem Lateinischen ins Teutsche übersetzt, mit nöthigen und nützlichen Anmerckungen versehen und herausgegeben von Lorenz Mizlern,

Der freyen Künste Lehrer auf der Academie zu Leipzig. (1742)

Die Intervalle und die harmonische Teilung werden darin behandelt, und zwar weniger trocken als in vorliegendem Text. Guter Stil war, Dialoge von Lehrmeister und Alumnus zu schreiben. Wir lernen folgende Definition samt Algorithmus nach Fuxtrad. Mizler:

"Die harmonische Theilung geschiehet durch die mittlere Grösse, oder den Theiler, wodurch die Rationen als ungleich entstehen, und da die grössere Ration in den grössern Zahlen, die kleinere in den kleinern stecket; also, daß die Unterscheide auf gleiche Art ungleich sind. Durch ein Exempel wird die Beschreibung deutlicher werden. Man nehme die schon arithmetisch getheilte Octave, dergestalt: 4:3:2. Man vervielfältige die zwey äussern Grössen durch die Mittlere, 4 durch 3, so kommt 12 heraus; hernach 2 durch eben dieselbe mittlere Zahl 3, so entstehet die andere äussere Grösse der harmonischen Ration 12:6.

Ferner vervielfältige man die äussere Grössen der arithmetischen Ration untereinander, nemlich 4 durch 2, wodurch 8 heraus kömmt, welches der wahre harmonische Theiler ist, so die doppelte Ration auf diese Art theilet 12:8:6 und zwey ungleiche Rationen hervorbringet."

Mizler trug eine Fußnote bei, damit die Sache noch klarer wird:

"Die Erklärung der harmonischen Theilung ist also diese:

Eine harmonische Theilung ist, wenn die gefundenen Grössen eine harmonische Verhältniß unter einander haben, das ist: wenn die Unterscheide der ungleichen Rationen sich so verhalten als die äussern Grössen der gefundenen Rationen."

Die Näherungsmethode geht so: Wird eine Oktave in 53 gleiche Stufen eingeteilt, kann man mit solchen Tönen alle reinen Dur- und Moll-Tonleitern hinreichend genau annähern und alle Modulationen streng nach Regel durchführen. Der Fehler zur theoretischen Reinheit bleibt kleiner als 2 Cent.

Gioseffo Zarlino (1517-1590), genannt der Vater der modernen Musiktheorie, hat im 16. Jahrhundert folgende Rechenaufgabe gelöst:

Finde zwei ganze Zahlen${\displaystyle i,j}$ so dass:

• die Oktave in${\displaystyle i}$ gleiche Intervalle${\displaystyle O_k=i\cdot H}$ geteilt ist,
• die reine Quinte möglichst gut in${\displaystyle j}$ gleiche Intervalle${\displaystyle Q=j\cdot H}$ zerfällt,
• das Intervall${\displaystyle H}$ möglichst nahe am syntonischen Komma liegt.

Die Lösung lautet:${\displaystyle i=53,j=31,H=\sqrt[53]{2}=\exp (\ln (2)/53).}$

Zarlinos Komma${\displaystyle H:}$ 22.6415 Cent. Er liegt wunderbar mitten zwischen den folgenden.

Syntonisches Komma${\displaystyle S:}$ 21.5063 Cent

Pythagoreisches Komma${\displaystyle P:}$ 23.46 Cent