Kapitelnavigation -Digitale bildgebende Verfahren

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Dieses Kapitel beschäftigt sich damit, wie durch Berücksichtigung der Parameter Ort und Zeit mit Hilfe von Licht orts- und zeitaufgelöste Bildinformation gewonnen werden kann und welche Komponenten, Verfahren und optischen Geräte dafür häufig zum Einsatz kommen.

Die Lichtwandlung mit Bildsensoren wird im eigenen KapitelLichtwandlung behandelt.

Objektive sind lichtsammelnde Geräte, die eine reelle optische Abbildung von Objekten erzeugen.

Grundsätzlich können Objektive als dioptrische, als kataoptrische oder als katadioptrische Systeme gestaltet werden. Dioptrische Systeme (von griechisch "διοπτρον", "Visier") verwenden durchsichtige Elemente und kataoptrische Systeme (von griechisch "κάτοπτρον", "Spiegel") verwenden reflektierende Elemente, um eine optische Abbildung zu erzeugen. Bei katadioptrischen Systemen werden durchsichtige und reflektierende Elemente kombiniert, was zum Beispiel zweckmäßig sein kann, wenn Teleskope, Ultrakurzdistanzprojektoren oder 360-Grad-Panoramakameras in kompakter Form gebaut werden sollen.

Durchsichtige Elemente mit gewölbten Oberflächen, wie zum Beispiel Glaslinsen, lenken das Licht durch Brechung ab. Eine Alternative stellen lichtbeugende Elemente dar. Für die Ablenkung des Lichtes können auch durchsichtige oder reflektierende Zonenplatten eingesetzt werden. Die Stärke der Brechung und der Beugung von Licht sind von dessen Wellenlänge abhängig, so dass hierbei im Gegensatz zu reflektierenden Elementen Dispersion auftritt.

Bei der Aufnahme spielen die Eigenschaften der verwendeten Objektive eine entscheidende Rolle. Moderne Objektive haben konstruktionsbedingte Abbildungsfehler sogar in Abhängigkeit von eingestellter Brennweite, Objektweite und Blendenzahl digital im Objektiv gespeichert und können sie dank eines eigenen Prozessors an die kamerainterne Bildverarbeitung übermitteln, so dass sie in den digitalen Rasterbildern zusammen mit den aufgenommenen Bilddaten als Metadaten (zum Beispiel imExchangeableImageFileFormat (EXIF)) gespeichert oder von der Kamera unmittelbar ausgewertet werden können. Somit ist es beispielsweise möglich, den Randlichtabfall, den Farbquerfehler oder die Verzeichnung der optischen Abbildung rechnerisch zu kompensieren.

Durch die stetige digitale Kommunikation zwischen der Objektiv- und der Kamera-Firmware ist es darüberhinaus auch möglich, in verschiedenen Aufnahmesituationen automatisch optimale Abbildungsparameter zu wählen. Sogar während der Aufnahme können beispielsweise die optomechanischen Bildstabilisierungen in einem Kameragehäuse und in einem Objektiv kombiniert und synchronisiert werden. Ferner kann die Objektentfernung kontinuierlich verändert werden, um zum BeispielFokus Stacking zu ermöglichen, oder die Aperturblende kann unmittelbar und stufenlos sich ändernden Lichtbedingungen angepasst werden.

Es kann zwischen herkömmlichen (oder auchentozentrischen),telezentrischen undperizentrischen (oder auchhyperzentrischen) Objektiven unterschieden werden:

• Bei einer gegenstandsseitigentozentrischen (das perspektivische Zentrum liegt im Inneren) Abbildung wird der Abbildungsmaßstab mit zunehmender Objektweite immer kleiner. Objekte gleicher Größe werden bei größerer Entfernung vom Aufnahmegerät kleiner abgebildet als bei kleiner Entfernung vom Aufnahmegerät. Bei einer herkömmlichen optischen Abbildung ist die Schärfentiefe bei einem Objekt im Brennpunkt vor der ersten Hauptebene, der nach unendlich abgebildet wird, gleich null, beziehungsweise der Abbildungsmaßstab ist unendlich.
• Bei einer gegenstandsseitigtelezentrischen (das perspektivische Zentrum liegt in der Ferne) Abbildung ist der Abbildungsmaßstab unabhängig von der Objektweite. Objekte gleicher Größe haben unabhängig von ihrer Entfernung vom Aufnahmegerät immer mit die gleiche Bildgröße.
• Bei einer gegenstandsseitigperizentrischen (das perspektivische Zentrum liegt im Äußeren) Abbildung wird der Abbildungsmaßstab mit zunehmender Objektweite immer größer. Objekte gleicher Größe werden bei größerer Entfernung vom Aufnahmegerät größer abgebildet als bei kleiner Entfernung vom Aufnahmegerät. Dies erfordert besonders große und aufwendig konstruierte Objektive, die ein Objekt aus mehreren Richtungen gleichzeitig erfassen können. Die perspektivischen Projektionen solcher Objektive wirken unnatürlich, können aber zum Beispiel zur einfachen Begutachtung von voluminösen Objekten unter Umständen sinnvoll eingesetzt werden.

Bei digitalen Bildsensoren ist es nützlich, bildseitigtelezentrische Objektive einzusetzen, da diese wegen des weitgehend parallelen Strahlenganges geringere Aberrationen durch die optisch wirksamen Elemente auf dem Bildsensor (wie etwa Mikrolinsen, Sperrfilter oder Farbfilter) verursachen und damit Bilder mit größerer Auflösung ermöglichen.

Mit beidseitig telezentrischen Objektiven ist derAbbildungsmaßstab in großen Bereichen unabhängig von der Objektweite und der Lage des Bildsensors auf der optischen Achse. Dieses Verhalten kann zur Überprüfung von Objektmaßen bei variabler, oder sogar unbekannter Objektweite ausgenutzt werden.

Ferner weist ein beidseitig telezentrischer Strahlengang eine hohe Schärfentiefe auf. Bei einem beidseitig telezentrischen Strahlengang mit zwei gespiegelten, konfokal angeordneten Objektiven ist die Schärfentiefe genauso groß wie die Brennweite, beziehungsweise kann der Bildsensor um eine Brennweite entlang der optischen Achse verschoben werden, ohne dass die durch die Defokussierung verursachten Zerstreuungskreise mehr als halb so groß werden, wie die Aperturblende zwischen den beiden Objektiven. Für eine hohe Messgenauigkeit ist eine entsprechend kleine Aperturblende erforderlich, wobei diese gegebenenfalls durch Beugung auflösungsbegrenzend wirkt.

• Beidseitig telezentrische Abbildungen
• 
  Beidseitig telezentrische Abbildung mit konstantem Abbildungsmaßstab für verschiedene Objektweiten mit zwei, konfokal zum Punkt F angeordneten Objektiven der gleichen Brennweite f. In der gemeinsamen Brennebene befindet sich eine Aperturblende. Ein Objekt bei doppelter Brennweite wird in die zweite Hauptebene H' abgebildet (blau). Alle Objekte die sich näher an der ersten Hauptebene H befinden, werden reell hinter die zweite Hauptebene H' abgebildet, wobei die Bildgröße und somit der Abbildungsmaßstab nicht variieren. Ein Objekt, das sich genau im Brennpunkt vor der ersten Hauptebene befindet, wird genau in den Brennpunkt hinter der zweiten Hauptebene abgebildet (rot).
• 
  Zur Schärfentiefe bei einer beidseitig telezentrischen Abbildung mit zwei, konfokal zum Punkt F angeordneten Objektiven der gleichen Brennweite f: Derrote Punkt wird geometrisch scharf in die Brennebene B hinter der zweiten Hauptebene H' abgebildet. Alle Objekte, die sich zwischen dereineinhalbfachen und derhalben Brennweite vor der ersten Hauptebene H befinden werden noch hinreichend scharf mit einem Zerstreuungskreis abgebildet. Der akzeptable Durchmesser des Zerstreuungskreises ist in diesem Fall halb so groß wie die Öffnungsweite D, und sowohl die objektseitige als auch die bildseitige die Schärfentiefe betragen f.
• 
  Beispiel für eine beidseitige telezentrische Abbildung mit zwei konfokal angeordneten Objektiven, die im gemeinsamen Brennpunkt (für Objekte und Bilder in unendlicher Weite) mit einer Blende versehen sind.
• 
  Beispiel für eine beidseitige telezentrische Abbildung mit zwei konfokal angeordneten Spiegelteleskopen, die im gemeinsamen Brennpunkt (für Objekte und Bilder in unendlicher Weite) mit einer Blende versehen sind.

Retrofokusobjektive können eingesetzt werden, wenn die Brennweite kürzer sein soll, als es der minimale Abstand zwischen Objektiv und Bildebene zulässt, zum Beispiel weil an dieser Stelle erforderliche optische Elemente, wie Prismen oder Umlenkspiegel in den Strahlengang gebracht werden sollen.

Ein Retrofokusobjektiv kann beispielsweise durch das Hinzufügen einer Zerstreuungslinse vor dem lichtsammelnden System realisiert werden. In diesem Fall wird die effektive Öffnungsweite${\displaystyle D}$ des Systems kleiner als der größte Strahlquerschnitt und die größte Sammellinse im Strahlengang. Die scheinbare Hauptebene des Systems liegt bildseitig hinter der letzten Linse.

Wenn der Brennpunkt der Sammellinse mit dem Hauptpunkt der Zerstreuungslinse übereinstimmt und beide Linsen die gleiche Brennweite${\displaystyle f}$ haben, ist die Brennweite des Gesamtsystems gemessen von der scheinbare Hauptebene H_b ebenfalls${\displaystyle f}$.

Bei Telefokusobjektiven liegt die scheinbare Hauptebene objektseitig vor der ersten Linse im Strahlengang. Auf diese Weise können Objektive gebaut werden, deren Baulänge kürzer ist als deren wirksame Brennweite. Ferner können bei unzugänglichen aufzunehmenden Objekten mit Telefokusobjektiven auch bei kleineren Objektweiten lange Brennweiten eingesetzt werden.

Ein Telefokusobjektiv kann beispielsweise durch das Hinzufügen einer Zerstreuungslinse hinter dem lichtsammelnden System realisiert werden. In diesem Fall ist die wirksame Öffnungsweite${\displaystyle D}$ des Systems kleiner als die Frontlinse des Objektivs.

Wenn der Brennpunkt der Sammellinse mit dem Hauptpunkt der Zerstreuungslinse übereinstimmt und beide Linsen die gleiche Brennweite${\displaystyle f}$ haben, beträgt die wirksame Brennweite des Gesamtsystems gemessen von der scheinbaren Hauptebene H_b${\displaystyle 2f}$. In diesem Fall ist allerdings keine Bildaufnahme bei unendlicher Objektweite möglich, da das Bild dann innerhalb der Zerstreuungslinse entsteht.

Mit einem Makroobjektiv können Nahaufnahmen mit großem Abbildungsmaßstab gemacht werden. Der Betrag des Abbildungsmaßstabs ist in der Regel größer als ein Viertel, kann aber auch ohne weiteres größer als eins sein. Beim Abbildungsmaßstab eins ist die Objektweite identisch mit der Bildweite, und beide Werte sind vom Betrag doppelt so groß wie die Brennweite des konvergenten Abbildungsystems.

Ein fokussierbares Objektiv hat in der Regel einen minimale Objektweite${\displaystyle a_{min}}$, in der noch ein hinreichend scharfes Bild erzeugt werden kann. Bei Kamerasystemen ist es allerdings möglich, durch die Verwendung von geeigneten und gegen Streulicht abgeschirmten und geschützten Zwischenringen oder Balgengeräten zwischen dem Objektivanschluss und dem Kameraanschluss die Bildweite zu vergrößern, so dass auch kleinere Objektweiten scharfgestellt werden können.

Bei vorgegebener Brennweite${\displaystyle f}$ und bei minimaler Objektweite${\displaystyle a_{min}}$ können die Bildweite${\displaystyle a^{\prime }}$, die Objektweite${\displaystyle a}$ und der Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$ in Abhängigkeit und der Länge des Zwischenrings${\displaystyle z}$ wie folgt bestimmt werden:

${\displaystyle a^{\prime }(0)=\frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{a_{min}(0)}}}$

${\displaystyle a^{\prime }(z)=a^{\prime }(0)+z=\frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{a_{min}(0)}}+z}$

${\displaystyle a_{min}(z)=\frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{a^{\prime }(z)}}}$

${\displaystyle \beta (z)=\frac{a^{\prime }(z)}{a_{min}(z)}}$

Für den Sonderfall, dass das Objektiv auf unendliche Objektweite (${\displaystyle a=\mathrm{\infty }}$) eingestellt ist (hier entspräche also die Bildweite${\displaystyle a^{\prime }}$ der Brennweite${\displaystyle f}$), jedoch bildseitig mit einem Zwischenring der Länge${\displaystyle z}$ versehen wird, ergibt sich:

${\displaystyle a^{\prime }=f+z}$

${\displaystyle a=\frac{a^{\prime }}{\beta }=\frac{f+z}{\beta }}$

In diesem Fall gilt für den Aufnahmeabstand d zwischen Objekt und Bildebene:

${\displaystyle d=a+a^{\prime }=a^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{\beta }+1\right)=a+f+z=(f+z)\cdot \left(\frac{1}{\beta }+1\right)}$

Hierbei ist gegebenenfalls zu beachten, dass viele Objektive über mehrere Hauptebenen verfügen, so dass der Abstand zwischen den beiden äußersten Hauptebenen unter Umständen noch zu dem solchermaßen berechneten Aufnahmeabstand hinzugerechnet werden muss.

Wenn der Abbildungsmaßstab größer als eins werden soll, kann es sinnvoll sein, das verwendete Objektiv umzudrehen (Retrostellung), um Einschränkungen bei der Bildqualität zu verringern.

• Bildebenensymbol
• 
  Der Strich in diesem nach DIN 4522-11 standardisierten Symbol kennzeichnet an einem Kameragehäuse die Lage der Bildebene.
• 
  Relief des Bildebenensymbols auf der Oberseite eines Kameragehäuses aus dunklem Kunststoff.

Es ist insbesondere bei Nahaufnahmen mit geringer Objektweite und beim Einsatz von Zwischenringen zu beachten, dass bei konstanter Bildfläche mit entsprechend großen Bildweiten und Abbildungsmaßstäben die genutzten Bildwinkel und somit auch die im Bild genutzten Lichtströme geringer werden. Bei einem Abbildungsmaßstab von 1/2 ist die Lichtausbeute im Verhältnis zu einer Abbildung aus dem Unendlichen (also beim Abbildungsmaßstab 0) bereits nur noch 4/9, bei einem Abbildungsmaßstab von 1 nur noch 1/4 und bei einem Abbildungsmaßstab von 2 sogar nur noch 1/9.

Die relative Lichtausbeute${\displaystyle \eta }$ ergibt sich zu:

${\displaystyle \eta =\frac{f^2}{a^{\prime 2}}\le 1}$

Dies ist gleichbedeutend mit einer scheinbaren Vergrößerung der Blendenzahl${\displaystyle k}$ auf den Wert der effektiven Blendenzahl${\displaystyle k_{eff}}$:

${\displaystyle k_{eff}=k\cdot \frac{a^{\prime }}{f}=\frac{k}{\sqrt{\eta }}\ge k}$

Da die photographische Belichtung quadratisch von der Blendenzahl abhängt, gilt für die Belichtungszeit${\displaystyle T}$ bei der Aufnahme von unendlich weit entfernten Objektiven bei gleicher Belichtung eine um den Faktor${\displaystyle \frac{1}{\eta }}$ verlängerte effektive Belichtungszeit${\displaystyle T_{eff}}$:

${\displaystyle T_{eff}=T\cdot {\left(\frac{a^{\prime }}{f}\right)}^2=\frac{T}{\eta }}$

Siehe auchKapitel Beleuchtung, Abschnitt Belichtung.

Der Wert für die effektive Blendenzahl kann auch in einen Wert für die Anzahl der Blendenstufen${\displaystyle \mathrm{\Delta }{n}_k}$ umgerechtet werden, bei der die gleiche Lichteinbuße durch das Abblenden der Aperturblende erreicht wird. Die beiden Blendenzahlen${\displaystyle k_{eff}}$ und${\displaystyle k}$ unterscheiden sich durch die folgende Anzahl von Blendenstufen${\displaystyle \mathrm{\Delta }{n}_k}$:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{n}_k={\log }_{\sqrt{2}}\frac{k_{eff}}{k}=\frac{\log \frac{k_{eff}}{k}}{\log \sqrt{2}}=\frac{\log \frac{a^{\prime }}{f}}{\log \sqrt{2}}=\frac{\log \sqrt{\frac{1}{\eta }}}{\log \sqrt{2}}=-\frac{\log \eta }{\log 2}=-{\log }_2\eta }$

In der folgenden Tabelle sind für verschiedene auf die Brennweite${\displaystyle f=1}$ normierte Objektweiten${\displaystyle a}$ jeweils die entsprechende Bildweite${\displaystyle a^{\prime }}$, der dazugehörige Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$, die relative Lichtausbeute${\displaystyle \eta }$, der Wert des Lichtverlusts in Blendenstufen${\displaystyle \mathrm{\Delta }{n}_k}$ sowie der Verlängerungsfaktor für die photographische Belichtungszeit angegeben:

Objekt- weite ${\displaystyle a}$	Bild- weite ${\displaystyle a^{\prime }}$	Abbildungs- maßstab ${\displaystyle \beta }$	Relative Lichtausbeute ${\displaystyle \eta }$	Blenden- stufen ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{n}_k}$	Verlängerung der Belichtungszeit ${\displaystyle \frac{1}{\eta }}$
1000	1,001	0,001	1,00	0,003	1,00
100	1,01	0,010	0,98	0,029	1,02
10	1,11	0,111	0,81	0,30	1,23
3,0	1,50	0,500	0,44	1,17	2,3
2,0	2,00	1,00	0,25	2,0	4,0
1,5	3,00	2,00	0,11	3,2	9,0

EinKollimator dient zur Erzeugung paralleler Strahlenbündel. Der Vorteil dieser parallelen Strahlenbündel besteht darin, dass sich diese in beliebigem Abstand hinter dem Kollimator nicht verändern und bildseitige optische Geräte nicht auf den Abstand zum Kollimator eingestellt werden müssen. Da ein Kollimator ins Unendliche abbildet, müssen nachfolgende optische Geräte, wie zum Beispiel ein Beobachtungsfernrohr, objektseitig stets auf unendliche Objektweite eingestellt sein, damit sie eine scharfe optische Abbildung im Endlichen erzeugen können.

Wenn es nicht auf eine hohe optische Auflösung ankommt, wie zum Beispiel in einem Beleuchtungsstrahlengang, sind die Anforderungen an die Kollimation nicht besonders hoch, so dass ein einfacher optischerKollektor in Form einer plan-konvexen Linse eingesetzt werden kann.

Siehe hierzu auchKondensor.

Statt Glaslinsen oder in Ergänzung zu Glaslinsen können auch Fresnelsche Zonenplatten eingesetzt werden, um Licht abzulenken und eine optische Abbildung zu erzeugen.

Optische Medien haben eine Brechzahl größer als eins und eine entsprechende Dispersion, so dass kurzwelliges Licht stärker gebrochen wird als langwelliges. Im Gegensatz dazu beruhen Zonenplatten auf Beugungseffekten, bei denen Licht mit kurzer Wellenlänge schwächer gebeugt wird als Licht mit langer Wellenlänge. Bei geschickter Kombination von Linsen und Zonenplatten in einem Objektiv können deren Farbfehler kompensiert werden.

Soll ein Objektpunkt geometrisch nicht als Bildpunkt abgebildet werden, weil zum Beispiel in einem hochempfindlichen Photometer ein flächenhafter Detektor für die Messung eines Lichtstroms eingesetzt werden soll, kann an der Stelle des Bildes eines Objektivs eine Feldblende als Austrittsluke in den Strahlengang gebracht werden. Hinter dieser Blende wird dann eine zusätzliche sammelndeFabry-Linse angeordnet, die den Strahlengang aufweitet und das Licht auf die Detektorfläche projiziert.

Die Abbildungsparameter dieses Strahlengangs können mit Hilfe der Brennweite des Objektivs${\displaystyle f_O}$, der Brennweite der Fabry-Linse${\displaystyle f_F}$, der Öffnungsweite des Objektivs${\displaystyle D_O}$, der Öffnungsweite der Fabry-Linse${\displaystyle D_F}$, der Detektorweite${\displaystyle d}$ sowie den geometrischen Längenparametern${\displaystyle x}$ (Abstand zwischen Feldblende und Hauptebene der Fabry-Linse) und${\displaystyle y}$ (Abstand zwischen Fabry-Linse und Messebene) in Beziehung gesetzt werden. Bei unendlicher Objektweite (${\displaystyle a_O=\mathrm{\infty }}$) ist die Bildweite gleich der Brennweite (${\displaystyle a_O^{\prime }=f_O}$), und es gilt:

${\displaystyle \frac{D_O}{D_F}=\frac{f_O}{x}}$

${\displaystyle d=\frac{x\cdot D_O}{f_O}\cdot \frac{1}{y\cdot \left(\frac{1}{f_F}-\frac{1}{x}\right)+1}}$

Befindet sich die Feldblende genau im objektseitigen Brennpunkt der Fabry-Linse und werden die Blendenzahlen${\displaystyle k_O}$ und${\displaystyle k_F}$ eingeführt

${\displaystyle k_O=\frac{f_O}{D_O}}$

${\displaystyle k_F=\frac{f_F}{D_F}}$,

vereinfachen sich diese Beziehungen zu:

${\displaystyle k_F=k_O}$ für${\displaystyle f_F=x}$

${\displaystyle d=\frac{f_F}{k_O}=\frac{f_F}{k_F}=D_F}$ für${\displaystyle f_F=x}$

Die Blendenzahlen von Objektiv${\displaystyle k_O}$ und Fabry-Linse${\displaystyle k_F}$ sind in diesem Fall also gleich, und die Detektorsweite${\displaystyle d}$ ist identisch mit der Öffnungsweite der Fabry-Linse${\displaystyle D_F}$.

Alle optischen Abbildungen mit Objektiven sind in der Auflösung beugungsbegrenzt, da das Auflösungsvermögen immer durch Beugung an Kanten eingeschränkt wird. Ein Objektpunkt wird also nie als Punkt abgebildet, sondern immer als Beugungsfigur, die für jeden Punkt der Abbildung, wo Beugung auftritt, mit einer Gaußschen Glockenfunktion (also einer Normalverteilung) beschrieben werden kann. Im Allgemeinen müssen alle Punkte berücksichtigt werden, an denen Beugung auftritt, und die Beugungsverteilungen aller einzelnen Punkte müssen unter Berücksichtigung der Amplituden und Phasen der komplexwertigen Wellenfunktionen überlagert werden, um das gesamte aus der Interferenz resultierende Verteilungsmuster zu erhalten.

• Beugungsscheibchen
• 
  Durch die Wellenoptik (Fourier-Optik) bedingte Gaußsche Normalverteilung einer endlichen Anzahl von in der Bildebene eintreffender Photonen, die von einem Objektpunkt ausgehend rein geometrisch-optisch betrachtet alle exakt in die Bildmitte abgebildet würden.
• 
  Berechnetes Beugungsbild einer idealen Kreislochblende. Der Durchmesser des zentralen Beugungsscheibchens ergibt sich aus der nullten Beugungsordnung, die weiteren konzentrischen Beugungsringe entstehen durch die Berücksichtigung der höheren Beugungsordnungen.
• 
  Photographisch aufgenommenes Beugungsbild einer 0,09 Millimeter großen, mit rotem Laserlicht beleuchteten Lochblende in 65 Millimetern Entfernung, in dem die 0. (Beugungsscheibchen in der Mitte mit dem Durchmesser von gut einem Millimeter) bis 27. Beugungsordnung (links oben) zu sehen sind.

Der Durchmesser${\displaystyle d}$ beziehungsweise der Winkeldurchmesser${\displaystyle \alpha }$ eines Beugungsscheibchens, das durch die nullte Beugungsordnung einer kreisförmigen Blende mit dem Durchmesser${\displaystyle D}$ in einer Bildebene im Abstand${\displaystyle z}$ hervorgerufen wird, die im Verhältnis zur Wellenlänge des untersuchten Lichtes${\displaystyle \lambda }$ weit von der Blende entfernt ist (${\displaystyle z\gg \lambda }$), ergeben sich wie folgt:

${\displaystyle d=2,44\cdot \lambda \cdot \frac{z}{D}}$

${\displaystyle \alpha \approx \frac{d}{z}=2,44\cdot \frac{\lambda }{D}}$

Erzeugt ein Objektiv mit der Öffnungsweite${\displaystyle D}$ eine optische Abbildung in einer Bildebene mit der Bildweite${\displaystyle z}$ kann der Quotient dieser beiden Größen durch die Blendenzahl${\displaystyle k}$ des Objektivs ersetzt werden:

${\displaystyle k=\frac{z}{D}}$

Der Durchmesser${\displaystyle d}$ und die Fläche${\displaystyle A}$ des kreisförmigen Beugungsscheibchens ergeben sich dann also wie folgt:

${\displaystyle d=2,44\cdot \lambda \cdot k}$

${\displaystyle A=\pi \cdot d^2=4,67\cdot {\left(\lambda \cdot k\right)}^2}$

Das Intensitätsprofil eines Beugungsscheibchens kann mit Hilfe der Bessel-Funktion erster Art und erster Ordnung${\displaystyle J_1(x)}$ als bestimmtes Integral über das abgeschlossene Intervall [0, π] beschrieben werden:

${\displaystyle J_1(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (\tau -x\sin \tau )\mathrm{d}\tau }$

Die senkrecht und symmetrisch zur optischen Achse (Lage bei${\displaystyle x=0}$) aufgetragene Lichtintensität ergibt sich dann wie folgt, wobei${\displaystyle I_0}$ lediglich eine Proportionalitätskonstante für die maximale Intensität ist:

${\displaystyle I(x)=I_0\cdot {\left(\frac{J_1(2\pi x)}{\pi x}\right)}^2}$

Die Beugungsscheibchen von zwei punktförmigen Objekten überlagern sich und können in der Bildebene bei zu geringem seitlichen Versatz nicht unterschieden werden. Erst ab einem Abstand vom Radius des Beugungsscheibchens (Rayleigh-Kriterium mit${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=0,61}$) ist es es in der Praxis möglich, die beiden Bilder der beiden Objektpunkte zu unterscheiden. Je weiter die beiden Objekte auseinanderliegen, desto besser können sie im Bild unterschieden werden.

Bei einem Abstand, der dem Durchmesser des Beugungsscheibchens entspricht (${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=1,22}$), sind die beiden Objekte sehr gut zu unterscheiden, wenn sie geometrisch einwandfrei - also ohne Abbildungsfehler - abgebildet werden:

Verteilung der Lichtintensität bei der Beugung an einer Lochblende mit${\displaystyle I_0=1}$	Beugungsscheibchen im Bild
Ohne Überlagerung - ein Bildpunkt
Überlagerung mit Abstand 0,5 zwei Bildpunkte praktisch nicht unterscheidbar, die Modulation zwischen den beiden Maxima beträgt unter 1%
Überlagerung mit Abstand 1,0 zwei Bildpunkte gut unterscheidbar, die Modulation zwischen den beiden Maxima beträgt fast 90%

Wenn bildseitig ein maximaler Durchmesser für das Beugungsscheibchen${\displaystyle d_{max}}$ definiert werden kann, folgt daraus unmittelbar die maximale Blendenzahl${\displaystyle k_{max}}$ beziehungsweise bei gegebener Brennweite${\displaystyle f}$ die minimale Öffnungsweite${\displaystyle D_{min}}$ für das optische System der optischen Abbildung:

${\displaystyle k_{max}=\frac{d_{max}}{2,44\cdot \lambda }}$

${\displaystyle D_{min}=\frac{f\cdot 2,44\cdot \lambda }{d_{max}}}$

Durch die Beugungsbegrenzung können auch zwei dunkle Objekte vor hellem Hintergrund nicht beliebig genau aufgelöst werden. Dieser Effekt wurde zum Beispiel nach der Erfindung des Fernrohrs bei Merkur- und Venusdurchgängen vor der Sonnenscheibe beobachtet. Bei der sogenannten Tröpfchenbildung verschmilzt das Schattenbild der Planeten mit der dunklen Umgebung der Sonnenscheibe, während sich der Planet noch vollständig innerhalb der Sonnenscheibe befindet. Dass dieser Effekt umso stärker ist, je kleiner die Öffnungsweite der optischen Instrumente ist (beziehungsweise je mehr diese optischen Instrumente beugungsbegrenzt sind), war beim Merkurtransit im Mai 1832 durch die beiden deutschen Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel und Wilhelm August Argelander nachgewiesen geworden.

• Zwei schwarze Objekte vor weißem Hintergrund
• 
  Streng geometrische Abbildung bei punktförmiger Berührung zweier schwarzer Kreise.
• 
  Tropfenphänomen im Bereich des Kontakts bei beugungsbegrenzter optischer Abbildung dieser beiden Kreise.
• 
  Bereich des Scheitels eines schwarzen Kreises an einer nicht berührten, senkrechten schwarzen Kante bei geometrischer Abbildung.
• 
  Tropfenphänomen im Bereich des Scheitels eines schwarzen Kreises an einer einer nicht berührten schwarzen Kante bei beugungsbegrenzter optischer Abbildung. Bei der scheinbaren Wölbung des oberen und des unteren Endes der senkrechten Kante nach links hin handelt es sich um eine optische Täuschung.

Wenn bei einer Kamera gefordert ist, dass der Durchmesser des Beugungsscheibchens die Größe der Bildelemente (Pixel) nicht überschreiten soll, ergibt sich beispielsweise bei einer Größe der Bildelemente von zwei Mikrometern und einer Lichtwellenlänge von 550 Nanometern eine maximale Blendenzahl von 1,5. Bei einer Brennweite von 75 Millimetern entspräche diese Blendenzahl einer Öffnungsweite von 50 Millimetern. Bei größeren Blendenzahlen als${\displaystyle d_{max}}$ respektive kleineren Öffnungsweiten als${\displaystyle D_{min}}$ arbeitet die Kamera beugungsbegrenzt.

In der folgenden Tabelle sind die maximalen Blendenzahlen angegeben, bei den bei verschiedenen Bilddiagonalen (respektive Bildkreisdurchmessern) und Bildauflösungen gearbeitet werden kann, wenn die quadratischen Aufnahmen bei einer Wellenlänge von 550 Nanometern nicht beugungsbegrenzt sein sollen. Werden größere Blendenzahlen als diese verwendet, sind die aufgenommenen Bilder in Bezug auf das Auflösungsvermögen des optischen Systemsbeugungsbegrenzt. Bei größeren Wellenlängen sind die maximalen Blendenzahlen noch kleiner, bei kurzen Wellenlängen kann auch mit etwas größeren maximalen Blendenzahlen ohne Beugungsbegrenzung gearbeitet werden. Bei Bildsensoren ohne Farbfilter oder bei unbunten Objekten beziehungsweise Abbildungen verdoppelt sich in der Bildebene die maximal erreichbare Auflösung gegenüber den in der folgenden Tabelle angegebenen Werten, da unter diesen Bedingungen in jedem Bildpunkt die vollständige gewünschte Bildinformation vorhanden ist.

Auch wenn Objektive mit der Lichtstärke 0,5 gebaut werden können, werden diese nicht für photographische Zwecke eingesetzt. Objektive mit einer kleineren Blendenzahl als 0,7 haben in der Regel sehr große Abbildungsfehler (Aberration), die sich viel stärker auswirken als die Beugungsbegrenzung. Der Arbeitsbereich der Blende, bei dem sich Beugungsbegrenzung und sphärische Aberration bei der Abbildung auf der optischen Achse in der Waage halten, wird auchkritische Blende genannt (siehe unten). Hier ergibt sich das optimale Auflösungsvermögen für die entsprechende Abbildung. Im Übrigen sollte immer berücksichtigt werden, dass selbst wenn alle Abbildungsfehler auf der Achse optisch weitgehend korrigiert sind, wie zum Beispiel bei der Verwendung apochromatischer Objektive, dass immer eine Reihe von weiteren Abbildungsfehlern vorhanden ist, die das optische Auflösungsvermögen zu den Bildrändern und -ecken hin erniedrigen.

Im allgemeinen kann festgestellt werden, dass die Blendenzahl der jeweiligen kritische Blende umso kleiner ist, je kleiner die Bilddiagonale ist. Bei sehr kleinen Bilddiagonalen mit optisch gut korrigierten Objektiven, wie zum Beispiel bei hochwertigen Smartphone-Kameras, ergibt sich oft eine kritische Blendenzahl um 2,0, bei größeren Bilddiagonalen, wie zum Beispiel 43 Millimeter beim Kleinbildformat, liegt die kritische Blendenzahl oft im Bereich von 5,6.

Zum Zusammenhang zwischen diesem Beugungsscheibchen in der Bildebene${\displaystyle B}$ mit der Bildweite${\displaystyle b}$ bei der optischen Abbildung eines Objekts mit der Objektweite${\displaystyle g}$ über die Hauptebene${\displaystyle H}$ und der entsprechenden minimalen geometrischen Größe${\displaystyle d_G}$ in der Objektebene${\displaystyle G}$ (synonym für "Gegenstandsebene") möge die die Abschätzung dienen, dass die Größe des Beugungsscheibchens${\displaystyle d_B}$ mit Hilfe des Strahlensatzes einer Scheibe mit dem Durchmesser${\displaystyle d_G}$ in der Objektebene${\displaystyle G}$ rein geometrisch ins Verhältnis gesetzt werden kann (siehe Abbildung rechts):

${\displaystyle d_G=\frac{d_B\cdot g}{b}=\frac{d_B}{\beta }}$,

wobei${\displaystyle \beta }$ der Abbildungsmaßstab ist.

Den Durchmesser des Beugungsscheibchens${\displaystyle d_B}$ erhält man aus der bekannten Abhängigkeit von der Wellenlänge${\displaystyle \lambda }$ und der Blendenzahl${\displaystyle k}$ (siehe oben):

${\displaystyle d_B\approx 2,44\cdot \lambda \cdot k}$

Bei einer Abbildung, bei der die Objektweite${\displaystyle g}$ deutlich größer als die Brennweite${\displaystyle f}$ ist (${\displaystyle g\gg f}$), ist die Bildweite${\displaystyle b}$ nur sehr geringfügig größer als die Brennweite${\displaystyle f}$ (daraus folgt${\displaystyle b\approx f}$), so dass sich in der Objektebene G der folgende minimale Kreisdurchmesser${\displaystyle d_G}$ ergibt:

${\displaystyle d_G\approx \frac{d_B\cdot g}{f}=\frac{2,44\cdot k\cdot \lambda \cdot g}{f}=\frac{2,44\cdot \lambda \cdot g}{D}}$

Kleinere Strukturen können aufgrund der Beugungsbegrenzung nicht vollständig aufgelöst werden.

Bei einer Öffnungsweite${\displaystyle D}$ von 100 Millimetern und bei grünem Licht mit einer Wellenlänge${\displaystyle \lambda }$ von 550 Nanometern ergeben sich in Abhängigkeit von der Objektweite${\displaystyle g}$ also diese maximalen optischen Auflösungen${\displaystyle d_G}$:

Objektweite ${\displaystyle g}$	Maximal auflösbare Struktur im Objektraum ${\displaystyle d_G}$
100 mm	1,3 µm
1 m	13 µm
10 m	130 µm
100 m	1,3 mm
1 km	13 mm
10 km	130 mm
100 km	1,3 m
1000 km	13 m
10000 km	130 m
100000 km	1,3 km

Sterne können wegen ihrer großen Entfernung gar nicht aufgelöst werden und erscheinen in optischen Abbildungen daher immer als Beugungsscheibchen. Vom 300000 Kilometer entfernten Mond aus gesehen, kann die Erdoberfläche hierbei also nur in zirka vier Kilometer große Scheibchen aufgelöst werden. Geostationäre Satelliten, die einen Abstand von rund 36000 Kilometern über der Erdoberfläche haben, könnten mit einer entsprechenden Kamera nur Strukturen auflösen, die knapp fünfhundert Meter groß sind. Kameras in Satelliten in erdnäheren Umlaufbahnen von einigen 100 Kilometern Höhe haben eine Auflösung von einigen Metern. Flugzeuge in der Atmosphäre können hingegen bei ausreichend niedriger Flughöhe und hinreichend geringen atmosphärischen Störungen mit ihren Luftbildkameras durchaus optische Auflösungen im Zentimeterbereich erreichen, wie sie zum Beispiel bei modernem Navigationskartenmaterial üblich ist.

Bei Teleskopen ist die Objektweite im Verhältnis zur Brennweite in der Regel sehr groß und der kleinste Winkel${\displaystyle \delta }$ zwischen zwei kontrastreichen Objekten (zum Beispiel ein Doppelstern) ergibt sich als Maß des Auflösungsvermögens aus dem halben Durchmesser des Beugungsscheibchens (siehe oben):

${\displaystyle \delta =\arctan \left(\frac{\frac{d_G}{2}}{g}\right)=\arctan \left(\frac{\frac{d_B}{2}}{b}\right)}$

Für sehr kleine Winkel${\displaystyle \delta }$ gilt im Bogenmaß die Näherung:

${\displaystyle \delta \approx \arctan \delta }$

Damit ergibt sich:

${\displaystyle \delta \approx \frac{d_G}{2g}=\frac{d_B}{2b}}$

Durch Substitution von${\displaystyle d_G}$ folgt daraus:

${\displaystyle \delta \approx \frac{d_G}{2g}=\frac{\frac{2,44\cdot \lambda \cdot g}{D}}{2g}=\frac{1,22\cdot \lambda }{D}=\frac{d_B}{2kD}=\frac{d_B}{2f}}$

Setzt man den Bildwinkel${\displaystyle \alpha }$ mit diesem Auflösungsvermögen${\displaystyle \delta }$ ins Verhältnis, ergibt sich für die maximale Anzahl in einer Bildrichtung auflösbaren Bildpunkte${\displaystyle N_P}$:

${\displaystyle N_P\approx \frac{\alpha }{\delta }}$

Für die kleinen Bildwinkel, die bei Teleskopen üblicherweise erreicht werden, ergibt sich mit dem Bildkreisdurchmesser${\displaystyle B}$ im Bogenmaß gleichermaßen die Näherung:

${\displaystyle \alpha \approx \arctan \alpha \approx \frac{B}{f}}$

Damit gilt:

${\displaystyle N_P\approx \frac{B\cdot D}{f\cdot 1,22\cdot \lambda }=\frac{B}{1,22\cdot \lambda \cdot k}=2\frac{B}{d_B}}$

Für die Informationsübertragung sind zwei benachbarte Punkte unterschiedlichen Kontrast erforderlich (siehe auchGrundlagen / Modulationsübertragung), so dass die Anzahl der Linienpaare pro Bildkreisdurchmesser${\displaystyle N_L}$ nur halb so groß ist:

${\displaystyle N_L=\frac{N_P}{2}\approx \frac{B}{2,44\cdot \lambda \cdot k}=\frac{B}{d_B}}$

Bei dieser Ortsfrequenz (siehe auchOrtsfrequenz) wird nur ein sehr schwacher Kontrast übertragen. Bei der doppelten Ortsfrequenz ist der Kontrastverlust durch die Beugungsbegrenzung bereits fast vernachlässigbar (siehe oben).

Anhand eines kleinen Ausschnitts einer photographischen, nicht beugungsbegrenzten Aufnahme mit einem hochwertigen und korrigierten Objektiv kann demonstriert werden, wie sich die Beugungsbegrenzung beim Abblenden auswirkt, wenn die Aufnahme mit einer größeren Blendenzahl${\displaystyle k}$ und somit einer geringeren Öffnungsweite gemacht worden wäre. Die Aufnahme mit einer Gesamtzahl von 3456 mal 4608 Bildpunkten (16 Megapixel) ist bei einer Blendenzahl von 2,2 aufgenommen worden, wo der Durchmesser des Beugungsscheibchen${\displaystyle d_B}$ mit 3 Mikrometern kleiner war als der Punktabstand auf dem Bildsensor von 3,76 Mikrometern.

Die folgende Tabelle gibt für eine mittlere Wellenlänge von 550 Nanometern die Durchmesser der Beugungsscheibchen an (sowohl auf dem Bildsensor in Mikrometern als auch im digitalen Bild in Bildpunkten), die bei verschiedenen Blendenzahlen resultieren, und in den beigefügten Bildern wurde die Auswirkung der Beugungsbegrenzung durch Gaußsche Weichzeichnung simuliert. In der rechten Spalte sind die Leistungsdichtespektren der Bilder zur Verdeutlichung der Modulationen in Abhängigkeit von den Ortsfrequenzen dargestellt. In der Mitte der Modulationsübertragungsdiagramme liegt jeweils die Ortsfrequenz null, und in den Mitten der vier Diagrammkanten beträgt die Ortsfrequenz jeweils 128 Linienpaare pro Bildausschnittshöhe. Der Bildausschnitt auf dem Bildsensor war geringfügig kleiner als ein Quadratmillimeter, und dies entspricht daher einer Ortsfrequenz von 133 Linienpaaren pro Millimeter (Lp/mm) auf dem Bildsensor beziehungsweise von 2304 Linienpaaren pro Bildhöhe (Lp/Bh) in der Originalaufnahme.

Der Strukturanteil gibt den prozentualen Anteil der in den Leistungsdichtespektren der Modulationsübertragungsdiagramme effektiv auftretenden Ortsfrequenzen an. Die maximalen effektiv auftretenden Ortsfrequenzen liegen weit unterhalb der durch die Bildauflösung vorgegebenen maximal möglichen Ortsfrequenz von 133 Lp/mm beziehungsweise von 2304 Lp/Bh (siehe auch AbschnittOrtsfrequenz).

Das Originalbild mit einer maximal effektiv auftretenden Ortsfrequenz von 82 Lp/mm beziehungsweise von 1420 Lp/Bh kann folglich bei sehr geringem Informationsverlust auch in einem digitalen Bild mit einer Bildauflösung von nur sechs Megapixel gespeichert werden, bei einer entsprechenden Aufnahme bei der Blendenzahl 32 mit einer maximal effektiv auftretenden Ortsfrequenz von 23 Lp/mm respektive von 400 Lp/Bh wäre die für die Informationsübertragung maximal erforderliche Bildauflösung sogar nur ein halbes Megapixel:

${\displaystyle k}$ Blendenzahl	${\displaystyle d_B}$ auf dem Bildsensor	${\displaystyle d_B}$ in der digitalen Aufnahme	Digitale Aufnahme	Strukturanteil	Maximal effektiv auftretende Ortsfrequenz	Modulationsübertragungsdiagramm
2,2	3,0 µm	0,8 Bildpunkte		16%	82 Lp/mm 1420 Lp/Bh
4,0	5,4 µm	1,5 Bildpunkte		15%	77 Lp/mm 1330 Lp/Bh
8,0	11 µm	2,9 Bildpunkte		13%	67 Lp/mm 1160 Lp/Bh
16	21 µm	5,8 Bildpunkte		8%	41 Lp/mm 710 Lp/Bh
32	43 µm	12 Bildpunkte		4%	23 Lp/mm 400 Lp/Bh

Da im optischen Bild keine Strukturen auftreten, die kleiner sind als die Beugungsscheibchen, kann die Kenntnis der Durchmesser der Beugungsscheibchen ausgenutzt werden. So können zum Beispiel ohne weiteres Annahmen über die maximal auftretende Ortsfrequenz des Bildrauschens oder über die maximale Steilheit von Kanten gemacht werden, die zur rechnerischen Verbesserung von digitalen Bilddaten eingesetzt werden können.

Wenn eine helle nahezu punktförmige Lichtquelle abgebildet wird, kommt es an allen Blenden im Strahlengang zu einer in der Abbildung mehr oder weniger stark wahrnehmbaren Beugung. Kreisförmige Blenden erzeugen hierbei kreisförmige Beugungsscheibchen.

Viele Objektive sind mit verstellbaren Irisblenden ausgestattet, die aus mehreren gleichartigen Lamellen bestehen. Je weiter solche Objektive abgeblendet werden, desto stärker nähert sich die Blendenform einem Polygon an, das genauso viele Kanten beziehungsweise Ecken hat, wie es Blendenlamellen gibt. Die dann zunehmend geradlinig werdenden Kanten der Irisblende erzeugen senkrecht zu den jeweiligen Kanten rechts und links kleine Beugungsstriche, die sich in der Abbildung zu einem Strahlenkranz überlagern. Wenn die Anzahl der Blendenlamellen wie üblich ungerade ist, entstehen doppelt so viele Strahlen wie es Blendenlamellen gibt, ansonsten sind es genauso viele, da die Beugungsstriche der gegenüberliegenden Blendenkanten dann deckungsgleich sind.

Im folgenden Bild ist die optische Abbildung des Planeten Venus am Nachthimmel mit einem auf die Blendenzahl 4 abgeblendeten Objektiv mit 9 Blendenlamellen und somit 18 radial von der Venus weggehenden Strahlen zu sehen:

Die Kontrastübertragung einer optischen Abbildung wird stets, mit zunehmenden Ortsfrequenzen zunehmend stark durchBeugung an Kanten begrenzt (siehe oben). Da alle optischen System über Kanten verfügen, wie zum Beispiel Blendenöffnungen oder Einfassungen, kann diese Beschränkung durch geeignete Maßnahmen zwar verringert, aber nie vollständig ausgeschaltet werden.

Ferner können auch gerichtete oder diffuse Reflexionen innerhalb des abbildenden Systems die Kontrastübertragung vermindern, da sie in dunklen BildbereichenFalschlicht hervorrufen.

Siehe hierzu auch:Modulationsübertragung

Häufig kommen andere Abbildungsfehler deutlich stärker zum Tragen, von denen einige im Folgenden erläutert werden. Sie betreffen nicht unmittelbar die Kontrastübertragung einer optischen Abbildung, sondern werden durch Abschattungen oder durch geometrische Verzerrungen verursacht.

In der Regel ist die optische Güte in der Bildmitte (also auf der optischen Achse bei der Bildhöhe null) am größten und nimmt zum Bildrand (also mit wachsender Bildhöhe) immer mehr ab.

Ebenso unvermeidlich ist der natürliche Randlichtabfall, der in optischen Systemen durch die geometrische Projektion in verschiedene Winkel zustande kommt. Der Lichtstrom${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_{effektiv}}$ von einer lichtemittierenden Fläche durch eine begrenzende kreisrunde Referenzfläche auf einer Projektionsfläche reduziert sich hierbei in Bezug auf den Lichtstrom entlang der optischen Achse${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_0}$ in Abhängigkeit vom betrachteten Winkel${\displaystyle \gamma }$ zur optischen Achse wie folgt:

${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_{effektiv}(\gamma )={\mathrm{\Phi }}_0\cdot {\cos }^4(\gamma )}$

Für die effektive Beleuchtungsstärke${\displaystyle E_{effektiv}}$ in einer optischen Projektion unter verschiedenen Winkeln${\displaystyle \gamma }$ zur optischen Achse in Bezug auf die Beleuchtungsstärke in der Projektion auf der optischen Achse${\displaystyle E_0}$ ergibt sich analog:

${\displaystyle E_{effektiv}(\gamma )=E_0\cdot {\cos }^4(\gamma )}$

Die korrigierte Helligkeit${\displaystyle L_{korr}(\overrightarrow{X})}$ in einem Bildpunkt beim Ortsvektor${\displaystyle \overrightarrow{X}}$ ergibt sich dann aus der dazugehörigen gemessenen Helligkeit${\displaystyle L_{mess}(\overrightarrow{X})}$ zu:

${\displaystyle L_{korr}(\overrightarrow{X})=\frac{L_{mess}(\overrightarrow{X})}{co{s}^4(\gamma )}}$

Siehe auchBildkoordinaten.

Die Kompensation des Randlichtabfalls kann direkt nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten von der Firmware einer Kamera durchgeführt werden. Wenn die Information in den Metadaten eines digitalen Bildes gespeichert wurde oder aus anderen Quellen beschafft werden kann, kann die Kompensation auch nachträglich mit Hilfe einer geeigneten Bildbearbeitungssoftware berechnet werden.

Kommen im Strahlengang mehrere abschattende Blenden oder Einfassungen zum Tragen, verstärkt sich der Helligkeitsabfall in den Bildecken über das Maß des Randlichtabfalls hinaus. Dies wirdVignettierung genannt und kann dazu führen, dass in den Bildecken praktisch kaum noch ein Bildsignal ausgewertet werden kann.

Wird die tatsächlich genutzte Bildkreis einer optischen Abbildung auf einen hinreichend kleinen Bildsensor reduziert, wird der Helligkeitsverlust am Bildrand geringer.

Siehe hierzu auch:Zweidimensionale Bildsensoren

Auch die Vignettierung kann rechnerisch korrigiert werden, wenn die entsprechenden Bildparameter während der Aufnahme und die Objektiveigenschaften bekannt sind.

DerÖffnungsfehler (sphärische Aberration) hängt von der maximalenEinfallshöhe der Strahlen ab, die zu einer optischen Abbildung beitragen. Die Einfallshöhe${\displaystyle H}$ wird für Strahlen betrachtet, die parallel zur optischen Achse einfallen, und sie wird als Abstand von der optischen Achse gemessen.

Die Einfallshöhe${\displaystyle H}$ kann hierbei maximal halb so groß werden, wie dieÖffnungsweite${\displaystyle D}$ des verwendeten Objektivs:

${\displaystyle H\le H_{max}=\frac{D}{2}}$

Strahlen mit maximaler Einfallshöhe${\displaystyle H_{max}}$ erzeugen aufgrund des Öffnungsfehlers im Bildraum keinen geometrischen Bildpunkt, sondern wegen der verkleinerten Schnittweite${\displaystyle s}$ einen Zerstreuungskreis mit dem Durchmesser${\displaystyle Z}$. Hierbei gilt die folgende Verhältnisgleichung:

${\displaystyle \frac{s}{D}=\frac{f-s}{Z}}$

Die erzielbare optische Auflösung ist demnach geometrisch auf den folgendenZerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z}$ begrenzt:

${\displaystyle Z=D\cdot \frac{f-s}{s}=D\cdot \left(\frac{f}{s}-1\right)}$

Mit zunehmender Einfallshöhe nimmt bei sphärischen Linsen die von der senkrecht zur optischen Achse stehende Hauptebene${\displaystyle H}$ gemessene bildseitige Schnittweite${\displaystyle s}$ also immer weiter ab. Einfallende Strahlen mit großen Einfallshöhen können innerhalb der Linse sogar totalreflektiert werden und tragen dann gar nicht mehr zur optischen Abbildung bei. Nur achsnahe, parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen schneiden die optische Achse in die Nähe des bildseitigen Brennpunktes.

Von einem auf der optischen Achse befindlichen, unendlich entfernten Objektpunkt ausgehende Strahlen mit kleiner Einfallshöhe${\displaystyle H_{para}}$ (paraxiale Strahlen) schneiden sich bildseitig also im Brennpunkt bei der Brennweite${\displaystyle f}$, wo sich optische Achse und die senkrecht dazu stehende Brennebene${\displaystyle F}$ schneiden. Für paraxiale Strahlen gilt an einer Linse die Bedingung:

${\displaystyle H_{para}\ll min(|R_1|,|R_2|)}$

Hierbei stehen${\displaystyle R_1}$ und${\displaystyle R_2}$ für die Krümmungsradien der Linsenoberflächen auf der optischen Achse. Damit gilt im Bogenmaß:

${\displaystyle \tan \frac{H_{para}}{f}\approx \sin \frac{H_{para}}{f}\approx \frac{H_{para}}{f}}$ sowie${\displaystyle f\approx s}$ und${\displaystyle Z\approx 0}$

Ein auf der optischen Achse befindlicher, unendlich weit entfernter Objektpunkt wird mit seinen paraxialen (monochromatischen) Strahlen also geometrisch exakt in einen Bildpunkt auf der optischen Achse abgebildet, der mit dem Brennpunkt des optischen Systems identisch ist.

Der Öffnungsfehler kann mit einer Aperturblende durch Abblenden auf Strahlen mit geringer Einfallshöhe reduziert werden. Bei dieser durch die Aperturblende verkleinerten Öffnungsweite ist der Lichtstrom durch die Linse allerdings verringert. Durch den Einsatz vonasphärischen Linsen kann der Öffnungsfehler optisch korrigiert werden, so dass auch Strahlen mit großer Einfallshöhe bei der Ablenkung keine Schnittweitenverkürzung erfahren und somit kein Abblenden erforderlich ist.

Anhand einer plankonvexen Linse kann die Form der entsprechendenasphärischen Oberfläche verhältnismäßig leicht veranschaulicht werden. Betrachtet man eine optische Abbildung aus dem Unendlichen mit parallelem, monochromatischem Licht durch eine solche Linse mit dem Krümmungsradius${\displaystyle R}$ bei der Einfallshöhe${\displaystyle H}$, ergibt sich die in nebenstehender Abbildung dargestellte Situation.

Zur Berechnung der asphärischen Oberfläche können Lichtstrahlen betrachtet werden, die mit der Einfallshöhe${\displaystyle H}$ parallel zur optischen Achse auf die objektseitige, plane Linsenfläche fallen. Diese werden beim Eintritt in das optisch dichtere Medium des Linsenmaterials mit dem Brechungsindex${\displaystyle n}$ nicht gebrochen, da sie senkrecht auftreffen. Bildseitig bilden diese Strahlen zum Oberflächenlot der Linse in der Linse den Winkel${\displaystyle \alpha }$ und außerhalb der Linse den Winkel${\displaystyle \beta }$. Diese Winkel verhalten sich wie durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{H}{R}}$

${\displaystyle \sin \beta =\frac{n\cdot H}{R}}$

Die optische Achse schneiden diese Strahlen dann unter dem Winkel

${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha }$

Für paraxiale Strahlen (also für${\displaystyle H\to 0}$) ergibt sich eine bildseitige Schnittweite${\displaystyle s_0}$ respektive Brennweite${\displaystyle f}$ von:

${\displaystyle f=s_0=R_0\cdot \left(\frac{n}{n-1}-1\right)=\frac{R_0}{n-1}}$,

wobei${\displaystyle R_0}$ der Radius im Scheitel der Linse auf der optischen Achse ist.

Die Pfeilhöhe${\displaystyle z}$, gemessen von der Hauptebene der Linse, kann dann in Abhängigkeit von der Einfallshöhe${\displaystyle H}$ mit Hilfe einiger Hilfsgrößen ausgehend von${\displaystyle H_0=0}$ und${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0=0}$ in Schritten von${\displaystyle \mathrm{\Delta }H}$ iterativ ermittelt werden:

${\displaystyle H_i=H_{i-1}+\mathrm{\Delta }H}$

${\displaystyle z_i={\mathrm{\Delta }}_{i-1}+R_{i-1}-\sqrt{R_{i-1}^2-H_i^2}}$

${\displaystyle {\gamma }_i=\arctan \frac{H_i}{f+z_i}}$

${\displaystyle R_i=\sqrt{{\left(\frac{n\cdot H_i}{\sin {\gamma }_i}-f-z_i\right)}^2+H_i^2}}$

${\displaystyle {\alpha }_i=\arcsin \frac{H_i}{R_i}}$

${\displaystyle {\beta }_i=\arcsin \frac{n\cdot H_i}{R_i}}$

Für die Schnittweite${\displaystyle s_i}$ vom Scheitelpunkt der Kugel mit dem Radius${\displaystyle R_i}$ auf der optischen Achse gilt:

${\displaystyle s_i=\frac{n\cdot H_i}{\sin {\gamma }_i}-R_i}$

Schließlich ergibt sich der Scheitelabstand${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_i}$ von der Hauptebene aus der Differenz dieser Schnittweite mit der Schnittweite bei paraxialen Strahlen${\displaystyle s_0}$:

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_i=s_i-s_0}$

Beispiel

In der folgenden Tabelle sind einige auf diese Weise berechnete Beispielwerte für${\displaystyle n=1,5}$, und den einheitenlosen Längenmaßen${\displaystyle R_0=100}$ und${\displaystyle f=s_0=200}$ angegeben. Mit zunehmender Einfallshöhe werden die Krümmungsradien immer größer und sowohl die Mittelpunkte als auch Scheitelpunkte der entsprechenden Kreise entfernen sich objektseitig immer weiter von der Hauptebene.

Einfallshöhe ${\displaystyle H}$	Pfeilhöhe ${\displaystyle z}$	Radius ${\displaystyle R}$	Scheitel- abstand ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$	Winkel ${\displaystyle \alpha }$ in °	Winkel ${\displaystyle \beta }$ in °	Winkel ${\displaystyle \gamma }$ in °
0	0,0	100,0	0,0	0,0	0,0	0,0
10	0,5	101,1	0,0	5,7	8,5	2,9
20	2,0	104,4	0,1	11,0	16,7	5,7
30	4,5	109,7	0,3	15,9	24,2	8,3
40	7,8	116,7	0,8	20,0	30,9	10,9
50	12,0	125,2	1,6	23,5	36,8	13,3
60	16,9	134,8	2,8	26,4	41,9	15,5
70	22,4	145,3	4,5	28,8	46,3	17,5
80	28,5	156,6	6,5	30,7	50,0	19,3
90	34,9	168,5	8,9	32,3	53,2	21,0
100	41,8	180,8	11,6	33,6	56,0	22,5
110	48,9	193,6	14,6	34,6	58,5	23,8
120	56,3	206,6	17,9	35,5	60,6	25,1
130	63,9	219,9	21,4	36,2	62,5	26,2
140	71,7	233,4	25,0	36,9	64,1	27,3
150	79,6	247,1	28,9	37,4	65,6	28,2
160	87,7	260,9	32,9	37,8	66,9	29,1
170	95,8	274,9	37,0	38,2	68,1	29,9
180	104,1	288,9	41,2	38,5	69,2	30,6
190	112,4	303,0	45,5	38,8	70,1	31,3
200	120,9	317,3	49,9	39,1	71,0	31,9

Bis zu einer Einfallshöhe von 140 entspricht die konvexe Oberfläche dieser Linse nach DIN ISO 10110-12 ohne weitere asphärische Parameter in den höheren Gliedern relativ genau der Beziehung für einen Hyperboloiden mit der konischen Konstante${\displaystyle k=-2}$:

${\displaystyle z(H)=\frac{H^2}{R_0\left(1+\sqrt{1+{\left(\frac{H}{R_0}\right)}^2}\right)}=\frac{H^2}{R_0+\sqrt{R_0^2+H^2}}}$

Verzeichnung kommt zustande, wenn sich der Abbildungsmaßstab für verschiedene Bildhöhen (also für verschiedene Abstände der Bildpunkte von der optischen Achse) ändert. Mit korrigierten Objektiven oder mit telezentrischen Objektiven lassen sich solche Abweichungen vermeiden, und wenn der Abbildungsmaßstab über das gesamte Bildfeld konstant ist, wird eine solche Abbildungverzeichnungsfrei genannt.

Siehe hierzu auch:Abbildungsmaßstab undTelezentrie

Bei einfachen Objektivkonstruktionen nimmt der Betrag der Verzeichnung mit zunehmender Bildhöhe typischerweise monoton und stetig zu:

• Verzeichnung von quadratischen Objekten bei optischen Abbildungen
• 
  Kissenförmig verzeichnete Abbildung mit nach außen hin zunehmendem Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$
• 
  Verzeichnungsfreie Abbildung mit konstantem Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$
• 
  Tonnenförmig verzeichnete Abbildung mit nach außen hin abnehmendem Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$

Nimmt der Abbildungsmaßstab mit zunehmender Bildhöhe kontinuierlich zu, wird von einerkissenförmigen Verzeichnung oderKissenverzeichnung gesprochen, nimmt er kontinuierlich ab, wird von einertonnenförmigen Verzeichnung oderTonnenverzeichnung gesprochen.

Verzeichnung tritt bei Linsen und unkorrigierten Objektiven mit sphärischer Aberration auf, wenn die abbildenden Strahlenbündel vor oder hinter den Hauptebenen durch Blenden eingeengt werden. Dabei ist es nicht wesentlich, wie groß oder wie klein diese Blende ist. Liegt die das Strahlenbündel einengende Blende vor der Hauptebene, kommt es zu einer Tonnenverzeichnung, liegt eine solche Blende hinter der Hauptebene, kommt es zu einer Kissenverzeichnung:

• Zur Verzeichnung bei optischen Abbildungen in der Bildebene B
• 
  Kissenförmig verzeichnete Abbildung mit nach außen hin zunehmendem Abbildungsmaßstab (dunkelblau), da die Hauptstrahlen mit konstantem Abbildungsmaßstab (blau) von der Blende hinter der Hauptebene H ausgeblendet werden.
• 
  Tonnenförmig verzeichnete Abbildung mit nach außen hin abnehmendem Abbildungsmaßstab (dunkelblau), da die Hauptstrahlen mit konstantem Abbildungsmaßstab (blau) von der Blende vor der Hauptebene H ausgeblendet werden.

Die optische Achse markiert in einer Abbildung das Verzeichnungszentrum. Rechnerisch kann die Verzeichnung mit der Aufnahme von zwei parallelen Geraden bestimmt werden. Die eine Gerade liegt hierbei in der Regel senkrecht zur optischen Achse und hat in diesem Punkt die Objekthöhe null. Diese Gerade erscheint im Bild ebenfalls als Gerade mit der Bildhöhe null. Der Abstand zur zweiten Geraden entspricht der Bildhöhe, bei der die Verzeichnung bestimmt wird. Diese Gerade wird bei vorhandener Verzeichnung jedoch nicht als Gerade abgebildet sondern gebogen.

Traditionell wird die Verzeichnung${\displaystyle V}$ häufig in Prozent angegeben. Hierzu wird häufig ein einfacher Standard der Europäischen Rundfunkunion (European Broadcasting Union (EBU)) verwendet, der sie als das Verhältnis der Differenz zweier Höhen im Bild${\displaystyle \mathrm{\Delta }h}$ (in der Skizze gilt hierfür${\displaystyle \mathrm{\Delta }h=\mathrm{\Delta }{h}_1=\mathrm{\Delta }{h}_2=\mathrm{\Delta }{h}_3=\mathrm{\Delta }{h}_4}$) zu der von der optischen Achse gemessenen Höhe${\displaystyle h}$ bestimmt:

${\displaystyle V_{EBU}=\frac{\mathrm{\Delta }h}{h}}$

Dieses Vorgehen erfordert jedoch eine große Sorgfalt mit Blick auf die Symmetrie der Abbildung, da bei nicht hinreichend genauer Zentrierung der Objektive oder des Messaufbaus in verschiedenen Bildbereichen mit gleicher Bildhöhe verschiedene Werte für die Verzeichnung ermittelt werden.

Nach einem Industriestandard der Standard Mobile Imaging Architecture (SMIA) wird die Verzeichnung durch den Mittelwert${\displaystyle \overline{h}}$ zweier Höhen${\displaystyle h_l}$ und${\displaystyle h_r}$, die auf gegenüberliegenden Seiten der optischen Achse liegen, wie folgt auf die Höhe${\displaystyle h}$ durch die optische Achse in der Bildmitte bezogen:

${\displaystyle V_{SMIA}=\frac{\overline{h}-h}{h}=\frac{\frac{hl+hr}{2}-h}{h}}$

Wenn alle Differenzen${\displaystyle \mathrm{\Delta }h}$, wie bei der Betrachtung der Verzeichnung nach der EBU gleich groß sind, gilt:

${\displaystyle V_{SMIA}=\frac{\frac{(h+\mathrm{\Delta }{h}_1+\mathrm{\Delta }{h}_3)+(h+\mathrm{\Delta }{h}_2+\mathrm{\Delta }{h}_4)}{2}-h}{h}=\frac{\frac{2h+4\mathrm{\Delta }h}{2}-h}{h}=\frac{2\mathrm{\Delta }h}{h}=2\cdot V_{EBU}}$

Die Verzeichnung kann auf diese Weise natürlich auch in horizontaler Richtung oder für jeden anderen Azimutwinkel bestimmt werden.

Es gibt weitere Varianten zur Bestimmung, bei denen wie in der ISO 9039-2008 bei maximaler Bildhöhe vier Werte in den Bildecken gemessen und gemittelt werden und mit der bei halber Bildhöhe ermittelten Verzeichnung ins Verhältnis gesetzt werden. Dies führt zum Beispiel bei vielen modernen Zoom-Objektiven allerdings dazu, dass dieses Verhältnis unendlich werden kann. In einer optischen Abbildung über mehrere Hauptebenen können nämlich auch gleichzeitig kissenförmige und tonnenförmige Verzeichnungen auftreten. Solche Objektive sind dann nicht notwendigerweise auf der optischen Achse, sondern bei einer Bildhöhe im mittleren Bildfeldbereich - möglicherweise also auch genau bei halber Bildhöhe - verzeichnungsfrei.

Verzeichnung kann mit geometrischen Transformationen mit variablem Maßstab rechnerisch kompensiert werden, wenn die entsprechenden Bildparameter während der Aufnahme und die Objektiveigenschaften bekannt sind. Im Idealfall ist ein in der Bildebene senkrecht zur optischen Achse liegender Bildvektor${\displaystyle \overrightarrow{B}}$ mit dem Ursprung auf der optischen Achse mit dem konstanten Abbildungsmaßstab${\displaystyle \beta }$ proportional zum in der Objektebene senkrecht zur optischen Achse liegenden Objektvektor${\displaystyle \overrightarrow{G}}$, der seinen Ursprung ebenfalls auf der optischen Achse hat.

${\displaystyle \overrightarrow{B}=\beta \cdot \overrightarrow{G}}$

Die zur Kompensation der Verzeichnung transformierten Bildvektoren${\displaystyle {\overrightarrow{B}}_{komp}}$ eines Punktes im Bild ergeben sich dann aus gemessenen Bildvektoren${\displaystyle \overrightarrow{B}}$ eines Bildpunktes wie folgt, wobei der einheitenlose Faktor${\displaystyle c}$ nicht konstant ist, sondern in der Regel eine Funktion der Bildhöhe${\displaystyle h=|\overrightarrow{B}|}$ ist:

${\displaystyle {\overrightarrow{B}}_{komp}=c(h)\cdot \overrightarrow{B}=c(h)\cdot \beta \cdot \overrightarrow{G}}$

Siehe auchBildkoordinaten.

Der von der Bildhöhe${\displaystyle h}$ abhängige effektive Abbildungsmaßstab${\displaystyle {\beta }_{eff}(h)}$ beträgt somit:

${\displaystyle {\beta }_{eff}(h)=c(h)\cdot \beta }$

Für die verzeichnungsfreie Bildhöhe${\displaystyle h_0}$ gilt dann:

${\displaystyle c(h_0)=1}$

und somit

${\displaystyle {\beta }_{eff}(h_0)=\beta }$

Eine solche Transformation kann gegebenenfalls von der Firmware einer Kamera oder später mit Hilfe einer geeigneten Bildbearbeitungssoftware durchgeführt werden. Nach der Transformation sind die Bildkanten nicht mehr gerade und werden daher üblicherweise so beschnitten, so dass wieder ein rechteckiger Bildausschnitt entsteht und somit Bildinformation verloren geht: bei kissenförmiger Verzeichnung in den Bildecken oder bei tonnenförmiger Verzeichnung an den Bildkanten.

Eine weitere häufig Folge der sphärischen Aberration ist dieBildfeldwölbung. Hierbei liegen die Bildpunkte nicht in einer Ebene, die senkrecht zur optischen Achse steht, sondern auf einer gekrümmten, rotationssymmetrischen Fläche, die die ideale Bildebene auf der optischen Achse berührt.

In der Regel ist die Schnittweite hinter der Hauptebene einer sammelnden Optik hierbei umso kürzer, je größer die Bildhöhe ist. Ein auf der optischen Achse scharfgestelltes Bild eines Objekts mit konstanter Objektweite wird bei einer ebenen Bildfläche zu den Rändern hin durch die wachsenden Zerstreuungskreisdurchmesser der Bildpunktstrahlen also zunehmend unschärfer abgebildet. In diesen Fällen wir oft bei halber Bildhöhe scharfgestellt, da die Bildpunkte auf der optischen Achse und an den Bildrändern dann weniger unscharf sind, als die Bildpunkte am Rand, wenn auf die Bildmitte scharfgestellt wird.

Wird die Projektionsfläche entsprechend der Bildfeldwölbung angepasst, können alle Bildpunkte geometrisch scharf abgebildet werden. Daher gibt es spezielle Bildsensoren, die entsprechend gestaltet sind.

Wenn die Bildschärfe optimiert werden soll, ist am Objektiv diekritische Blende einzustellen, bei der die Schärfe weder durch die Beugung an der Blende (also bei kleiner Öffnungsweite) noch durch den Öffnungsfehler (also bei großer Öffnungsweite) zu stark eingeschränkt wird. Sammelnde Objektivlinsen haben in der Regel eine geringere sphärische Aberration (Öffnungsfehler), wenn die Oberfläche mit der schwächeren Krümmung bildseitig angeordnet wird.

Anhand einer plankonvexen, sphärischen Linse kann die kritische Blende verhältnismäßig leicht veranschaulicht werden. Betrachtet man eine optische Abbildung aus dem Unendlichen mit parallelem, monochromatischem Licht der Wellenlänge${\displaystyle \lambda }$ durch eine solche Linse mit dem Krümmungsradius${\displaystyle R}$ und der Brennweite${\displaystyle f}$, ergibt sich die in nebenstehender Abbildung dargestellte Situation.

Durch Beugung ergibt sich in der Bildebene ein Beugungsscheibchen mit dem Durchmesser

${\displaystyle d=2,44\cdot \lambda \cdot \frac{f}{D}=2,44\cdot \lambda \cdot k}$,

wobei${\displaystyle D}$ die Eintrittspupille der optischen Abbildung und${\displaystyle k=\frac{f}{D}}$ die Blendenzahl sind. Die Größe des Beugungsscheibchens ist also proportional zur Blendenzahl.

Zur Berechnung der sphärischen Aberration können Lichtstrahlen betrachtet werden, die mit der Einfallshöhe

${\displaystyle H=\frac{D}{2}=\frac{f}{2k}}$

parallel zur optischen Achse auf die objektseitige, plane Linsenfläche fallen. Diese werden beim Eintritt in das optisch dichtere Medium des Linsenmaterials mit dem Brechungsindex${\displaystyle n}$ nicht gebrochen, da sie senkrecht auftreffen. Bildseitig bilden diese Strahlen zum Oberflächenlot der Linse in der Linse den Winkel${\displaystyle \alpha }$ und außerhalb der Linse den Winkel${\displaystyle \beta }$ und werden entsprechend dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen. Dabei gilt:

${\displaystyle \sin (\alpha )=\frac{H}{R}}$

${\displaystyle \alpha =\arcsin \frac{H}{R}=\arcsin \frac{f}{2k\cdot R}}$

und

${\displaystyle \sin (\beta )=n\cdot \sin (\alpha )=n\cdot \frac{H}{R}}$

${\displaystyle \beta =\arcsin \left(n\cdot \frac{H}{R}\right)=\arcsin \frac{n\cdot f}{2k\cdot R}}$

Die optische Achse schneiden diese Strahlen dann unter dem Winkel${\displaystyle \beta -\alpha }$. Die bildseitige Schnittweite${\displaystyle x}$, gemessen vom Scheitelpunkt der Linse, ergibt sich dann in Abhängigkeit von der Einfallshöhe${\displaystyle H}$ mit Hilfe des Sinussatzes zu:

${\displaystyle x(H)=\frac{n\cdot H}{\sin (\beta -\alpha )}-R}$

Für paraxiale Strahlen (also für${\displaystyle H\to 0}$) vereinfacht sich diese Beziehung durch die Bildung des Grenzwertes zu:

${\displaystyle \underset{H\to 0}{lim}x(H)=x(0)=f=R\cdot \left(\frac{n}{n-1}-1\right)=\frac{R}{n-1}}$ respektive${\displaystyle R=f\cdot (n-1)}$,

wobei die Brennweite${\displaystyle f}$ und die Schnittweite${\displaystyle x(0)}$ der Linse bei paraxialen Strahlen (also bei${\displaystyle H\to 0}$) dann identisch sind.

Aus der Bedingung für die Totalreflexion innerhalb der Linse (das Argument vom Arkussinus des Winkels${\displaystyle \beta }$ darf nicht größer als eins werden) ergibt sich die minimal mögliche Blendenzahl${\displaystyle k_{min}}$:

${\displaystyle k_{min}=\frac{1}{2}\left(\frac{n^2}{n-1}-n\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{n}{n-1}}$

Im Folgenden wird mit dieser Zusammenfassung weitergerechnet:

${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha =\arcsin \frac{n}{2k\cdot (n-1)}-\arcsin \frac{1}{2k\cdot (n-1)}}$

Unter Verwendung der Blendenzahl${\displaystyle k}$ und der Brennweite${\displaystyle f}$ ergibt sich die Schnittweite${\displaystyle x}$ zu:

${\displaystyle x(k)=\frac{n\cdot f}{2k\cdot \sin \gamma }-R=f\cdot \left(\frac{n}{2k\cdot \sin \gamma }-n+1\right)}$

Durch die sphärische Aberration verschiebt sich der Schnittpunkt der hinter der Linse gebrochenen Strahlen mit der optischen Achse umso näher an die Linse, je größer die Einfallshöhe${\displaystyle H}$ ist. In der Brennebene im Abstand${\displaystyle f}$ vom Scheitelpunkt der Linse ergibt sich daher keine punktförmige Abbildung mehr, sondern ein Zerstreuungskreis mit dem Durchmesser${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle Z=2\cdot (f-x)\cdot \tan \gamma =2\cdot f\cdot n\left(1-\frac{1}{2k\cdot \sin \gamma }\right)\cdot \tan \gamma }$

An dieser Stelle sei explizit darauf hingewiesen, dass diese Betrachtungen nur für optische Abbildungen direkt auf der optischen Achse gültig sind. Sobald Objektpunkte von Gegenständen, die sich nicht auf der optischen Achse befinden, abgebildet werden, ergeben sich bei der hier betrachteten plankonvexen Linsengeometrie starke Abbildungsfehler.

Mit den Näherungen für hinreichend kleine${\displaystyle \gamma }$ im Bogenmaß

${\displaystyle \sin \gamma \approx \gamma }$

${\displaystyle \tan \gamma \approx \gamma }$

ergibt sich die folgende Näherungsgleichung für den von der Blendenzahl${\displaystyle k}$ abhängigen Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z(k)}$:

${\displaystyle Z(k)\approx 2\cdot f\cdot n\left(1-\frac{1}{2k\cdot \gamma }\right)\cdot \gamma =2\cdot f\cdot n\left(\gamma -\frac{1}{2k}\right)}$

Eine für kleine Blendenzahlen weniger genaue Näherung kann mit einer Reihenentwicklung für den Arkussinus bestimmt werden:

${\displaystyle \arcsin y\approx y+\frac{y^3}{6}+\dots }$

${\displaystyle \gamma \approx \frac{1}{2k}+\frac{1}{48k^3}\cdot \frac{n^3-1}{(n-1{)}^3}}$

Damit vereinfacht sich die Gleichung für den Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z(k)}$ folgendermaßen:

${\displaystyle Z(k)\approx \frac{f}{24\cdot k^3}\cdot \frac{n^4-n}{(n-1{)}^3}=\frac{R}{24\cdot k^3}\cdot \frac{n^4-n}{(n-1{)}^4}}$

Bei gegebener Brennweite${\displaystyle f}$ beziehungsweise bei gegebenem Radius${\displaystyle R}$ und gegebener Brechzahl${\displaystyle n}$ der plankonvexen Linse wächst der Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z(k)}$ also mit dem Kehrwert der dritten Potenz der Blendenzahl${\displaystyle k}$.

Bei einer Wellenlänge${\displaystyle \lambda }$ im Grünen von 550 Nanometern ergibt sich der Durchmesser des Beugungsscheibchens (Airy-Scheibchen)${\displaystyle d}$ in Abhängigkeit von der Blendenzahl${\displaystyle k}$ zu:

${\displaystyle d(k)=2,44\cdot 550\text{nm}\cdot k=1,342\text{µm}\cdot k}$

Der Durchmesser des Beugungsscheibchens ist also proportional zur Blendenzahl.

Der Durchmesser des Zerstreuungskreises${\displaystyle Z}$ wird mit zunehmender Blendenzahl${\displaystyle k}$ jedoch kleiner und dies sogar überproportional (und zwar in Näherung und insbesondere für zunehmende Blendenzahlen mit der dritten Potenz des Kehrwerts (siehe oben unter "Näherung")). Der Betrag der Steigung nimmt in der in der vertikalen Koordinatenachse logarithmischen graphischen Darstellung (siehe rechts) demzufolge kontinuierlich ab, wobei sich die Funktion${\displaystyle Z(k)}$ für große k asymptotisch der horizontalen Achse nähert.

Bei einem Brechungsindex${\displaystyle n=1,50}$ und einem Krümmungsradius${\displaystyle R}$ von 100 Millimetern ergibt sich also eine Brennweite${\displaystyle f}$ von 200 Millimetern. Die kleinste Grenze für die Blendenzahl wäre hier${\displaystyle k_{min}=1,5}$. Die Näherung für den Zerstreuungskreisdurchmesser ergibt sich bei diesen Werten zu:

${\displaystyle Z_{n=1,5}(k)\approx \frac{237,5}{k^3}}$

Für verschiedene größere Blendenzahlen ergeben sich dann die in der folgenden Tabelle angegebenen Eintrittspupillen${\displaystyle D}$ und die Durchmesser${\displaystyle d}$ für das Beugungsscheibchen und${\displaystyle Z}$ für den Zerstreuungskreis:

Blendenzahl ${\displaystyle k}$	Eintrittspupille ${\displaystyle D}$ in mm	Winkel ${\displaystyle \alpha }$ in °	Winkel ${\displaystyle \beta }$ in °	Durchmesser Beugungsscheibchen${\displaystyle d}$ in µm	Durchmesser Zerstreuungskreis${\displaystyle Z}$ in µm
2,0	100,0	30,0	48,6	3	43553
2,8	70,7	20,7	32,0	4	11970
4,0	50,0	14,5	22,0	5	3835
5,7	35,4	10,2	15,4	8	1297
8,0	25,0	7,2	10,8	11	449
11,3	17,7	5,1	7,6	15	157
16,0	12,5	3,6	5,4	21	55
22,6	8,8	2,5	3,8	30	19
32,0	6,3	1,8	2,7	43	7

Das Minimum der Unschärfe liegt nicht notwendigerweise auf dem Schnittpunkt der Funktionen (die Summe der beiden Durchmesser beträgt im Beispiel bei der Blendenzahl 20 etwa 55 Mikrometer). Mit der Annahme, dass die Summe der beiden Durchmesser minimal sein soll, liegt sie Blendenzahl der kritischen Blende bei dieser optischen Abbildung bei Blende 26,7. Die Summe der beiden Durchmesser beträgt hier 47,8 Mikrometer; der Durchmesser des Beugungsscheibchen beträgt dann 36,4 Mikrometer und der des Zerstreuungskreises 11,4 Mikrometer. Die Blendenzahl 26,7 entspricht im oben angegebenen Beispiel einer Blendenöffnung D von 7,5 Millimetern.

Bei derchromatischen Aberration wird unterschieden zwischen demFarblängsfehler, bei dem sich die Schnittweite mit der Wellenlänge ändert, und demFarbquerfehler, bei dem sich der Abbildungsmaßstab mit der Wellenlänge ändert. Diese Farbfehler beruhen auf der Dispersion der eingesetzten Gläser, bei der blaues Licht stärker als rotes Licht gebrochen wird.

• Chromatische Aberration
• 
  Longitudinale chromatische Aberration (Farblängsfehler) durch Dispersion bei einer optischen Abbildung aus dem Unendlichen mit weißem Licht über die Hauptebene H auf die optische Achse.
• 
  Laterale chromatische Aberration (Farbquerfehler) bei der Abbildung von Objekten außerhalb der optischen Achse aus dem Unendlichen über die Hauptebene H auf die Bildebene B mit verschiedenen Wellenlängen (rot, grün, blau).
• 
  Longitudinale und laterale chromatische Aberration treten in der Regel in Kombination auf, so dass sich für eine gegebene Objektgröße${\displaystyle y}$ und Objektweite${\displaystyle a}$ verschiedene, von der Wellenlänge abhängige Bildgrößen${\displaystyle y^{\prime }}$ und Bildweiten${\displaystyle a^{\prime }}$ ergeben.
• 
  Farbquerfehler bei der optischen Abbildung von weißen, zur optischen Achse zentrierten Kreisen mit verschiedenen Durchmessern.

Diese Fehler können durch die Kombination unterschiedlich brechender und dispergierender Materialien kompensiert werden.Achromaten haben mindestens zwei Linsen und sind für zwei Wellenlängen korrigiert (üblicherweise für lang- und kurzwelliges Licht, also im Roten und im Blauen), beiApochromaten, die mindestens aus drei Linsen bestehen, ist die Schnittweite sogar bei drei verschiedenen Wellenlängen identisch (üblicherweise für alle drei Primärfarben, also rot, grün und blau). Die hierfür eingesetzten Glassorten unterscheiden sich zum einen im Brechungsindex${\displaystyle n}$ und zum anderen bei derAbbe-Zahl${\displaystyle {\nu }_e}$, die wie folgt definiert ist:

${\displaystyle {\nu }_e=\frac{n_e-1}{n_{F^{\prime }}-n_{C^{\prime }}}}$

Hierbei stehen die drei Indizes am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen:

• ${\displaystyle n_{C^{\prime }}}$: Brechzahl im Roten bei${\displaystyle {\lambda }_{C^{\prime }}=643,8469\text{ nm}}$
• ${\displaystyle n_e}$: Brechzahl im Grünen bei${\displaystyle {\lambda }_e=546,0740\text{ nm}}$
• ${\displaystyle n_{F^{\prime }}}$: Brechzahl im Blauen bei${\displaystyle {\lambda }_{F^{\prime }}=479,9914\text{ nm}}$

Kronglas hat typischerweise einen Brechungsindex von 1,5 bis 1,6 und eine Abbe-Zahl, die größer als 50 ist, was einer geringen Dispersion entspricht.

Flintglas hat typischerweise einen Brechungsindex von 1,5 bis 2,0 und eine Abbe-Zahl, die kleiner als 50 ist, was einer starken Dispersion entspricht.

Der Farbquerfehler kann auch rechnerisch kompensiert werden, wenn bei Farbaufnahmen die Teilbilder für die verschiedenen Farbkanäle mit geeigneten Skalierungsfaktoren transformiert werden. Bei einer Farbaufnahme mit den Primärfarben rot, grün und blau (RGB) und den entsprechenden Skalierungsfaktoren${\displaystyle m_R}$,${\displaystyle m_G}$ und${\displaystyle m_B}$ ergeben sich die korrigierten Ortsvektoren${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_R^{\prime }}$,${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_R^{\prime }}$ und${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_R^{\prime }}$ zu:

${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_R^{\prime }=m_R\cdot {\overrightarrow{X}}_R}$

${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_G^{\prime }=m_G\cdot {\overrightarrow{X}}_G}$

${\displaystyle {\overrightarrow{X}}_B^{\prime }=m_B\cdot {\overrightarrow{X}}_B}$

Hierbei gilt üblicherweise:

Siehe auchBildkoordinaten.

Nach der Transformation sind die Bildkanten nicht mehr deckungsgleich und werden daher üblicherweise auf die Begrenzung der kleinsten Teilfläche beschnitten.

Bei Aufnahmen mit Licht aus einem engen Wellenlängenbereich kann die chromatische Aberration vernachlässigt werden. Dies kann zum Beispiel mit geeigneten monochromatischen Leuchtmitteln, wie Leuchtdioden oder Lasern sowie durch die Verwendung von Interferenzfiltern realisiert werden.

Der Schärfentiefebereich, bei dem Objektpunkte in verschiedenen Objektweiten hinreichend scharf abgebildet werden, wird durch dieförderliche Blende realisiert, bei der in der optischen Abbildung alle geometrisch aus dem Objektraum abgebildeten Punkte einen festgelegten, maximalen Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z_{max}}$ nicht überschreiten.

Falls keine absoluten Vorgaben für den maximalen Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z_{max}}$ vorliegen, kann dieser unter der Verwendung der Anzahl der mindestens zu unterscheidenden Bildpunkte${\displaystyle N}$ auf dem Bildkreisdurchmesser${\displaystyle d}$ definiert werden:

${\displaystyle Z_{max}=\frac{d}{N}}$

Falls die optische Abbildung nicht digital oder maschinell weiterverarbeitet, sondern mit der Auflösung des menschlichen Auges betrachtet werden soll, kann die Anzahl der mindestens zu unterscheidenden Bildpunkte${\displaystyle N}$ auf der Bilddiagonale wie folgt abgeschätzt werden:

${\displaystyle 1000⪅N⪅1500}$

Die Schärfentiefe${\displaystyle \mathrm{\Delta }d}$ ist eine Funktion des akzeptablen Zerstreuungskreisdurchmessers${\displaystyle Z_{max}}$, der geometrisch scharf eingestellten Objektweite${\displaystyle a}$ sowie der Brennweite${\displaystyle f^{\prime }}$ und der Blendenzahl${\displaystyle k=\frac{f^{\prime }}{D}}$ der optischen Abbildung. Sie ergibt sich als Längenmaß aus der Differenz der Fernpunktentfernung${\displaystyle d_f}$ und der Nahpunktentfernung${\displaystyle d_n}$, die beide geometrisch als Zerstreuungskreis mit dem Durchmesser${\displaystyle Z_{max}}$ abgebildet werden:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }d(Z_{max},a,f^{\prime },k)=d_f(Z_{max},a,f^{\prime },k)-d_n(Z_{max},a,f^{\prime },k)}$

Alle Objektpunkte zwischen dem Fernpunkt und dem Nahpunkt werden geometrisch mit Zerstreuungskreisdurchmessern abgebildet, die kleiner sind als der maximalen Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z_{max}}$.

Zur Bestimmung von Nahpunkt und Fernpunkt kann die hyperfokale Entfernung eingeführt werden. Wird ein entozentrisches Objektiv auf die hyperfokale Entfernung eingestellt, werden alle Objekte zwischen der halben hyperfokalen Entfernung und unendlich hinreichend scharf abgebildet. Hierfür kann anhand der beiden ähnlichen Dreiecke die folgende Beziehung mit der Brennweite${\displaystyle f^{\prime }}$, der Objektweite${\displaystyle a}$, der Bildweite${\displaystyle a^{\prime }}$, der Blendenzahl${\displaystyle k}$ und dem in der Bildweite auftretenden Zerstreuungskreisdurchmesser${\displaystyle Z}$ aufgestellt werden:

${\displaystyle \frac{Z}{a^{\prime }-f^{\prime }}=\frac{D}{f^{\prime }}}$

Für die Bildweite${\displaystyle a^{\prime }}$ gilt nach Umformung sowie entsprechend derAbbildungsgleichung:

${\displaystyle a^{\prime }=\frac{Z\cdot f^{\prime }}{D}+f^{\prime }=k\cdot Z+f^{\prime }=\frac{1}{\frac{1}{f^{\prime }}-\frac{1}{a}}=\frac{f^{\prime }\cdot a}{a-f^{\prime }}}$