Givet engruppeG medbinær operator *, siges endelmængdeH igruppeteori at være enundergruppe afG, hvisH også danner en gruppe med operatoren *. Mere præcist erH en undergruppe afG, hvisrestriktionen af * påH er en gruppeoperator påH.
Enægte undergruppe af en gruppeG er en undergruppeH, der er en ægte delmængde afG (dvs.H ≠G.) Dentrivielle undergruppe af en gruppe er undergruppen {e}, der kun består af det neutrale element. HvisH er en undergruppe afG, kaldesG af og til enovergruppe afH.
De samme definitioner gælder mere generelt, nårG er en arbitrærsemigruppe, men denne artikel vil kun omhandle undergrupper af grupper. GruppenG betegnes undertiden ved det ordnede par (G,*) for at lægge vægt på operatoren *, nårG har flere algebraiske eller andre strukturer.
I det følgende benyttes den almindelige konvention med at droppe * og skrive produkteta*b somab.
LadG være denabelske gruppe med elementer
og gruppeoperatoraddition modulo otte. DensCayleytabel er
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Gruppen har to ikketrivielle undergrupper:J={0,4} ogH={0,2,4,6}, hvorJ også er en undergruppe afH. Cayleytabellen forH er kvadranten øverst til venstre i Cayley-tabellen forG. Gruppeng er cyklisk, og det samme er dens undergrupper. Det gælder generelt, at undergrupper af cykliske grupper er cykliske.
Uddybende artikel:SideklasseGivet en undergruppeH af en gruppeG og et elementa iG, defineres venstresideklassenaH afH vedaH = {ah |h ∈H}. Da multiplikation meda er invertibelt, er afbildningen φ :H →aH givet ved φ(h) =ah enbijektion. Yderligere gælder, at ethvert element iG er indeholdt i præcis en venstresideklasse afH; venstresideklasserne er ækvivalensklasserne hørende tilækvivalensrelationena1 ~a2 hvis og kun hvisa1−1a2 ∈H. Antallet af venstresideklasser afh kaldesindekset afH iG og betegnes [G :H].
Lagranges sætning siger, at der, for en endelig endelig gruppeG og en undergruppeH, gælder, at
hvor |G| og |H| betegnerordenen af henholdsvisG ogH. Specielt går ordenen af enhver undergruppe afG (og ordenen af ethvert element iG) op i ordenen afG.
Højresideklasser defineres analogt:Ha = {ha |h ∈H}. De er ligeledes ækvivalensklasserne for en passende ækvivalensrelation og antallet af dem er lig [G :H].
HvisaH =Ha for allea iG, sigesH at være ennormal undergruppe. Enhver undergruppe med indeks 2 er normal: Venstresideklasserne og højresideklasserne er ganske simpelt undergruppen og denskomplement.
