Jasjin spillede hele sin karriere iDynamo Moskva, hvortil han kom i 1949. Det var dog først fra 1953, han etablerede sig som klubbens førstemålmand, og i begyndelsen var han mere kendt som målmand for klubbensishockeyhold. Han nåede i alt 358 kampe for sin klub frem til 1970, og i 178 af disse lukkede han ikke mål ind.[1]
Jasjin vandt det sovjetiske mesterskab fem gange i løbet af sin karriere. Han fik også lige mange sølvmedaljer, samt én bronzemedalje. Tre gange var han med på at vinde den sovjetiske pokalturnering.[2] Han blev også pokalmester med Dynamo Moskva i ishockey i 1953, og opgav næsten fodbold til fordel for ishockey. Han tog imidlertid til sidst pladsen i Dynamo Moskva tilbage fra Aleksej "Tiger" Khomitj.
Jasjin debuterede påSovjetunionens fodboldlandshold i 1954 og blev hurtigt fast mand her. Hans første store turnering varOL 1956 i Melbourne, hvor fem af de kvalificerede hold trak deltagelsen, så blot elleve hold deltog. Sovjetunionen var favoritter, men havde overraskende besvær undervejs. I første runde besejrede deTyskland 2-1, hvorpå de i kvartfinalen blot spillede 0-0 modIndonesien. En omkamp (uden Jasjin) blev dog vundet 4-0, og i semifinalen var modstanderenBulgarien. Kampen endte igen 0-0, men denne gang fortsatte man i forlænget spilletid, hvor Bulgarien kom foran. Imidlertid kom Sovjetunionen tilbage og endte med at sejre 2-1, hvor det sidste mål blev scoret kort inden slutningen. I finalen mødte SovjetunionenJugoslavien, der var uheldig med ikke at få et straffespark samt med at få et mål annulleret for offside. I stedet vandt Sovjetunionen med Jasjin guld, mens Jugoslavien for tredje OL i træk måtte nøjes med sølv, og Bulgarien fik bronze.[3][4]
Han spillede også fireverdensmesterskaber forSovjetunionen. I1958,1962 og1966 som førstemålmand, og i1970 som tredjevalg og "rådgiver". Desuden var han med til at vinde det førsteEM i fodbold i 1960, hvor Sovjetunionen efter sejr overTjekkoslovakiet i semifinalen vandt finalen, igen over Jugoslavien; denne gang 2-1 efter forlænget spilletid.[4]
Jasjin nåede i alt 78 landskampe for Sovjetunionen frem til 1967.[5] Det kunne være blevet til flere, hvis ikke han i perioder var skadet.
