Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Spring til indhold

Legeme (algebra)

Redigér links

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

For alternative betydninger, seLegeme.(Se også artikler, som begynder med Legeme)

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Etlegeme er iabstrakt algebra enkommutativ ring hvor alle elementer undtagen 0 har enmultiplikativ invers. Det kan også beskrives gennem 6 bestemteaksiomer.

Ud fra disse 6 aksiomer kan man udlede alle de normale regneregler, såsom at man dividerer med enbrøk ved at gange med den omvendte eller (x + y)² = x² + 2xy + y²

I et legeme er der kun fastsat 2 regneoperatorer, som kaldesaddition ogmultiplikation. Alle andre kan defineres ud fra disse.

Alle legemer erringe, men ikke alle ringe er legemer. Forskellen på ringe og legemer er, at man kan dividere i et legeme, mens dette ikke nødvendigvis er tilfældet i en ring. Desuden skal multiplikation værekommutativt i legemer.

Eksempler på legemer er derationale tal, dereelle tal og dekomplekse tal.Heltallene er ikke et legeme, men kun en ring.

Aksiomerne

[redigér |rediger kildetekst]

Vi antager at vi har et legemeM.
M skal så opfylde følgende aksiomer:

Aksiom 1: Stabilitet

[redigér |rediger kildetekst]

M er stabil overfor addition og multiplikation.

Dette vil sige, at for to vilkårlige elementer iM er "summen" og "produktet" heraf også iM:

∀x,y ∈M: x + y ∈M

∀x,y ∈M: x · y ∈M

Aksiom 2: Kommutativitet

[redigér |rediger kildetekst]

Addition og multiplikation er kommutative operatorer.

Dette vil sige, at faktorernes eller leddenes rækkefølge er ligegyldig.

∀x,y ∈M: x + y = y + x

∀x,y ∈M: x · y = y · x

Aksiom 3: Associativitet

[redigér |rediger kildetekst]

Addition og multiplikation er associative operatorer.

Dette vil sige, at man kan definere en hvilken som helst sammenhæng mellem 3 eller flere tal bundet sammen afenten pluseller gange, uden at dette vil ændre resultatet.

∀x,y,z ∈M: (x + y) + z = x + (y + z)

∀x,y,z ∈M: (x · y) · z = x · (y · z)

Aksiom 4: Distributivitet

[redigér |rediger kildetekst]

Multiplikation er distributiv i forhold til addition.

Dette vil sige, at man kan "gange ind i parenteser" og vice versa.

∀x,y,z ∈M: x · (y + z) = (x · y) + (x · z)

Aksiom 5: Nulelement og ételement

[redigér |rediger kildetekst]

M indeholder et nulelementn, som er neutralt overfor addition, og et ételemente, som er neutralt overfor multiplikation. Disse skal være forskellige.

Vi siger dog ikke, at der kun må være et af hvert. Dette er implicit i aksiomet. Dette vil vi bevise senere.

∃n∈M: (∀x ∈M: x + n = x)

∃e∈M: (∀x ∈M: x · e = x)

, e ≠ n

Aksiom 6: Modsatte og reciprokke tal

[redigér |rediger kildetekst]

Ethvert element i M har et modsat element i M, og ethvert element i M, som ikke er et nulelement, har et reciprokt element i M.

∀x ∈M ∃y ∈M: x + y = n

∀x ∈M \ {n} ∃y ∈M: x · y = e

Udledninger

[redigér |rediger kildetekst]

Man kan blandt andet, som tidligere nævnt, udlede at der kun kan eksistere ét nulelement og ét ételement.

Lad n₁ være det ene nulelement, og n₂ være det andet. Vi kan så se, at disse to må være ens:

n₁ =
n₁ + n₂ =
n₂ + n₁ =
n₂

Dette gøres ved at bruge reglen om, at n er neutral overfor addition. Linje 3 gør brug af reglen om kommutativitet.Noget lignende kan gøres med ételementet.

Endvidere kan bl.a. bevise at (x + y)² = x² + 2xy + y² ved at sige

(x + y)² =
(x + y) · (x + y) =
(x · (x + y)) + (y · (x + y)) =
(x · x) + (x · y) + (y · x) + (y · y) =
xx + xy + yx + yy =
x² + xy + xy + y² =
x² + 2xy + y²

Der er ingenkildehenvisninger i denne artikel,hvilket er et problem. Begrundelsen kan findes pådiskussionssiden eller i artikelhistorikken. Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvisblive slettet(maj 2018) (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked)

Hentet fra "https://da.wikipedia.org/w/index.php?title=Legeme_(algebra)&oldid=12017899"

Kategori:

Abstrakt algebra

Skjulte kategorier:

[8]ページ先頭