I enJoule-ekspansion betragtes entermisk isoleret beholder med to lige store rum adskilt af en væg. I det ene rum er engas, mens det andet rum er tomt. Væggen fjernes nu, så gassen ekspanderer, indtil den udfylder hele beholderen. Det interessante er at forstå, hvad der sker med gassen, så Joule-ekspansionen bruges ofte somtankeeksperiment tilundervisning itermodynamik.

Da beholderen er isoleret, udveksles ingen varme${\displaystyle \mathrm{\Delta }Q}$, og denindre energi er derfor konstant:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }U=0}$

Den indre energi er afhængig afentropi${\displaystyle S}$ og volumen${\displaystyle V}$, som er den eneste anden variabel i detteeksperiment. Dvs. atdifferentialet er:

${\displaystyle \mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V}$

hvor${\displaystyle T}$ ertemperaturen, og${\displaystyle p}$ ertrykket. Da den indre energi er konstant, er differentialet af entropien:

${\displaystyle \mathrm{d}S=\frac{p}{T}\mathrm{d}V}$

På trods af at varmeudvekslingen er nul, er entropiændringen altså større end nul - jf.termodynamikkens 2. lov - da Joule-ekspansionen erirreversibel. Processen afgiver ikkeenergi, men etarbejde skal udføres på gassen for at få den tilbage i det første rum.^[1]

Ekspansionen er opkaldt efterJames Prescott Joule, som brugte den i1845 i sit studie af den mekaniske pendant til varme. Joule-ekspansionen har dog være kendt længe før af fxJohn Leslie i begyndelsen af1800-tallet, og den blev studeret afJoseph-Louis Gay-Lussac in1807, hvor han fik resultater, der stemte overens med Joules.^[2][3]

For enidealgas gælderidealgasligningen:

${\displaystyle pV=nRT}$

hvor${\displaystyle n}$ erstofmængden, og${\displaystyle R}$ ergaskonstanten. Da den indre energi i en idealgas kun afhænger af temperatur, gælder for tilstand 1 og tilstand 2 ligheden:

${\displaystyle p_{\text{f}}{V}_{\text{f}}=p_{\text{i}}{V}_{\text{i}}}$

Dvs. at trykket efter Joule-ekspansionen er:

${\displaystyle p_{\text{f}}=p_{\text{i}}\frac{V_{\text{i}}}{V_{\text{f}}}}$

Da volumen 2 er to gange volumen 1:

${\displaystyle p_{\text{f}}=\frac{p_{\text{i}}}{2}}$

Trykket halveres altså under en Joule-ekspansion. Vha. idealgasliningen kan tryk og temperatur også erstattes i udtrykket for entropi:

${\displaystyle \mathrm{d}S=\frac{nR}{V}\mathrm{d}V}$

Ved at integrere findes entropiændringen

${\displaystyle \mathrm{\Delta }S={\int }_{S_{\text{i}}}^{S_{\text{f}}}\mathrm{d}S=nR{\int }_{V_{\text{i}}}^{V_{\text{f}}}\frac{1}{V}\mathrm{d}V}$

hvilket giver:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }S=nR\ln \frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}}}$

og derfor:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }S=nR\ln 2}$

Ændringen i entropien er altså proportional med dennaturlige logaritme til 2. Da

${\displaystyle nR=N{k}_{\text{B}}}$

hvor${\displaystyle N}$ er antal partikler, og${\displaystyle k_{\text{B}}}$ erBoltzmanns konstant, er entropiændringen pr. gaspartikel blot:

Dette er interessant, da det tydeligt viser relationen til denstatistiske forståelse af entropi. Hvor partiklen før kunne være i halvdelen af beholder, kan den nu være i begge halvdele, og antallet af muligemikrotilstande${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ er dermed fordoblet. Jf.Boltzmanns entropiformel må entropiændringen være:

hvilket er præcis det samme resultat. Ved at gange med antallet af partikler fås den forrige formel for hele gassen. Joule-ekspansionen er altså et eksempel på, at termodynamikken og den statistiske mekanik kommer med de samme makroskopiske forudsigelser.^[1]

• Termodynamik
• Statistisk mekanik

• CS1: Kilder på engelsk (en)