Gradient er et matematisk begreb, der betegner envektor ; dvs. noget der har både størrelse og retning.[ 1] partielle afledte .[ 2] differentialkvotienter med en hensyn til hver sin funktionsvariable. Man kan kun beregne en gradient for enflervariabel funktion , altså enfunktion af flere variable.[ 3]
Det nedenstående gælder for gradienten for en funktion af de to variable,x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
Udgangspunktet er en funktion af de to variablex {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)}
For at beregne funktionens gradient beregner man først de to partielle afledte:[ 4]
∂ f ∂ x {\displaystyle {\partial f \over \partial x}} og
∂ f ∂ y {\displaystyle {\partial f \over \partial y}} For at skabe en vektor multiplicerer man hver afledte med den tilsvarendeenhedsvektor .[ 5] x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} i ^ {\displaystyle {\hat {i}}} j ^ {\displaystyle {\hat {j}}} ∇ f ( x , y ) {\displaystyle \nabla f(x,y)}
grad f ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^ {\displaystyle {\textrm {grad}}f(x,y)=\nabla f(x,y)={\partial f \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial f \over \partial y}{\hat {j}}} ∇ {\displaystyle \nabla } nabla .[ 6]
Man siger også, at man anvendervektordifferentialoperatoren nabla på funktionen. Denne operator er givet ved:
∇ f ( x , y ) = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ {\displaystyle \nabla f(x,y)={\partial \over \partial x}{\hat {i}}+{\partial \over \partial y}{\hat {j}}}
grad f ( x , y ) = ∇ f ( x , y ) = ( ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ) {\displaystyle {\textrm {grad}}f(x,y)=\nabla f(x,y)={\binom {\partial f \over \partial x}{\partial f \over \partial y}}}
koordinatakser . Så gradienten er en kombination af disse hældninger.
Gradienten kan tolkes sådan:
For en funktion af to variablef ( x , y ) = z {\displaystyle f(x,y)=z} f {\displaystyle f} [ 3]
Af ovenstående definition aff {\displaystyle f} ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
f ( x , y ) = z {\displaystyle f(x,y)=z} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } f ( x 0 , y 0 ) = z 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=z_{0}}
Man viser, at gradienten er nul-vektoren
grad f ( x 0 , y 0 ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) = 0 → = ( 0 0 ) {\displaystyle {\textrm {grad}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})={\vec {0}}={\binom {0}{0}}}
Et punkt( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} [ 7] [ 8]
Art af stationære punkter
Et stationært punkt kan testes.[ 9]
et (lokalt) maksimum
et (lokalt) minimum
et saddelpunkt
eller ingen af de tre nævnte typer.[ 10]
[ 11]
r {\displaystyle r} x {\displaystyle x}
s {\displaystyle s} [ 12]
t {\displaystyle t} y {\displaystyle y}
q = r ⋅ t − s 2 {\displaystyle q=r\cdot t-s^{2}}
[ 13]
for bådeq > 0 {\displaystyle q>0} r {\displaystyle r} > 0 {\displaystyle >0} f {\displaystyle f} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
forq {\displaystyle q} > 0 {\displaystyle >0} r {\displaystyle r} < 0 {\displaystyle <0} f {\displaystyle f} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
forq {\displaystyle q} < 0 {\displaystyle <0} f {\displaystyle f} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
forq {\displaystyle q} = 0 {\displaystyle =0} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} [ 10]
^ Matematiske formelsamlinger til stx - Matematik - STX | Emu.dk ^ https://imada.sdu.dk/~jessica/MM501-s41.pdf ^a b https://science-gym.dk/mat/20002010/funk2var.pdf ^ gradient | lex.dk – Den Store Danske ^ http://web.math.ku.dk/noter/filer/matintro-kro-12.pdf ^ nabla | lex.dk – Den Store Danske ^ Stationære punkter (Matematik A, Funktioner af to variable) – Webmatematik ^ "Funktioner af to variable" (PDF) . Arkiveret fraoriginalen (PDF) 17. august 2022. Hentet 10. august 2022 .^ stationært punkt | lex.dk – Den Store Danske ^a b https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap5_QR18_Arten_af_stationaere_punkter_Bevis_for_saetning_11.pdf ^ https://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/2002/2002_22.pdf ^ "Arkiveret kopi" (PDF) . Arkiveret fraoriginalen (PDF) 30. september 2022. Hentet 10. august 2022 .^ http://www.hax.dk/pdf/Stationaere.pdf
Spire
