Esboniad gweledol: y symbol saith (7) a saith llun
Symbolmathemategol o wrthrych neu wrthrychau ydyrhif, a ddefnyddir igyfri amesur. Fe'i defnyddir hefyd fel label e.e. rhifau ffôn neu i archebu nwyddau drwy rif cyfresol (Saesneg:serial number). Dros y blynyddoedd mae'r hyn rydym yn ei dderbyn o dan y teitl "rhif" hefyd yn cynnwys 0 (sef sero) a rhifau negatif. Y rhan o fathemateg lle astudir rhifedd gan fwyaf ydyalgebra.
Maerhif yn wrthrych mathemategol a ddefnyddir i gyfrif,mesur a labelu. Yr enghreifftiau gwreiddiol yw'rrhifau naturiol1,2,3,4, ac ati.[1] Gellir cynrychioli rhifau mewn iaith gyda geiriau "un, dau, tri..." . Yn fwy cyffredinol, gellir cynrychioli rhifau unigol gansymbolau, a elwir mewnmathemateg ynrhifolion; er enghraifft, mae "5" yn rhifolyn sy'n cynrychioli'rrhif pump.Gan mai dim ond nifer gymharol fach o symbolau y gellir eu cofio, trefnir rhifolion sylfaenol yn aml mewn system rifol, sy'n ffordd drefnus i gynrychioli unrhyw rif. Y system rifol fwyaf cyffredin yw'r system rifolHindwaidd-Arabeg, sy'n defnyddio cyfuniad o ddeg symbol rhifol sylfaenol, o'r enwdigidau.[2][3] Yn ychwanegol at eu defnyddio wrth gyfrif a mesur, defnyddir rhifolion yn aml ar gyfer labeli (fel gydarhifau ffôn), ar gyfer trefnu (fel gyda rhifau cyfresol), ac ar gyfer codau (fel gydagISBNs). Mewn defnydd cyffredin, yr un yw rhifolyn a rhif.Mewnmathemateg, mae'r syniad o rif wedi'i ymestyn dros y canrifoedd i gynnwys0,[4]rhifau negyddol,[5]rhifaucymarebol fel hanner,rhifau real felail isradd 2 apei / π,[6] arhifaucymhlyg[7] sy'n ymestyn y rhifau real gydabôn −1 (a'i gyfuniadau â rhifau real trwy adio neu dynnu ei luosrifau).[5]Gwneir cyfrifiadau â rhifau gydagweithrediadau rhifyddol, a'r mwyaf cyfarwydd ywadio,tynnu,lluosi,rhannu acesbonydd. Gelwir eu hastudiaeth neu eu defnydd ynrhifyddeg, term a all hefyd gyfeirio attheori rhif, sef yr astudiaeth o briodweddau rhifau.Heblaw am eu defnydd ymarferol, mae gan rifau arwyddocâd diwylliannol ledled y byd.[8][9] Er enghraifft, yng nghymdeithas y Gorllewin, mae'rrhif 13 yn aml yn cael ei ystyried yn anlwcus, a gall "miliwn" ddynodi "llawer" yn hytrach nag union faint.[8] Er ei fod bellach yn cael ei ystyriedyn ffugwyddoniaeth, roedd cred mewn arwyddocâd cyfriniol rhifau, a elwir yn rhifoleg, yn treiddio i feddwl hynafol a chanoloesol.[10] Dylanwadodd rhifoleg yn fawr ar ddatblygiad mathemategGwlad Groeg, gan ysgogi ymchwilio i lawer o broblemau mewn theori rhif sy'n dal i fod o ddiddordeb heddiw.[10]Yn ystod y 19g, dechreuodd mathemategwyr ddatblygu llawer o wahanolabstractions sy'n rhannu priodweddau penodol rhifau, ac efallai yn ehangu'r cysyniad. Ymhlith y cyntaf roedd y rhifauhypercomplex, sy'n cynnwys estyniadau neu addasiadau amrywiol i'r systemrhifaucymhlyg. Mewn mathemateg fodern, mae systemau rhif (setiau) yn cael eu hystyried yn enghreifftiau arbennig o bwysig o gategorïau mwy cyffredinol felmodrwyau a maesydd, ac mae cymhwyso'r term "rhif" yn fater o gonfensiwn, heb arwyddocâd sylfaenol.[11]
Arferai'rCeltiaid gredu fod i'r rhif 3 hud a lledrith iddo ac y deuai a lwc dda i'r person. "Un frân ddu ddaw ag anlwc eto!" meddai'r hen gân werin. Ceir llawer o ganeuon "cyfri" yn y Gymraeg e.e. "Cyfri'r Geifr".
Sgript a ddefnyddid o'r4g hyd y10g, i ysgrifennuGwyddeleg yn bennaf, ywogam, ac a welir heddiw ar gerrig ledledIwerddon a rhannau o Gymru. Mae'r marciau a naddwyd ar y cerrig hyn, bob amser, mewn grwpiau o rhwng 1 a 5. Hawlia Macalister, Rudolf Thurneysen, Joseph Vendryes ac eraill bod ffurf y marciau (neu lythrennau) hyn yn tarddu o'rrhicbrennau a oedd yn bodoli yn y cyfnod hwnnw. Os yw hyn yn wir, yna mae'r system Ogam wedi'i ysbrydoli gan system gyfrif a oedd eisoes yn seiliedig ar y rhifau pump ac ugain, ac a addaswyd wedyn i ffurf yr wyddor gan y codwyr cyntaf. Pum bys sydd ar bob llaw, ac felly arferid sillafu llythrennau gair gyda'r bysedd.
Ceir dau ddull o gyfri yn Gymraeg. Mae'r hen ddull, sef y dull clasurol, yn dal i gael ei ddefnyddio er nad cymaint ag yn y gorffennol, yn enwedig y rhifau uwch (dros 20) fel e.e. saith a phedwar ugain (87). Mae'r dull modern, fodd bynnag, yn haws ar gyfer mathemateg: wyth-deg-saith = 87 gan ei fod yn dilyn yr un drefn resymegol: miloedd, cannoedd, degau ac unedau, chwith i'r dde.Eto, defnyddir ambell enghraifft o'r dull clasurol ledled Cymru ym mhob maes e.e. deunaw = 18 (yn ogystal ag un-deg-wyth) a chlywir "saith bunt ar hugain" ac ati hefyd. Bellach (2010) mae'r dull modern "Emyn cant-wyth-deg-saith" wedi goddiweddu'r "Emyn cant a saith a phedwar ugain" traddodiadol ac ni ddysgir yr hen drefn o gyfrifo mewn ysgolion, eithr y dull modern gyda rhai termau o'r dull traddodiadol megis "deunaw" yn parhau. Mae'n arferol hefyd i ddefnyddio'r dull clasurol ar gyfer y canrifoedd, e.e. yr '20g' (20g), yr '16g' (16g).
Dylid gwahaniaethu rhwng niferoedd a rhifolion, sef y symbolau a ddefnyddir i gynrychioli rhifau. Dyfeisiodd yr Eifftiaid y system o rifolion gyntaf, ac yna dilynodd y Groegiaid gan fapio eu rhifau i ddau wyddor: ïonig a Dorig.[12] Arhosodd rhifolion Rhufeinig, system a ddefnyddiodd gyfuniadau o lythrennau o'r wyddor Rufeinig, y mwyaf poblogaidd drwy Ewrop nes i'r system rhifolionHindwaidd-Arabeg gwell ledaenu tua diwedd y14g, a hi yw'r system fwyaf cyffredin o hyd ar gyfer ei chynrychioli rhifau yn y byd heddiw. Yr allwedd i effeithiolrwydd y system oedd y symbol ar gyfersero, a ddatblygwyd gan fathemategwyr hynafol India tua 500 OC.[13]
Darganfuwyd esgyrn ac arteffactau eraill gyda marciau (rhiciau) wedi'u torri ynddynt y mae llawer yn credu sy'n farciau cyfrif.[14] Efallai bod y marciau cyfrif hyn wedi'u defnyddio ar gyfer cyfri'r amser a aeth heibio: nifer y dyddiau, cylchoedd lleuad neu gadw cofnodion o niferoedd, megis anifeiliaid.Nid oes gan system uchod (y rhicbren) unrhyw gysyniad o werth lle (fel yn ynodiant degol modern), sy'n cyfyngu ar ei gynrychiolaeth o niferoedd mawr. Serch hynny, ystyrir mai systemau yma yw'r math cyntaf o system rifol haniaethol.Y system gyntaf y gwyddys amdani gyda gwerth lle oedd systembôn-60 (tua 3400 CC) a'r sylfaen gynharaf y gwyddys amdani. Mae systembôn-10 system yn dyddio i 3100 CC ynyr Aifft.[15]
Dechreuoddpobl Olmec deMecsico ddefnyddio symbol ar gyfer sero,glyff ar siap cregyn, o bosib erbyn y4g ond yn sicr erbyn 40 CC, a ddaeth yn rhan annatod o rifolionMaya a chalendr Maya. Roedd rhifau yn defnyddiobôn-4 a bôn-5 wedi'i ysgrifennu felbôn-20.[16]Mae'r defnydd cyntaf hysbys osero yn dyddio i OC 628, ac ymddangosodd yn yBrāhmasphuṭasiddhdhnnta, prif waith y mathemategydd IndiaiddBrahmagupta. Triniodd 0 fel nifer a thrafod gweithrediadau sy'n ymwneud ag ef, gan gynnwys rhannu. Erbyn hyn (y7g) roedd y cysyniad yn amlwg wedi cyrraedd Cambodia fel rhifolion Khmer, ac mae dogfennaeth yn dangos y syniad yn ddiweddarach yn ymledu i Tsieina a'rbyd Islamaidd.
Y rhif 605 mewn rhifolion Khmer, o arysgrif o 683 OC. Defnydd cynnar o sero fel ffigur degol.
Brāhmasphuṭasiddhānta gan Brahmagupta, felly, yw'r llyfr cyntaf sy'n crybwyll sero fel rhif, ac felly ystyrir mai Brahmagupta yw'r cyntaf i ffurfio'r cysyniad o sero. Rhoddodd reolau o ddefnyddio sero gyda rhifau negyddol a phositif, fel "sero a rhif positif yw rhif positif, a rhif negyddol ynghyd â sero yw'r rhif negyddol."
Cydnabuwyd y cysyniad haniaethol o rifau negyddol mor gynnar â 100-50 CC ynTsieina. Mae'rNaw Pennod ar y Gelf Fathemategol yn cynnwys dulliau ar gyfer dod o hyd i arwynebedd rhifau; defnyddiwyd gwiail coch i ddynodicyfernodau positif, du ar gyfer negyddol.[17] Roedd y cyfeiriad cyntaf mewn gwaith Gorllewinol yn y3g OC yng Ngwlad Groeg. Cyfeiriodd Diophantus at yr hafaliad sy'n cyfateb i4x + 20 = 0 (mae'r hydoddiant yn negyddol) ynArithmetica, gan fynnu bod yr hafaliad wedi rhoi canlyniad hurt.Yn ystod y600au, roedd niferoedd negyddol yn cael eu defnyddio yn India i gynrychioli dyledion, yn union fel y gwneir heddiw. Trafodwyd hyn yn fwy penodol gan y mathemategydd IndiaiddBrahmagupta, ynBrāhmasphuṭasiddhānta yn 628, a ddefnyddiodd rifau negyddol i gynhyrchu'rfformiwla gwadratig ffurf gyffredinol sy'n parhau i gael ei defnyddio heddiw. Fodd bynnag, yn y12g yn India, mae Bhaskara yn rhoiail isradd negyddol ar gyferhafaliadau cwadratig ond dywed nad yw'r gwerth negyddol "yn yr achos hwn i'w gymryd, oherwydd mae'n annigonol; nid yw pobl yn cymeradwyo bonion negyddol".Gwrthwynebodd mathemategwyr Ewropeaidd, ar y cyfan, y cysyniad o rifau negyddol tan yr17g, er bodFibonacci wedi caniatáu datrysiadau negyddol mewn problemau ariannol lle y gellid eu dehongli fel dyledion (pennod 13 oLiber Abaci, 1202) ac yn ddiweddarach fel colledion (ynFlos). RoeddRené Descartes yn eu galw’n fonion ffug o fewn polynomialau algebraidd ond eto fe ddaeth o hyd i ffordd i gyfnewid gwirisradd ac israddau ffug hefyd. Ar yr un pryd, roedd y Tsieineaid yn nodi rhifau negyddol trwy dynnu strôc groeslinol trwy'r digid cywir-mwyaf nad yw'n sero y rhif positif cyfatebol.[18] Y defnydd cyntaf o rifau negyddol drwy Ewrop oedd hwnnw gan Nicolas Chuquet yn ystod y 15g. Fe'u defnyddiodd felesbonwyr, ond cyfeiriodd yntau atynt fel "rhifau hurt".Mor ddiweddar â'r 18g, roedd yn arfer cyffredin yn Lloegr i anwybyddu unrhyw ganlyniadau negyddol a ddychwelwyd gan hafaliadau gan dybio eu bod yn ddiystyr.
Unrhyw rif y gellir ei fynegi felcyniferydd (quotient) neu'r ffracsiwnp/q o ddaucyfanrif,rhifiadur (numerator)p acenwadur (denominator) di-seroq yw rhifau rhesymegol. Gan fodq yn gyfwerth ag 1, mae pob cyfanrif yn rhif cymarebol. Mae'r set o bob rhif cymarebol, y cyfeirir ato yn aml fel"y cymarebau" neu "y maes cymarebol" fel arfer yn cael ei ddynodi ganQ mewn ffont fras (neu); dynodwyd hyn yn 1895 ganGiuseppe Peano yn dalfyriad neu symbol o'r gairEidalegQuoziente, am 'gyniferydd'.[19]Mae ehangu degol rhif cymarebol bob amser yn dod i ben ar ôl nifer gyfyngedig oddigidau neu yn dechrau ailadrodd yr un dilyniant y digidol yn ddi-dor. At hynny, mae unrhyw ddegolyn sy'n ailadrodd neu ar y diwedd yn cynrychioli rhif cymarebol. Mae'r datganiadau hyn yn dal yn wir nid yn unig ar gyfer sylfaen 10, ond hefyd ar gyfer unrhyw sylfaen o gyfanrifau e.e. system ddeuaidd, a'r system hecsadegol).[19][20]Maerhif real nad yw'n gymarebol yn cael ei alwrhif anghymarebol ac maent yn cynnwys√2,π, e, a φ. Felly'r gwrthwyneb i rif cymarebol yw rhif anghymarebol, ac ni ellir eu mynegi felffracsiwn. Mae ehangu degol rhif anymarferol yn parhau heb ailadrodd.
Mae'r rhifau anghymarebol (Irrational number) yn cynnwys yr hollrifau real nad ydynt ynrifau cymarebol. Rhif anghymarebol, felly, yw gwrthwyneb rhif cymarebol. Rhif cymarebol yw'r rhifau a grëwyd o gymarebau (neu ffracsiynau) o gyfanrifau (integers). Pan fo'r gymhareb o hyd segment dwy linell ynrhif anghymarebol, disgrifir segmentau'r linell fel rhywbeth anghymesur, gan olygu nad oes dim yn gyffredin rhyngddynt o ran 'mesur'; nid oes hyd ("y mesur") y gellid ei ddefnyddio i fynegi hyd y ddau segment a roddwyd fel lluosrifau cyfanrif (integer multiples) ohono'i hun.Ymhlith y rhifau anghymarebol mae:
pob ail isradd o rifau naturiol, ar wahân i sgwariau perffaith.[21][22][23]
Gellir dangos nad yw rhifau anghymarebol, pan fynegir eu bod mewn system rifol e.e. felrhif degol, neu fathau naturiol eraill, yn dod i ben, nac yn ailadrodd, hy, ddim yn cynnwys dilyniant o ddigidau. Er enghraifft, mae cynrychiolaeth degol y rhifπ yn dechrau gyda 3.14159, ond ni all unrhyw nifer meidraidd o ddigidiau gynrychioliπ yn union, ac nid yw'n ailadrodd.[24] Mae'r cysyniad cynharaf hysbys oanfeidredd mathemategol yn ymddangos yn yrYajur Veda, sgript hynafol Indiaidd, sy'n nodi, "Os ydych chi'n tynnu rhan o anfeidredd neu'n ychwanegu rhan at anfeidredd, yr hyn sy'n weddill yw anfeidredd." Roedd anfeidredd yn bwnc poblogaidd o astudiaeth athronyddol ymhlithmathemategwyr Jain c.400 CC. Roeddent yn gwahaniaethu rhwng pum math o anfeidredd: anfeidrol i un a dau gyfeiriad, yn anfeidrol o ran ardal, yn anfeidrol ym mhobman, ac yn anfeidrol yn barhaus. Defnyddiwyd y symbol yn aml i gynrychioli maint anfeidrol.Mae anfeidredd yn gysyniad sy'n cyfleu rhif sy'n rhy fawr i fedru ei gyfri. Ysgrifennir yr anfeidredd gyda'r symbol. Fe'i defnyddir yn aml o fewncalcwlws atheori setiau, ac fe'i defnyddir hefyd mewnffiseg a gwyddoniaethau eraill. Mae 'setiau anfeidraidd' yn rhan o'r maes hwn. Yr hyn sy'n groes i anfeidredd o fewn mathemateg yw 'meidraidd' e.e.rhifau naturiol arhifau real.Ffurfiodd Georg Cantor lawer o gysyniadau yn ymwneud ag anfeidredd a setiau anfeidraidd yn ystod diwedd y19g a dechrau'r20g. Yn y theori a ddatblygodd, mae setiau anfedraidd o wahanol feintiau (o'r enw prifoledd neucardinalities).[25]DiffinioddAristotle y syniad Gorllewinol traddodiadol o anfeidredd mathemategol. Roedd yn gwahaniaethu rhwng anfeidredd gwirioneddol ac anfeidredd posibl - y consensws cyffredinol oedd mai dim ond yr olaf oedd â gwir werth.Trafododd Dau Wyddoniaeth NewyddGalileo Galilei y syniad o ohebiaeth un i un rhwng setiau anfeidrol. Ond gwnaed y cynnydd mawr nesaf yn y theori ganGeorg Cantor ym 1895 pan gyhoeddodd lyfr am eiddamcaniaeth setiau newydd, gan gyflwyno, ymhlith pethau eraill, rifau trawsffiniol a llunio'r rhagdybiaeth continwwm.
Y cyfeiriad cyntaf at ail isradd rhifau negyddol yng ngwaith y mathemategydd a'r dyfeisiwr Heron o Alexandria yn ganrif gyntaf, pan ystyriodd gyfaint ypyramid. Daethant yn fwy amlwg pan yn yr 16eg Darganfuwyd fformwlâu caeedig y ganrif ar gyfer gwreiddiau polynomialau'r drydedd a'r bedwaredd radd gan fathemategwyr Eidalaidd fel Niccolò Fontana Tartaglia a Gerolamo Cardano . Sylweddolwyd yn fuan fod y fformwlâu hyn, hyd yn oed os oedd gan un ddiddordeb mewn datrysiadau go iawn yn unig, weithiau'n gofyn am drin gwreiddiau sgwâr o rifau negyddol.Roedd hyn yn anodd ei dderbyn gan nad oeddent hyd yn oed yn ystyried bod niferoedd negyddol yn bosib, ar y pryd. Panfathodd René Descartes y term "dychmygol" ar gyfer y meintiau hyn yn 1637, fe'i bwriadodd fel term dirmygus. (Gweler yr erthygl ar yrhif dychmygol am drafodaeth ar "realiti" rhifau cymhleth.) Ffynhonnell arall o ddryswch oedd bod yr hafaliad
a oedd yn ymddangos yn anghyson â:
sy'n ddilys ar gyfer rhifau real positifa ab, ac a ddefnyddiwyd hefyd mewn cyfrifiadau rhif cymhlyg gydag una,b positif a'r llall yn negydd. Y defnydd anghywir o'r unfathiant (identity) hwn, a'r unfathiant gysylltiedig
yn yr achos pan fydda ab yn negatif, ac roedd hyn yn ddryswch hyd yn oed iEuler! Yn y pen draw, arweiniodd y dryswch hwn at y confensiwn o ddefnyddio'r symbol arbennigi yn lle i warchod rhag y camgymeriad hwn.Yn y 18g cafwyd gwaith pellach gan Abraham de Moivre aLeonhard Euler.Mae fformiwla De Moivre (1730) yn nodi:
Ni dderbyniwyd bodolaeth rhifau cymhlyg yn llwyr nes i Caspar Wessel ddisgrifio'r dehongliad geometregol ym 1799. AilddarganfyddoddCarl Friedrich Gauss y cysyniad, a'i boblogeiddio sawl blwyddyn yn ddiweddarach, ac o ganlyniad cafodd theori niferoedd cymhlyg ei ehangu'n sylweddol. Fodd bynnag, roedd y syniad o gynrychiolaeth graffig rhifau cymhlyg wedi ymddangos mor gynnar â 1685, yntractatus De algebra Wallis.Hefyd ym 1799, darparodd Gauss y prawf cyntaf a dderbynniwyd, yn gyffredinol otheorem sylfaenol algebra, gan ddangos bod gan bob polynomial dros y niferoedd cymhlyg set lawn o atebion yn y deyrnas honno. Mae derbyniad cyffredinol theori rhifau cymhlyg i'w briodoli i waith Augustin Louis Cauchy a Niels Henrik Abel, yn enwedig yr olaf, a oedd y cyntaf i ddefnyddio rhifau cymhlyg yn eofn, gyda llwyddiant. AstudioddGauss rifau cymhlyg y ffurfa +bi, llemaea ab yn integral, neu'n rhesymol (aci yw un o ddau wreiddynx2 + 1 = 0). Astudiodd ei fyfyriwr, Gotthold Eisenstein, y matha +bω, lle maeω yn wreiddyn cymhlyg ox3 − 1 = 0. Mae dosbarthiadau eraill o'r fath (a elwir yn feysydd seicotomig) o rifau cymhlyg yn deillio oroots of unityxk − 1 = 0 ar gyfer gwerthoedd uwch ok. Mae'r cyffredinoli hwn yn bennaf oherwydd Ernst Kummer, a ddyfeisiodd rifau delfrydol hefyd, ac fynegwyd fel endidau geometregol gan Felix Klein ym 1893.
Astudiwydrhifau cysefin trwy gydol y hanes. Neilltuodd Euclid un llyfr o'rElfennau i theori rhifau cysefin; ynddo profoddanfeidredd y rhifau cysefin a theorem sylfaenol rhifyddeg, a chyflwynodd yralgorithm Ewclidaidd ar gyfer dod o hyd i'rrhannwr cyffredin mwyaf o ddau rif.Yn 240 CC, defnyddioddEratosthenes 'Rhidyll Eratosthenes' i ynysu rhifau cysefin yn gyflym. Ond mae'r rhan fwyaf o ddatblygiad pellach o theori rhifau cysefin yn Ewrop yn dyddio i'rDadeni a chyfnodau diweddarach. Ym 1796, creodd Adrien-Marie Legendre ytheorem rhif cysefin, gan ddisgrifio dosbarthiad asymptotig rhifau cysefin. Mae canlyniadau eraill sy'n ymwneud â dosbarthiad rhifau cysefin yn cynnwys prawf Euler bod swm cilyddol y cysefin yn dargyfeirio, a rhagdybiaeth Goldbach, sy'n honni bod unrhyw eilrif digon mawr yn gyfanswm o ddau rif cysefin. Rhagdybiaeth arall eto sy'n ymwneud â dosbarthiad rhifau cysefin ywrhagdybiaeth Riemann, a luniwyd ganBernhard Riemann ym 1859. Profwyd y theorem rhif cysefin o'r diwedd gan Jacques Hadamard a Charles de la Vallée-Poussin ym 1896. Mae dyfaliadau Goldbach a Riemann yn parhau i fod heb eu profi.
Gellir dosbarthu rhifau ynsetiau, a elwir yn systemau rhif, fel yrhifau naturiol a'rrhifau real. Mae'r prif gategorïau rhifau fel a ganlyn:Yn gyffredinol nid oes unrhyw broblem wrth nodi pob system rif gydag is-set gywir o'r un nesaf (trwy gam-drin nodiant), oherwydd mae pob un o'r systemau rhif hyn yn ganonaiddisomorffig i is-set gywir o'r un nesaf. Mae'r hierarchaeth sy'n deillio o hyn yn caniatáu, er enghraifft, siarad, yn ffurfiol gywir, am rifau real sy'n rhifau rhesymegol, ac fe'i mynegir yn symbolaidd trwy ysgrifennu
Y rhifau mwyaf cyfarwydd yw'r rhifaunaturiol (a elwir weithiau'n rhifau cyfan neu'n rhifau cyfrif): 1, 2, 3, 4, ac ati. Yn draddodiadol, cychwynnodd dilyniant y rhifau naturiol 1 (ni ystyriwyd 0 hyd yn oed yn rhif gan yrHen Roegiaid.) Fodd bynnag, yn y19g, dechreuodddamcaniaethwyr set a mathemategwyr eraill gynnwys 0.[26] Heddiw, mae gwahanol fathemategwyr yn defnyddio'r term i ddisgrifio'r ddwy set, gan gynnwys 0 ai peidio. Ysymbol mathemategol ar gyfer y set o bob rhif naturiol ywN, hefyd wedi'i ysgrifennu, ac weithiau neu pan fydd angen nodi a ddylai'r set ddechrau gyda 0 neu 1, yn y drefn honno.Yn ysystem degol, a ddefnyddir bron yn drwy'r byd, heddiw ar gyfer gweithrediadau mathemategol, ysgrifennir y symbolau ar gyfer rhifau naturiol gan ddefnyddio degdigid: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, a 9. Yradix neu'r bôn yw nifer y digidau rhifiadol unigryw, gan gynnwys sero, y mae system rifol yn eu defnyddio i gynrychioli rhifau (ar gyfer y system degol, y radix yw 10). Yn y systembôn 10, mae gan y digid mwyaf cywir o rif naturiol werth lle o 1, ac mae gan bob digid arall werth lle ddeg gwaith gwerth lle y digid ar y dde.Mewntheori set, sy'n gallu gweithredu fel sylfaen axiomatig ar gyfer mathemateg fodern,[27] gellir cynrychioli rhifau naturiol gan ddosbarthiadau o setiau cyfatebol. Er enghraifft, gellir cynrychioli'r rhif 3 fel dosbarth o'r holl setiau sydd â thair elfen yn union. Fel arall, yn Peano Rhifyddeg, cynrychiolir y rhif 3 fel sss0, lle s yw'r swyddogaeth "olynydd" (h.y., 3 yw trydydd olynydd 0).
Diffinnirnegydd cyfanrif positif fel rhif sy'n cynhyrchu 0 pan ychwanegir ef at y cyfanrif positif cyfatebol. Mae rhifau negyddol fel arfer yn cael eu hysgrifennu gydag arwydd negyddol (arwydd minws). Er enghraifft, mae negydd 7 yn cael ei ysgrifennu fel −7, a7 + (−7) = 0. Pangyfunir y set o rifau negyddol â'r set o rifau naturiol (gan gynnwys 0), diffinnir y canlyniad fel y set ogyfanrifau,Z. Yma, mae'r llythyren Z yn dod o'r Almaeneg Zahl, sef 'rhif'. Mae'r set o gyfanrifau'n ffurfiocylch gyda'r gweithrediadau: adio a lluosi.[28]Mewnmathemateg, maecyfanrifau yn rhifau cyfan (nid ffracsiynau) o set orifau naturiol a rhifau negatif:
... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Mae 21, 4, 0, a −2048 felly, yn gyfanrifau, ond nid felly 9.75,51/2, na √2. Dynodir cyfanrifau, fel arfer, gan Z ("Z") trwm neu (Unicode U+2124 ℤ) sy'n tarddu o'r gairAlmaenegZahlen ([ˈtsaːlən], "rhif").[29][30]Mewn geiriau eraill, maeZ yn is-set o bobrhif cymarebolQ, sydd yn ei dro'n is-set o'rrhifau realR. Fel y rhifau naturiol, mae'r cyfanrifauZ yn anfeidraidd.
Rhifau cymarebol yw unrhyw rif y gellir ei fynegi felcyniferydd (quotient) neu'r ffracsiwnp/q o ddaucyfanrif,rhifiadur (numerator)p acenwadur (denominator) di-seroq. Gan fodq yn gyfwerth ag 1, mae pob cyfanrif yn rhif cymarebol. Mae'r set o bob rhif cymarebol, y cyfeirir ato yn aml fel "y cymarebau" neu "y maes cymarebol" fel arfer yn cael ei ddynodi ganQ mewn ffont fras (neu); dynodwyd hyn yn 1895 ganGiuseppe Peano yn dalfyriad neu symbol o'r gairEidalegQuoziente, am 'gyniferydd'.[19]Mae ehangu degol rhif cymarebol bob amser yn dod i ben ar ôl nifer gyfyngedig oddigidau neu yn dechrau ailadrodd yr un dilyniant y digidol yn ddi-dor. At hynny, mae unrhyw ddegolyn sy'n ailadrodd neu ar y diwedd yn cynrychioli rhif cymarebol. Mae'r datganiadau hyn yn dal yn wir nid yn unig ar gyfer sylfaen 10, ond hefyd ar gyfer unrhyw sylfaen o gyfanrifau e.e. system ddeuaidd, a'r system hecsadegol).[19][20]
Mae rhif real[31] yn werth di-dor (neu ddiddiwedd) o faint, a all gynrychioli pellter ar hyd llinell. Cyflwynwyd yr ansoddair 'real' yn y cyd-destun hwn yn y17g ganRené Descartes, a oedd yn gwahaniaethu rhwng gwreiddiau real a dychmygol polynomials. Mae'r rhifau real yn cynnwys yr hollrifau rhesymegol, megis y cyfanrif -5 a'r ffracsiwn 4/3, a'r hollrifau afresymol, megis√2 (1.41421356 ...,ail isradd 2, rhif algebraidd afresymol). Mae'r rhifau afresymol yn cynnwys yrhifau trosgynnol, felπ (3.14159265 ...). Yn ogystal â mesur pellter, gellir defnyddio rhifau real i fesur meintiau megisamser,màs,egni,cyflymder, a llawer mwy.Gellir ystyried y rhifau real fel pwyntiau ar linell diddiwedd hir o'r enw llinell rif neu linell real, lle mae'r pwyntiau sy'n cyfateb i gyfanrif yr un pellter oddi wrth ei gilydd. Gellir penderfynu ar unrhyw rif real drwy gynrychiolaeth degol, diddiwedd, fel 8.632, lle caiff pob digid olynol ei fesur mewn unedau un degfed maint yr un blaenorol. Gellir ystyried y llinell real fel rhan o'r haen gymhleth, ac mae rhifau cymhlyg yn cynnwys rhifau real.
Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fela +bi, lle maea ab ynrhifau real, ac maei yn ateb i'r hafaliadx2 = −1. Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwiri yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyga +bi, gelwira yn "rhan real", a gelwirb yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.[32][33]Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygoli.[34] Mae hyn yn golygu y gellirychwanegu,tynnu alluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheoli2 = −1 wedi'i osod. At hynny, gellirrhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlygdi-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas';coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategyddEidalaidd o'r16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.[35]
Mae Eilrif yn gyfanrif y gellir ei rannu'n gyfartal gyda dau, hy sy'n rhanadwy gan ddau heb adael gweddill. maeodrif yn gyfanrif nad yw'n eilrif. (Erbyn hyn, mae'r term hen-ffasiwn "cyfartal rhanadwy" ("evenly divisible") bron bob amser yn cael ei fyrhau i "rhanadwy". Gellir llunio unrhyw odrifn yn ôl y fformiwlan = 2k + 1, ar gyfer cyfanrif addask. Gan ddechrau gydak = 0, yr odrifau an-negyddol cyntaf yw {1, 3, 5, 7,. . }. Mae gan unrhyw eilrifm y ffurfm = 2k lle maek eto'ngyfanrif. Yn yr un modd, yr eilrifau an-negyddol cyntaf yw {0, 2, 4, 6,. . }.
Mae rhif cysefin, sy'n aml yn cael ei fyrhau i ddim ond 'cysefin', yn gyfanrif sy'n fwy nag 1 nad yw'n gynnyrch dau gyfanrif positif llai. Y rhifau cyntaf yw 2, 3, 5, 7 ac 11. Nid oes fformiwla mor syml ag ar gyfer odrifau ac eilrifau i gynhyrchu'r rhifau cysefin. Astudiwyd y cyfnodau yn eang am fwy na 2000 o flynyddoedd ac maent wedi arwain at lawer o gwestiynau, a dim ond rhai ohonynt wedi'u hateb. Mae astudio'r cwestiynau hyn yn perthyn itheori rhif. Mae rhagdybiaeth Goldbach yn enghraifft o gwestiwn sydd heb ei ateb o hyd: "A yw pob eilrif yn gyfanswm o ddau gysefin?"Cadarnhawyd un cwestiwn a atebwyd, ynghylch a yw pob cyfanrif sy'n fwy nag un yn gynnyrch rhifau cysefin mewn un ffordd yn unig, ac eithrio aildrefnu'r rhifau cysefin; gelwir yr honiad profedig hwn yntheorem sylfaenol rhifyddeg. Mae prawf yn ymddangos ynElfennau Euclid.
Rhifau algebraidd yw'r rhai sy'n ddatrysiad i hafaliad polynomial â chyfernodau cyfanrif. Gelwir rhifau real nad ydynt yn rhifau rhesymegol yn rhifauanghymarebol. Gelwir rhifau cymhlyg nad ydynt yn algebraidd ynrhifau trosgynnol. Gelwir y rhifau algebraidd sy'n hydoddiannau hafaliad polynomial monig â chyfernodau cyfanrif yn gyfanrifau algebraidd.
↑Inlinguistics, anumeral can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".
↑Matson, John."The Origin of Zero".Scientific American (yn Saesneg). Archifwyd o'rgwreiddiol ar 2017-08-26. Cyrchwyd2017-05-16.
↑T.K. Puttaswamy (2000), Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds., [The Accomplishments of Ancient Indian MathematiciansMathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics], Springer, pp. 410–11, ISBN1-4020-0260-2, The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians.
↑Gweler:Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.
↑Penrose, Roger (2016).The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73.ISBN978-1-4464-1820-8.tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
