Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Neidio i'r cynnwys

Differu

Golygu dolenni

Oddi ar Wicipedia

Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.

Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).

Mesuriad o sut maeffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid ywdifferu. Mae'n rhan o gangencalcwlws ofathemateg.

Diffiniad

[golygu |golygu cod]

Cyn iIsaac Newton aGottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth,y =mx +c, yn hafal i newid mewny wedi ei rannu gan newid mewnx; Δy/Δx =m. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ondy sy'n ffwythiant ox, mae graddiant y gromliny = f(x) yn ffwythiant ox hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx,y + Δy). Po leiaf yw Δx (ac felly Δy), yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'rterfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(y+\Delta y)-y}{(x+\Delta x)-x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Gan fody = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(x), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

Enghraifft

[golygu |golygu cod]

Wrth ddiferu'r ffwythiant, $f(x)\!=x^{2}$ , ceir:

{\begin{aligned}f'(x)&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+\Delta x)\\&{}=2x\end{aligned}}

Hynny yw, wrth i Δx agosáu at 0, mae (2x + Δx) yn agosáu at derfyn o 2x. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(x) =x² yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnodx y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.