Vennův diagram zobrazující velká písmena řečtiny, ruštiny a latinky.
Vennův diagram (nazývaný takéEulerův-Vennův diagram) je schematické znázornění všech možných vztahů (sjednocení,průnik,rozdíl,symetrická diference,doplněk) několika (často tří)podmnožinuniverzální množiny. Diagramy se používají k výuce základníteorie množin a k ilustraci jednoduchých vztahů množin vpravděpodobnosti,logice,statistice,lingvistice ainformatice. Vennův diagram používá k reprezentaci množin jednoduché uzavřené křivky nakreslené v rovině, tyto křivky jsou velmi často kruhy nebo elipsy. Objekty uvnitř křivky představují prvky danémnožiny a body vně křivky jsou objekty (prvky), které do množiny nepatří. Obdélník, který většinou ohraničuje diagram se nazýváuniverzální množina (univerzum). Diagram představil v roce 1881anglickýprofesorJohn Venn v Symbolické logice, kapitola V: „Schematické znázornění“. Již dříve s podobnými myšlenkami přišli napříkladChristian Weise v roce 1712 (Nucleus logicae Weisianae) aLeonhard Euler (Dopisy německé princezně) v roce 1768.
Vennův diagram ukazuje „všechny možné“logické vztahy mezi konečnoumultimnožinu(kolekcí) různýchmnožin. Principem diagramů je zakreslení všech množin tak, aby se v diagramu objevila pole představující všechny možné průniky daných množin. Pro množin získáme polí, kde jedno pole vždy představujeprůnikdoplňků všech množin. Tedy množinu prvků, které nejsou součástí žádné z daných množin.
Tyto diagramy zobrazujíprvky množiny jako objekty (body) v rovině. Vennův diagram se skládá z několika překrývajících se uzavřených křivek, obvykle kruhů, z nichž každá představuje množinu. Body uvnitř křivky označené představují prvky množiny, zatímco body mimo hranici představují prvky, které nejsou v množině. Toto zobrazení je přehlednější přivizuálním zobrazení. Například množina všech prvků, které jsou zároveň členy obou množin a, označená jako (průnik množin a, je vizuálně znázorněna oblastí překrytí oblastí a.[1][2]
Eulerovy diagramy (kruhy) již svojí polohou vyjadřují vztah mezi množinami. Vznikly na základě myšlenekAristotelovasylogismu:disjunktní množiny jsou zobrazenydisjunktními kruhy apodmnožiny jsou zobrazeny vnořenými kruhy, nemusí nutně ukazovat všechny vztahy mezi množinami. Používají ke znázorňování množin vnitřky kruhů, oválů, obdélníků či trojúhelníků. Například se používají ke znázornění vztahů mezi množinami a určování různých hierarchií.[3]
Vennovy diagramy jsou založeny na odlišné myšlence než Eulerovy kruhy. Byly vytvořeny k řešení problémů matematické logiky. Jejich hlavní myšlenka rozkladu napodmnožiny vznikla na základě algebry logiky. Umožňují zaznamenat libovolný konečný počet množin a zároveň zobrazí všechny přípustné množiny. Na stejném diagramu lze tak modelovat různé situace rozložení prvků.[4]
Na obrázku níže jsou zakresleny Vennovy a Eulerovy diagramy pro 3 sady jednociferných přirozených čísel:
Eulerovy kruhy
Vennův diagram
Množiny A (živý tvor se dvěma nohama) a B (živý tvor létající)
Jsou dány dvě množiny, A a B. Žlutý kruh (množina A) představuje všechny typy živých tvorů, kteří mají dvě nohy. Modrý kruh (množina B) představuje živé tvory, které mohou létat. Každý samostatný typ si lze představit jako bod někde uvnitř kruhu. Živí tvorové, kteří mohou létata mají dvě nohy – napříkladpapoušci – jsou pak v obou sadách, tak odpovídají bodům v oblasti, kde se překrývají modré a oranžové kruhy. Tato překrývající se oblast by obsahovala pouze ty prvky (v tomto příkladu tvory), které jsou členy jak množiny A (dvounohé bytosti), tak množiny B (létající bytosti).
Lidé atučňáci jsou ve žlutém kruhu, ale protože nemohou létat, objevují se pouze v levé části žlutého kruhu, tam kde se nepřekrývá s modrým kruhem.Komáři mohou létat, ale mají šest, ne dvě nohy, takže bod pro komáry je v části modrého kruhu, který se nepřekrývá s oranžovým. Živé bytosti, které nejsou dvounohé a nemohou létat (například velryby a pavouci), by všechny byly reprezentovány body mimo oba kruhy v univerzální množině.
Spojená oblast množin A a B se nazývásjednocení A a B, označenáA ∪ B[1][5] Spojení v tomto případě obsahuje všechny živé tvory, které jsou buď dvounohé, nebo mohou létat (nebo obojí).
Vitrážové okno s Vennovým diagramem v budově koleje Gonville a Caius v Cambridge
Související informace naleznete také v článku Sylogismus.
Ideu logického kalkulu vytvořil německývědec,filozof amatematikG. W. Leibniz. Až v 19. století s novoustrukturoupojmůmatematické analýzy, založenou naaritmetických základech, a zároveň s objevemneeuklidovské geometrie se objevily prvky moderní matematické logiky. Svými pracemi ji zformulovalbritský matematik a filosofGeorge Boole v letech 1847 až 1854, významnou měrou přispěli takéJ. G. Frege,B. Russel,D. Hilbert. Booleovu práci rozšířil a zobecnil německý matematik Ernst Schröder (Vorlesungen über die Algebra der Logik – 1877). Ve svém díle ukázal Booleovu algebru tak, jak je známa. Této problematice se věnoval také anglický logik a matematik John Venn. Diagramy, které jsou spojovány s jeho jménem, byly známy již dříve, Venn je však prozkoumal komplexně, zformuloval princip jejich použití a byl první, kdo je zobecnil.[6] Matematickou logiku rozpracoval v díleSymbolic Logic (1881) a The Principles of Empirical Logic (1889).
Lewis Carroll (vlastním jménem Charles L. Dodgson) zahrnul „ Vennovu metodu diagramů“ i „Eulerovu metodu kruhů“ v „Příloze adresované učitelům“ své knihySymbolická logika (4. vydání v roce 1896).[7] Termín „Vennův diagram“ také použilClarence Irving Lewis v roce 1918 ve své knizePřehled symbolické logiky.
Vennůn diagram většinou tvoří dvě nebo tři množiny. Zobrazit jej však lze pro libovolný konečný počet množin. Při vytvoření Vennova diagramu pro více než 3 množiny, je třeba použít i jiné tvary (resp. části roviny), které jsou tvořeny složitějšími uzavřenými křivkami místo kruhů. Pro vytvoření Vennova diagramu pro libovolný konečný počet množin existují algoritmy. Nevýhodou použití většího počtu množin pomocí Vennova diagramu je jeho menší přehlednost a použitelnost.[5]
Anthony William Fairbank Edwards zkonstruoval řadu Vennových diagramů pro vyšší počet množin. Například diagram pro 4 množiny podle Edwardse vychází z rozdělenísféry —obdélníky akruh odpovídají polosférám a čtvrtá část vychází z tvaru, který je podobnýšvu natenisovém míčku.[8]
↑JEDINÁK, Dušan. John Venn – učiteľ logiky a morálky.Rozhledy matematicko-fyzikální. 2006, roč. 81, čís. 3, s. 26–28.Dostupné online [cit. 2021-06-15].ISSN0035-9343.
↑ Lewis Carroll. Lewis Carroll biografie Lewis Carroll životopis.lesmag.ru [online]. [cit. 2021-06-18].Dostupné online.
↑ Seminář Matematické problémy nematematiků.www.seminar.fjfi.cvut.cz [online]. [cit. 2021-06-18].Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2021-06-24.
