Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Přeskočit na obsah
WikipedieWikipedie: Otevřená encyklopedie
Hledání

Posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Posloupnost (sekvence) je vmatematice konečná nebo nekonečná sada objektů, v níž záleží na pořadí a objekty se mohou opakovat. Například zápis libovolnéhoslova (nebo libovolnýřetězec znaků) lze považovat za konečnou posloupnost písmen. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazývámeuspořádanou n-ticí.

Pokud jsou všechny členy posloupnosti čísla, mluvíme očíselné posloupnosti. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrnémeukleidovském prostoru a často ji nazývámearitmetický vektor.

Formální definice

[editovat |editovat zdroj]

Posloupnost je zobrazení z množinypřirozených čísel do libovolné množiny.

Nekonečná posloupnost je zobrazení množinypřirozených čísel do libovolné množiny.

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množinykomplexních neboreálných čísel).

Posloupnost značíme obvykle{an}n=1∞{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}, i když správnější by bylo (podobně jako u uspořádané n-tice)(an)n=1∞{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }},[an]n=1∞{\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }},(an){\displaystyle (a_{n})} nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouzean{\displaystyle a_{n}}. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.

Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímon-tý člen posloupnostian{\displaystyle a_{n}}, např.an=nn+1{\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1}}} odpovídá posloupnosti12,23,34,45,⋯{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},\cdots }

Druhy posloupností

[editovat |editovat zdroj]

Jsou-li členy posloupnosti čísla, hovoříme očíselné posloupnosti, jsou-li to funkce, pak hovoříme ofunkčních posloupnostech. Funkční posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslun{\displaystyle n} přiřazuje funkcifn(x){\displaystyle f_{n}(x)}, přičemž hodnotan{\displaystyle n}-tého členu funkční posloupnosti závisí nejen na pořadovém číslen{\displaystyle n}, ale také na argumentech funkcefn{\displaystyle f_{n}} (v obecném případě nemusí jít o funkci jedné proměnné).

Číselné posloupnosti

[editovat |editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Číselná posloupnost.

Číselná posloupnost je posloupnost, která každému přirozenému číslun{\displaystyle n} přiřazuje čísloan{\displaystyle a_{n}}, přičemžan{\displaystyle a_{n}} závisí pouze na hodnotěn{\displaystyle n}.

Číselná posloupnost může být zadánarekurentně, kdy jsou členy posloupnosti určeny prostřednictvím předcházejících členů. Rekurentním zadáním lze snadno definovat např.Fibonacciho posloupnost:

a1=1,a2=1,an+2=an+1+an{\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}.

Její členy jsou 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Rekurentní zadání posloupnosti

Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Součástí každého rekurentního vzorce musí být automaticky zadán i první člen (resp. několik prvních členů). Nevýhoda rekurentního zadání je nutnost znalosti předcházejícího členu, což je u např. 1000. členu nepříjemná situace.[1]

Přecházení mezi jednotlivými zadáními[2]

vzorec pro n-tý člen ⟶ rekurentní vzorec

Zde platí, že více způsobů vede na více řešení. Rekurentních vzorců pro jednu posloupnost je mnoho, na konci si stačí pouze vybrat. Mnohdy je nejjednodušší způsob pouze odhadnout. Většinou stačí vypsat si pár prvních členů. První způsob je tedy odhad. Druhý způsob nalezení rekurentního vzorce je rozdíl sousedních členů. Třetí způsob je podle podílu sousedních členů.

Rekurentní vzorec ⟶ vzorec pro n-tý člen

I v tomto případě lze v mnoha případech odhadovat možný vzorec. Zde je také "záchrana", pokud právě neumíme (resp. nejsme schopni) odhadnout vzorec. Vypíšeme si prvních n členů. Poté si vypíšeme opět n členů, ale tak, aby obsahoval vždy i předchozí člen (např. a1 = 1, a2 = a1 + 5, a3 = a2 + 5, atd..). Dáme do rovnice rekurentní zadání an+1 členu a součet an+1 členů. Po úpravě nám vyjde vzorec pro (n+1)-tý člen a posunutím o jeden index dolů dojdeme k požadovanému výsledku.

Vybraná posloupnost

[editovat |editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Vybraná posloupnost.

Je-li(an)n=1∞{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }} posloupnost (obecněreálných) čísel a(kn)n=1∞{\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }} ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak složené zobrazení(akn)n=1∞{\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }} nazývámeposloupnost vybraná (téžpodposloupnost)zan{\displaystyle a_{n}} (jinými slovy, zan{\displaystyle a_{n}} vybereme některé členy, ale tak, že jejich indexy rostou, např. všechnyliché členy).

Posloupnosti v topologických prostorech

[editovat |editovat zdroj]

Posloupnosti hrají důležitou roli vtopologii, zvláště ve studiumetrických prostorů. Například:

Posloupnosti lze zobecnit nasítě nebofiltry. Tato zobecnění nám umožňují rozšířit některé z výše uvedených vět na prostory bez metriky.

Odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Reference

[editovat |editovat zdroj]

V tomto článku byl použitpřeklad textu z článkuSequence na anglické Wikipedii.

  1. ↑ Posloupnosti a řady - Zadání - Rekurentní vzorec.www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2022-02-28].Dostupné online. 
  2. ↑ Posloupnosti a řady - Zadání - Převod mezi jednotlivými vyjádřeními.www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2022-02-28].Dostupné online. 

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]
  • Obrázky, zvuky či videa k tématuposloupnost na Wikimedia Commons
Autoritní dataEditovat na Wikidatech
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Posloupnost&oldid=24362177“
Kategorie:
Skryté kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp