Movatterモバイル変換

Přeskočit na obsah

Přirozené číslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Přirozeným číslem se vmatematice rozumí číslo, které je možné použít pro vyjádření počtu („na stole ješest mincí“) nebo pořadí („toto je třetí největší město“) prvků konečných množin.

Čísla používaná pro vyjádření počtu se v matematice označují jakokardinální čísla, zatímco čísla určená pro vyjádření pořadí se nazývajíordinální čísla. Přirozená čísla studuje odvětví matematikyteorie čísel.

Přirozená čísla patří mezi základnímatematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel. Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje písmenem $\mathbb {N}$ .

Podle některých z používaných definic (např. standardISO 80000-2) přirozená čísla začínají číslem 0 a označují tak celá nezáporná čísla (tj. čísla 0, 1, 2, …),^[1] zatímco podle jiných definic přirozená čísla začínají číslem 1^[2] a označují tak celá kladná čísla 1, 2, 3, …^[3]

Značení

[editovat |editovat zdroj]

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenemN (nebo zdvojeným písmenem $\mathbb {N}$ ). (Z latiny numero-číslo, naturalis-přírodní, přirozený.^[zdroj?])

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:

pronezápornácelá čísla (včetněnuly):
- N⁰, resp. $\mathbb {N} ^{0}$ , případněN₀, resp. $\mathbb {N} _{0}$ , nebo
- Z⁺₀, resp. $\mathbb {Z} _{0}^{+}$ ;
prokladná celá čísla (beznuly):
- N⁺, resp. $\mathbb {N} ^{+}$ , nebo
- Z⁺, resp. $\mathbb {Z} ^{+}$ .

Formální definice

[editovat |editovat zdroj]

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujícíchaxiomech (tzv.Peanova aritmetika):

Každé přirozené číslo $a {\displaystyle a}$ má jediného následníka, označovaného $S(a)$ .
Existuje jediné přirozené číslo, jež není následníkem žádného přirozeného čísla, značí se obvykle 0.
Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud $a\neq b$ , pak $S(a)\neq S(b)$ .
Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom (resp.axiomatické schéma) zajišťuje platnostdůkazů technikoumatematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)

Konstrukce

[editovat |editovat zdroj]

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel vaxiomatické teorii množin je následující postup (von Neumannova konstrukce):

Definuje se $0=\{\}=\emptyset$ (prázdná množina).
Definuje se $S(a)=a\cup \{a\}$ (sjednocení množin) pro všechna $a {\displaystyle a}$ .
Množina přirozených čísel se pak definuje jakoprůnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocíaxiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

0=\{\}

1=\{0\}=\{\{\}\}

2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}

3=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}

…atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslon vyjadřuje mohutnost množiny o právěn prvcích.

Vlastnosti

[editovat |editovat zdroj]

Množina přirozených čísel jenekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšakspočetná (podle definice).
Na přirozených číslech lze definovat operacisčítání takto: $a+0=a,a+S(b)=S(a+b)$ pro všechna $a, b {\displaystyle a,b}$ . Tím se stane $(\mathbb {N} ,\operatorname {+} )$ komutativním monoidem s neutrálním prvkem 0. Pokud definujeme $S(0)=1$ , je $S(a)=S(a+0)$ $=a+S(0)=a+1$ , tedy následníkem čísla $a {\displaystyle a}$ je číslo $a+1$ . Tento monoid je možné vnořit dogrupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsoucelá čísla.
Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operacinásobení takto: $a\cdot 0=0,a\cdot (b+1)=(a\cdot b)+a$ . Tím se stane $(\mathbb {N} ,\operatorname {\cdot } )$ komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňujídistributivní zákon: $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ . $(\mathbb {N} ,\operatorname {+} ,\operatorname {\cdot } )$ je tedy komutativnímpolookruhem.
Na přirozených číslech lze definovatúplné uspořádání, kdy $a\leq b$ právě tehdy, když existuje přirozené číslo $c {\displaystyle c}$ takové, že $a+c=b$ Přirozená čísla jsoudobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel mánejmenší prvek.
Na přirozených číslech neexistuje operacedělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tadydělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla $a, b {\displaystyle a,b}$ , kde $b\neq 0$ , můžeme najít taková přirozená čísla $r, g {\displaystyle r,g}$ , že platí $a=bg+r$ a zároveň $r<b$ . Číslu $r {\displaystyle r}$ pak říkámezbytek po dělení čísla $a {\displaystyle a}$ číslem $b {\displaystyle b}$ , číslo $q {\displaystyle q}$ je celočíselný podíl $a {\displaystyle a}$ a $b {\displaystyle b}$ . Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí vteorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna částkryptografie.

Reference

[editovat |editovat zdroj]

↑MAC LANE, Saunders.Algebra. [s.l.]: Chelsea Pub. CoDostupné online.ISBN 9780821816462.OCLC 18102563 Kapitola The Natural Numbers, s. 15.
↑CAROTHERS, N. L.Real analysis. Cambridge [UK]: Cambridge University Press 1 online resource (xiii, 401 pages) s.Dostupné online.ISBN 978-1-139-64871-4,ISBN 1-139-64871-3.OCLC 855534519 S. 3.
↑ Prvňáci a matematika VII. Číslo 0.clanky.rvp.cz [online]. [cit. 2018-11-20].Dostupné online.

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Obrázky, zvuky či videa k tématupřirozené číslo na Wikimedia Commons
Slovníkové heslopřirozené číslo ve Wikislovníku
Přirozené číslo v encyklopediiMathWorld(anglicky)
Neil Sloane:Annotated version of "What's Special About This Number?" (Part 0)

Přirozená čísla 0-1099

Celá čísla 0–99

0 •1 •2 •3 •4 •5 •6 •7 •8 •9 •10 •11 •12 •13 •14 •15 •16 •17 •18 •19 •20 •21 •22 •23 •24 •25 •26 •27 •28 •29 •30 •31 •32 •33 •34 •35 •36 •37 •38 •39 •40 •41 •42 •43 •44 •45 •46 •47 •48 •49 •50 •51 •52 •53 •54 •55 •56 •57 •58 •59 •60 •61 •62 •63 •64 •65 •66 •67 •68 •69 •70 •71 •72 •73 •74 •75 •76 •77 •78 •79 •80 •81 •82 •83 •84 •85 •86 •87 •88 •89 •90 •91 •92 •93 •94 •95 •96 •97 •98 •99

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 100–199

100 •101 •102 •103 •104 •105 •106 •107 •108 •109 •110 •111 •112 •113 •114 •115 •116 •117 •118 •119 •120 •121 •122 •123 •124 •125 •126 •127 •128 •129 •130 •131 •132 •133 •134 •135 •136 •137 •138 •139 •140 •141 •142 •143 •144 •145 •146 •147 •148 •149 •150 •151 •152 •153 •154 •155 •156 •157 •158 •159 •160 •161 •162 •163 •164 •165 •166 •167 •168 •169 •170 •171 •172 •173 •174 •175 •176 •177 •178 •179 •180 •181 •182 •183 •184 •185 •186 •187 •188 •189 •190 •191 •192 •193 •194 •195 •196 •197 •198 •199

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 200–299

200 •201 •202 •203 •204 •205 •206 •207 •208 •209 •210 •211 •212 •213 •214 •215 •216 •217 •218 •219 •220 •221 •222 •223 •224 •225 •226 •227 •228 •229 •230 •231 •232 •233 •234 •235 •236 •237 •238 •239 •240 •241 •242 •243 •244 •245 •246 •247 •248 •249 •250 •251 •252 •253 •254 •255 •256 •257 •258 •259 •260 •261 •262 •263 •264 •265 •266 •267 •268 •269 •270 •271 •272 •273 •274 •275 •276 •277 •278 •279 •280 •281 •282 •283 •284 •285 •286 •287 •288 •289 •290 •291 •292 •293 •294 •295 •296 •297 •298 •299

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 300–399

300 •301 •302 •303 •304 •305 •306 •307 •308 •309 •310 •311 •312 •313 •314 •315 •316 •317 •318 •319 •320 •321 •322 •323 •324 •325 •326 •327 •328 •329 •330 •331 •332 •333 •334 •335 •336 •337 •338 •339 •340 •341 •342 •343 •344 •345 •346 •347 •348 •349 •350 •351 •352 •353 •354 •355 •356 •357 •358 •359 •360 •361 •362 •363 •364 •365 •366 •367 •368 •369 •370 •371 •372 •373 •374 •375 •376 •377 •378 •379 •380 •381 •382 •383 •384 •385 •386 •387 •388 •389 •390 •391 •392 •393 •394 •395 •396 •397 •398 •399

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 400–499

400 •401 •402 •403 •404 •405 •406 •407 •408 •409 •410 •411 •412 •413 •414 •415 •416 •417 •418 •419 •420 •421 •422 •423 •424 •425 •426 •427 •428 •429 •430 •431 •432 •433 •434 •435 •436 •437 •438 •439 •440 •441 •442 •443 •444 •445 •446 •447 •448 •449 •450 •451 •452 •453 •454 •455 •456 •457 •458 •459 •460 •461 •462 •463 •464 •465 •466 •467 •468 •469 •470 •471 •472 •473 •474 •475 •476 •477 •478 •479 •480 •481 •482 •483 •484 •485 •486 •487 •488 •489 •490 •491 •492 •493 •494 •495 •496 •497 •498 •499

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 500–599

500 •501 •502 •503 •504 •505 •506 •507 •508 •509 •510 •511 •512 •513 •514 •515 •516 •517 •518 •519 •520 •521 •522 •523 •524 •525 •526 •527 •528 •529 •530 •531 •532 •533 •534 •535 •536 •537 •538 •539 •540 •541 •542 •543 •544 •545 •546 •547 •548 •549 •550 •551 •552 •553 •554 •555 •556 •557 •558 •559 •560 •561 •562 •563 •564 •565 •566 •567 •568 •569 •570 •571 •572 •573 •574 •575 •576 •577 •578 •579 •580 •581 •582 •583 •584 •585 •586 •587 •588 •589 •590 •591 •592 •593 •594 •595 •596 •597 •598 •599

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 600–699

600 •601 •602 •603 •604 •605 •606 •607 •608 •609 •610 •611 •612 •613 •614 •615 •616 •617 •618 •619 •620 •621 •622 •623 •624 •625 •626 •627 •628 •629 •630 •631 •632 •633 •634 •635 •636 •637 •638 •639 •640 •641 •642 •643 •644 •645 •646 •647 •648 •649 •650 •651 •652 •653 •654 •655 •656 •657 •658 •659 •660 •661 •662 •663 •664 •665 •666 •667 •668 •669 •670 •671 •672 •673 •674 •675 •676 •677 •678 •679 •680 •681 •682 •683 •684 •685 •686 •687 •688 •689 •690 •691 •692 •693 •694 •695 •696 •697 •698 •699

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 700–799

700 •701 •702 •703 •704 •705 •706 •707 •708 •709 •710 •711 •712 •713 •714 •715 •716 •717 •718 •719 •720 •721 •722 •723 •724 •725 •726 •727 •728 •729 •730 •731 •732 •733 •734 •735 •736 •737 •738 •739 •740 •741 •742 •743 •744 •745 •746 •747 •748 •749 •750 •751 •752 •753 •754 •755 •756 •757 •758 •759 •760 •761 •762 •763 •764 •765 •766 •767 •768 •769 •770 •771 •772 •773 •774 •775 •776 •777 •778 •779 •780 •781 •782 •783 •784 •785 •786 •787 •788 •789 •790 •791 •792 •793 •794 •795 •796 •797 •798 •799

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 800–899

800 •801 •802 •803 •804 •805 •806 •807 •808 •809 •810 •811 •812 •813 •814 •815 •816 •817 •818 •819 •820 •821 •822 •823 •824 •825 •826 •827 •828 •829 •830 •831 •832 •833 •834 •835 •836 •837 •838 •839 •840 •841 •842 •843 •844 •845 •846 •847 •848 •849 •850 •851 •852 •853 •854 •855 •856 •857 •858 •859 •860 •861 •862 •863 •864 •865 •866 •867 •868 •869 •870 •871 •872 •873 •874 •875 •876 •877 •878 •879 •880 •881 •882 •883 •884 •885 •886 •887 •888 •889 •890 •891 •892 •893 •894 •895 •896 •897 •898 •899

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 900–999

900 •901 •902 •903 •904 •905 •906 •907 •908 •909 •910 •911 •912 •913 •914 •915 •916 •917 •918 •919 •920 •921 •922 •923 •924 •925 •926 •927 •928 •929 •930 •931 •932 •933 •934 •935 •936 •937 •938 •939 •940 •941 •942 •943 •944 •945 •946 •947 •948 •949 •950 •951 •952 •953 •954 •955 •956 •957 •958 •959 •960 •961 •962 •963 •964 •965 •966 •967 •968 •969 •970 •971 •972 •973 •974 •975 •976 •977 •978 •979 •980 •981 •982 •983 •984 •985 •986 •987 •988 •989 •990 •991 •992 •993 •994 •995 •996 •997 •998 •999

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Přirozená čísla 1000–1099

1000 •1001 •1002 •1003 •1004 •1005 •1006 •1007 •1008 •1009 •1010 •1011 •1012 •1013 •1014 •1015 •1016 •1017 •1018 •1019 •1020 •1021 •1022 •1023 •1024 •1025 •1026 •1027 •1028 •1029 •1030 •1031 •1032 •1033 •1034 •1035 •1036 •1037 •1038 •1039 •1040 •1041 •1042 •1043 •1044 •1045 •1046 •1047 •1048 •1049 •1050 •1051 •1052 •1053 •1054 •1055 •1056 •1057 •1058 •1059 •1060 •1061 •1062 •1063 •1064 •1065 •1066 •1067 •1068 •1069 •1070 •1071 •1072 •1073 •1074 •1075 •1076 •1077 •1078 •1079 •1080 •1081 •1082 •1083 •1084 •1085 •1086 •1087 •1088 •1089 •1090 •1091 •1092 •1093 •1094 •1095 •1096 •1097 •1098 •1099

0–99 •100–199 •200–299 •300–399 •400–499 •500–599 •600–699 •700–799 •800–899 •900–999 •1000–1099 •1100–1199

Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Přirozené_číslo&oldid=24581951“

Skryté kategorie:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp