Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Přeskočit na obsah
WikipedieWikipedie: Otevřená encyklopedie
Hledání

Metrický tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vmatematice jemetrický tenzor zpravidlatenzorové pole druhého řádu nahladkévarietě, které dává do souvislostisouřadnice avzdálenost. Jinými slovy, zvolíme natečném bandluhladké varietytenzorové pole druhého řádu. V daném boděvariety přiřadí toto pole dvěmavektorům ztečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektoryU aV, realizuje tento přepis jejichskalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektoryV, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoruV. Pokud pro každý vektorV a každý bodvariety je toto číslo kladné, označujeme metriku jakoRiemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jakopseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro(obecnou) teorii relativity.

Metrická forma

[editovat |editovat zdroj]

Dále využívámesouřadnicový zápis vektorů. Kvadrátvzdálenosti dvoubodů je metrickým tenzoremgij{\displaystyle g_{ij}} dán v závislosti nasouřadnicích vdiferenciálním tvaru předpisem:

ds2=gijdxidxj,{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j},}

kde využívámeEinsteinovu sumační konvenci, tedysčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. Tento výraz bývá označován jakozákladní (nebometrická)forma danéhometrického prostoru.

Předpokládejme, žexi{\displaystyle x_{i}} představujíkartézské souřadnice vn{\displaystyle n}-rozměrnémeukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitímEinsteinova sumačního pravidla psát

ds2=dxidxi.{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{i}\,\mathrm {d} x^{i}.}

Použijeme-li v tomto prostorukřivočaré souřadniceξj{\displaystyle \xi _{j}}, tzn.dxi=∂xi∂ξjdξj{\displaystyle \mathrm {d} x_{i}={\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{j}}}\mathrm {d} \xi ^{j}}, lze metrickou formu přepsat na tvar

ds2=∂xi∂ξj∂xi∂ξkdξjdξk.{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{j}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial \xi ^{k}}}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}.}

Vyjádříme-li metrický tenzor jako

gij=∂xk∂ξi∂xk∂ξj=∂x1∂ξi∂x1∂ξj+∂x2∂ξi∂x2∂ξj+⋯+∂xn∂ξi∂xn∂ξj,{\displaystyle g_{ij}={\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{j}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial \xi ^{j}}}+{\frac {\partial x_{2}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial \xi ^{j}}}+\cdots +{\frac {\partial x_{n}}{\partial \xi ^{i}}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial \xi ^{j}}},}

pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako

ds2=gjkdξjdξk.{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{jk}\mathrm {d} \xi ^{j}\mathrm {d} \xi ^{k}.}

Např. délkukřivky spočteme jako:

s=∫t1t2gijdxidtdxjdtdt,{\displaystyle s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t},}

kdet{\displaystyle t} je parametr křivky. Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pododmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzorgij{\displaystyle g_{ij}} bývá také vyjadřován jako

gij=(ei,ej),{\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}),}

kdeei,ej{\displaystyle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}} představujíbázi.

Podobně lze prokontravariantní složky metrického tenzoru psát

gij=(ei,ej)=∂ξi∂xk∂ξj∂xk{\displaystyle g^{ij}=(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} ^{j})={\frac {\partial \xi ^{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \xi ^{j}}{\partial x_{k}}}}

a prosmíšené složky

gji=(ei,ej)=∂ξi∂xk∂xk∂ξj=δji,{\displaystyle g_{j}^{i}=(\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{j})={\frac {\partial \xi ^{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial \xi ^{j}}}=\delta _{j}^{i},}

kdeδji{\displaystyle \delta _{j}^{i}} jeKroneckerovo delta aei,ei{\displaystyle \mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}} jsou prvkysdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností

[editovat |editovat zdroj]

Velikostvektoru je tedy dána vztahem

V=gijViVj.{\displaystyle V={\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}.}

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocíkosinové věty (jelikožkosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílemskalárního součinu těchto vektorů asoučinu velikostí těchto vektorů) přepisem

cos⁡ϑ=gijViUjgijViVjgijUiUj,{\displaystyle \cos \vartheta ={\frac {g_{ij}V^{i}U^{j}}{{\sqrt {g_{ij}V^{i}V^{j}}}{\sqrt {g_{ij}U^{i}U^{j}}}}},}

jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem

[editovat |editovat zdroj]

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezitečným prostorem akotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů.) To mj. znamená, že se prostřednictvímmetrického tenzoruzvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:

Definujemekontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy

gijgjk=δki,{\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},}

kdeδki{\displaystyle \delta _{k}^{i}} jekroneckerovo delta. Složkygij{\displaystyle g_{ij}} známe, kdežto složkygij{\displaystyle g^{ij}} jsou touto soustavou jednoznačně určeny. Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řáduTi1…imi1…in{\displaystyle {T^{i_{1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}}}zvyšujeme čisnižujeme následujícím způsobem:

gim+1ikTi1…imi1…ik−1ikik+1…in=Ti1…imim+1i1…ik−1ik+1…in,{\displaystyle g^{i_{m+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{m}i_{m+1}}}_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{n}},}
gin+1ikTi1…ik−1ikik+1…imi1…in=Ti1…ik−1ik+1…imi1…inin+1.{\displaystyle g_{i_{n+1}i_{k}}{T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}}={T^{i_{1}\dots i_{k-1}i_{k+1}\dots i_{m}}}_{i_{1}\dots i_{n}i_{n+1}}.}

Vlastnosti

[editovat |editovat zdroj]

Metrický tenzor jesymetrický, tzn.

gij=gji,{\displaystyle g_{ij}=g_{ji},}
gij=gji.{\displaystyle g^{ij}=g^{ji}.}

Související články

[editovat |editovat zdroj]
Portály:Matematika
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Metrický_tenzor&oldid=25197762“
Kategorie:
Skryté kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp