Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Přeskočit na obsah
WikipedieWikipedie: Otevřená encyklopedie
Hledání

Jehlan

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jehlan

Jehlan jetrojrozměrnétěleso. Jehozákladnu (nebo taképodstavu) tvořímnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jednímbodem mimorovinu základny – tento bod se obvykle nazývá(hlavní)vrchol jehlanu.

Kolmávzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývávýška jehlanu.

Obecné vlastnosti

[editovat |editovat zdroj]

Objem a povrch

[editovat |editovat zdroj]

Objem jehlanu se vypočítá jako

V=Sp.v3{\displaystyle V={\frac {S_{p}.v}{3}}\,\!},

kdeSp{\displaystyle S_{p}\,\!} je obsah podstavy av{\displaystyle v\,\!} výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jakosoučetobsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

S=P+Q{\displaystyle S=P+Q\,},

kdeP{\displaystyle P} je obsah podstavy aQ{\displaystyle Q} je obsah pláště.

Z výše uvedených vzorců vyplývá, že se posunováním vrcholu jehlanu v roviněrovnoběžné s rovinou základny nemění objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch – ten může při posouvání vrcholu v dané rovině do velké vzdálenosti od podstavy růst nade všechny meze.

Souměrnost

[editovat |editovat zdroj]

Jehlan nemůže nikdy býtstředově souměrný.

Jehlan jeosově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.).Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může býtrovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.)Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

[editovat |editovat zdroj]

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník on{\displaystyle n\,\!} stranách, má jehlan:

Jehlan nemá tělesovéúhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3).Jehlan jekonvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy

[editovat |editovat zdroj]

Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takovýjehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jejkosý.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme opravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelnémn{\displaystyle n}-bokém jehlanu určeném délkou podstavné hranya{\displaystyle a}a jeho výškouv{\displaystyle v}:

pyramid
Pravidelný kolmý jehlan


  • Výška boční stěny:
vs=124v2+(a⋅cot⁡πn)2{\displaystyle v_{s}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left(a\cdot {\cot {\frac {\pi }{n}}}\right)^{2}}}}
  • Délka boční hrany:
s=124v2+(asin⁡πn)2{\displaystyle s={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left({\frac {a}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}\right)^{2}}}}
  • Povrch:
S=14na2cot⁡πn(1+1+4(vatan⁡πn)2){\displaystyle S={\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}\left(1+{\sqrt {1+4\left({\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}\right)}
  • Objem:
V=112na2v⋅cot⁡πn{\displaystyle V={\frac {1}{12}}na^{2}v\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}}
  • Sklon boční hrany:
α=arctan⁡(2vasin⁡πn){\displaystyle \alpha =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\sin {\frac {\pi }{n}}\right)}
  • Sklon boční stěny:
β=arctan⁡(2vatan⁡πn){\displaystyle \beta =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)}
  • Odchylka bočních hran:
γ=2arctan⁡a4v2+a2cot2⁡πn{\displaystyle \gamma =2\arctan {\frac {a}{\sqrt {4v^{2}+a^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}}
  • Odchylka boční a podstavné hrany:
δ=arctan⁡4(va)2+cot2⁡πn{\displaystyle \delta =\arctan {\sqrt {4\left({\frac {v}{a}}\right)^{2}+\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}
  • Odchylka bočních stěn:
ε=2arcsin⁡4v2sin2⁡πn+a24v2tan2⁡πn+a2{\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {4v^{2}\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}{4v^{2}\tan ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}}}}, speciálně pron=4{\displaystyle n=4} jeε=2arcsin⁡2v2+a24v2+a2{\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {2v^{2}+a^{2}}{4v^{2}+a^{2}}}}}

Pravidelný čtyřstěn

[editovat |editovat zdroj]
Pravidelný čtyřstěn.
Pravidelný čtyřstěn.

Pravidelnýčtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsourovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno zplatónských těles.

Jeho objemV{\displaystyle V\,\!} a obsahS{\displaystyle S\,\!} lze vypočítat z délky jeho hrany:

Jeho výšku lze vypočítat jakov=(a/3)6{\displaystyle v=(a/3){\sqrt {6}}} .

Pravidelný čtyřboký jehlan

[editovat |editovat zdroj]
Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme opravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objemV{\displaystyle V\,\!} a povrchS{\displaystyle S\,\!} lze vypočítat z délky strany základnya{\displaystyle a\,\!} a výškyv{\displaystyle v\,\!}:

Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2trojúhelníkčtverecšestiúhelníkpětiúhelník
d=3jehlankrychle,oktaedrkrychloktaedr,kosočtverečný dvanáctistěndvanáctistěn,dvacetistěn
d=45nadstěnteserakt,16nadstěn24nadstěn120nadstěn,600nadstěn
d=55simplexpenterakt,5ortoplex
d=66simplexhexerakt,6ortoplex
d=77simplexhepterakt,7ortoplex
d=88simplexokterakt,8ortoplex
d=99simplexennerakt,9ortoplex
d=1010simplexdekerakt,10ortoplex
d=1111simplexhendekerakt,11ortoplex
d=1212simplexdodekerakt,12ortoplex
d=1313simplextriskaidekerakt,13ortoplex
d=1414simplextetradekerakt,14ortoplex
d=1515simplexpentadekerakt,15ortoplex
d=1616simplexhexadekerakt,16ortoplex
d=1717simplexheptadekerakt,17ortoplex
d=1818simplexoktadekerakt,18ortoplex
d=1919simplexennedekerakt,19ortoplex
d=2020simplexikosarakt,20ortoplex

Literatura

[editovat |editovat zdroj]

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]
  • Obrázky, zvuky či videa k tématujehlan na Wikimedia Commons
  • Slovníkové heslojehlan ve Wikislovníku
Autoritní dataEditovat na Wikidatech
Portály:Matematika
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Jehlan&oldid=24736325“
Kategorie:
Skryté kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp