Impedance jekomplexní veličina elektrického obvodu vyjádřená reálnourezistancí a imaginárníreaktancí , bránící průchoduelektrického proudu .
Značka :Z {\displaystyle Z\,\!}
Jednotka SI ohm , značkaΩ {\displaystyle \Omega }
Impedance jako komplexní veličina Komplexní impedanciZ {\displaystyle Z}
Z = R + j X {\displaystyle Z=R+jX} kde
resp. v goniometrickém (polárním) tvaru:
Z = | Z | ( cos φ + j sin φ ) = | Z | e j φ {\displaystyle \mathbf {Z} =|\mathbf {Z} |(\cos \varphi +\mathrm {j} \sin \varphi )=|\mathbf {Z} |e^{\mathrm {j} \varphi }} kde| Z | = R 2 + X 2 {\displaystyle |\mathbf {Z} |={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}} φ = arctan ( X R ) {\displaystyle \varphi =\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}}
Harmonický proud a napětí můžeme vyjádřit vztahy:
i = I m a x e j ω t {\displaystyle i=I_{max}e^{j\omega t}} u = U m a x e j ( ω t + ϕ ) {\displaystyle u=U_{max}e^{j(\omega t+\phi )}} ϕ {\displaystyle \phi } fázový posun napětí vůči proudu,
impedanci poté vyjádříme zOhmova zákona :Z = u i = U m a x I m a x e j ϕ {\displaystyle Z={\frac {u}{i}}={\frac {U_{max}}{I_{max}}}e^{j\phi }}
fázový posun napětí vůči proudu Rezistorem o odporuR {\displaystyle R} i {\displaystyle i} u {\displaystyle u}
Z R = R {\displaystyle Z_{R}=R}
Cívkou o indukčnostiL {\displaystyle L} i {\displaystyle i} u {\displaystyle u}
u = L d i d t = L d d t I m a x e j ω t = j ω L I m a x e j ω t {\displaystyle u=L{\frac {\operatorname {d} \!i}{\operatorname {d} \!t}}=L{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}I_{max}e^{j\omega t}=j\omega LI_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,} Z L = j ω L {\displaystyle Z_{L}=j\omega L}
Kondenzátor o kapacitěC {\displaystyle C} u {\displaystyle u} q {\displaystyle q}
− q = C u = ∫ i d t = ∫ I m a x e j ω t d t = 1 j ω I m a x e j ω t {\displaystyle -q=Cu=\int i\operatorname {d} \!t=\int I_{max}e^{j\omega t}\operatorname {d} \!t={\frac {1}{j\omega }}I_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,} u = 1 j ω C I m a x e j ω t {\displaystyle u={\frac {1}{j\omega C}}I_{max}e^{j\omega t}\,\,\,\,\,} Z C = 1 j ω C {\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}
Z = Z 1 + Z 2 = ( R 1 + R 2 ) + j ( X 1 + X 2 ) {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}=(R_{1}+R_{2})+\mathrm {j} (\mathrm {X} _{1}+\mathrm {X} _{2})\quad }
Z = ( Z 1 − 1 + Z 2 − 1 ) − 1 = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 {\displaystyle \mathbf {Z} =\left(\mathbf {Z} _{1}^{-1}+\mathbf {Z} _{2}^{-1}\right)^{-1}={\mathbf {Z} _{1}\mathbf {Z} _{2} \over \mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}}\quad } Při měření impedance musíme napájet obvod vždystřídavým proudem , v případěproudu stejnosměrného bychom měřili pouze reálnou složku impedance.
Podíl efektivních hodnotnapětí aproudu nám dáabsolutní hodnotu impedance.
| Z | = U I {\displaystyle |\mathbf {Z} |={\frac {U}{I}}} Velikostfázového posunu
P = U I cos φ {\displaystyle \ P=UI\cos \varphi } Velikostčinného odporu
P = R I 2 => R = P I 2 {\displaystyle P=RI^{2}=>R={\frac {P}{I^{2}}}} Velikostreaktance
X = | Z | sin φ {\displaystyle X=|\mathbf {Z} |\sin \varphi } Velikost vlastníindukčnosti (pro induktivní charakter zátěže)
L = X 2 π f {\displaystyle L={\frac {X}{2\pi f}}} Velikost elektrickékapacity (pro kapacitní charakter zátěže)
C = 1 2 π f X {\displaystyle \ C={\frac {1}{2\pi fX}}} Velikost hraniční impedance určuje, zda je vhodnější použít zapojení pro malé nebo pro velké impedance.
| Z h | ≈ ( R A + R W P ) R V R W N R V + R W N {\displaystyle |\mathbf {Z_{h}} |\approx {\sqrt {(R_{A}+R_{WP}){\frac {R_{V}R_{WN}}{R_{V}+R_{WN}}}}}} R A {\displaystyle R_{A}} ampérmetru R V {\displaystyle R_{V}} voltmetru R W P {\displaystyle R_{WP}} wattmetru R W N {\displaystyle R_{WN}} wattmetru Tato metoda není přesná, protože velikosti jednotlivých složek zjišťujeme více výpočty. Používá se pouze pro orientační měření.
Neznámou impedanciZ x {\displaystyle Z_{x}} R N {\displaystyle R_{N}} ampérmetry měříme efektivní hodnotyproudů v jednotlivých větvích iproud celkový. Metoda tříampérmetrů je nejpřesnější, jsou-liproudy I R {\displaystyle I_{R}} I Z {\displaystyle I_{Z}} fázový posun způsobený měřenou impedancí je velký.
Velikostnapětí
U = Z x I Z = R N I R {\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {Z_{x}} \mathbf {I_{Z}} =R_{N}\mathbf {I_{R}} } Velikostabsolutní hodnoty impedance
| Z x | = R I R I Z {\displaystyle \mathbf {|Z_{x}|} ={\frac {RI_{R}}{I_{Z}}}} Podle prvníhoKirchhoffova zákona platí
I = I R + I Z {\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I_{R}} +\mathbf {I_{Z}} } Podlefázorového diagramu platí pro úhelφ ′ {\displaystyle \varphi '} kosinová věta
I 2 = I Z 2 + I R 2 − 2 I R I Z cos φ ′ {\displaystyle I^{2}=I_{Z}^{2}+I_{R}^{2}-2I_{R}I_{Z}\cos \varphi '} Procos φ ′ {\displaystyle \cos \varphi '}
cos φ ′ = − I 2 − I Z 2 − I R 2 2 I R I Z {\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}} Pro úhelφ {\displaystyle \varphi }
φ = 180 − φ ′ {\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '} Procos φ {\displaystyle \cos \varphi }
cos φ = − cos φ ′ {\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '} cos φ = I 2 − I Z 2 − I R 2 2 I R I Z {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}} Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:
R x = | Z | cos φ {\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi } X x = | Z | sin φ {\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi } Pro činný výkon na zátěži platí:
P = U Z I Z cos φ = R N I R I Z I 2 − I Z 2 − I R 2 2 I R I Z = R N 2 ( I 2 − I R 2 − I Z 2 ) {\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi =R_{N}I_{R}I_{Z}{\frac {I^{2}-I_{Z}^{2}-I_{R}^{2}}{2I_{R}I_{Z}}}={\frac {R_{N}}{2}}(I^{2}-I_{R}^{2}-I_{Z}^{2})} Měřená impedanceZ x {\displaystyle Z_{x}} R N {\displaystyle R_{N}} voltmetrů měřímeefektivní hodnoty úbytkůnapětí na normálu, na měřené impedanci anapětí celkové.
Podlefázorového diagramu platí pro úhelφ ′ {\displaystyle \varphi '} kosinová věta
U 2 = U Z 2 + U R 2 − 2 U R U Z cos φ ′ {\displaystyle U^{2}=U_{Z}^{2}+U_{R}^{2}-2U_{R}U_{Z}\cos \varphi '} Procos φ ′ {\displaystyle \cos \varphi '}
cos φ ′ = − U 2 − U Z 2 − U R 2 2 U R U Z {\displaystyle \cos \varphi '=-{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}} Pro úhelφ {\displaystyle \varphi }
φ = 180 − φ ′ {\displaystyle \ \varphi =180-\varphi '} Procos φ {\displaystyle \cos \varphi }
cos φ = − cos φ ′ {\displaystyle \ \cos \varphi =-\cos \varphi '} cos φ = U 2 − U Z 2 − U R 2 2 U R U Z {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}} Jednotlivé složky impedance budou mít velikost:
R x = | Z | cos φ {\displaystyle \ R_{x}=\mathbf {|} Z|\cos \varphi } X x = | Z | sin φ {\displaystyle \ X_{x}=\mathbf {|} Z|\sin \varphi } Pro činný výkon na zátěži platí:
P = U Z I Z cos φ = U Z U R R N U 2 − U Z 2 − U R 2 2 U R U Z = U 2 − U R 2 − U Z 2 2 R N {\displaystyle P=U_{Z}I_{Z}\cos \varphi ={\frac {U_{Z}U_{R}}{R_{N}}}{\frac {U^{2}-U_{Z}^{2}-U_{R}^{2}}{2U_{R}U_{Z}}}={\frac {U^{2}-U_{R}^{2}-U_{Z}^{2}}{2R_{N}}}} Zda máme použít k měření impedance metodu tříampérmetrů nebovoltmetrů rozhodne hodnota hraniční impedance. Pro určení její velikosti platí vztah:
Z h ≈ R A R V {\displaystyle \mathbf {Z_{h}} \approx {\sqrt {R_{A}R_{V}}}} R A {\displaystyle R_{A}} ampérmetrů R V {\displaystyle R_{V}} voltmetrů Je-li| Z x | < | Z h | {\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |<|\mathbf {Z_{h}} |} voltmetrů , pro| Z x | > | Z h | {\displaystyle |\mathbf {Z_{x}} |>|\mathbf {Z_{h}} |} ampérmetrů .
Obecný můstek Jde o obdobuWheatstoneova můstku pro měřeníodporů . Pokud je v některé z podmínek rovnováhy zastoupenafrekvence , je můstek frekvenčně závislý a lze ho použít nejen k měření impedancí, ale také k měření frekvencí. Pro měření impedancí jsou výhodnější, frekvenčně nezávislé můstky. Střídavé můstky jsou napájeny zoscilátoru . Nulovéindikátory (NI ) indikují vyvážení můstku. K tomu se nejčastěji používáosciloskop . Abychom omezili vnější rušivé vlivy, musí být můstky pečlivězemněny astíněny .
Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 {\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} =\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} } Z = R ± j X {\displaystyle \mathbf {Z} =R\pm \mathrm {j} X} Dosadíme-li za jednotlivé hodnoty impedancí hodnoty v exponenciálním tvaru, bude platit:
Z 1 e j φ 1 Z 4 e j φ 4 = Z 2 e j φ 2 Z 3 e j φ 3 {\displaystyle \mathbf {Z_{1}} e^{\mathrm {j} \varphi _{1}}\mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} \varphi _{4}}=\mathbf {Z_{2}} e^{\mathrm {j} \varphi _{2}}\mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} \varphi _{3}}} Z 1 Z 4 e j ( φ 1 + φ 4 ) = Z 2 Z 3 e j ( φ 2 + φ 3 ) {\displaystyle \mathbf {Z_{1}} \mathbf {Z_{4}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{1}+\varphi _{4})}=\mathbf {Z_{2}} \mathbf {Z_{3}} e^{\mathrm {j} (\varphi _{2}+\varphi _{3})}} Když tuto rovnici rozdělíme na dvě skalární, dostaneme dvě podmínky rovnováhy.
| Z 1 | | Z 4 | = | Z 2 | | Z 3 | {\displaystyle |\mathbf {Z_{1}} ||\mathbf {Z_{4}} |=|\mathbf {Z_{2}} ||\mathbf {Z_{3}} |} φ 1 + φ 4 = φ 2 + φ 3 {\displaystyle \ \varphi _{1}+\varphi _{4}=\varphi _{2}+\varphi _{3}} Číslicové měřiče impedancí mohou pracovat na různých principech, často se využívá převodník impedance-napětí nebo převodníkadmitance -napětí s využitímoperačních zesilovačů .
S impedancí se lze také setkat při posuzování bezpečnosti elektrických instalací NN (například při revizích). Podmínky pro impedancisítě TN (běžný druh sítě, nejčastěji používaný, např. i v bytových instalacích), stanoví ČSN 33 2000-4-41 ed.2 v článku 411.4.4. (dříve stará, dnes již neplatná ČSN 33 2000-4-41 v článku 413.1.3.3). Velikost impedance sítě TN určuje bezpečnost instalace tím, že je směrodatná pro rychlost vypnutí předřazeného jisticího přístroje (pojistka ,jistič apod.). Aby jistící přístroj vypnul při poruše v dostatečně krátkém čase, musí být impedance dostatečně nízká. Podrobněji viz výše uvedená ČSN.
SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan.Elektřina a magnetismus . 2., opravené a rozšíření vyd. Praha: Academia, 2002. 632 s.ISBN 80-200-1004-1 BLAHOVEC, Antonín.Elektrotechnika II . 4., nezměněné vyd. Praha: Informatorium, 2003. 156 s.ISBN 80-7333-013-X 
