Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Přeskočit na obsah
WikipedieWikipedie: Otevřená encyklopedie
Hledání

Goniometrická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jedna perioda funkcísinus akosinus

Jakogoniometrické funkce se v matematice nazývá skupina šestifunkcí velikosti úhlu používaných například při zkoumánítrojúhelníků a periodických jevů. Goniometrické funkce jsou základemgoniometrie. Obvykle se definují jakopoměr dvou stranpravoúhléhotrojúhelníku nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici. Jejich modernější definice je založena na nekonečnýchřadách nebo řešeních určitýchdiferenciálních rovnic, díky čemuž je lze vztáhnout také kekomplexním číslům.Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se označují jako funkcecyklometrické.

Animace zobrazující vztah mezi jednotkovou kružnicí a funkcemi sinus a kosinus.
Sinus (vlevo),kosinus (dole) atangens (vpravo) na jednotkové kružnici

Elementárními goniometrickými funkcemi jsou:

značka a vzorecjiné značky
sinussin[p 1]
kosinuscos
tangenstg = sin/costan

Někdy se používají označení také pro jejich převrácené hodnoty:

značka a vzorecjiné značky
sekanssec = 1/cos
kosekanscosec = 1/sincsc
kotangenscotg = cos/sincot,cotan

Historicky se používaly zvláštní názvy ještě pro další odvozené funkce:

značka a vzorecjiné značkypoloviční hodnota
sinus versusversin = 1 − coshaversin = versin/2
kosinus versusvercosin = 1 + coshavercosin = vercosin/2
sinus koversuscoversin = 1 − sincvshacoversin = coversin/2
kosinus koversuscovercosin = 1 + sinhacovercosin = covercosin/2
exsekansexsec = sec − 1
exkosekansexcsc = cosec − 1

____________

  1. ↑Správný zápis jesinx, kdex je úhel, argument funkce. Podobně i u ostatních funkcí. Avšak protože v tomto přehledu je argument vždy stejný, je v zájmu přehlednosti vynechán.


Definice

[editovat |editovat zdroj]

Pravoúhlý trojúhelník

[editovat |editovat zdroj]
Pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem γ při vrcholu C. Přilehlá a protilehlá odvěsna se vztahují k úhlu α.

Při definici s pomocípravoúhlého trojúhelníku jsou jednotlivé prvky trojúhelníkaABC následující:

  • pravýúhelγ{\displaystyle \gamma } je při vrcholuC
  • určovaným úhlem je úhelα{\displaystyle \alpha }, vzhledem k němu je
    • stranaa označována jakoprotilehlá odvěsna
    • stranab označována jakopřilehlá odvěsna
    • nejdelší stranac je nazývánapřepona trojúhelníka

Předpokládá se, že trojúhelník leží v euklidovském prostoru a součet jeho vnitřních úhlů je takπ{\displaystyle \pi }radiánů neboli180°. Pak:

sin⁡α=ac{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}
cos⁡α=bc{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
  • Tangensα{\displaystyle \alpha } je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky odvěsny k němu přilehlé.
tgα=ab=sin⁡αcos⁡α{\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}
  • Kotangensα{\displaystyle \alpha } je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky odvěsny k němu protilehlé.
cotgα=ba=cos⁡αsin⁡α{\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}}
sec⁡α=cb=1cos⁡α{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\cos \alpha }}}
cosecα=ca=1sin⁡α{\displaystyle {\textrm {cosec}}\,\alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\sin \alpha }}}

Jednotková kružnice

[editovat |editovat zdroj]
Jednotková kružnice

Těchto šest funkcí může být také definováno pomocíjednotkové kružnice, což jekružnice o poloměru jedna se středem v počátku soustavy souřadnic. Tento způsob definice nemá valné praktické využití, koneckonců pro většinu úhlů jde o postup založený na pravoúhlých trojúhelnících. Na druhou stranu jde o postup velmi názorný a umožňující definovat úhly v rozsahu 0 – 2 π a nikoli jen 0 – π /2 radiánů, jako při předchozím postupu. Rovnice jednotkové kružnice je:

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,}

Na jednotkovou kružnici jsou vynášeny orientované úhly θ tak, že jejich vrchol je ve středu kružnice a počáteční rameno je totožné s kladnou (pravou) poloosou vodorovné osy souřadnic. Jsou-li velikosti těchto úhlů kladné (větší než nula) je úhel orientovaný proti směru otáčení hodinových ručiček. Jsou-li záporné je úhel orientován ve směru otáčení. Druhé rameno úhlu protíná jednotkovou kružnici v bodě, jehož souřadnice v dané soustavě jsou [x,y]. Úsečka daná počátkem souřadné soustavy a tímto bodem je přeponou trojúhelníka, jehož odvěsny mají délkux ay. Protože má tato přepona délku 1, tak platí:x=cos⁡θ{\displaystyle x=\cos \theta } ay=sin⁡θ{\displaystyle y=\sin \theta }.Pro úhly větší než 2π, nebo menší než −2π, se celkem jednoduše pokračuje v otáčení ramena úhlu kolem středu kružnice. Pak se ovšem hodnoty funkcí sinus a kosinus začnou opakovat – říkáme, že tyto funkce jsouperiodické s periodou 2π (360°) a platí:

sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk){\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)}
cos⁡θ=cos⁡(θ+2πk){\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}

kde θ je libovolný úhel ak libovolnécelé číslo.

Nejmenšíperiodou funkcísin,cos,sec acosec je plný úhel – tedy 2π radiánů nebo 360 stupňů. Nejmenší periodou funkcítg acotg je úhel přímý – π nebo 180°.

Možná konstrukce hodnot jednotlivých goniometrických funkcí

Zatímco funkce sinus a kosinus lze sestrojit takto jednoduchým způsobem, konstrukce hodnot ostatních funkcí je o něco složitější. Běžně se používá ještě konstrukce funkcí tangens a kotangens, i když se v českých učebnicích matematiky používá postup trochu jiný, než je ten na sousedním obrázku.

Řady

[editovat |editovat zdroj]
Aproximace funkcesinus (modře) pomocíTaylorova polynomu sedmého stupně (růžově)

Za pomocigeometrie a vlastnostílimit lze ukázat, žederivace sinu je kosinus a derivace kosinu je −sinus. Potom lze pomocíTaylorových řad vyjádřit sinus a kosinus pro všechnakomplexní číslax takto:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+…=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

Polynomy pro další goniometrické funkce jsou:

tgx=x+x33+2x515+17x7315+…{\displaystyle {\textrm {tg}}\,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots }, kde(−π2<x<π2){\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right)}
cotgx=1x−x3−x345−2x5945−…{\displaystyle {\textrm {cotg}}\,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\ldots }, kde(0<|x|<π){\displaystyle \left(0<|x|<\pi \right)}
sec⁡x=1+x22+5x424+61x6720+…{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\ldots }
csc⁡x=1x+x6+7x3360+31x515120+…{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\ldots }

Diferenciální rovnice

[editovat |editovat zdroj]

Jak funkce sinus, tak i kosinus jsou výsledkemdiferenciální rovnicey″=−y{\displaystyle y\,''=-y}. To tedy znamená, že pro obě tyto funkce platí, že jejich druhá derivace je rovna minus dané funkci. Ve dvourozměrnémvektorovém prostoruV obsahujícím všechna řešení této rovnice jesinus právě to řešení splňující počáteční podmínkyy(0) = 0 ay′(0) = 1 akosinus řešení s počátečními podmínkamiy(0) = 1 ay′(0) = 0.Protože jsou sinus a kosinus lineárně nezávislé, tvoříbázi vektorového prostoruV. Tento způsob definice těchto goniometrických funkcí je v zásadě ekvivalentní definici přesEulerovu formuli.

Funkce tangens je řešením rovnicey′=1+y2{\displaystyle y\,'=1+y^{2}} pro počáteční podmínkuy(0) = 0.

Pomocí vlastností

[editovat |editovat zdroj]

Existuje právě jedna dvojice funkcís ac s těmito vlastnostmi:∀x,y∈R{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} }:

s2(x)+c2(x)=1,{\displaystyle s^{2}(x)+c^{2}(x)=1,\,}
s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y),{\displaystyle s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y),\,}
c(x+y)=c(x)c(y)−s(x)s(y),{\displaystyle c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y),\,}
0<xc(x)<s(x)<x{\displaystyle 0<xc(x)<s(x)<x\,\!}, pro0<x<1{\displaystyle 0<x<1\,\!}.

Výpočty hodnot

[editovat |editovat zdroj]
Určení hodnoty goniometrické funkce pomocí rovnostranného trojúhelníku.

V současnosti se většina lidí vyhne počítání hodnot goniometrických funkcí díky dostupnostipočítačů a vědeckýchkalkulátorů. Historicky se hodnoty goniometrických funkcí určovalyinterpolací hodnot z předpočítaných tabulek obsahujících jejich hodnoty pro nejdůležitější úhly. Tyto tabulky vznikaly se zrodem samotných goniometrických funkcí a byly sestavovány opakovaným užitím sčítání a půlení známých úhlů.

Počítače užívají k výpočtu goniometrických funkcí několika metod. Obvyklým postupem je kombinace polynomiální aproximace (pomocíTaylorových nebo Maclaurinových polynomů) a vyhledávání v tabulce již připravených úhlů. Nejprve je tedy nalezena hodnota blízkého úhlu a přesná hodnota je dopočítána vhodným aproximačnímpolynomem. Tak ovšem mohou postupovat výkonnější stroje vybavené jednotkou pro operace s plovoucí řádovou čárkou, v jednodušších zařízeních se používá algoritmus zvanýCORDIC, který je v tomto případě efektivnější. Obě metody jsou kvůli lepšímu výkonu často součástí počítačovéhohardware.

Přesně určit hodnoty goniometrických funkcí pro všechny násobky 60° a 45° lze následujícím způsobem:

Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen a=b=1; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovnéπ/4{\displaystyle \pi /4} (45°). Pak podlePythagorovy věty:

c=a2+b2=2{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}}}

a tedy ovšem

sin⁡π4=cos⁡π4=22{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}
tgπ4=22=1{\displaystyle {\mbox{tg}}{\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}=1}

Goniometrické funkce úhlůπ/3{\displaystyle \pi /3} radiánů (60°) aπ/6{\displaystyle \pi /6} radiánů (30°) se určí pomocí rovnostranného trojúhelníka se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovnyπ/3{\displaystyle \pi /3} radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s úhly o velikostechπ/6{\displaystyle \pi /6} aπ/3{\displaystyle \pi /3}. Jeho kratší odvěsna má délku1/2{\displaystyle 1/2}, delší3/2{\displaystyle {\sqrt {3}}/2} a přepona délku 1. Pak tedy:

sin⁡π6=cos⁡π3=12{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}}
cos⁡π6=sin⁡π3=32{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
tgπ6=cotgπ3=13{\displaystyle {\mbox{tg}}{\frac {\pi }{6}}={\mbox{cotg}}{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}


Přesně určit hodnoty goniometrických funkcí pro všechny násobky 3° lze následujícím způsobem.

Výchozí hodnotuπ/5{\displaystyle \pi /5} (36°) lze vypočítat ze vztahu velikosti opsané kružnice ku straně pravidelnéhopětiúhelníka. Tento vztah má tvar:

r=50+10510a{\displaystyle r={{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}} \over 10}a}

Úhel daný polopřímkami, které vycházející ze středu pětiúhelníka a protínající dva jeho sousední vrcholy, má hodnotu2π/5{\displaystyle 2\pi /5} (72°). Pro jeho polovinuπ/5{\displaystyle \pi /5} (36°) pak platí:

sin⁡36∘=a2r=25−54{\displaystyle \sin 36^{\circ }={a \over 2r}={{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 4}}

Hodnota cos 36° se vypočítá ze vztahu:

cos⁡36∘=1−sin2⁡36∘=5+14=23+54{\displaystyle \cos 36^{\circ }={\sqrt {1-\sin ^{2}36^{\circ }}}={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={{\sqrt {2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}} \over 4}}

Se znalostí hodnot pro sinus a kosinus 30° a 45° pomocí vztahů pro sinus součtu (resp. rozdílu) úhlů lze postupně vypočítat hodnoty sinus pro 6, 9 a pak 3 stupně. Další hodnoty sinus násobku tří lze adekvátně odvodit. Obdobně to platí pro hodnoty kosinus.

Historie

[editovat |editovat zdroj]

Snad jako první se studiu goniometrických funkcí a počítání jejich hodnot věnovalHipparchos z Nikaje (180–125 př. n. l.), který porovnával délky obloukukružnice při daném středovémúhlu (αr) s délkami jim odpovídajícíchtětiv (2r sin(α/2)). O něco později, ve2. století našeho letopočtu,Ptolemaios obohatil tyto znalosti ve svém díleAlmagest o odvození vzorců odpovídajících těm dnešním prosoučet arozdíl úhlů: sin(α + β) a sin(α − β). Dokázal také odvodit vzorec pro úhel poloviční (sin2(α/2) = (1 − cos(α))/2), díky čemuž mohl sestavit tabulky pro úhly s prakticky libovolnou přesností. Do dnešních dnů se však ani jedny tabulky nedochovaly.

K dalšímu pokroku v oblasti goniometrie došlo v Indii. Ve spiseSiddhantas ze4–5. století byla poprvé uvedena definicesinu jako poměru mezi polovinou úhlu a polovinou sečny. Tento spis také obsahuje první dodnes dochované tabulky hodnot sinu a funkce (1 − cos) pro úhly v 3,75stupňových intervalech mezi 0 a 90 stupni. Byl později přeložen a podstatně rozšířenAraby, kteří zhruba v 10. století, v díleAbu'l-Wefy, již používali šest goniometrických funkcí a měli tabulky hodnot funkcí sinus atangens s přesností na 8 desetinných míst pro úhly vzdálené od sebe o čtvrtinu stupně.

Dnes používané slovosinus pochází z latinského výrazu pro záhyb nebo zátoku. Vzniklo nesprávným překladem zesanskrtu, z tamního slovajiva (nebojya).jiva (původněardha-jiva), ve významu „půltětiva“, byla v díleAryabhatiya z 6. století Araby přepsána jakojiba (جب). Evropskými překladateli (Robert of Chester aGerardo da Cremona) z Toleda však bylo toto slovo ve12. století zaměněno se slovemjaib (جب) znamenajícím „zátoka“. Důvodem jejich omylu byl stejný arabský zápis obou slov.

Všechny dosavadní práce se na goniometrii dívaly jako na doplněkastronomie, snad prvním pojednáním zabývajícím se goniometrií samostatně byloRegiomontanovoDe triangulis omnimodus z roku1464 a později také jehoTabulae directionum (kde se objevila, zatím nepojmenovaná, funkce tangens).

Rhaeticova práceOpus palatinum de triangulis konečně definovala goniometrické funkce přes pravoúhlé trojúhelníky namísto tětiv kružnic a obsahovala tabulky pro šestici goniometrických funkcí. Práci dokončil Rhaeticův studentValentin Otho v roce1596.

Analytický náhled na goniometrické funkce vytvořilLeonhard Euler roku1748 ve spiseIntroductio in analysin infinitorum, kde tyto funkce definoval pomocínekonečných řad a kde také představilEulerův zápiskomplexních čísel:eix = cos(x) +i sin(x). Používal také (téměř) dnešní zkratky pro funkce:sin.,cos.,tang.,cot.,sec., acosec..

Vybrané vzorce z oblasti goniometrie

[editovat |editovat zdroj]

Následující vzorce jsou platné tam, kde mají dané formule smysl

  • Záporné hodnoty úhlů
sin⁡(−α)=−sin⁡α{\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha \,\!}
cos⁡(−α)=cos⁡α{\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha \,\!}
tg(−α)=−tgα{\displaystyle \mathrm {tg} (-\alpha )=-\mathrm {tg} \,\alpha \,\!}
cotg(−α)=−cotgα{\displaystyle \mathrm {cotg} (-\alpha )=-\mathrm {cotg} \,\alpha \,\!}
  • Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
sin2⁡α+cos2⁡α=1{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,\!}
tgα⋅cotgα=1{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha \cdot \mathrm {cotg} \,\alpha =1\,\!}
tgα=sin⁡αcos⁡α{\displaystyle {\textrm {tg}}\,\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\,\!}
cotgα=cos⁡αsin⁡α{\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,\!}
sec⁡α=1cos⁡α{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}\,\!}
cosecα=1sin⁡α{\displaystyle {\textrm {cosec}}\,\alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}\,\!}
1+tg2α=1cos2⁡α{\displaystyle 1+{\textrm {tg}}^{2}\,\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}\,\!}
1+cotg2α=1sin2⁡α{\displaystyle 1+{\textrm {cotg}}^{2}\,\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}}
|sin⁡α|=1−cos2⁡α=|tgα|1+tg2α=11+cotg2α{\displaystyle \left|\sin \alpha \right|={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}={\frac {\left|{\textrm {tg}}\,\alpha \right|}{\sqrt {1+{\textrm {tg}}^{2}\,\alpha }}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\textrm {cotg}}^{2}\,\alpha }}}\,\!}
|cos⁡α|=1−sin2⁡α=11+tg2α=|cotgα|1+cotg2α{\displaystyle \left|\cos \alpha \right|={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {1+{\textrm {tg}}^{2}\,\alpha }}}={\frac {\left|{\textrm {cotg}}\,\alpha \right|}{\sqrt {1+{\textrm {cotg}}^{2}\,\alpha }}}\,\!}
|tgα|=|sin⁡α|1−sin2⁡α=1−cos2⁡α|cos⁡α|=1|cotgα|{\displaystyle \left|{\textrm {tg}}\,\alpha \right|={\frac {\left|\sin \alpha \right|}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}{\left|\cos \alpha \right|}}={\frac {1}{\left|{\textrm {cotg}}\,\alpha \right|}}\,\!}
  • Goniometrické funkce součtu a rozdílu (jinak také součtové vzorce goniometrických funkcí)
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,\!}
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,\!}
tg(α±β)=tgα±tgβ1∓tgα⋅tgβ{\displaystyle {\textrm {tg}}\,\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\textrm {tg}}\,\alpha \pm {\textrm {tg}}\beta }{1\mp {\textrm {tg}}\,\alpha \cdot {\textrm {tg}}\,\beta }}\,\!}
cotg(α±β)=cotgα⋅cotgβ∓1cotgα±cotgβ{\displaystyle {\textrm {cotg}}\,\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {{\textrm {cotg}}\,\alpha \cdot {\textrm {cotg}}\,\beta \mp 1}{{\textrm {cotg}}\,\alpha \pm {\textrm {cotg}}\beta }}\,\!}
  • Součet a rozdíl goniometrických funkcí
sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2){\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\,\!}
sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2){\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\,\!}
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2){\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\,\!}
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2){\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\,\!}
tgα±tgβ=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha \pm \mathrm {tg} \,\beta ={\frac {\sin \left(\alpha \pm \beta \right)}{\cos \alpha \cos \beta }}\,\!}
cotgα±cotgβ=sin⁡(β±α)sin⁡αsin⁡β{\displaystyle \mathrm {cotg} \,\alpha \pm \mathrm {cotg} \,\beta ={\frac {\sin \left(\beta \pm \alpha \right)}{\sin \alpha \sin \beta }}\,\!}
tgα±cotgβ=±cos⁡(α∓β)cos⁡αsin⁡β{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha \pm \mathrm {cotg} \,\beta =\pm {\frac {\cos \left(\alpha \mp \beta \right)}{\cos \alpha \sin \beta }}\,\!}
  • Součiny goniometrických funkcí
sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )]}
cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]}
sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)]{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )]}
tgαtgβ=tgα+tgβcotgα+cotgβ{\displaystyle \mathrm {tg} \alpha \mathrm {tg} \beta ={\frac {\mathrm {tg} \alpha +\mathrm {tg} \beta }{\mathrm {cotg} \alpha +\mathrm {cotg} \beta }}}
cotgαcotgβ=cotgα+cotgβtgα+tgβ{\displaystyle \mathrm {cotg} \alpha \mathrm {cotg} \beta ={\frac {\mathrm {cotg} \alpha +\mathrm {cotg} \beta }{\mathrm {tg} \alpha +\mathrm {tg} \beta }}}
tgαcotgβ=tgα+cotgβcotgα+tgβ{\displaystyle \mathrm {tg} \alpha \mathrm {cotg} \beta ={\frac {\mathrm {tg} \alpha +\mathrm {cotg} \beta }{\mathrm {cotg} \alpha +\mathrm {tg} \beta }}}
  • Dvojnásobný úhel (K odvození goniometrických funkcí vícenásobného argumentu používámeMoivreovy věty)
sin⁡2α=2⋅sin⁡αcos⁡α{\displaystyle \sin 2\alpha =2\cdot \sin \alpha \cos \alpha \,\!}
cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \,\!}
tg2α=2⋅tgα1−tg2α{\displaystyle \mathrm {tg} \,2\alpha ={\frac {2\cdot \mathrm {tg} \,\alpha }{1-\mathrm {tg} ^{2}\,\alpha }}\,\!}
cotg2α=cotg2α−12⋅cotgα{\displaystyle \mathrm {cotg} \,2\alpha ={\frac {\mathrm {cotg} ^{2}\,\alpha -1}{2\cdot \mathrm {cotg} \,\alpha }}\,\!}
  • Poloviční úhel
|sin⁡α2|=1−cos⁡α2{\displaystyle \left|\sin {\frac {\alpha }{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!}
|cos⁡α2|=1+cos⁡α2{\displaystyle \left|\cos {\frac {\alpha }{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!}
|tgα2|=1−cos⁡α1+cos⁡α{\displaystyle \left|\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\right|={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}\,\!}
|cotgα2|=1+cos⁡α1−cos⁡α{\displaystyle \left|\mathrm {cotg} \,{\frac {\alpha }{2}}\right|={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}\,\!}
  • Mocniny goniometrických funkcí
sin2⁡α=12(1−cos⁡2α){\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )}
cos2⁡α=12(1+cos⁡2α){\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )}
sin3⁡α=14(3sin⁡α−sin⁡3α){\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(3\sin \alpha -\sin 3\alpha )}
cos3⁡α=14(cos⁡3α+3cos⁡α){\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(\cos 3\alpha +3\cos \alpha )}

Hodnoty funkcí ve vybraných úhlech

[editovat |editovat zdroj]
StupněRadiánySinusKosinusTangensKotangens
00{\displaystyle 0\,}0{\displaystyle 0\,}1{\displaystyle 1\,}0{\displaystyle 0\,}−{\displaystyle -\,}
30π6{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}33{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}
45π4{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}1{\displaystyle 1\,}1{\displaystyle 1\,}
60π3{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}33{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
90π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}1{\displaystyle 1\,}0{\displaystyle 0\,}−{\displaystyle -\,}0{\displaystyle 0\,}
1202π3{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}−12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}−3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}−33{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
1353π4{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}−22{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}−1{\displaystyle -1\,}−1{\displaystyle -1\,}
1505π6{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}−32{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}−33{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}−3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
180π{\displaystyle \pi \,}0{\displaystyle 0\,}−1{\displaystyle -1\,}0{\displaystyle 0\,}−{\displaystyle -\,}
2107π6{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}−12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}−32{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}33{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}
2255π4{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}−22{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}−22{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}1{\displaystyle 1\,}1{\displaystyle 1\,}
2404π3{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}−32{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}−12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}3{\displaystyle {\sqrt {3}}}33{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
2703π2{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}−1{\displaystyle -1\,}0{\displaystyle 0\,}−{\displaystyle -\,}0{\displaystyle 0\,}
3005π3{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}−32{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}−3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}−33{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}
3157π4{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}−22{\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}22{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}−1{\displaystyle -1\,}−1{\displaystyle -1\,}
33011π6{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}−12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}32{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}−33{\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}−3{\displaystyle -{\sqrt {3}}}


StupněRadiánySinusKosinus
0{\displaystyle 0}0{\displaystyle 0}0{\displaystyle 0}1{\displaystyle 1}
3{\displaystyle 3}π60{\displaystyle {\pi \over 60}}(3+1)3−5−(3−1)5+58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 8}}(3−1)3−5+(3+1)5+58{\displaystyle {({\sqrt {3}}-1){\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 8}}
6{\displaystyle 6}π30{\displaystyle {\pi \over 30}}65−5−23+58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}} \over 8}}63+5+25−58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 8}}
9{\displaystyle 9}π20{\displaystyle {\pi \over 20}}3+5−5−54{\displaystyle {{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 4}}3+5+5−54{\displaystyle {{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 4}}
12{\displaystyle 12}π15{\displaystyle {\pi \over 15}}25+5−63−58{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {6}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 8}}23−5+65+58{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 8}}
15{\displaystyle 15}π12{\displaystyle {\pi \over 12}}2(3−1)4{\displaystyle {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1) \over 4}}2(3+1)4{\displaystyle {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1) \over 4}}
18{\displaystyle 18}π10{\displaystyle {\pi \over 10}}23−54{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 4}}25+54{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 4}}
21{\displaystyle 21}7π60{\displaystyle {7\pi \over 60}}(3+1)5−5−(3−1)3+58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt {3+{\sqrt {5}}}} \over 8}}(3+1)3+5+(3−1)5−58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 8}}
24{\displaystyle 24}2π15{\displaystyle {2\pi \over 15}}63+5−25−58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 8}}65−5+23+58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}} \over 8}}
27{\displaystyle 27}3π20{\displaystyle {3\pi \over 20}}5+5−3−54{\displaystyle {{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 4}}5+5+3−54{\displaystyle {{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 4}}
30{\displaystyle 30}π6{\displaystyle {\pi \over 6}}12{\displaystyle {1 \over 2}}32{\displaystyle {{\sqrt {3}} \over 2}}
33{\displaystyle 33}11π60{\displaystyle {11\pi \over 60}}(3+1)3−5+(3−1)5+58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 8}}(3+1)5+5−(3−1)3−58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 8}}
36{\displaystyle 36}π5{\displaystyle {\pi \over 5}}25−54{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 4}}23+54{\displaystyle {{\sqrt {2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}} \over 4}}
39{\displaystyle 39}13π60{\displaystyle {13\pi \over 60}}(3+1)3+5−(3−1)5−58{\displaystyle {({\sqrt {3}}+1){\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 8}}(3−1)3+5+(3+1)5−58{\displaystyle {({\sqrt {3}}-1){\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}} \over 8}}
42{\displaystyle 42}7π30{\displaystyle {7\pi \over 30}}65+5−23−58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}} \over 8}}63−5+25+58{\displaystyle {{\sqrt {6}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}} \over 8}}
45{\displaystyle 45}π4{\displaystyle {\pi \over 4}}22{\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 2}}22{\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 2}}

V některých výše uvedených vzorcích lze matematický výraz3±5{\displaystyle {\sqrt {3\pm {\sqrt {5}}}}} lze nahradit výrazem2(5±1)2{\displaystyle {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}\pm 1) \over 2}} a výraz3±1{\displaystyle {\sqrt {3}}\pm 1} výrazem22±3{\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2\pm {\sqrt {3}}}}} . Všechny hodnoty výrazů pod odmocninami uvedené v tabulce vystupují jako absolutní hodnota, musí být chápany jako kladné hodnoty. (Pro přehlednost vzorců nejsou použity závorky absolutní hodnota.)
Hodnoty sinus a kosinus násobků 3° pro hodnoty od 45° do 90° lze snadno odvodit pomocí vztahů:

sin⁡(90∘−α)=cos⁡αcos⁡(90∘−α)=sin⁡α{\displaystyle \sin(90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha \qquad \cos(90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha }

Trigonometrické věty

[editovat |editovat zdroj]

Odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Literatura

[editovat |editovat zdroj]
  • Rektorys, K. a spol.:Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha,2003, 7. vydání.ISBN 80-7196-179-5

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]
Goniometrické a související funkce
Goniometrické funkce
Cyklometrické funkce
Hyperbolické funkce
Hyperbolometrické funkce
Autoritní dataEditovat na Wikidatech
Portály:Matematika
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Goniometrická_funkce&oldid=24732310“
Kategorie:
Skryté kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp