Movatterモバイル変換

Přeskočit na obsah

Fibonacciho posloupnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

JakoFibonacciho posloupnost je vmatematice označovánanekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývánaFibonacciho čísla), kde každé číslo jesoučtem dvou předchozích.Rekurentní definice Fibonacciho posloupnosti tedy je:

F_{n}=\left\{{\begin{matrix}0\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{pro }}n=0\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{pro }}n=1;\ \ \,\\F_{n-1}+F_{n-2}&&{\mbox{jinak.}}\end{matrix}}\right.

Historie

[editovat |editovat zdroj]

Počet párů králíků podle Fibonacciho posloupnosti.

Fibonacciho posloupnost byla poprvé popsána italským matematikemLeonardem Pisánským (Leonardo zPisy), známým také jako Fibonacci (cca1175–1250), k popsání růstu populace králíků (za poněkud idealizovaných podmínek). ČísloF(n) popisuje velikost populace pon měsících, pokud předpokládáme, že

První měsíc se narodí jediný pár.
Nově narozené páry jsou produktivní od druhého měsíce svého života.
Každý měsíc zplodí každý produktivní pár jeden další pár.
Králíci nikdy neumírají, nejsou nemocní atd.

Prvních 21 Fibonacciho číselF_n pron = 0, 1, 2, ..., 20:^[1]

F₀	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆	F₁₇	F₁₈	F₁₉	F₂₀
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Posloupnost lze obdobně definovat i pro záporná čísla.

Zobecnění

[editovat |editovat zdroj]

TermínFibonacciho posloupnost je někdy používán i pro jiné posloupnosti, ve kterých platí, žef(n+2) =f(n) +f(n+1). Libovolnou takovou posloupnost lze zapsat jakof(n+2) =aF(n) +bF(n+1), pro nějakékoeficientya, b, tzn. tyto posloupnosti tvořívektorový prostor s posloupnostmiF(n) aF(n+1)) jakobází.

Speciální případ takové obecné Fibonacciho posloupnosti sf(1) = 1 af(2) = 3 se nazýváLucasovo číslo.

Explicitní vyjádření

[editovat |editovat zdroj]

Dlaždice se čtverci, jejichž délky stran jsou po sobě jdoucí Fibonacciho čísla: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a 21. Poměr stran obdélníku je zlatý řez (34:21).

Jak zjistil užJohannes Kepler, rychlost růstu Fibonacciho posloupnosti, tzn. podíl dvou po sobě jdoucích členůF(n+1) /F(n),konverguje k hodnotězlatého řezuφ = (1+√5) / 2 ≈ 1,618. Pomocí tohoto faktu, technikygenerujících funkcí, nebo pomocí řešenírekurentních rovnic lze dospět k následujícímu explicitnímu (nerekurzivnímu) vztahu pron-tý člen Fibonacciho posloupnosti:

F\left(n\right)={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}

Druhý člen této rovnice se s rostoucímn blíží nule, takžeasymptotické chování Fibonacciho posloupnosti je dáno prvním členem, takžeF(n) ≈φⁿ / √5, z čehož je zřejmá již zmíněná rychlost růstu. Ve skutečnosti je druhý člen tak malý i pro malán, že ho lze zcela zanedbat a Fibonacciho čísla získávat prostýmzaokrouhlením prvního členu na nejbližšícelé číslo.

Algoritmy výpočtu

[editovat |editovat zdroj]

Výpočetn-tého Fibonacciho čísla přímým dosazením do výše uvedeného explicitního vzorce je sice rychlá metoda, avšak kvůli hromadícím se nepřesnostem při výpočtu za použitíčísel s plovoucí řádovou čárkou je pro většín nepoužitelná.

Přímočará implementace výpočtu podle definice,rekurzivním algoritmem, je extrémně neefektivní. Technicky exponenciální vn.

Nejčastějším způsobem výpočtu je tedy postupný výpočet, ve kterém se začíná s hodnotamiF(0) aF(1) a postupně se počítají další členy posloupnosti, přičemž v paměti stačí udržovat hodnotu dvou posledních členů.

Pro velmi vysoké hodnotyn je možno použít následující vzorec, využívajícímaticové operace:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F\left(n+1\right)&F\left(n\right)\\F\left(n\right)&F\left(n-1\right)\end{bmatrix}}

Při použití vhodného algoritmu pro výpočet mocnin se jedná o relativně rychlý postup. Potřebuje logaritmický počet maticových a celočíselných operací.

Vlastnosti

[editovat |editovat zdroj]

Fibonacciho čísla jsou součty „mělkých úhlopříček“Pascalova trojúhelníku. (červeně zvýrazněných)

F(n+2) =F(n) +F(n+1)
F(0) +F(1) + … +F(n) =F(n+2) − 1
F(1) +2F(2) +3F(3) + … +nF(n) =nF(n+2) −F(n+3) + 2
F(n) vyjadřuje počet způsobů, kterým lze vyrobit číslon−1 jako součet čísel 1 a 2.
Číslo $x {\displaystyle x}$ je Fibonacciho číslo, pokud výraz ${\sqrt {5x^{2}+4}}$ nebo ${\sqrt {5x^{2}-4}}$ jecelé číslo.

Význam

[editovat |editovat zdroj]

Zlatý řez.

Podrobnější informace naleznete v článku logaritmická spirála.

Limita poměru dvou následujících čísel Fibonacciho posloupnosti je rovnazlatému řezu.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}=\varphi$

Fibonacciho posloupnost je „manifestována“ přírodou, a to jak v říši živočišné, tak rostlinné. Objevuje se např.:

V semenícíchslunečnice, kde lze pozorovat jednotlivá semínka uspořádaná do spirál o dvou po sobě jdoucích číslech posloupnosti (na obrázku je to 34 a 55, tedyF(9) aF(10)).
Zdřevnatělé lístky ploduartyčoku jsou uspořádány do spirál vedoucích dvěma směry, jejichž počet kolem stonku opět tvoří dvě po sobě jdoucí čísla Fibonacciho posloupnosti (typicky 5 a 8, tedyF(5) aF(6)). Obdobně se tato vlastnost objevuje ušišek některých jehličnatých stromů, tam většinou počet spirál tvoří vyšší členy Fibonacciho posloupnosti.
Fibonacciho posloupnost popisuje genealogiivčel, stejně jako složení jejich pohlaví.
Taktéž velikost sousedních vrstev listůzelí zachovává poměr dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti.
Poměr velikostí dvou po sobě jdoucích komůrek ulity některých plžů odpovídá poměru dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti.
Obdobný tvar lze najít urohů některých druhů čelediturovitých (Bovidae).
Fibonacciho posloupnost lze najít u celé řady vyšších rostlin, např. v poměru velikostí jejich listů, nebo úhlu, kterým ze stonku vyrůstají.
Jak v případě ulit mlžů, rohů čeledi turovitých i listů vyšších rostlin pro tento typ růstu platí, že v každém okamžiku růstu jetěžiště (v limitním případě) stejné a daná rostlina nebo živočich se změně těžiště nemusí přizpůsobovat.
U tzv. zlaté spirály, která se taktéž vyskytuje v přírodě, převážně v živočišné říši, platíinvariance vůči velikosti (tedy pohled do středu spirály zůstává týž při jakémkoli přiblížení či zvětšení).
Tyto projevy a zákonitosti Fibonacciho posloupnosti byly známy již starověkým Egypťanům.

Uspořádání řad semínek v květuslunečnice.
Fibonacciho „zlatá“ spirála, připomínajícíulitu.
UlitaValvata sincera.
koza šrouborohá

Související informace naleznete také v článku Zlatý řez#Zlatý řez v přírodě.

Další posloupnosti

[editovat |editovat zdroj]

V některých oborech se objevují čísla či posloupnosti nějak příbuzná s Fibonacciho posloupností.

Sekvence vyšších řádů

[editovat |editovat zdroj]

Fibonacciho sekvence vyšších (k-tých) řádů lze definovat jako:^[2]

T_{n}(k)=T_{n-1}+T_{n-2}+\ldots +T_{n-k}

(Základní Fibonacciho sekvence je druhého řádu.)

Tribonacciho čísla

[editovat |editovat zdroj]

Tribonacciho číslo (Fibonacciho sekvence 3. řádu) je definováno jako součettří předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, ...

Tetranacciho čísla

[editovat |editovat zdroj]

Tetranacciho číslo (Fibonacciho sekvence 4. řádu) je definováno jako součetčtyř předchozích členů posloupnosti. Začátek posloupnosti:

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, …

Repfigity

[editovat |editovat zdroj]

Repfigit (repeated Fibonacci-like digit, téžKeithovo číslo) je takové celé číslo, které se objevuje v zobecněné Fibonacciho posloupnosti, která začíná jednotlivýmičíslicemi tohoto čísla.^[3] Např. číslo 47 je repfigit, neboť zobecněná Fibonacciho posloupnost 4, 7, 11, 18, 29, 47, … obsahuje toto číslo. Pro trojciferná čísla se uvažuje Tribonacciho posloupnost atd. Posloupnost Keithových čísel začíná:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, …

Odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Reference

[editovat |editovat zdroj]

↑KNOTT, Ron.The first 300 Fibonacci numbers, factored [online]. UK: Surrey, rev. 3rd April 2011 [cit. 2019-03-23]. Kapitola Fib table.Dostupné online. (anglicky) Surrey má prvních 300 F_n faktorovaných na prvočísla a odkazuje na podrobnější tabulky.
↑Lengyel T., Marques D.:The 2-adic Order of Some Generalized Fibonacci Numbers,INTEGERS, Volume 17 (2017)(anglicky)
↑KEITH, Mike.Keith Numbers [online]. [cit. 2021-06-08].Dostupné online.

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Obrázky, zvuky či videa k tématuFibonacciho posloupnost na Wikimedia Commons
Fibonacciho posloupnost v encyklopedii Mathworld (anglicky)
Repfigity v katalogu celočíselných posloupností (A007629)
OEIS –On-Line Encyclopedia of Integer Sequences:
- A000045 –Fibonacci numbers(anglicky)
- A000073 –Tribonacci numbers(anglicky)
- A000078 –Tetranacci numbers(anglicky)
- A007629 –Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers (or Keith numbers). (Formerly M4922)(anglicky)

Portály:Matematika

Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibonacciho_posloupnost&oldid=24249925“

Celočíselné posloupnosti

Skryté kategorie:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp