Movatterモバイル変換

Deformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pojmemdeformacetělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působenízatížení (síly,momenty síly,oteplení atp.). Silové působení mění vzájemné polohyatomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme opružné (elastické, vratné) deformaci. Pružné deformace se vyskytují upružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme onepružné (nevratné) deformaci popř. úžeji oplastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u elastoplastických neboplastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jakorovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají natahové,tlakové,smykové,ohybové nebotorzní, případně jejich kombinace. Tyto síly bývají také označovány jakodeformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jehodeformace, mluvíme otuhém (rigidním) tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

[editovat |editovat zdroj]

Vmechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavukontinua.

Deformace dělíme na:

posuvy (změna vzdálenosti či změnu úhlu polohy tělesa), příkladem je například prohnutí stropu
poměrné deformace (posuv vztažený na původní polohu).

Posuvy (posunutí)u_i

[editovat |editovat zdroj]

Včase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},0)=x_{j}$ . V čase $\Delta t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},\Delta t)$ . Lze definovatvektor posunutí $u_{i}$ , který obvykle vyjadřujeme v metrech jako

u_{i}=y_{i}-x_{i}

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

y_{j}=x_{j}+u_{j}(x_{i})

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale taképosunutí aotáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnámvzdáleností částic kontinua.

Poměrné deformace (intenzita posunutí)ε_kl

[editovat |editovat zdroj]

Uvažujeme-li libovolný bod $x_{j}$ kontinua a v jeho okolí bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ , pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_{j}$ přesune do bodu $y_{j}$ a bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ do bodu $y_{j}+\mathrm {d} y_{j}$ . Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}$ jako $u_{j}$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ jako $u_{j}+\mathrm {d} u_{j}$ , a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_{j}$ , můžeme použít zápis

\mathrm {d} y_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\mathrm {d} u_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\left({\frac {\mathrm {d} u_{j}}{\mathrm {d} x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}}}$ . Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}}}$ (kde bylo použitoEinsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_{j}$ a konečné $y_{j}$ , se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2\varepsilon _{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}

kde byl zaveden tzv.tenzor velkých deformací

\varepsilon _{lk}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}+\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)\right]

Tenzor velkých deformací jefunkcí souřadnic, tzn. $\varepsilon _{lk}=\varepsilon _{lk}(x_{i})$ , a je tosymetrický tenzor druhého řádu, který má fyzikální rozměr 1 (bezrozměrná veličina).

Tenzor malých deformací

[editovat |editovat zdroj]

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_{i}$ se souřadnicemi $x_{j}$ , tzn. jsou malé taképarciální derivace ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$ . V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)$ malý ve srovnání s členy ${\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}$ a ${\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv.tenzorem malých deformací

e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)

Pro malé deformace tedy platí

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

{\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)

a platí

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $\mathrm {d} x_{i}$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $\mathrm {d} y_{j}$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\overline {e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru $e_{ij}$ naizotropní část adeviátor

e_{ij}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}+\left(e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}\right)

,

kde $e_{I}$ jestopa tenzoru malých deformací a $\delta _{ij}$ jeKroneckerovo delta. Označuje se

e_{ij}^{(s)}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}

jako izotropní část a

e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}

jakodeviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

[editovat |editovat zdroj]

Význam diagonálních složek tenzoru $e_{ij}$ lze určit následující úvahou.

Výraz $\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{1}$ je čtverecdélky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení $l_{0}^{2}$ . Podobně pro výraz $\mathrm {d} y_{i}\mathrm {d} y_{i}$ , který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení $l^{2}$ . Potom platí

{\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}=2e_{11}

Pro malé deformace je $l_{0}{\dot {=}}l$ , takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu ${\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {(l-l_{0})(l+l_{0})}{l_{0}^{2}}}{\dot {=}}{\frac {(l-l_{0})2l_{0}}{l_{0}^{2}}}=2{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}$ , čímž získáme

e_{11}{\dot {=}}{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}

Složka tenzoru $e_{11}$ malých deformací tedy odpovídárelativní změně délky elementu, který byl původněrovnoběžný s osou $x_{1}$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky $e_{22}$ a $e_{33}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami $x_{2}$ a $x_{3}$ .

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace vrovině dané kartézskými osami $x_{1},x_{2}$ . Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky $e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}$ . Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. $e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\neq 0$ , pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{1}$ , tzn. lze jej před deformací popsatvektorem $(\mathrm {d} x_{1},0)$ , lze po deformaci popsat vektorem $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$ , kde $u_{2}$ je složka vektoru posunutí podél osy $x_{2}$ .Proúhel $\alpha _{1}$ mezi vektory $(\mathrm {d} x_{1},0)$ a $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$ platí

\operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{2}$ , který je možné před deformací popsat vektorem $(0,\mathrm {d} x_{2})$ , určit složky tohoto elementu po deformaci jako $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$ .Pro úhel $\alpha _{2}$ mezi vektory $(0,\mathrm {d} x_{2})$ a $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$ platí

\operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}

Pro malé deformace lze použítaproximaci $\operatorname {tg} \,\alpha _{i}\approx \alpha _{i}$ , což umožňuje psát

2e_{12}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}

Smíšená složka tenzoru deformace $e_{12}$ tedy odpovídá polovině úhlu $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ , o který se při deformaci změnípravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami $x_{1}$ a $x_{2}$ . Úhel $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ se nazýváúhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka $e_{12}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku $e_{13}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku $e_{23}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

[editovat |editovat zdroj]

Uvažujme v diferenciálnímokolí bodu, ve kterém známe složky $e_{ij}$ ,kvádr, jehož hrany mají před deformací délky $l_{01},l_{02},l_{03}$ , přičemž tyto hrany jsourovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na $l_{1},l_{2},l_{3}$ . Při vhodné volběsouřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouzečistý tah nebočistý tlak), platí

{\frac {l_{i}-l_{0i}}{l_{0i}}}=e_{ii}

pro $i=1,2,3$ .

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako $l_{i}=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}$ . Proobjem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

V=l_{1}l_{2}l_{3}=(l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33})=l_{01}l_{02}l_{03}+l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_{0}+V_{0}e_{I}

což bývá obvykle zapisováno jako

e_{I}={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}

,

kde $V_{0}$ je objem tělesa před deformací a $V {\displaystyle V}$ je objem tělesa po deformaci.Stopa $e_{I}$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedyobjemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části $e_{ij}$ je stejná jako stopa celého tenzoru $e_{ij}$ , odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru $\operatorname {Tr} \,e^{(d)}$ jenulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedytvarovou deformaci.