Movatterモバイル変換

Přeskočit na obsah

Brownův pohyb

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Znázornění Brownova pohybu na záznamu polohy nahodile se pohybující částice. Zobrazení téhož pohybu nezávisle v 32, 256 a 2048 krocích je znázorněno postupně světlejšími barvami

Brownův pohyb jenáhodný pohyb mikroskopických částic vkapalném neboplynném médiu. Jelimitou náhodné procházky. Vysvětlením Brownova pohybu je, žemolekuly vroztoku se vlivemtepelného pohybu neustále srážejí, přičemž směr a síla těchto srážek jsou náhodné, díky čemuž je i okamžitá poloha částice náhodná. Rychlost Brownova pohybu je úměrnáteplotě systému.

Brownův pohyb poprvé zaznamenal v roce1827 biologRobert Brown, když pozoroval chovánípylových zrnek ve vodě. Aby vyloučil možnost, že pohyb je projevem případného života, opakoval experiment s částicemi prachu. Podstatu tohoto jevu objasnil v roce1905 Albert Einstein, vycházeje zkinetické teorie látek.

Souvislost s difuzí

[editovat |editovat zdroj]

Brownův pohyb má význam např. pro pochopenídifuze látek v prostředí. S přibývajícím časem, na základěstochastické pravděpodobnosti jsou molekuly neustálým nahodilým pohybem rozptylovány z místa s nejvyššíkoncentrací. Některé molekuly se v následných krocích sice nahodile vrací směrem k centru, jiné však již nikoli a soubor všech částic se tak od sebe rozptyluje. Molekuly se v důsledku náhodného pohybu rozptýlí – difundují do okolí. Celkováentropie systému se zvýší.

(To ovšem v žádném případě neznamená, že by difuze přímo vyplývala z Brownova pohybu či naopak.)

Odvození Einsteinova vzorce pro Brownův pohyb

[editovat |editovat zdroj]

Vyjdeme z Langevinovy rovnice (rovnice pro popis Brownova pohybu):

m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\xi v+F'(t)

kdev je rychlost,F'(t)fluktuující síla,ξ jefrikční koeficient.

Pro frikční koeficient vyjdeme ze Stokesovy formule pro kouli (předpokládáme kulatou částici): $F_{f}=\xi v=6\pi \mu rv$
Kdeμ jedynamická viskozita.r je poloměr částice.

Vynásobíme langevinovu rovnici souřadnicí:

mx_{i}{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}

Upravíme (derivace součinu):

m[{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}-{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}]=-\xi x_{i}{\dot {x}}_{i}+F'(t)x_{i}

Střední hodnota:

m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-m<{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}>=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>+<F'(t)><x_{i}>

Souřadnice jenekorelovaná, proto vymizí ve střední hodnotě: $<x_{i}>=0$

Ekvipartiční teorém ve 3D: $1/2mv^{2}=3/2kT$ kdek jeBoltzmanova konstanta aT jetermodynamická teplota

Po úpravě dostaneme:

m<{\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}_{i}x_{i}}{\mathrm {d} t}}>-3kT=-\xi <x_{i}{\dot {x}}_{i}>

Řešení této diferenciální rovnice je (protože $<x_{i}{\dot {x}}_{i}>(0)=0$ ):

<x_{i}{\dot {x}}_{i}>={\frac {3kT}{\xi }}(1-\exp(-\xi t/m))

Provedeme trik s derivací a dosadíme do následujícího výrazu výraz výše:

1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<r^{2}(t)>=1/2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<x_{i}x_{i}>=<x_{i}{\dot {x}}_{i}>

Dostaneme:

<r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}\int (1-\exp(-\xi t/m))\mathrm {d} t={\frac {6kT}{\xi }}[t-m/\xi (1-\exp(-\xi t/m))]

Aproximace: $t\xi /m>>1$ odpovídá Brownově pohybu. Výsledek se redukuje na:

<r^{2}(t)>={\frac {6kT}{\xi }}t={\frac {kT}{\pi \mu r}}t

Což je výsledek pro Brownův pohyb ve 3D.

Kdybychom chtěli 1D Brownův pohyb, postup by byl stejný, až naekvipartiční teorém, který v 1D zní $1/2mv^{2}=1/2kT$ , jelikož máme jen jedenstupeň volnosti. Dostaneme pak následující vzorec pro Brownův pohyb v 1D:

<r^{2}(t)>={\frac {2kT}{\xi }}t={\frac {kT}{3\pi \mu r}}t

Odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]

Obrázky, zvuky či videa k tématuBrownův pohyb na Wikimedia Commons
Encyklopedické hesloMolekulový pohyb vOttově slovníku naučném ve Wikizdrojích
Seznam děl v Souborném katalogu ČR, jejichž autorem nebo tématem jeBrownův pohyb

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebopostrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodněrozšíříte. Nevkládejte všakbez oprávnění cizí texty.

Portály:Fyzika |Matematika

Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Brownův_pohyb&oldid=25379789“

Skryté kategorie:

[8]ページ先頭

©2009-2026 Movatter.jp