Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Přeskočit na obsah
WikipedieWikipedie: Otevřená encyklopedie
Hledání

Analytická geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
ikona
Tento článek není dostatečněozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třebaověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněnímreferencí navěrohodné zdroje.

Analytická geometrie (takésouřadnicová geometrie nebokartézská geometrie) je částgeometrie, která zkoumágeometrické útvary veuklidovské geometrii pomocíalgebraických aanalytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary vprostoru vyjadřoványčísly arovnicemi ve zvolenýchsouřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány slineární algebrou.

Historie

[editovat |editovat zdroj]

Za zakladatele analytické geometrie je považovánRené Descartes, který publikoval základní metody v roce1637 ve svém spisuLa Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

[editovat |editovat zdroj]

Veuklidovském prostoru obvykle máme danousoustavu souřadnic{x1,x2,…,xn}{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}bodů ivektorů. Velikost vektoru(v1,v2,…,vn){\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})} jev12+…+vn2{\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}} askalární součin vektorů(v1,v2,…,vn)⋅(w1,…,wn)=v1w1+…vnwn{\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\ldots v_{n}w_{n}}.Přímky jsou dány jako množiny{a+tv;t∈R}{\displaystyle \{a+t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}} kdea je bod av vektor.V dvourozměrném prostoru je navíc definovánakružnice jako množina bodů vrovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})} (středu kružnice). Její rovnice je(x−x0)2+(y−y0)2=r2{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvořímodel proeuklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

[editovat |editovat zdroj]

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu akřivky

[editovat |editovat zdroj]

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
BodA leží na křivcep pokud dosazenímsouřadnic bodu do rovnice křivky získámerovnost.

A[x1,…,xn],p(y1,…,yn)=0,A∈p⇔p(x1,…,xn)=0{\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}

Vzájemná poloha bodu a přímky

[editovat |editovat zdroj]

Pokud bod leží napřímce, rozděluje ji takto na dvěpolopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednurovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bodA leží na přímcep pokud dosazenímsouřadnic bodu do rovnice přímky získámerovnost.

A[x1,…,xn],p:a1y1+…+anyn+d=0,A∈p⇔a1x1+…+anxn+d=0{\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p:a_{1}y_{1}+\ldots +a_{n}y_{n}+d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+d=0}

Leží-li bod mimopřímku, je možno určit jejich vzájemnouvzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

[editovat |editovat zdroj]

Obecný bod může ležet

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv.mocnostm{\displaystyle m} bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem(x−x0)2+(y−y0)2=r2{\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}=r^{2}}, pak mocnost bodu[x′,y′]{\displaystyle [x^{\prime },y^{\prime }]} k této kružnici se určí jako

m=(x′−x0)2+(y′−y0)2−r2{\displaystyle m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2}+{(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}}

Prom=0{\displaystyle m=0} leží bod na kružnici, prom>0{\displaystyle m>0} leží bod vně kružnice a prom<0{\displaystyle m<0} uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

[editovat |editovat zdroj]

V rovině

[editovat |editovat zdroj]

Rovnoběžky vrovině jsoupřímky, které mají stejný směr a nemají žádný společnýbod. Speciálním případem jetotožnost. Dálerůznoběžky jsou přímky, které seprotínají právě v jednombodě –průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodůx,y{\displaystyle x,y} splňujících rovnice

y=k1x+q1{\displaystyle y=k_{1}x+q_{1}}
y=k2x+q2{\displaystyle y=k_{2}x+q_{2}}

Podmínka rovnoběžnosti jek1=k2{\displaystyle k_{1}=k_{2}}. Přímky jsoukolmé, pokud jejichsměrnicek1,k2{\displaystyle k_{1},k_{2}} splňují podmínkuk1k2+1=0{\displaystyle k_{1}k_{2}+1=0}.

Průsečík dvou přímek získáme řešením tétosoustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

xP=q1−q2k2−k1yP=q1k2−q2k1k2−k1{\displaystyle x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}\quad y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}}

V třírozměrném prostoru

[editovat |editovat zdroj]

Rovnoběžky vprostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsoutotožné přímky. Dálerůznoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod.Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejnérovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

a1x+b1y+c1z+d1=0,a2x+b2y+c2z+d2=0{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\quad }.

a

a3x+b3y+c3z+d3=0,a4x+b4y+c4z+d4=0{\displaystyle a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0,\quad a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_{4}=0\quad }

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu).Tyto dvě přímky se protínají, pokudmatice

A=(a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3a4b4c4d4){\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{pmatrix}}}

jesingulární. Přímky jsou totožné, pokud tatomatice máhodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

[editovat |editovat zdroj]

Jakovzájemná poloha dvou kružnic se vgeometrii označuje početprůsečíků a poloha dvoukružnic. Tato poloha je závislá na velikostipoloměrů jednotlivých kružnicr1{\displaystyle r_{1}},r2{\displaystyle r_{2}} avzdálenosti jejich středůs.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

Jsou-li kružnice zadány svýmirovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídajícísoustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

[editovat |editovat zdroj]
Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná polohapřímky akružnice (ležící v téžerovině) závisí navzdálenosti s středu kružnice od přímky apoloměrur{\displaystyle r}.

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicíy=kx+q{\displaystyle y=kx+q} a kružnici se středem v počátku a rovnicíx2+y2=r2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením tétosoustavy rovnic, jsou

[−qk1+k2±11+k2r2(1+k2)−q2,q1+k2±k1+k2r2(1+k2)−q2]{\displaystyle \left[-{\frac {qk}{1+k^{2}}}\pm {\frac {1}{1+k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}},\;{\frac {q}{1+k^{2}}}\pm {\frac {k}{1+k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}}\right]}

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje členD=r2(1+k2)−q2{\displaystyle D=r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}. ProD>0{\displaystyle D>0} protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka jesečnou kružnice). ProD=0{\displaystyle D=0} mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka jetečnou kružnice). ProD<0{\displaystyle D<0} přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

[editovat |editovat zdroj]

Dvě různérovinyρ,σ{\displaystyle \rho ,\sigma } v trojrozměrnémprostoru, které mají společnoupřímkup{\displaystyle p}, se nazývajírůznoběžné a značíρ∦σ{\displaystyle \rho \nparallel \sigma }. Přímkap{\displaystyle p} se nazýváprůsečnice obou rovinρ{\displaystyle \rho } aσ{\displaystyle \sigma }.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemia1x+b1y+c1z+d1=0{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}aa2x+b2y+c2z+d2=0{\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

[editovat |editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat |editovat zdroj]
Pahýl
Pahýl
Tento článek je příliš stručný nebopostrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodněrozšíříte. Nevkládejte všakbez oprávnění cizí texty.
Autoritní dataEditovat na Wikidatech
Portály:Matematika
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Analytická_geometrie&oldid=25327471“
Kategorie:
Skryté kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp