Enmatemàtiques i enprocessament de senyals, latransformada de Hilbert${\displaystyle \mathcal{H}}$ d'una funció real${\displaystyle s(t)}$ s'obté mitjançant laconvolució dels senyals${\displaystyle s(t)}$ i${\displaystyle 1/(\pi t)}$ obtenint${\displaystyle \hat{s}(t)}$. Per tant, la transformada de Hilbert${\displaystyle \hat{s}(t)}$ es pot interpretar com la sortida d'unsistema LTI amb entrada${\displaystyle s(t)}$ i resposta a l'impuls${\displaystyle 1/(\pi t)}$.

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:

${\displaystyle \hat{s}(t)=\mathcal{H}\{s\}(t)=(h\ast s)(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{s(\tau )}{t-\tau }d\tau .}$

on${\displaystyle h(t)=1/\pi t}$, considerant la integral com elvalor principal (cosa que evita la singularitat${\displaystyle \tau =t}$).

Utilitzant${\displaystyle \hat{s}(t)}$ es pot construir elsenyal analític de s(t) com a:

${\displaystyle S_a(t)=s(t)+i\hat{s}(t)}$

La transformada de Hilbert posseeix unaresposta en freqüència donada per latransformada de Fourier:

o, de manera equivalent:

${\displaystyle H(\omega )=\mathcal{F}\{h\}(\omega )=-j\cdot \mathrm{sgn}(\omega )}$

${\displaystyle j}$ (o també${\displaystyle i}$) és launitat imaginària.

I, com que:

${\displaystyle \mathcal{F}\{\hat{s}\}(\omega )=H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega )}$,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de${\displaystyle s(t)}$ +90° i les part de freqüències positives -90°.