Unacinta de Möbius, un objecte amb només una superfície i una vora. Aquest tipus d'estructures són objecte de l'estudi de la topologia.
Latopologia (delGrectopos, lloc ilogos, ciència) és una branca de lesmatemàtiques que estudia les propietats espacials i les deformacions bicontínues (dues dimensions) de l'espai.[1]
Topologia també es refereix a un objecte matemàtic situat en aquesta àrea. En aquest sentit, unatopologia és una família de conjunts oberts que contenen des del conjunt buit fins a l'espai ple. Un espai equipat amb topologia és unespai topològic. Algunes propietats importants relacionades amb la topologia són laconnectivitat i lacompacitat.
La topologia es va desenvolupar com una àrea d'estudi a partir de lageometria i lateoria de conjunts, mitjançant anàlisis de conceptes com «espai», «dimensió» i «transformació».[2] Aquestes idees es remunten aGottfried Leibniz, qui en el segle xvii va introduir lageometria situs (en grecollatí, "geometria de lloc") ianalysis situs (en grecollatí, "separar en peces un lloc").Leonhard Euler és considerat el primer a aconseguir resultats de naturalesa topològica, com elproblema dels set ponts de Königsberg, de1736, i lafórmula dels políedres. El termetopologia fou introduït perJohann Benedict Listing durant el segle xix,[3] encara que no va ser fins a principis del segle xx quan es va desenvolupar la idea d'espai topològic. L'alemanyFelix Hausdorff és sovint citat com el pare de la topologia moderna.[4] A mitjans del segle xx, la topologia ja es va convertir en una àrea d'estudi major de les matemàtiques.
La topologia té diverses subàrees d'estudi:
Latopologia general estableix els aspectes fonamentals de la topologia, i investiga les propietats dels espais topològics i els conceptes inherents als espais topològics. Inclou la topologia fundacional utilitzada en les altres àrees (amb el tractament de conceptes com laconnectivitat i lacompacitat).
Els inicis de latopologia es troben al segle xviii. Fins llavors els problemes matemàtics han estat vinculats, en major o menor grau, a la idea de mesura, magnitud o distància, i en aquesta època es comencen a plantejar problemes en què deixen de tenir importància,Gottfried Wilhelm Leibniz, el primer matemàtic que ho va estudiar l'anomenavaGeometria situs oAnalysis situs,[5] i el segle xix es va conèixer comtopologia.
La topologia, entesa com a disciplina matemàtica ben definida, sorgeix a començaments del segle xx, però ja existien certs resultats aïllats durant els segles anteriors.[6] Entre aquests resultats cal destacar certes qüestions sobre geometria investigades perLeonhard Euler. Es considera que la seva publicació de 1736 sobreels set ponts de Königsberg és una de les primeres aplicacions pràctiques de la topologia.[6] El14 de novembre de1750, Euler va escriure a un seu amic que s'havia adonat de la importància de lesarestes d'unpolíedre.[7] Això el va portar a laRelació d'Euler,V −E +F = 2 (onV,E iF indiquen, respectivament, el nombre devèrtexs,arestes icares del políedre). Alguns autors afirmen que aquest resultat és el primer teorema de la història de la topologia.[8][9]
Altres matemàtics que van contribuir al desenvolupament de la topologia forenAugustin-Louis Cauchy,Ludwig Schläfli,Johann Benedict Listing,Bernhard Riemann iEnrico Betti.[10] Listing va introduir el terme "Topologie" a la seva obraVorstudien zur Topologie(alemany) l'any1847, però se sap que ja l'havia utilitzat anteriorment en la seva correspondència, abans de la primera aparició impresa.[3] En anglès, el terme "topology" es va utilitzar l'any 1883 en l'obituari de Listing a la revistaNature:
«
(anglès) ...to distinguish what may be called qualitative geometry from the ordinary geometry in which quantitative relations chiefly are treated.
(català) ...per tal de distingir allò que es pot anomenar geometria qualitativa de la geometria ordinària, on hom tracta les relacions quantitatives.
Aquesta feina inicial fou corregida, consolidada i ampliada perHenri Poincaré. L'any 1895 va publicar la seva obra revolucionària aAnalysis Situs, que introduïa els conceptes que actualment es coneixen com ahomotopia ihomologia, ara considerades part de latopologia algebraica.[10]
Característiques topològiques de varietats bidimensionals tancades[10]
Maurice Fréchet, amb la unificació de les investigacions sobre espais de funcions realitzades perGeorg Cantor,Vito Volterra,Cesare Arzelà,Jacques Hadamard,Giulio Ascoli i altres, va introduir la noció d'espai mètric l'any 1906.[12] Actualment, es considera que un espai mètric és un cas especial d'un espai topològic general, on un espai topològic qualsevol pot originar diversos espais mètrics diferents. L'any 1914,Felix Hausdorff va encunyar el terme "espai topològic", i va donar la definició del que avui en dia es coneix com aespai de Hausdorff.[13] Actualment, un espai topològic és una lleugera generalització dels espais de Hausdorff, donada l'any 1922 perKazimierz Kuratowski.[14]
La topologia moderna depèn fortament de les idees de lateoria de conjunts, desenvolupada per Georg Cantor a finals del segle xix. A més d'establir les idees bàsiques de la teoria de conjunts, Cantor va considerar els espais topològics de l'espai euclidià com a part del seu estudi de lessèries de Fourier.
La topologia es pot definir formalment com "l'estudi de les propietats qualitatives de certs objectes (anomenatsespais topològics) que sóninvariants sota certs tipus de transformacions (anomenadesfuncions contínues), especialment aquelles propietats que són invariants sota un cert tipus de transformacions invertibles (anomenadeshomeomorfismes)."
El terme «topologia» també s'utilitza per referir-se a una estructura construïda sobre un conjuntX, una estructura que, essencialment, "caracteritza" el conjuntX com aespai topològic, mitjançant la consideració de propietats comconvergència,connectivitat, icontinuïtat, sota transformacions.
Els espais topològics sorgeixen de manera natural en gairebé qualsevol àrea de les matemàtiques. Això ha fet que la topologia sigui una de les grans idees unificadores de les matemàtiques.
El motiu que hi ha darrere de la topologia és que alguns problemes geomètrics depenen no de la forma exacta dels objectes implicats, sinó de la manera en què estan relacionats. Per exemple, el quadrat i la circumferència tenen moltes propietats en comú: tots dos són objectes unidimensionals (des d'un punt de vista topològic), i tots dos separen el pla en dues parts, la interior i l'exterior.
En una de les seves primeres publicacions sobre topologia,Leonhard Euler va demostrar que és impossible trobar una ruta a través de la ciutat de Königsberg (actualmentKaliningrad) que travessés cadascun dels seus set ponts exactament una vegada. Aquest resultat no depenia de les longituds dels ponts, ni de les distàncies entre els uns i els altres, sinó només sobre les propietats de connectivitat: quins ponts connecten quines illes o ribes. Aquest problema, conegut comels set ponts de Königsberg va portar a la branca de les matemàtiques coneguda com ateoria de grafs.
Una deformació contínua (un tipus d'homeomorfisme) d'una tassa en un dònut (tor)
De manera semblant, elteorema de la bola peluda de la topologia algebraica diu que "no es pot pentinar el pèl d'una bola peluda sense crear un remolí". Aquesta afirmació és acceptada com a certa per la majora de gent, encara que no reconeguin l'enunciat formal del teorema: no existeix capespai vectorial tangent continu no nul sobre l'esfera. De la mateixa manera que amb elsponts de Königsberg, el resultat no depèn de la forma de l'esfera; és cert per a qualsevol tipus d'objecte similar a una esfera, sempre que no tingui forats.
Per tractar amb aquests problemes que no depenen de la forma exacta dels objectes, cal definir amb precisió les propietats que sí que es volen estudiar. A partir d'aquesta necessitat sorgeix la noció d'homeomorfisme. La impossibilitat de creuar tots els ponts només un cop ha de donar-se per a qualsevol col·lecció de ponts homeomorfa als de Königsberg, i el teorema de la bola peluda ha de ser cert a qualsevol espai homeomorf a una esfera.
Intuïtivament, dos espais són homeomorfs si es pot deformar l'un en l'altre sense tallar ni enganxar. Un acudit tradicional és que un topòleg no pot distingir una tassa de cafè d'un dònut, ja que hom podria deformar un dònut suficientment flexible en una tassa de cafè, pitjant sobre el dònut i eixamplant-lo progressivament, mentre que contrau el forat del dònut en la nansa de la tassa.
Hom pot considerar que l'homeomorfisme és l'equivalència topològica més bàsica. Una altra és la classe d'homotopia. La definició formal és una mica més complicada, però la noció general és que dos objectes tenen el mateix tipus homotòpic si tots dos són el resultat de "retorçar" un objecte més gran.
Classes d'equivalència de l'alfabet llatí:
Homeomorfisme
Tipus d'homotopia
Un exercici introductori és classificar les lletres majúscules de l'alfabet llatí segons les seves equivalències d'homeomorfisme i d'homotopia. El resultat depèn parcialment de lafont utilitzada. A la figura, s'ha utilitzat la fontsans-serifMyriad. L'equivalència d'homotopia és una relació menys fina que l'homeomorfisme; una classe d'equivalència per homotopia pot contenir diverses classes d'homeomorfisme. Per exemple, en el cas de l'homotopia, la O i la P pertanyen a la mateixa classe perquè la O es pot encaixar amb la part superior de la P, i la cua de la P es pot deformar a la seva part "rodona".
Les classes d'homeomorfisme són:
cap forat(C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, Z)
cap forat i tres cues(E, F, T, Y)
cap forat i quatre cues(X)
un forat i cap cua(D, O)
un forat i una cua(P, Q)
un forat i dues cues(A, R)
dos forats i cap cua(B)
una barra amb quatre cues(H, K)
Les classes d'homotopia són més grans, perquè les cues es poden deformar a un sol punt:
un forat(A, R, D, O, P, Q)
dos forats(B)
cap forat(C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y, Z)
Per classificar correctament les lletres, cal demostrar que dues lletres de la mateixa classe són equivalents i que dues lletres de classes diferents no són equivalents. En el cas de l'homeomorfisme, això es pot visualitzar seleccionant punts i mostrant que, si s'eliminen aquests punts, les lletres queden desconnectades de diferent manera. Per exemple, la X i la Y no són homeomorfes, perquè si s'elimina el punt central de la X, queden quatre peces; si s'elimina un punt qualsevol de la Y, com a molt queden tres peces. En el cas de l'equivalència d'homotopia, la demostració és més complicada, i requereix mostrar que un invariant algebraic, com elgrup fonamental és diferent per a classes diferents.
La topologia de les lletres té una rellevància pràctica en la tècnicatipogràfica de l'estergit. Per exemple, cadascuna de les lletres de la fontBraggadocio(en) estan fetes amb peces connectades de material.
El termetopologia també es refereix a una idea matemàtica específica, crucial per a l'àrea d'estudi coneguda també com a topologia. Informalment, una topologia ens diu com estan relacionats espacialment els elements d'un conjunt. El mateix conjunt pot tenir diferents topologies. Per exemple, larecta real, elpla complex i elconjunt de Cantor es poden interpretar com el mateix conjunt amb diferents topologies.
Formalment, siguiX un conjunt, i siguiτ una família desubconjunts deX. Llavors hom diu queτ és unatopologia sobre X si:
Qualsevolintersecció d'un nombre finit d'elements deτ és un element deτ.
Siτ és una topologia sobreX, llavors es diu que el parell (X,τ) és unespai topològic. Es pot emprar la notacióXτ per simbolitzar un conjuntX dotat d'una topologia en particularτ.
Els elements deτ es diuenconjunts oberts deX. Es diu que un subconjunt deX éstancat si el seucomplementari pertany aτ (és a dir, si el seu complementari és obert). Un subconjunt deX pot ser obert, tancat, obert i tancat alhora (conjunt clopen), o ni obert ni tancat. El conjunt buit i el conjunt total (és a dir,X) sempre són oberts i tancats alhora. Un conjunt obert que conté un puntx s'anomenaveïnat oentorn dex.
Unafunció o aplicació d'un espai topològic en un altre s'anomenacontínua si l'antiimatge de qualsevol conjunt obert és, de nou, un conjunt obert. Si la funció envia elsnombres reals als nombres reals (tots dos espais amb la topologia estàndard), llavors aquesta definició de continuïtat és equivalent a la definició de continuïtat delcàlcul. Si una funció contínua ésinjectiva iexhaustiva, i si la inversa de la funció també és contínua, llavors hom diu que la funció és unhomeomorfisme, i que el domini de la funció és homeomorf alrecorregut. Una altra manera d'expressar això és que la funció té una extensió natural a la topologia. Si dos espais són homeomorfs, llavors tenen propietats topològiques idèntiques, i des d'un punt de vista topològic es consideren com el mateix espai. El cub i l'esfera són homeomorfs, de la mateixa manera que la tassa de cafè i el dònut; però la circumferència no és homeomorfa al dònut.
Mentre que els espais topològics poden ser molt variats i estranys, moltes àrees de la topologia se centren en la classe d'espais més familiars coneguts com a varietats. Unavarietat és unespai topològic que s'assembla a l'espai euclidià al voltant de cada punt. Més precisament, cada punt d'una varietatn-dimensional té unentorn que éshomeomorf a l'espai euclidià de dimensión. Lesrectes i lescircumferències, però no leslemniscates, són varietats unidimensionals. Les varietats bidimensionals també s'anomenensuperfícies. Alguns exemples en són elpla, l'esfera i eltor, tots ells realitzables sense autointerseccions en 3 dimensions; l'ampolla de Klein i elpla projectiu real també són varietats bidimensionals, però no es poden realitzar a l'espai tridimensional sense que tinguin autointerseccions.
Els conceptes fonamentals de la topologia general són lacontinuïtat, lacompacitat i laconnectivitat. Intuïtivament, les funcions contínues porten punts propers a punts propers. Elsconjunts compactes són aquells que es poden recobrir per un nombre finit de conjunts de grandària arbitràriament petita. Elsconjunts connexos són conjunts que no es poden dividir en dues peces separades. Els termesproper,arbitràriament petit isuficientment separat es poden definir de manera precisa mitjançant l'ús deconjunts oberts. Si hom canvia la definició deconjunt obert, es canvia també el significat de les funcions contínues, conjunts compactes i conjunts connexos. Cada elecció deconjunt obert s'anomenatopologia. Un conjunt amb una topologia rep el nom d'espai topològic.
Elsespais mètrics són una classe important d'espais topològics, on hom pot assignar un nombre a les distàncies; llavors hom parla que ha assignat unamètrica. El fet de tenir una mètrica fa que moltes demostracions siguin més senzilles, i la majoria dels espais topològics habituals són espais mètrics.
Encara que la topologia algebraica utilitza principalment l'àlgebra per tal d'estudiar problemes topològics, de vegades també és possible resoldre problemes algebraics utilitzant la topologia. Per exemple, la topologia algebraica facilita una demostració senzilla de què tot subgrup d'ungrup lliure és, de nou, un grup lliure.
Més específicament, la topologia diferencial considera les propietats i les estructures que només requereixen unaestructura suau sobre una varietat per tal de definir-les. Les varietats suaus són "més suaus" que les varietats amb estructures geomètriques addicionals, que poden actuar com a obstacles a certs tipus d'equivalències i deformacions que existeixen en la topologia diferencial. Per exemple, el volum i lacurvatura de Riemann sóninvariants que permeten diferenciar estructures geomètriques sobre la mateixa varietat suau; és a dir, hom pot "aplanar" certes varietats, però llavors és necessari distorsionar l'espai i modificar-ne la curvatura o el volum.
Latopologia geomètrica és una branca de la topologia que se centra en varietats de dimensió baixa (és a dir, de dimensions 2, 3 o 4) i la seva interacció amb la geometria, però també inclou certs àmbits de la topologia en dimensions superiors.[19][20] Alguns exemples de conceptes de la topologia geomètrica són l'orientabilitat, ladescomposició en nanses, la planaritat local i elteorema de Jordan–Schönflies en dimensions superiors.
La topologia en dimensió baixa és fortament geomètrica, com reflecteix elteorema d'uniformització de Riemann en 2 dimensions: tota superfície admet una mètrica de curvatura constant. Geomètricament, té una geometria d'entre 3 de possibles: curvatura positiva (o esfèrica), curvatura 0 (o plana) i curvatura negativa (o hiperbòlica). Addicionalment, existeix laconjectura de geometrització de Thurston (demostrada) en 3 dimensions: tota varietat tridimensional es pot tallar en peces, cadascuna de les quals pot tenir una geometria d'entre 8 de possibles.
La topologia bidimensional es pot estudiar com una geometria complexa en una variable (lessuperfícies de Riemann són corbes complexes): pel teorema d'uniformització, tota classe conforme de mètriques és equivalent a una mètrica complexa. De manera similar, la topologia de dimensió 4 es pot estudiar des del punt de vista de la geometria complexa en dues variables (superfícies complexes), encara que no tota varietat de dimensió 4 admet una estructura complexa.
Ocasionalment, hom necessita utilitzar les eines de la topologia, però no existeix un "conjunt de punts". En latopologia sense punts, hom considera elsreticles de conjunts oberts com a noció bàsica de la teoria,[21] mentre que lestopologies de Grothendieck són estructures definides sobrecategories arbitràries que permeten la definició defeixos sobre aquestes categories, i en conseqüència, les definicions de teories de cohomologia general.[22]
Lateoria de nusos, una branca de la topologia, s'utilitza en biologia per estudiar els efectes de certsenzims sobre l'ADN. Aquests enzims tallen, retorcen i reconnecten l'ADN, provocant així nusos amb efectes observables com unaelectroforesi més lenta.[23] La topologia també s'utilitza enbiologia evolutiva per representar la relació entre elfenotip i elgenotip.[24] Les formes fenotípiques que poden semblar diferents es poden separar mitjançant un petit nombre de mutacions, depenent de com es materialitzin els canvis genètics als canvis fenotípics durant el desenvolupament.
L'anàlisi topològica de dades utilitza tècniques de la topologia algebraica per determinar l'estructura a gran escala d'un conjunt (per exemple, determinar si un núvol de punts és esfèric otoroïdal). El mètode principal utilitzat en l'anàlisi topològica de dades és:
Substituir un conjunt de punts de dades per una família decomplexos simplicials, indexada per un paràmetre de proximitat.
En cosmologia, es pot emprar la topologia per descriure la forma global de l'univers.[26] Aquesta àrea d'estudi es coneix com atopologia de l'espaitemps.[27]
El conjunt de possibles posicions d'unrobot es poden descriure mitjançant unavarietat anomenadaespai de configuració.[28] En l'àrea de laplanificació de moviment, hom pot trobar camins entre dos punts de l'espai de configuració. Aquests espais representen un moviment de les articulacions del robot i d'altres peces per tal d'arribar a la posició desitjada.[29]
↑Dekker, Marcel.The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds. 2a edició, 1985.ISBN 0-8247-7437-X.
↑Hawking, Stephen W.; King, A. R.; McCarthy, P. J «A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures». J. Math. Phys., 17, 2, febrer 1976, pàg. 174–181.DOI:10.1063/1.522874.
↑Craig, John J.Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3a edició. Prentice-Hall, 2004.ISBN 978-0201543612.
Aleksandrov, P. S.. «Chapter XVIII Topology». A: A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrent'ev (editors).Mathematics / Its Content, Methods and Meaning. 2a edició. The M.I.T. Press, 1969.ISBN 978-0262510042.
Pickover, Clifford A.The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press, 2006.ISBN 1-56025-826-8.
