Lateoria de conjunts és la branca de lesmatemàtiques que estudia elsconjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàticalemanyGeorg Cantor al segle xix.
Intuïtivament, unconjunt és una agrupació, classe o col·lecció d'objectes, als quals hom anomenaelements del conjunt. Així, quan un elementa pertany al conjuntS, hom diu que el conjuntS conté l'elementa, utilitzant lanotacióa ∈S.
Ladefinició de l'accepció matemàtica de la paraula catalanaconjunt que donaPompeu Fabra en el diccionari, coincideix gairebé exactament amb la traducció de l'alemany al català de la definició que va donar el principal creador de la teoria de conjunts,Georg Cantor, al començament de la seva obraBeiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:[1]
S'entén per "conjunt" qualsevol col·leccióM, considerada com un tot, d'objectes, de la nostra percepció [Anschauung] o del nostre pensament, diferents i ben definitsm (dels quals se'n dirà els "elements" deM).
Elconcepte de conjunt és fonamental enmatemàtiques, perquè es troba, implícitament o explícita, en totes les branques de lesmatemàtiques pures iaplicades. En la seva forma explícita, els principis i la terminologia dels conjunts s'utilitzen per a construirproposicions matemàtiques més clares i precises i per a explicar conceptes abstractes, com ara el concepte d'infinit.
Un conjuntS està definit si, donat un objecte qualsevola, se sap amb seguretat si pertany o no al conjunt.
Aquesta definició és problemàtica des del punt de vista formal, ja que, en definir un conjunt per unapropietat, s'arriba a laparadoxa de Russell definintA = {x|x ∉x} (es llegeixA està format per tots els elementsx tals quex no pertany ax). Veiem que, siA pertany aA, s'ha de complir queA no pertany aA, i que siA no pertany aA, s'ha de complir queA pertany aA: una propietat i la seva negació s'han de complir al mateix temps. Això va portar a considerar desenvolupaments axiomàtics com els deZermelo-Fraenkel ivon Neumann, que eviten aquestaparadoxa o contradicció de la teoria.
Suposem que hi ha dos tipus de conjunts: elsnormals, que no es contenen a si mateixos com a element; i elsanormals, que es contenen a si mateixos com a element. Per a existir, un conjuntA hauria de ser de només d'un dels dos tipus. Pensem ara en el conjuntV els elements del qual són tots elsconjunts normals: el conjuntV ésnormal oanormal? SiV foranormal, es contindria a si mateix com a element, ja queV està format per tots elsconjunts normals, però, en contenir-se a si mateix com a element, seriaanormal.
La contradicció és deguda al fet de suposar que la proposició "X és un conjunt i no és element de si mateix" determina un conjunt. Hom pensa llavors en dos tipus de col·leccions:
Classes
Aquelles col·leccions d'objectes especificades per una proposició.
Conjunts
Aquelles classes que siguen elements d'una altra classe.
Hi ha una distinció entreconjunts iclasses, en què les classes que no siguin conjunts no poden ser elements d'altres classes. Apareix la teoria axiomàtica de conjunts cercant dos fins: garantir l'existència d'un conjunt i assegurar les construccions amb conjunts que donen com a resultat altres conjunts.
A continuació, s'exposa el desenvolupament intuïtiu de la teoria perquè és el més natural per a la majoria de les persones.
El desenvolupament històric d'una teoria rigorosa de conjunts
Cantor va ser el principal creador de la teoria dels conjunts; ho va fer d'una forma que avui es qualifica deteoria ingènua de conjunts. Però, al costat de consideracions elementals, la seva teoria implicava nivells d'abstracció elevats. La verdadera novetat de la teoria de Cantor és que permet parlar de l'infinit. Per exemple, una idea important de Cantor ha estat definir l'equipotència. Dos conjuntsA iB són equipotents o, cosa que és el mateix, tenen la mateixacardinalitat (quan són finits vol dir que tenen el mateix nombre d'elements), si existeix una manera d'associar a cada element deA un i només un element deB i viceversa. Així, es pot demostrar que el conjunt delsnaturals té la mateixa cardinalitat que el conjunt delsnombres racionals, encara que sigui unsubconjunt propi de. Aquests dos conjunts s'anomeneninfinitsnumerables. D'altra banda, el conjunt delsnombres reals no té la mateixa cardinalitat que o, sinó unacardinalitat superior: es diu que ésno numerable. Cantor va donar dues demostracions que no és numerable; la segona d'aquestes demostracions, que fa servir un argument conegut amb el nom d'argument de la diagonal de Cantor, ha estat extraordinàriament influent i ha tingut nombroses i diverses aplicacions en lògica i en matemàtiques.
Cantor va aprofundir en la teoria i va construir jerarquies infinites de conjunts infinits, elsnombres ordinals i elsnombres cardinals. Aquestes construccions van ser discutides en la seva època; l'oposició principal la manteniaLeopold Kronecker; però avui en dia s'accepten per la majoria dels matemàtics.
El desenvolupament de la teoria de conjunts per Cantor era encara «ingènua» en el sentit que no feia servir encara unaaxiomàtica precisa, i perquè per a ell no hi havia més que una sola teoria dels conjunts, un sol univers de conjunts esperat, mentre que els teòrics dels conjunts d'avui fan jocs malabars amb universos diferents.
Després, de vegades, s'ha simplificat bastant injustament Cantor, resumint la seva teoria en un ús tàcit de l'axioma d'extensionalitat, i una versió massa forta de l'esquema d'axiomes de comprensió, que en substància permetria associar a tota propietat el conjunt objectes que verifiquen aquesta propietat. Tal teoria, que no s'atribuiria a Cantor, és contradictòria. Porta a dues famílies de paradoxes. Unes, com laparadoxa de Berry o laparadoxa de Richard, es relacionen amb el fet que el llenguatge no està ben definit, les altres, com laparadoxa de Russell a un ús massa ampli de la comprensió: quan s'intenta construir el conjunt S = {A|A no pertany a A} de tots els conjunts que no pertanyen a si mateixos, es cau en una contradicció. L'actualesquema d'axiomes de comprensió, proposat per Zermelo, es restringeix per tal d'evitar aquesta paradoxa.
Cantor coneixia, abans del descobriment de la paradoxa de Russell, paradoxes més complexes, però d'igual naturalesa, com laparadoxa de Burali-Forti o laparadoxa del cardinal més gran.[2] Molts teòrics dels conjunts s'inclinen a dir que l'axiomatització més adequada a la teoria desenvolupada per Cantor és la teoriaZFC amb axioma de fundació (vegeu més avall), o lateoria de les classes devon Neumann,Gödel iBernays, que és, en un cert sentit (que es pot determinar amb precisió), equivalent.
Al tombant del segle, Cantor està cada vegada més impedit per la seva malaltia nerviosa, però les seves solucions a les paradoxes circulen per la seva correspondència i són conegudes, al final del segle xix, perRichard Dedekind i, a Göttingen, perDavid Hilbert iErnst Zermelo. Tanmateix, per a molts matemàtics de l'època, les paradoxes plantegen un dubte sobre la validesa de la teoria dels conjunts; les solucions proposades per Cantor són massa informals per a convèncer els que les coneixen. Alguns s'orienten cap al mètode axiomàtic, il·lustrat a la mateixa època per Hilbert per als fonaments de la geometria (1899).
Així, el1908,Ernst Zermelo construeix un sistema d'axiomes per a la teoria dels conjunts. Fora de l'axioma d'extensionalitat, aquests axiomes es poden veure com una restricció de la versió contradictòria de l'esquema d'axiomes de comprensió als casos particulars útils, que no permeten deduir les paradoxes. En aquest sistema, s'inclou igualment l'axioma d'elecció (que no té res a veure amb la comprensió), unaxioma molt polèmic en aquell temps, amb el qual s'ha demostrat (el 1904) elteorema de Zermelo, i que igualment ha estat fet servir implícitament per Cantor. El sistema de Zermelo es va completar en els anys 1920 perAbraham Adolf Fraenkel iThoralf Skolem, que afegiran l'esquema d'axiomes de substitució (altre cas particular de la comprensió no restringida), que dona la teoria coneguda avui sota el nom deZF (sense axioma d'elecció) oZFC (amb l'axioma d'elecció). Altres autors han treballat sobre el problema de l'axiomatització de la teoria dels conjunts, sobretotJohn Von Neumann, que va definir una alternativa molt interessant a ZF: lateoria de les classes.
Un conjunt es representa mitjançant claus que contenen els seus elements, ja siga de manera explícita, escrivint tots i cada un dels elements, o donant una fórmula, regla o proposició que els descriga. Per exemple,
S1 = {2, 4}
S₂ = {2, 4, 6, ...} = {tots els entersparells més grans que 1}
S₃ = {x|}.
S₄ = {tots els barons vius anomenats Joan}
La definició deS₃ es llegeix "el conjunt de totes lesx tals que".
Si tot element d'un conjuntR pertany també al conjuntS, es diu queR és unsubconjunt deS i queS és un superconjunt deR. S'utilitza la notacióR ⊆S. Tot conjunt és un subconjunt i un superconjunt de si mateix.
SiR ⊆ S i almenys un element deS no pertany aR, es diu queR és unsubconjunt propi deS i queS és unsuperconjunt propi deR. S'utilitza la notacióR ⊂S.
SiR ⊆S iS ⊆R, és a dir, tot element d'un conjunt pertany també a l'altre, llavorsR iS són dosconjunts iguals, la qual cosa s'escriuR =S. En els exemples de l'apartat anterior,S1 =S₃.
Undiagrama de Venn que il·lustra la intersecció de dos conjunts A i B
SiguenA iB dos conjunts.
Els elements que pertanyen aA, aB o a ambdós formen un altre conjuntS, anomenatunió deA iB, escritA ∪B.
Els elements comuns aA iB formen un conjunt denominatintersecció deA iB, escritA ∩B.
SiA iB no tenen cap element comú es denominenconjunts disjunts i es representa la seva intersecció com un altre conjunt, denominatconjunt buit onul, el qual es representa amb elsímbol Ø.
SiA és un subconjunt del conjuntB, el conjunt dels elements que pertanyen aB però no aA, és a dir,B –A, es denominaconjunt complementari deA (respecte aB), la qual cosa s'escriuB –A =AC (que també pot aparèixer comà o~A).
SiA iB són dos conjunts, el conjunt de tots els possiblesparells ordenats d'elements de la forma (a,b), en quèa ∈A ib ∈B, es denominaproducte cartesià deA iB, escrit normalment comA ×B.
Exemple: siA = {1, 2} iB = {x,y,z}, llavors
En aquest cas,, perquè en ser parells ordenats, el parell (1,x) és diferent del parell (x, 1).
Donats dos conjuntsA iB, podem trobar diverses maneres de relacionar els elements deA amb els elements deB.
Per exemple, els elements del conjuntA = {1, 2, 3} es poden relacionar o fer correspondre mitjançant una correspondènciaf amb els elements del conjuntB = {x,y,z}, de manera que a tot element deA li corresponga un, cap o diversos elements deB. Això també es pot expressar així:
,,
També es pot dir que.
Per tant, una relació ocorrespondència entre dos conjuntsA iB és un subconjunt del producte cartesiàA ×B. Noteu que això inclou el cas del conjunt buit.
Una correspondència tal que a cada element del primer conjunt li'n correspon un i només un del segon conjunt s'anomenaaplicació ofunció.
L'axioma de l'elecció va aparèixer explícitament en una publicació d'Ernst Zermelo del 1904; és a dir, abans de l'aparició de la seva axiomatització de la teoria dels conjunts. L'axioma d'elecció és, en efecte, d'una naturalesa diferent dels altres axiomes de la teories dels conjunts enunciats ulteriorment, i que resulten per a la majoria d'una anàlisi detallada de l'esquema d'axiomes d'especificació. En efecte, l'axioma d'elecció no dona cap definició explícita del conjunt construït (conjunt d'elecció o funció d'elecció, segons les versions). D'altra banda, al seu article del 1904, Zermelo demostra amb l'axioma d'elecció el seu famós teorema que enuncia que tot conjunt pot ser ben ordenat, proposició que no té res d'intuïtivament evident. L'axioma d'elecció va ser utilitzat tàcitament almenys perGeorg Cantor, però la publicació de Zermelo posa en marxa debats apassionats amb els matemàtics de l'època.[3]
L'axioma d'elecció està, d'altra banda, molt vinculat a l'infinit matemàtic; en efecte, l'axioma d'elecció ésintuïtivament verdader per a un nombre finit d'eleccions, i d'altra banda demostrable, en aquest cas, a partir dels altres axiomes de la teoria dels conjunts. Ara bé, al voltant del 1904, entrem de ple en la controvèrsia posada en marxa pel descobriment de les paradoxes.[4] Llavors, diverses concepcions de l'infinit matemàtic s'enfronten. Això arribarà, fins i tot, a qüestionar radicalment els fonaments de les matemàtiques per part deLuitzen Egbertus Jan Brouwer, fundador de l'intuïcionisme, que descarta elprincipi del terç exclòs, que se situa força més amunt de l'axioma d'elecció. Tanmateix, en aquell temps, certs matemàtics que no van tan lluny i accepten certes formes de raonament no constructiu, desconfien de l'axioma d'elecció.Émile Borel escriu el 1950:[5] És ja un resultat important obtingut pels adversaris de l'axioma de Zermelo que tots els que admeten aquest axioma prenen la cura, quan obtenen un teorema nou, d'especificar si la demostració d'aquest teorema exigeix o no la utilització de l'axioma de Zermelo. Aquest axioma ha creat així una branca separada de les matemàtiques; la importància i l'interès d'aquesta branca decidiran la seva sort. En tot cas, es pot dir que avui, vista justament la seva utilització en branques importants de les matemàtiques, l'axioma d'elecció és àmpliament acceptat.
Això encara més des que se sap, a partir dels treballs de Gödel,[6] que admetre l'axioma d'elecció ja no és «arriscat», en el sentit que demostra que si la teoria ZFC fos incoherent, la teoria ZF també ho seria (vegeu la secció sobre els resultats d'independència en teoria dels conjunts).
D'altra banda, s'han identificat restriccions de l'axioma d'elecció, com l'axioma d'elecció enumerable (que permet, per exemple, demostrar que una reunió numerable de conjunts numerables és numerable); aquest mateix és conseqüència de l'axioma d'elecció depenent (que permet, per exemple, demostrar l'existència d'una successió infinita decreixent per a unarelació no ben fonamentada). Així,Robert Solovay va publicar el 1970 la coherència de la teoria ZF + l'axioma d'elecció depenent + tot subconjunt dels reals ésLebesgue-mesurable, teoria que contradiu l'axioma d'elecció en tota la seva generalitat, relativament a la teoria ZF + existeix un cardinal inaccessible (un reforç de la teoria ZF que permet demostrar la coherència de ZF).[7] Tanmateix, l'axioma d'elecció enumerable és insuficient en geometria algebraica, ja que el tractament dels cossos algebraicament tancats requereix ellema de Zorn, que és equivalent a l'axioma d'elecció; per tant, el teorema segons el qual tot cos pot ser submergit en un cos algebraicament tancat es basa en l'axioma d'elecció general.[8]
Un dels millors exemples de les rareses a què condueix l'axioma d'elecció és certament laparadoxa de Banach-Tarski, publicada el 1924[9] que, fent servir l'axioma d'elecció, afirma que es pot tallar una esfera en un nombre finit de trossos, desplaçar-los per una successió de moviment rígids (translació irotació), tot permetent a certes peces travessar-ne d'altres i reunir-los altre cop formant dues còpies de l'esfera original. Això sembla contradir la intuïció física que es té de la noció de volum, però la paradoxa de Banach-Tarski fa intervenir parts no mesurables.
Els sistemes axiomàtics de la teoria de conjunts, el ZF, lateoria de classes i la teoria dels tipus són equivalents pel cap baix, en el sentit que tots permeten representar l'essència de les matemàtiques. Entre aquests, el ZF és el més habitual i és el que es descriu de manera informal tot seguit.
La teoria que es basa en els axiomes originals de Zermelo s'anomenateoria de Zermelo oteoria Z. Si es completa amb l'axioma de reemplaçament de Fraenkel, s'obté la teoria deZermelo-Fraenkel, o més simplement la teoriaZF, encara que la forma final dels axiomes és deguda a Skolem. Quan se li assigna l'axioma d'elecció, llavors s'obté lateoria ZFC («C» per 'elecció', que és «choice» en anglès).
Un aspecte important de la teoria ZF és que tots els objectes de què tracta són conjunts i no poden ser més que conjunts. En particular, cada element d'un conjunt també és un conjunt. Altres objectes matemàtics familiars, tals com els nombres, han de ser definits, per tant, en termes de conjunts.
Estrictament parlant, els axiomes de ZF són simplement enunciats delcàlcul dels predicats del primer ordre, equivalent a un llenguatge que té un sol símbol primitiu per a la pertinença (relació binària). Per tant, el que segueix s'ha d'entendre només com una temptativa d'expressar en català el significat que s'espera d'aquests axiomes. És més, l'axioma de separació (o comprensió) i l'axioma de substitució són, de fet, esquemes infinits d'axiomes.
Axioma del conjunt buit: existeix un conjunt sense cap element. Es nota (o menys freqüentment). Parlant en propietat, Aquest axioma no forma part de l'axiomatització de ZF, pel cap baix en la seva versió actual, formalitzada en càlcul de predicats de primer ordre. Es pot deduir d'una propietat genèrica del càlcul de predicats, que és que un model d'una teoria és no buit. En el cas de la teoria dels conjunts, això significa dir que existeix almenys un conjunt, i aquesta propietat no requereix cap axioma específic: es demostra en lògica pura. D'aquí es dedueix, per l'esquema d'axiomes de comprensió, l'existència del conjunt buit. Tanmateix, aquest axioma es troba en variants de la teoria dels conjunts, o en presentacions més antigues o semiformals de la teoria ZF, com a la dePaul Halmos.[10]
Axioma d'aparellament: six iy són dos conjunts; llavors, existeix un conjunt que contéx iy i només aquests com a elements. Aquest conjunt es nota. Cal observar quex iy no són necessàriament diferents. Aquest axioma és conseqüència de l'esquema de substitució, però no de l'esquema de comprensió; també se'l pot ometre en la teoria ZF, però és indispensable en la teoria Z.
Axioma de reunió: per a tot conjuntX, existeix un conjuntR els elements del qual són precisament els elements dels elements deX i només aquests.
Axioma del conjunt de les parts: per a tot conjuntE, existeix un conjunt els elements del qual són precisament els subconjunts d'E. Aquest conjunt es nota habitualment.
Axioma de l'infinit: existeix un conjuntW tal que és element seu i tal que per a totx que pertany aW, pertany també aW. Llavors, es pot definir per comprensió la intersecció de tots els conjunts que contenen i són tancats respecte d'aquesta operació: es tracta del conjunt dels nombres naturals tals com els defineix von Neumann.
Esquema d'axiomes de comprensió o de separació: per a tot conjuntA i per a tota propietatP expressada en el llenguatge, existeix un conjunt els elements del qual són els elements deA que verifiquenP. L'esquema de comprensió és conseqüència de l'esquema de substitució que segueix.
Esquema d'axiomes de substitució: per a tot conjuntA i per a tota relació funcionalP, formalment definida com una proposició tal que i impliquen que, existeix un conjunt que conté precisament les imatges per aP dels elements del conjunt d'origenA.
Axioma de regularitat: tot conjuntX no buit conté un elementy tal queX iy són conjunts disjunts (que no tenen cap element en comú), cosa que es nota. Aquest axioma s'afegeix molt sovint a Z o ZF. Es pot construir bastant fàcilment com a subclasse d'un model qualsevol de ZF, un model de ZF que verifica l'axioma de regularitat. Els conjunts útils per al desenvolupament de les matemàtiques usuals pertanyen a aquesta subclasse i, per tant, té poca importància afegir o no aquest axioma a la teoria per a aquests desenvolupaments. L'axioma de regularitat, per exemple, no es menciona en el llibre de Halmos,[10] l'objectiu del qual és el de presentar els aspectes de la teoria dels conjunts útils per al matemàtic no especialista d'aquest àmbit. L'axioma de regularitat, en canvi, és molt útil en l'àmbit especialitzat de la teoria de conjunts; permet jerarquitzar l'univers de conjunts, definir un rang ordinal... Per altra banda, s'han desenvolupat teories dels conjunts, extensions de ZF sense regularitat; aquestes teories introdueixen un axioma d'antiregularitat (n'existeixen diverses variants) que contradiu directament l'axioma de regularitat. L'antiregularitat és una idea bastant antiga (Dmitri Mirimanoff, 1917,Paul Finsler, 1926), però aquestes teories han conegut una recuperació d'interès per la seva relació amb lainformàtica teòrica.[11]
Axioma d'elecció: (versió de Zermelo) donat un conjuntX de conjunts no buits mútuament disjunts, existeix un conjunty (el conjunt d'elecció perX) que conté exactament un element per a cada membre deX.
L'axioma d'elecció continua sent discutit per una minoria de matemàtics. N'hi ha formes febles, com l'axioma d'elecció dependent, molt útil per al desenvolupament de l'anàlisi real.
Gairebé tots els conceptes matemàtics es defineixen avui en dia formalment en termes de conjunts i conceptes teòrics de teoria de conjunts. Per exemple, estructures matemàtiques tan diverses comgrafs,varietats (matemàtiques),anells (matemàtics), iespais vectorials es defineixen completament com a conjunts que tenen diverses propietats (axiomes). Larelació d'equivalència i lesrelacions d'ordre són ubiqües en matemàtiques, i la teoria derelacions es basa totalment en la teoria de conjunts.
La teoria de conjunt és també un sistema prometedor per a fonamentar la majoria de les matemàtiques. Des de la publicació del primer volum dePrincipia Mathematica, s'ha afirmat que molts o fins i tot tots els teoremes matemàtics es poden demostrar fent servir un conjunt dissenyat de manera adequada d'axiomes amb la teoria de conjunts, augmentada amb moltes definicions, fent servirlògica de primer ordre o desegon ordre. Per exemple, les propietats delsnombres naturals i delsnombres reals es poden obtenir dins de la teoria de conjunts, ja que cada sistema de nombres es pot identificar amb un conjunt declasses d'equivalència sota una relació d'equivalència adequada el camp de la qual és algunconjunt infinit.
La teoria de conjunts com a fonament per a l'anàlisi matemàtica, latopologia, l'àlgebra abstracta, i lesmatemàtiques discretes és de la mateixa manera incontrovertida; els matemàtics accepten que (en principi) els teoremes en aquestes àrees poden ser deduïts de les definicions pertinents i els axiomes de la teoria de conjunts. S'han verificat formalment poques deduccions completes de teoremes matemàtics complexos a partir de la teoria de conjunts, tanmateix, perquè tals deduccions formals són sovint molt més llargues que el llenguatge natural amb el qual els matemàtics presenten habitualment les demostracions.
↑il ne considère d'ailleurs pas ceux-ci comme des paradoxes, voir le §2.2 de, Akihiro Kanamori (2008),Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press 2008.
↑On trouve dans lesleçons sur la théorie des fonctions d'Émile Borel Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entreRené Baire,Jacques Hadamard,Henri Lebesgue et Borel lui-même; les lettres apparaissent dans la note IV introduite à partir de la seconde édition).
↑le paradoxe de Russell et d'autres, est paru dans lesprinciples of mathematics du ditRussell en 1903, le paradoxe de Richard est publié en 1905 ...
↑Préface de la 4ème édition desleçons sur la théorie des fonctions
↑Kurt Gödel.The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press.ISBN 0-691-07927-7
↑Robert M. SolovayA model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable, Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.
↑Ouvrage collectifPenser les mathématiques (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982ISBN 2 02 006061 2 note 7 p.35
↑10,010,1Paul Richard Halmos,Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974,ISBN 0-387-90092-6. trad. FrançaiseIntroduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.
↑voir le livre de Peter Aczel,Non-Well-Founded Sets, CSLI Lecture Notes, Vol.14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.
