Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Teorema del cosinus

Article de qualitat
De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Fig. 1 - Un triangle.

Entrigonometria, elteorema del cosinus és una identitat, referida a untriangle qualsevol, que relaciona les longituds dels seus costats amb elcosinus d'un dels seusangles. Emprant la notació referida a la Figura 1, el teorema del cosinus estableix que[1]

c2=a2+b2−2abcos⁡(γ),{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}

O, de forma equivalent:

b2=c2+a2−2cacos⁡(β),{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,}
a2=b2+c2−2bccos⁡(α).{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ).\,}

Cal fixar-se quec és el costat oposat a l'angleγ, i quea ib són els dos costats que formen l'angleγ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè en resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats.

El teorema del cosinus generalitza elteorema de Pitàgores, el qual només es compleix pel cas detriangles rectangles: si l'angleγ és un angle recte (mesura 90° oπ/2{\displaystyle \scriptstyle \pi /2} radiants), llavorscos⁡(γ)=0{\displaystyle \scriptstyle \cos(\gamma )\,=\,0} i, per tant, el teorema del cosinus es redueix a

c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}

que és el teorema de Pitàgores.

El teorema del cosinus és útil per a calcular el tercer costat d'un triangle quan es coneixen dos costats i l'angle inclòs, i per a calcular els angles d'un triangle quan es coneixen els tres costats.[2]

Història

[modifica]
Fig. 2 – Triangle obtús ABC amb la perpendicular BH

Elselements d'Euclides, que són delsegle iii aC, contenen una versió del teorema del cosinus. El cas del triangle obtús i del triangle agut (que corresponen als casos en què el cosinus té valors negatius o positius respectivament) es tracten per separat, en les proposicions 12 i 13 del Llibre 2. Com que en l'època d'Euclides no s'havien desenvolupat les funcions trigonomètriques ni l'àlgebra (en particular els nombres negatius), l'afirmació té un caire més geomètric:

«Proposició 12. En els triangles obtusangles, el quadrat del costat oposat a l'angle obtús és major que els quadrats dels costats que comprenen l'angle obtús en dues vegades el rectangle comprès per un costat dels de l'angle obtús sobre el que cau la perpendicular i la recta exterior tallada per la perpendicular fins a l'angle obtús.»
— Euclides.[3]

Utilitzant la notació de la Figura Fig. 2, L'enunciat d'Euclides es pot representar per la fórmula

AB2=CA2+CB2+2(CA)(CH).{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH)\,.}

Aquesta fórmula es pot transformar en l'enunciat del teorema del cosinus observant queCH =a cos(π – γ) = −a cos(γ).

La Proposició 13 conté un enunciat completament anàleg per a triangles acutangles.

El teorema del cosinus no va evolucionar més enllà dels dos teoremes d'Euclides fins al desenvolupament de la moderna trigonometria a l'edat mitjana pels matemàtics musulmans. L'astrònom imatemàtical-Battani va generalitzar el resultat d'Euclides a lageometria esfèrica al principi del segle x, això li va permetre calcular la distància angular entre estrelles.[4] Durant elsegle xv,al-Kashi deSamarcanda va calcular taules trigonomètriques de gran exactitud i va presentar el teorema en una forma adequada per a latriangulació. Enfrancès, encara ara es coneix el teorema del cosinus com elteorema d'Al-Kashi.[5]

El teorema va ser popularitzat almón occidental perFrançois Viète, que aparentment el va descobrir de forma independent. A començaments delsegle xix la notació moderna va permetre que el teorema del cosinus s'escrivís en la seva forma actual.[6]

Aplicacions

[modifica]
Fig. 3 – Aplicacions del teorema del cosinus: costat desconegut i angle desconegut.

El teorema es fa servir entriangulació per laresolució de triangles, és a dir per a trobar (vegeu Figura 3)

  • el tercer costat d'un triangle si es coneixen dos costats i l'angle entre ells:
c=a2+b2−2abcos⁡(γ);{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )}}\,;}
  • els angles d'un triangle si es coneixen els tres costats:
γ=arccos⁡a2+b2−c22ab;{\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;}
  • el tercer costat d'un triangle si es coneixen dos costats i un angle oposat a un d'ells (també es pot emprar el teorema de Pitàgores per a resoldre aquest cas):
a=bcos⁡(γ)±c2−b2sin2⁡(γ).{\displaystyle \,a=b\cos(\gamma )\pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}(\gamma )}}\,.}

Si l'angle és molt agut (és a dir sic és petit en comparació amba ib o γ és petit comparat amb 1), aquestes fórmules produeixen un granerror d'arrodoniment si els càlculs es fan encoma flotant.

La primera equació s'obté de forma immediata aïllantc de l'expressió del teorema del cosinus i agafant el signe positiu de l'arrel quadrada perquèc és una distància.

La segona també s'obté de forma immediata aïllant el cosinus i trobant l'angle.

La tercera és el resultat de resoldre l'equació de segon grau:

a2 − (2b cos γ)a + (b2 − c2) = 0{\displaystyle a^{\text{2}}~-~\left({\text{2}}b~{\text{cos}}~\gamma \right)a~+~\left(b^{\text{2}}~-~c^{\text{2}}\right){\text{ }}={\text{ }}0}

on a és la incògnita, el resultat dona:

a=(2b cos γ)±(2b cos γ)2−4(b2 − c2)2{\displaystyle a={\frac {\left({\text{2}}b~{\text{cos}}~\gamma \right)\pm {\sqrt {\left({\text{2}}b~{\text{cos}}~\gamma \right)^{2}-4\left(b^{\text{2}}~-~c^{\text{2}}\right)}}}{2}}}

Simplificant:

a=b cos γ±b2 cos2 γ−b2 +c2a=b cos γ±b2 (1-sin2 γ)−b2 +c2a=b cos γ±c2−b2 sin2 γ{\displaystyle {\begin{aligned}&a=b~{\text{cos}}~\gamma \pm {\sqrt {b^{2}~{\text{cos}}^{2}~\gamma -b^{\text{2}}~+c^{\text{2}}}}\\&a=b~{\text{cos}}~\gamma \pm {\sqrt {b^{2}~\left({\text{1-sin}}^{2}~\gamma \right)-b^{\text{2}}~+c^{\text{2}}}}\\&a=b~{\text{cos}}~\gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}~{\text{sin}}^{2}~\gamma }}\\\end{aligned}}}

Aquesta equació pot tenir 2, 1, o 0 solucions positives, que corresponen al nombre de triangles possibles amb les dades donades. Tindrà dues solucions sib sin(C) <c <b, només en tindrà una sic >b oc =b sin(C), i no en tindrà cap sic <b sin(C).

Cas de triangle isòsceles

[modifica]

Quana =b, és a dir, quan el triangle és untriangle isòsceles amb els dos costats iguals formant l'angle γ el teorema del cosinus se simplifica significativament. Com quea² + b² = 2a² = 2ab, el teorema del cosinus esdevé

cos⁡(γ)=1−c22a2.{\displaystyle \cos(\gamma )=1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}.\;}

Demostracions

[modifica]

Fent servir la fórmula de la distància

[modifica]

S'agafa el triangle amb costats de longituda,b,c, onθ{\displaystyle \theta } és la mesura de l'angle oposat al costat de longitudc. Aquest triangle es pot col·locar damunt d'un sistema decoordenades cartesianes a base de dibuixarA(bcos⁡θ, bsin⁡θ), B(a,0), i C(0,0).{\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{i}}\ C(0,0).} Per la fórmula de la distància es téc=(bcos⁡θ−a)2+(bsin⁡θ−0)2{\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}. Llavors només cal simplificar aquesta equació:

c2=(bcos⁡θ−a)2+(bsin⁡θ−0)2c2=b2cos2⁡θ−2abcos⁡θ+a2+b2sin2⁡θc2=a2+b2(sin2⁡θ+cos2⁡θ)−2abcos⁡θc2=a2+b2−2abcos⁡θ{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \end{aligned}}}

Un avantatge d'aquesta demostració és que no cal considerar per separat el cas del triangle acutangle i el triangle obtusangle.

Fent servir trigonometria

[modifica]
Fig. 4 – Un triangle acutangle amb una perpendicular

Es traça laperpendicular al costatc i es té (vegeu Fig. 4)[7]

c=acos⁡(β)+bcos⁡(α).{\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}

(Això continua sent cert si α o β són obtusos, en aquest cas la perpendicular cau fora del triangle.) Multiplicant als dos cantons perc es té

c2=accos⁡(β)+bccos⁡(α).{\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}

Repetint el mateix amb les altres perpendiculars s'obté

a2=accos⁡(β)+abcos⁡(γ){\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,}
b2=bccos⁡(α)+abcos⁡(γ).{\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}

Sumant les últimes dues dona

a2+b2=accos⁡(β)+bccos⁡(α)+2abcos⁡(γ){\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}

Reordenant s'obté

accos⁡(β)+bccos⁡(α)=a2+b2−2abcos⁡(γ){\displaystyle ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,}

Substituint aquest resultat a la primera equació per obtenirc2{\displaystyle c^{2}} dona el teorema del cosinus

c2=a2+b2−2abcos⁡(γ).{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,.}

Aquesta demostració fa servirtrigonometria de forma que tracta els cosinus de diversos angles com a quantitats per la seva pròpia naturalesa. Fa servir el fet que el cosinus d'un angle expressa la relació entre els dos costats que contenen l'angle enqualsevol triangle rectangle. Altres demostracions (de més avall) són més geomètriques en el sentit que tracten expressions tals comacos⁡(γ){\displaystyle a\cos(\gamma )} merament com una etiqueta per indicar la longitud d'un cert segment.

Moltes demostracions tracten el cas agut i obtús per separat.

Fent servir el teorema de Pitàgores

[modifica]
Fig. 5 – Triangle obtús ABC amb altura BH

Cas d'un angle obtús.Euclides demostra aquest teorema a base d'aplicar elteorema de Pitàgores a cada un dels dos triangles rectangles de la Fig. 5. Utilitzantd per indicar el segmentCH ih per l'alturaBH, el triangleAHB dona

c2=(b+d)2+h2,{\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}

i el triangleCHB dona

d2+h2=a2.{\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}

Desenvolupant la primera equació dona

c2=b2+2bd+d2+h2.{\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}

Substituint aquí la segona equació s'obté

c2=a2+b2+2bd.{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}

Aquesta és la proposició 12 del Llibre 2 delsElements d'Euclides. Per a transformar-ho an l'expressió moderna del teorema del cosinus, fixeu-vos que

d=acos⁡(π−γ)=−acos⁡(γ).{\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma ).\,}

Cas d'un angle agut. La demostració de la Proposició 13 d'Euclides segueix la mateixa línia que la demostració de la Proposició 12: aplica el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que es formen traçant la perpendicular sobre un dels costats adjacents a l'angle i fa servir elbinomi de Newton per simplificar.

Fig. 6 – Una demostració curta fent servir trigonometria pel cas d'un angle agut

Una altra demostració pel cas agut. Fent servir una mica més de trigonometria, el teorema del cosinus es pot deduir aplicant el teorema de Pitàgores nomésun cop. De fet, emprant el triangle rectangle de cantó esquerre de la Fig. 6 es pot veure que:

c2=(b−acos⁡(γ))2+(asin⁡(γ))2=b2−2abcos⁡(γ)+a2(cos2⁡(γ))+a2(sin2⁡(γ))=b2+a2−2abcos⁡(γ),{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}(\cos ^{2}(\gamma ))+a^{2}(\sin ^{2}(\gamma ))\\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos(\gamma ),\end{aligned}}}

que surt de fer servir la identitat trigonomètrica

cos2⁡(γ)+sin2⁡(γ)=1.{\displaystyle \cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma )=1.\,}

Nota. Aquesta demostració necessita una lleugera modificació sib < a cos(γ). En aquest cas, el triangle rectangle al qual s'aplica el teorema de Pitàgores surtfora del triangleABC. L'únic efecte que té això en el càlcul és que la quantitatb − a cos(γ) és substituïda pera cos(γ) − b. Com que aquesta quantitat només entra en el càlcul a través del seu quadrat, el resultat de la resta de la demostració queda inalterat.Nota. Aquest problema només passa quant β és obtús, i es pot evitar reflectint el triangle respecte de la bisectriu de l'angle γ.

Observació. Respecte de la Fig 6 val la pena de fixar-se que si l'angle oposat al costat a ésα{\displaystyle \alpha } llavors:

tan(α)=asin⁡(γ)b−acos⁡(γ){\displaystyle tan(\alpha )={\frac {a\sin(\gamma )}{b-a\cos(\gamma )}}}

Això és útil per al càlcul directe d'un segon angle quan venen donats dos costats i l'angle inclòs.

Fent servir elteorema de Ptolemeu

[modifica]
Demostració del teorema del cosinus fent servir el teorema de Ptolemeu

Respecte del diagrama, el triangleABC amb costatsAB =c,BC =a iAC =b es dibuixa dins la seva circumferència circumscrita tal com es presenta. El triangleABD es construeix congruent amb el triangleABC ambAD =BC iBD =AC. Les perpendiculars des deD iC troben la baseAB aE iF respectivament. Llavors:

BF=AE=BCcos⁡B^=acos⁡B^⇒ DC=EF=AB−2BF=c−2acos⁡B^.{\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}

Ara el teorema del cosinus s'obté com a resultat directe de l'aplicació del teorema de Ptolemeu alquadrilàter cíclicABCD:

AD×BC+AB×DC=AC×BD⇒ a2+c(c−2acos⁡B^)=b2⇒ a2+c2−2accos⁡B^=b2.{\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}

Evidentment, si l'angleB és de 90 graus, llavorsABCD és un rectangle i l'aplicació del teorema de Ptolemeu porta al teorema de Pitàgores:

a2+c2=b2.{\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad }

Per comparació d'àrees

[modifica]

També es pot demostrar el teorema del cosinus a base de calcularareas. El canvi de signe quan l'angleγ{\displaystyle \gamma } esdevé obtús fa necessària la distinció dels casos agut i obtús.

Recordant que

Fig. 7a – Demostració del teorema del cosinus per a angle agut γ a base de "retallar i enganxar".

Cas agut. La Figura 7a mostra unHeptàgon retallat en bocins més petits (de dues formes diferents) per a obtenir la demostració del teorema del cosinus. Els diferents bocins són

  • de rosa, les àreesa²,b² a l'esquerra i les àrees 2ab cos(γ) ic² a la dreta;
  • de blau, el triangleABC, a l'esquerra i a la dreta;
  • de gris, triangles auxiliars, totscongruents ambABC, i en igual nombre (2) tant a l'esquerra com a la dreta.

La igualtat d'àrees a l'esquerra i a la dreta dona

a2+b2=c2+2abcos⁡(γ).{\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos(\gamma )\,.}
Fig. 7b – Demostració del teorema del cosinus pel cas que l'angle γ sigui obtús a base de "retallar i enganxar".

Cas obtús. La Figura 7b retalla unhexàgon de dues formes diferents en bocins més petits, resultant-ne una demostració del teorema del cosinus pel cas que l'angle γ sigui obtús. En té

  • de rosa, les àreesa²,b², i −2ab cos(γ) a l'esquerra ic² a la dreta;
  • de blau, el triangleABC dos cops, tant a la dreta com a l'esquerra.

La igualtat d'àrees a la dreta i a l'esquerra dona

a2+b2−2abcos⁡(γ)=c2.{\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}

Per donar rigor a aquestes demostracions cal afegir demostracions que les diverses figures sóncongruents i per tant, tenen la mateixa àrea. Per això es pot comprovar la igualtat en les longituds dels costats i la suma dels angles de cada vèrtex.

Fent servir la geometria del cercle

[modifica]

Fent servir lageometria del cercle és possible obtenir una demostració mésgeomètrica que no pas fent servir elteorema de Pitàgores tot sol. S'eviten les manipulacionsalgebraiques (en particular s'evita fer servir la identitat delquadrat d'un binomi).

Fig. 8a – El triangleABC (rosa), un cercle auxiliar (blau cel) i un triangle rectangle auxiliar (groc)

Cas de l'angle γ agut, ona > 2b cos(γ). Es traça laperpendicular des deA fins aa =BC, creant un segment de longitudb cos(γ). Es duplica el triangle rectangle obtingut per a formar eltriangle isòscelesACP. Es construeix elcercle amb centre aA i radib, i la sevatangenth =BH a través deB. La tangenth forma un angle recte amb el radib (Elements d'Euclides: Llibre 3, Proposició 18;), per tant el triangle groc de la Figura 8 és rectangle. Aplicant elteorema de Pitàgores s'obté

c2=b2+h2.{\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}\,.}

Ara es fa servir elteorema de la tangent secant (Elements d'Euclides: Llibre 3, Proposició 36), que diu que el quadrat de la tangent a través d'un punt B de fora del cercle és igual al producte dels dos segments (des de B) creats per qualsevolsecant del cercle que passi per B. En el cas present:BH² =BC BP, o

h2=a(a−2bcos⁡(γ)).{\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos(\gamma ))\,.}

Substituint a l'equació anterior dona el teorema del cosinus:

c2=b2+a(a−2bcos⁡(γ)).{\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos(\gamma ))\,.}

Fixeu-vos queh² és lapotència del puntB respecte del cercle. La utilització del teorema de Pitàgores i del teorema de la tangent secant, es pot substituir per una sola aplicació delteorema de la potència d'un punt.

Fig. 8b – El triangleABC (rosa), un cercle auxiliar (blau cel) i dos triangles rectangles auxiliars (groc)

Cas en què l'angle γ és agut, ona < 2b cos γ. Es traça laperpendicular aa que passa perA =BC, creant un segment de longitudb cos(γ). Es duplica eltriangle rectangle per tal de formar eltriangle isòscelesACP. Es construeix elcercle amb centre aA i radib, i unacorda a través deB perpendicular ac =AB, la meitat de la qual ésh =BH. S'aplica elteorema de Pitàgores per obtenir

b2=c2+h2.{\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}\,.}

Ara es fa servir elteorema de la corda (Elements d'Euclides: Llibre 3, Proposició 35), que diu que si dues cordes s'intersequen, el producte dels dos segments obtinguts en una corda és igual al troducte dels dos segments obtinguts a l'altra. En el cas actual:BH² =BC BP, o

h2=a(2bcos⁡(γ)−a).{\displaystyle h^{2}=a(2b\cos(\gamma )-a)\,.}

Substituint a l'equació anterior dona el teorema del cosinus:

b2=c2+a(2bcos⁡(γ)−a).{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos(\gamma )-a)\,.}

Fixeu-vos que la potència del puntB respecte del cercle té el valor negatiu −h².

Fig. 9 – Demostració del teorema del cosinus fent servir el teorema de la potència d'un punt.

Cas de l'angle γ obtús. Aquesta demostració fa servir directament el teorema de la potència d'un punt, sense els triangles auxiliars obtinguts per a construir una tangent o una corda. Es construeix un cercle amb centreB i radia (vegeu Figura 9), el qual interseca lasecant que passa perA iC en els puntsC iK. La potència del puntA respecte del cercle és igual simultàniament aAB² − BC² i aAC·AK. Per tant,

c2−a2=b(b+2acos⁡(π−γ))=b(b−2acos⁡(γ)){\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos(\gamma ))\end{aligned}}}

que és el teorema del cosinus.

Si es fan servir mesures algebraiques per als segments (és a dir, permetentnombres negatius per a les seves longituds) el cas de l'angle obtús (CK > 0) i de l'angle agut (CK < 0) es poden tractar simultàniament.

Formulació vectorial

[modifica]

El teorema del cosinus és equivalent a la fórmula

b→⋅c→=‖b→‖‖c→‖cos⁡θ{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta }

en teoria d'espais vectorials, aquesta fórmula expressa elproducte escalar de dos vectors en termes dels seus respectiusmòduls i de l'angle que formen.

Fig. 10 – Triangle format per vectors

Demostració de l'equivalència. Respecte de la Figura 10, fixeu-vos que

a→=b→−c→{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}\,}

I per tant es pot calcular:

‖a→‖2{\displaystyle \Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}\,}=‖b→−c→‖2,{\displaystyle =\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2},}
=(b→−c→)⋅(b→−c→){\displaystyle =({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})\,}
=‖b→‖2+‖c→‖2−2b→⋅c→.{\displaystyle =\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\,.}

El teorema del cosinus formulat en aquest context estableix que:

‖a→‖2=‖b→‖2+‖c→‖2−2‖b→‖‖c→‖cos⁡(θ){\displaystyle \Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos(\theta )\,}

expressió equivalent a la fórmula anterior a partir de la teoria dels vectors.

Generalització a les geometries no euclidianes

[modifica]
Figura 7 - Triangle esfèric: dimensions reduïdesa,b ic; angles α, β i γ.

Per a unasuperfície no euclidiana de curvaturaK, dientR al radi de curvatura. Es verifica

R=1/|K|{\displaystyle \,R=1/{\sqrt {|K|}}}.

Es defineixen llavors les dimensions reduïdes del triangle:

a=BC/R{\displaystyle \,a=BC/R},
b=AC/R{\displaystyle \,b=AC/R},
c=AB/R{\displaystyle \,c=AB/R}.

En el cas d'un triangle esfèric,a,b ic corresponen a la mesura angular dels segments d'arc geodèsic [BC], [AC] i [AB] (vegeu figura 7).

Geometria esfèrica

[modifica]

En untriangle esfèric ABC (figura 7), el teorema del cosinus s'escriu

cos⁡c=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡bcos⁡γ{\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma }.

Quan el radi de curvatura és molt gran respecte les dimensions del triangle, és a dir quan

a<<1{\displaystyle \,a<\!\!<1},

Aquesta expressió se simplifica per donar la versió euclidiana del teorema del cosinus. Per veure-ho, s'utilitzen elsdesenvolupaments limitats següents:

sin⁡a=a+O(a3){\displaystyle \,\sin a=a+O(a^{3})}, etc.,
cos⁡a=1−a2/2+O(a3){\displaystyle \,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3})}, etc.

Existeix una identitat similar que enllaça els tres angles:

cos⁡γ=−cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡c{\displaystyle \cos \gamma =-\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos c}

Geometria hiperbòlica

[modifica]

En un triangle hiperbòlic ABC, el teorema del cosinus s'escriu

cosh⁡c=cosh⁡acosh⁡b+sinh⁡asinh⁡bcos⁡γ{\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b+\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma }.

Quan el radi de curvatura es fa molt gran respecte les dimensions del triangle, es troba el teorema del cosinus euclidià a partir dels desenvolupaments limitats

sinh⁡a=a+O(a3){\displaystyle \,\sinh a=a+O(a^{3})}, etc.,
cosh⁡a=1+a2/2+O(a3){\displaystyle \,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3})}, etc.

Analogia en el cas del tetraedre

[modifica]

Una afirmació anàloga comença per agafarα, β, γ, δ{\displaystyle \scriptstyle {\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta }} de forma que siguin les àrees de les quatre cares d'untetraedre. Es denoten elsangles dièdrics perβγ^,{\displaystyle \scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}} etc. Llavors[8]

α2=β2+γ2+δ2−2(βγcos⁡(βγ^)+γδcos⁡(γδ^)+δβcos⁡(δβ^)).{\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).\,}

Referències

[modifica]
  1. ↑Vegeu per exempleTeorema del cosinusArxivat 2008-07-04 aWayback Machine. A la pàgina de Ricard Peiró
  2. ↑Per exemple en la pàgina 47 deTeoria de màquines de Salvador Cardona Foix i Daniel Clos Costa, s'il·lustra la seva aplicació en la resolució d'aquests casos de triangles
  3. ↑Elements d'Euclides, traducció al català.Proposició 12 Llibre 2Arxivat 2008-03-07 aWayback Machine.
  4. ↑E. S. Kennedy,A Survey of Islamic Astronomical Tables, (Transactions of the American Philosophical Society, New Series, 46, 2), Philadelphia, 1956, pàg. 10-11, 32-34.
  5. ↑VegeuMuslim Scientists and Thinkers–Jamshid al-KashiArxivat 2014-04-03 aWayback Machine.
  6. ↑Scientific American inventions and discoveries, Rodney P. Carlisle, pàgina 90.
  7. ↑Aquesta demostració es pot trobar aThe Laws of Sines and Cosines extreta de E. Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998, pàgines 216-217
  8. ↑Casey, John.A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. Londres: Longmans, Green, & Company, 1889, p. 133.. 

Vegeu també

[modifica]

Enllaços externs

[modifica]
AWikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Teorema del cosinus


  • Vegeu aquesta plantilla
Funcions
trigonomètriques
Sinus(sin) · Cosinus(cos) · Tangent(tan) · Cotangent(cot) · Secant(sec) · Cosecant(csc) · Versinus(versin) · Coversinus(coversin) · Semiversinus(semiversin) · Vercosinus(vercos) · Exsecant(exsec) · Excosecant(excsc)
Funcions
trigonomètriques
inverses
Arcsinus(arcsin) · Arccosinus(arccos) · Arctangent(arctan) · Arccotangent(arccotan) · Arcsecant(arcsec) · Arccosecant(arccosec)
Teoremes
Fòrmules
Vegeu també
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_del_cosinus&oldid=34652770»
Categoria:
Categories ocultes:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp