Enmatemàtiques, unteorema és una clàusula oproposició que es pot demostrarvertadera en un marclògic determinat, format, per exemple, per altres teoremes, i per enunciats generalment acceptats, com elsaxiomes. Un teorema és unaconseqüència lògica dels axiomes. Lademostració de teoremes és una activitat central en matemàtiques, i consisteix en un argument lògic de l'enunciat del teorema, basat en les regles d'unsistema deductiu. La demostració d'un teorema s'acostuma a interpretar com una justificació de laveracitat de l'enunciat del teorema. Segons la manera en què es demostren els teoremes, el concepte de teorema és fonamentalmentdeductiu, en contrast amb la noció d'unallei científica, que ésexperimental.[nota 1]
Cal no confondreteorema iteoria. En matemàtiques, un conjunt de teoremes i de definicions (axiomes) pot formar una teoria, com lateoria de nombres.
Molts teoremes matemàtics tenen la forma d'enunciats condicionals. En aquest cas, la demostració arriba a la conclusió a partir de certes condicions anomenadeshipòtesis opremisses. Quan s'interpreta la demostració com una justificació de la veracitat, s'acostuma a veure la conclusió com una conseqüència necessària de les hipòtesis, és a dir, la conclusió és certa en el cas que les hipòtesis siguin certes, sense cap supòsit addicional. Tanmateix, el condicional es pot interpretar d'una manera diferent en certssistemes deductius, depenent dels significats atribuïts a les regles de derivació i al símbol condicional.
Encara que es poden expressar en una forma completament simbòlica, per exemple, en termes decàlcul proposicional, els teoremes s'acostumen a expressar en unllenguatge natural; anàlogament per a les demostracions, que s'acostumen a expressar com a arguments informals organitzats de manera lògica, amb l'objectiu de convèncer els lectors de la veracitat de l'enunciat del teorema, fora de cap dubte, i a partir de la qual se'n podria construir, en principi, una demostració simbòlica. Aquests arguments en llenguatge natural són més senzills de comprovar que els expressats en forma purament simbòlica; de fet, molts matemàtics expressen la seva preferència per demostracions que no només mostrin la validesa d'un teorema, sinó que també expliquinper què són certes.[2] En alguns casos, n'hi ha prou amb un diagrama per demostrar un teorema.[3][4]
Com que els teoremes són una part central de les matemàtiques, també pot hom considerar la sevaestètica. Alguns teoremes es cataloguen com a "trivials", o "difícils", o "profunds", o fins i tot amb "bellesa".[5][6] Aquestes apreciacions subjectives poden variar, no només de persona a persona, sinó també amb el temps: per exemple, quan se simplifica o s'entén millor una demostració, un teorema que es considerava difícil ara es pot veure com a trivial. D'altra banda, un teorema profund pot tenir un enunciat senzill, però la seva demostració pot implicar connexions sorprenents i subtils entre diferents àrees de les matemàtiques. Eldarrer teorema de Fermat és un exemple ben conegut d'aquest tipus de teoremes.
Des d'un punt de vista de lalògica, molts teoremes tenen la forma d'unindicatiu condicional: «siA, llavorsB». Aquest enunciat no afirmaB, només queB és una conseqüència necessària d'A. En aquest cas, hom diu queA éshipòtesi del teorema (cal notar que, aquí, "hipòtesi" és quelcom diferent d'unaconjectura) iB laconclusió (formalment,A iB són l'antecedent i elconseqüent). El teorema «Sin és unnombre naturalparell, llavorsn/2 és un nombre natural» és un exemple típic en el qual la hipòtesi és «n és un nombre natural parell» i la conclusió és «n/2 també és un nombre natural».
Per tal de ser demostrat, un teorema s'ha de poder expressar com un enunciat formal i precís. Tanmateix, els teoremes s'acostumen a expressar en un llenguatge natural en comptes d'en forma completament simbòlica, amb l'objectiu de què el lector pugui crear un enunciat formal a partir de l'informal.
És habitual en matemàtiques escollir un cert nombre d'hipòtesis en un cert llenguatge i declarar que la teoria consisteix en tots els enunciats demostrables a partir d'aquestes hipòtesis. Aquestes hipòtesis configuren la base fonamental de la teoria, i s'anomenenaxiomes opostulats. L'àrea de les matemàtiques coneguda com ateoria de la demostració estudia els llenguatges formals, els axiomes i l'estructura de les demostracions.
Ungraf planar amb cinc colors tal que no hi ha dues regions adjacents amb el mateix color. Es pot demostrar que aquest mapa es pot acolorir amb només quatre colors. De fet, elteorema dels quatre colors afirma que, donat un graf planar qualsevol, n'hi ha prou amb quatre colors per acolorir el mapa de tal manera que no hi hagi dues regions adjacents amb el mateix color, però la demostració que se'n coneix implica una cerca computacional massa llarga per ser verificada manualment.
Alguns teoremes són "trivials", en el sentit que són una conseqüència immediata de les definicions, els axiomes i altres teoremes, i no contenen sorpreses. D'altra banda, altres teoremes es consideren "profunds", ja que les seves demostracions poden ser llargues i complicades, o poden implicar àrees de les matemàtiques sense connexió aparent amb l'enunciat del teorema, o poden connectar diferents àrees de les matemàtiques de manera sorprenent.[7] Un teorema pot ser profund encara que el seu enunciat sigui simple; un exemple d'aquest cas és el Darrer Teorema de Fermat, però n'hi ha d'altres enteoria de nombres icombinatòria.
Altres teoremes tenen una demostració coneguda que no es pot escriure de manera simple. Els exemples més coneguts de teoremes d'aquest tipus són elteorema dels quatre colors i laconjectura de Kepler. S'ha demostrat que aquests dos teoremes són certs reduint-los a una cerca computacional que llavors es comprova mitjançant unprograma d'ordinador. Inicialment, molts matemàtics no acceptaven aquest tipus de demostració, però actualment està més acceptada. El matemàticDoron Zeilberger afirmà que aquests són, possiblement, els únics resultats no trivials que han demostrat mai els matemàtics.[8] Molts teoremes matemàtics es poden reduir a unacomputació més directa, com algunes identitats polinòmiques,trigonomètriques i hipergeomètriques.[9]
Estrictament parlant, per tal d'establir un enunciat matemàtic com a teorema, en cal una demostració, és a dir, una seqüència d'arguments lògics que parteixen dels axiomes del sistema (i d'altres teoremes existents –i demostrats– anteriorment), fins a arribar com a conclusió a l'enunciat que es vol demostrar. No obstant això, s'acostumen a considerar per separat la demostració del teorema. Encara que pot haver-hi més d'una demostració per a un teorema, només cal una demostració per tal que l'enunciat es consideri un teorema. Elteorema de Pitàgores i lallei de reciprocitat quadràtica competeixen per ser el teorema amb el nombre més gran de demostracions diferents.[nota 2]
Els teoremes de les matemàtiques i les teories de les ciències són fonamentalment diferents en la sevaepistemologia. Una teoria científica no es pot demostrar; el seu atribut clau és que ésrefutable, és a dir, fa prediccions sobre el món natural que són verificables mitjançantexperiments. Qualsevol incoherència entre la predicció i l'experiment mostra que la teoria científica és incorrecta, o almenys limita la seva precisió o el seu àmbit de validesa. Els teoremes matemàtics, per altra banda, són enunciats formals purament abstractes: la demostració d'un teorema no pot implicar experiments ni cap altra prova experimental.
Tanmateix, hi ha cert grau d'empirisme i recol·lecció de dades implicats en el descobriment de teoremes matemàtics. Si s'identifica un patró, de vegades amb l'ajut d'unordinador potent, els matemàtics poden tenir una idea de què s'ha de demostrar, i en alguns casos fins i tot un pla per confeccionar la demostració. Per exemple, s'ha verificat la conjectura de Collatz amb valors inicials de fins a aproximadament 2,88 × 1018. Lahipòtesi de Riemann s'ha verificat per als primers 10 bilions de zeros de lafunció zeta. Cap d'aquests enunciats es considera demostrat.
Aquestes verificacions no constitueixen una demo. Per exemple, laconjectura de Mertens és un enunciat sobre nombres naturals que ara se sap que és fals, però no se'n coneix cap contraexemple explícit (és a dir, un nombre naturaln per al qual la funció de MertensM(n) és igual o superior a l'arrel quadrada den): tots els nombres més petits que 10¹⁴ tenen la propietat de Mertens, i només es coneix que el nombre més petit que no té aquesta propietat és menor que l'exponencial d'1,59 × 1040, que és aproximadament 10 elevat a 4,3 × 1039. Com que se suposa que el nombre de partícules de l'Univers és menys de 10 elevat a 100 (ungoogol), no s'espera trobar un contraexemple explícit mitjançant unacerca per força bruta.
Cal notar que el terme "teoria" també existeix en matemàtiques, per denotar un conjunt d'axiomes matemàtics, definicions i teoremes, com per exemple, lateoria de grups. També hi ha "teoremes" en ciències, particularment enfísica i enenginyeria, però sovint tenen enunciats i demostracions on les suposicions físiques i la intuïció juguen un rol important: els axiomes físics sobre els quals es basen aquests "teoremes" són, de fet, refutables.
Existeixen diversos termes per als diferents enunciats matemàtics; aquests termes indiquen el rol que juguen aquests enunciats en una àrea de coneixement determinada. La distinció entre els diferents termes és, de vegades, arbitrària, i l'ús d'alguns termes ha evolucionat amb el temps.
Unaxioma opostulat és un enunciat acceptat sense demostració i vist com a fonamental per a una certa àrea de coneixement. Històricament eren considerats com a "evidents per si mateixos", però més recentment es consideren com a suposicions que caracteritzen l'objecte d'estudi. En geometria clàssica, els axiomes són enunciats generals, mentre que els postulats són enunciats sobre objectes geomètrics.[10] Unadefinició també s'accepta sense demostració perquè només proporciona el significat d'una paraula o frase en termes de conceptes coneguts.
Un enunciat sense demostrar que se suposa cert s'anomenaconjectura (o de vegadeshipòtesi, però amb un sentit diferent del qual s'ha vist anteriorment). Per tal de ser considerat com a conjectura, l'enunciat s'ha de proposar públicament, moment en el qual es pot afegir el nom del proponent a la conjectura, com en el cas de laconjectura de Goldbach. Altres conjectures famoses són laconjectura de Collatz i lahipòtesi de Riemann. D'altra banda, eldarrer teorema de Fermat sempre s'ha conegut com a teorema, fins i tot quan no se'n coneixia la demostració; mai no va ser conegut com la "conjectura de Fermat".
Unaproposició és un teorema sense cap importància especial. Aquest terme denota de vegades un enunciat amb una demostració senzilla, mentre que s'acostuma a reservar el termeteorema per a resultats més importants o per a aquells amb demostracions llargues o difícils. En geometria clàssica, una proposició pot ser una construcció que satisfà uns certs requisits; per exemple, la Proposició 1 del Llibre I delsElements d'Euclides és la construcció d'untriangle equilàter.[11]
Unlema és un "teorema auxiliar", una proposició que es pot aplicar d'una manera limitada, excepte com a part de la demostració d'un teorema més ampli. En alguns casos, i segons es feia més clara la importància relativa de diferents teoremes, allò que una vegada es considerava un lema ara es considera un teorema, encara que es mantingui el terme "lema" al títol de l'enunciat. Alguns exemples són ellema de Gauss, ellema de Zorn i ellema fonamental.
Uncorol·lari és una proposició que és una conseqüència immediata d'un altre teorema o definició, amb una petita demostració.[12] També s'utilitza el termecorol·lari per a un teorema reformulat per a un cas especial més restringit. Per exemple, el teorema que afirma que tots elsangles d'unrectangle sónrectes admet un corol·lari: tots els angles d'unquadrat (un cas especial de rectangle) són rectes.
Elrecíproc d'un teorema és un enunciat format per l'intercanvi d'allò donat en el teorema i d'allò que es vol demostrar. Per exemple, elteorema del triangle isòsceles afirma que, si dos costats d'untriangle són iguals, llavors dos angles són iguals. En el recíproc, s'intercanvien allò donat (que dos costats són iguals) i allò que es vol demostrar (que dos angles són iguals), de tal manera que l'enunciat recíproc és que si dos angles d'un triangle són iguals, llavors dos costats són iguals. En aquest exemple, es pot demostrar que el recíproc és un altre teorema, però en general això no és cert. Per exemple, el recíproc del teorema que afirma que dos angles rectes són iguals és l'enunciat que afirma que dos angles iguals han de ser angles rectes, la qual cosa clarament no és certa.[13]
Unageneralització és un teorema que inclou un altre teorema demostrat anteriorment com a cas especial i, per tant, el primer és uncorol·lari del segon.
Existeixen altres termes, menys utilitzats, que estan vinculats a certs enunciats demostrats, de tal manera que hom acostuma a anomenar aquests teoremes pels seus noms històrics. Per exemple:
Unaidentitat és una igualtat, dins d'un teorema, entre dues expressions matemàtiques, que resulta certa independentment dels valors particulars que s'utilitzin per a qualsevol de lesvariables oparàmetres que apareixen en les expressions. Alguns exemples són lafórmula d'Euler i laidentitat de Vandermonde.
Alguns teoremes tenen una altra terminologia. L'algorisme de la divisió (vegeuDivisió euclidiana) és un teorema que expressa el resultat d'una divisió en el conjunt dels nombres naturals i enanells més generals. Laidentitat de Bézout és un teorema que afirma que elmàxim comú divisor de dos nombres es pot escriure com acombinació lineal d'aquests dos nombres. Laparadoxa de Banach-Tarski és un teorema en l'àmbit de lateoria de la mesura que resultaparadoxal, en el sentit que contradiu la intuïció habitual sobre volums en l'espai tridimensional.
L'estructura típica d'un teorema i la seva demostració és la següent:
Teorema (nom de la persona que el va demostrar i any de descobriment, demostració o publicació).
Enunciat del teorema (de vegades anomenat «proposició»).
Demostració.
Descripció de la demostració.
Marca final.
El final de la demostració es pot indicar amb les lletresQ.E.D. (quod erat demonstrandum) o amb algun delssignes de final d'article "□" o "∎", introduïts perPaul Halmos a partir del seu ús en articles publicats.
L'estil concret depèn de l'autor o de la publicació. Moltes publicacions proporcionen instruccions omacros en el seullibre d'estil per a la confecció de textos matemàtics.
És habitual trobar, abans d'un teorema, lesdefinicions que descriuen el significat exacte dels termes que s'utilitzen. També és habitual precedir un teorema amb diverses proposicions o lemes que s'utilitzaran posteriorment en la demostració. Tanmateix, de vegades els lemes es troben enmig de la demostració del teorema, bé amb demostracions a continuació de cada lema, o bé amb demostracions presentades després de la demostració del teorema.
Els corol·laris d'un teorema es poden situar o bé entre el teorema i la demostració, o bé directament després de la demostració. De vegades, els corol·laris tenen demostracions pròpies que expliquen perquè són una conseqüència del teorema.
S'ha estimat que cada any es demostren més de 250.000 teoremes.[14]
El conegutaforisme"Un matemàtic és una màquina per transformar cafè en teoremes" es deu probablement aAlfréd Rényi, encara que sovint s'atribueix al company de RényiPaul Erdős (i Rényi podria estar pensant en Erdős), que era famós per la gran quantitat de teoremes que va trobar, elnombre de les seves col·laboracions, i la seva passió pel cafè.[15]
Laclassificació dels grups simples finits es considera com una de les demostracions més llargues d'un teorema. Està formada per desenes de milers de pàgines en uns 500 articles publicats per uns 100 autors. Hom considera que la recopilació d'aquestes publicacions configura una demostració completa, i hi ha diversos projectes en curs que tenen l'objectiu de simplificar aquesta demostració.[16] Un altre teorema d'aquest tipus és elteorema dels quatre colors, que té una demostració per ordinador massa llarga per ser lleguda per humans. De fet, és la demostració més llarga coneguda per a un enunciat comprensible per a un humà.
Lalògica, especialment en l'àmbit de lateoria de la demostració, considera els teoremes com a enunciats (anomenatsfórmules ofórmules ben formades) d'unllenguatge formal. Els enunciats dels teoremes són cadenes desímbols, i es poden dividir en fórmulessense sentit i fórmulesben formades. També cal proporcionar un conjunt deregles de deducció, també anomenadesregles de transformació oregles d'inferència. Aquestes regles de deducció ens diuen exactament quan es pot derivar una fórmula a partir d'un conjunt de premisses. El conjunt de fórmules ben formades es pot dividir entre aquelles que són teoremes i aquelles que no ho són. Tanmateix, segonsHofstadter, és habitual que un sistema formal defineixi simplement totes les seves fórmules ben formades com a teoremes.[[#cite_note-FOOTNOTEHofstadter198060«'"`UNIQ--templatestyles-00000015-QINU`"'<span_class="languageicon"_title="En_anglès">(anglès)</span>_...in_a_formal_system,_the_theorems_are_predefined,_by_the_rules_of_production.»-20|[17]]]
Si s'escullen diferents conjunts de regles de derivació, es donen lloc a diferents interpretacions del que significa que una expressió sigui un teorema. L'objectiu d'algunes regles de derivació i llenguatges formals és capturar el raonament matemàtic; els exemples més comuns utilitzen lalògica de primer ordre. Altres sistemes deductius descriuen lareescriptura de termes, com per exemple les regles de reducció per alcàlcul λ.
La definició de teoremes com a elements d'un llenguatge formal permet obtenir resultats de teoria de la demostració que estudien l'estructura de les demostracions formals i l'estructura de les fórmules demostrables. El resultat més conegut és el primerteorema d'incompletesa de Gödel; en representar els teoremes de la teoria de nombres bàsica com a expressions d'un llenguatge formal, i en representar llavors aquest llenguatge dins de la pròpia teoria de nombres, Gödel va construir exemples d'enunciats que no són ni demostrables ni refutables a partir de les axiomatitzacions de la teoria de nombres.
Aquest diagrama il·lustra lesentitats sintàctiques que es poden construir a partir delsllenguatges formals. Elssímbols i lescadenes de símbols es poden dividir entre fórmules sense sentit ifórmules ben formades. Es pot pensar que un llenguatge formal és idèntic al conjunt de les seves fórmules ben formades. El conjunt de fórmules ben formades es pot dividir en aquelles que són teoremes i aquelles que no ho són.
Un teorema es pot expressar en unllenguatge formal (o "formalitzat"). Un teorema formal és l'anàleg purament formal d'un teorema. En general, un teorema formal és un tipus defórmula ben formada que satisfà certes condicions lògiques i sintàctiques. Lanotació s'utilitza per indicar que és un teorema.
Els teoremes formals consisteixen enfórmules d'un llenguatge formal i de lesregles de transformació d'un sistema formal. Específicament, un teorema formal és sempre l'última fórmula d'unaderivació en algun sistema formal, on cada fórmula de la derivació és unaconseqüència lògica de les fórmules que apareixen amb anterioritat dins la derivació. Les fórmules acceptades inicialment en la derivació s'anomenenaxiomes, i són la base sobre la qual es deriva el teorema. Unconjunt de teoremes s'anomenateoria.
El que fa útils i interessants als teoremes formals és que es podeninterpretar com a proposicions certes i les seves derivacions es poden interpretar com una demostració de laveracitat de l'expressió resultant. Un conjunt de teoremes formals es pot anomenarteoria formal. Un teorema la interpretació del qual és un enunciat cert sobre un sistema formal s'anomenametateorema.
El concepte d'un teorema formal és fonamentalment sintàctic, en contrast amb la noció deproposició certa, que introdueix lasemàntica. Sistemes deductius diferents poden donar lloc a diferents interpretacions, depenent de les suposicions de les regles de derivació (és a dir,creença,justificació o altresmodalitats). Lasolidesa d'un sistema formal depèn de si la totalitat dels seus teoremes són tambévalideses. Una validesa és una fórmula que és certa sota qualsevol interpretació possible; per exemple, enlògica proposicional clàssica, les valideses són lestautologies. Es considera que un sistema formal éssemànticament complet quan totes les seves tautologies són també teoremes.
La noció de teorema està íntimament lligada a la seva demostració formal (també anomenada "derivació"). Per il·lustrar com es confeccionen les derivacions, tindrem com a exemple un sistema formal molt simplificat, diem-ne. El seualfabet consta només de dos símbols {A,B }, i la seva regla de formació per a fórmules és:
«Tota cadena de símbols de amb una longitud finita i d'un mínim de 3 símbols és una fórmula. No hi cap altre tipus de formula.»
«Qualsevol aparició de "A" en un teorema es pot substituir per la cadena "AB" i el resultat és un teorema.»
Els teoremes de es defineixen com aquelles fórmules que tenen una derivació que finalitza amb la fórmula en qüestió. Per exemple,
ABBA (Donada com a axioma)
ABBBA (aplicant la regla d'inferència)
ABBBAB (aplicant la regla d'inferència)
és una derivació. Per tant, "ABBBAB" és un teorema de. Tanmateix, no es pot aplicar la noció deveritat (o falsedat) a la fórmula "ABBBAB" fins que no es doni una interpretació als seus símbols. Així, en aquest exemple, la fórmula encara no representa una proposició, sinó que és merament una abstracció buida de contingut.
Hoffman, Paul.The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Nova York: Hyperion, 1998.ISBN 1-85702-829-5.
↑Tot i això, tant els teoremes com les lleis científiques són el resultat d'investigacions. VegeuHeath 1897, Introduction, The terminology ofArchimedes "teorema (θεὼρνμα), de θεωρεἳν, investigar"
[[#cite_ref-FOOTNOTEHofstadter198060«'"`UNIQ--templatestyles-00000015-QINU`"'<span_class="languageicon"_title="En_anglès">(anglès)</span>_...in_a_formal_system,_the_theorems_are_predefined,_by_the_rules_of_production.»_20-0|↑]]Hofstadter, 1980, p. 60, «(anglès) ...in a formal system, the theorems are predefined, by the rules of production.».
Metamath – un llenguatge per a desenvolupar definicions i demostracions matemàtiques estrictament formals, acompanyat d'un verificador de demostracions per a aquest llenguatge i d'unabase de dades creixent de milers de teoremes demostrats
.PNG)
